初中数学二次函数分类汇编及解析
(完整版),初中二次函数知识点详解及典型例题,文档
知识点一、二次函数的看法和图像1、二次函数的看法一般地，若是特y ax2bx c( a, b,c是常数， a 0) ，特别注意a不为零那么 y 叫做 x的二次函数。
y ax2bx c(a, b,c是常数， a0) 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a抛物线的主要特色：①有张口方向；②有对称轴；③有极点。
3、二次函数图像的画法五点法：〔1〕先依照函数剖析式，求出极点坐标，在平面直角坐标系中描出极点M ，并用虚线画出对称轴〔2〕求抛物线y ax2bx c 与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。
将这五个点按从左到右的序次连接起来，并向上或向下延伸，就获取二次函数的图像。
当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D 。
由 C、M 、 D 三点可大概地画出二次函数的草图。
若是需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A 、B ，尔后按次连接五点，画出二次函数的图像。
知识点二、二次函数的剖析式二次函数的剖析式有三种形式：口诀-----一般两根三极点〔1〕一般一般式：〔2〕两根当抛物线y ax2bx c(a,b, c是常数， a0)y ax2bx c 与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2bx c 0有实根 x1和 x2存在时，依照二次三项式的分解因式ax 2bx c a( x x1 )( x x2 ) ，二次函数y ax2bx c 可转变为两根式y a( x x1)( x x2)。
若是没有交点，那么不能够这样表示。
a的绝对值越大，抛物线的张口越小。
〔3〕三极点极点式：y a(x h)2k (a, h, k是常数， a0)知识点三、二次函数的最值若是自变量的取值范围是全体实数，那么函数在极点处获取最大值〔或最小值〕，即当 x b时，2ay最值4ac b24a。
初三数学《二次函数》考点整理与例题解析
初三数学《二次函数》考点整理与例题解析二次函数重难点分析:1、二次函数的图像2、二次函数的性质以及性质的综合应用3、二次函数的应用性问题：①面积最值问题②高度、长度最值问题③利润最大化问题④求近似解知识点归纳：1、二次函数的概念y=ax2+bx+c(a≠0)2、求二次函数的解析式一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a（x+m）2+k交点式y=a（x-x1）(x-x2)3、二次函数的图像和性质当a>0时，图像开口向上，有最低点，有最小值当a<0时，图像开口向下，有最高点，有最大值顶点式对称轴：直线x=-m一般式对称轴：直线x=-b/2a交点式对称轴：直线x=（x1+x2）/24.二次函数图像的平移函数y=a（x+m）2+k的图像，可以由函数y=ax2的图像先向右（当m<0时）或向左（m>0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到5、抛物线与系数的关系二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数?= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
?= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
?= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识拓展：初中数学最重要的部分，在中考中占的比重大，跟其他知识点联系多，以数形结合的题型考查几何，解方程、代数等都相互联系，知识点多题型多变，压轴题多以此为出题点1、考查形式：以选择题、填空题形式考察二次函数图像的性质，以解答题形式考察以二次函数为载体的综合题。
2、考察趋势：二次函数图像与系数的关系，二次函数的应用仍是重点3、二次函数求最值的应用：依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题（对于二次函数最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊约定，结合图像进行理解）经典例题。
新人教版初中数学——二次函数-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——二次函数知识点归纳及典型题解析一、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质开口向上开口向下2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例1如果y=（m–2）x2m m-是关于x的二次函数，则m=A．–1 B．2 C．–1或2 D．m不存在【答案】A【解析】依题意²220m mm-=⎧⎨-≠⎩，解得m=–1，故选A.【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意a0≠.典例2 下列函数是二次函数的是（ ） A ．y =2x +2 B ．y =﹣2x C ．y =x 2+2 D ．y =x ﹣2【答案】C【解析】直接根据二次函数的定义判定即可． A 、y =2x +2，是一次函数，故此选项错误； B 、y =﹣2x ，是正比例函数，故此选项错误； C 、y =x 2+2是二次函数，故此选项正确； D 、y =x ﹣2，是一次函数，故此选项错误． 故选C ．1．二次函数223y x =-+（）的图像的顶点坐标是A ．（2，3）B ．（﹣2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）2．将一元二次方程2316x x +=化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为 A ．3，–6 B ．3，6C ．3，1D ．2 3x ，6x -考向二 二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.典例3 函数y =ax 2+bx +a +b （a ≠0）的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y轴交点为（0，a+b）在y轴正半轴，与a+b<0矛盾，故此选项错误；B，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y轴交点为（0，1）在y轴正半轴，可知a+b=1与a+b<0矛盾，故此选项错误；C，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，a+b=1可能成立，故此选项正确；D，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，与y轴交于正半轴，则a+b>0，而图象与x轴的交点为（1，0），则a+b+a+b=0，显然a+b=0与a+b>0矛盾，故此选项错误．故选C．典例4如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是A．a>0 B．b<0C．ac<0 D．bc<03．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是A．B．C．D．4．已知函数y=ax+b的大致图象如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是A．a<0 B．c>0C．a+b+c>0 D．b2–4ac<0考向三二次函数的性质二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例5由二次函数y=3（x﹣4）2﹣2可知A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=4C．其顶点坐标为（4，2）D．当x>3时，y随x的增大而增大【答案】B 【解析】23(4)2y x =--，∴a =3>0，抛物线开口向上，故A 不正确；对称轴为4x =，故B 正确； 顶点坐标为（4，–2），故C 不正确；当4x >时，y 随x 的增大而增大，故D 不正确； 故选B ．【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =-+中，顶点坐标为(,)h k ，对称轴x h =．a 决定了开口方向.典例6 在函数2(1)3y x =-+中，当y 随x 的增大而减小时，则x 的取值范围是A ．1x ≥B ．0x >C ．3x <D ．1x ≤【答案】D【解析】二次函数2(1)3y x =-+的对称轴为直线1x =， ∵0a >，∴1x ≤时，y 随x 的增大而减小.故选D.【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性．二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0），当a >0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小6．关于下列说法：（1）反比例函数13y mx =，在每个象限内y 随x 的增大而减小；（2）函数13y x =-，y 随x 的增大减小；（3）函数213y x =-，当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．若二次函数2y a x bx c =++的图象经过A （m ，n ）、B （0，y 1）、C （3–m ，n ）、D ，y 2）、E （2，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系是 A ．231y y y ＜＜ B ．132y y y ＜＜ C ．321y y y ＜＜D ．123y y y ＜＜考向四二次函数的平移1．抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x–h）2+k的形式．3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，0），y=a （x–h）2+k的顶点是（h，k）．4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典例7如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5 B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2A．y=（x2B．y=（x+2）2+2C．y=（x–2D．y=（x–2）2+2【答案】D9．把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为A．y=12（x+1）2–3 B．y=12（x–1）2–3C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x–1）2+1考向五二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac决定. 1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方（a>0时）或在x轴的下方（a<0时）．典例9二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2+bx+c=0的A．–0.03<x<–0.01 B．–0.01<x<0.02C．6.18<x<6.19 D．6.17<x<6.18【答案】C【解析】由表格中的数据看出–0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围为：6.18<x<6.19，故选C．典例10如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2 B．x>–3C．–3<x<1 D．x<–3或x>1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1，∵二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的一个交点是（–3，0），∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1，0），∴由图象可知关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3<x<1．故选C．10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是A．–1<x<5 B．x>5C．x<–1 D．x<–1或x>511．抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．考向六二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．典例11飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣3 2t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是s．A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】A【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600，此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当y=600﹣150=450时，即60t﹣32t2=450，解得：t=10，t=30（不合题意舍去），∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10=10，故选A．【名师点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用，关键在于解一元二次方程.典例12如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此变换进行下去，若点P（17，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为A．2 B．﹣2C．﹣3 D．3【答案】D【解析】∵y=﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，∴点A1（4，0），∴OA1=4，∵OA1=A1A2=A2A3=A3A4......，∴OA1=A1A2=A2A3=A3A4 (4)∵点P（17，m）在这种连续变换的图象上，17÷4=4……1，∴点P（17，m）在C5上，∴x=17和x=1时的函数值相等，∴m=﹣1×（1﹣4）=﹣1×（﹣3）=3，故选D．【名师点睛】本题考查二次函数的性质及旋转的性质，得出x=17和x=1时的函数值相等是解题关键.12．如图所示的是跳水运动员10m跳台跳水的运动轨迹，运动员从10m高A处的跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高点M离墙1m，离水面403m，则运动员落水点B离墙的距离OB是A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m13．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．求：（1）铅球在行进中的最大高度； （2）该男生将铅球推出的距离是多少m ？考向七 存在性问题与动点问题此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．典例13 综合与探究： 已知二次函数213222y x x =-++的图象与x 轴交于,A B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求点 A B C ，，的坐标； （2）求证：ABC 为直角三角形；（3）如图，动点 E F ，同时从点A 出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒姨5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动．当点F 停止运动时，点E 随之停止运动．设运动时间为t 秒，连结EF ，将AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到DEF ．当点F 在AC 上时，是否存在某一时刻t ，使得DCO BCO ≌？（点D 不与点B 重合）若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4,01,00,2A B C （）,（－）,（）；（2）证明见解析；（3）存在；3t 4=【解析】（1）当0y =时，2132022x x -++= 解得：121,4x x ==∴点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()1,0-当0x =时，2y =∴点C 的坐标为()0,224,01,00,2A B C （）（）,（－）,（）,41 2.OA OB OC ∴===，，5AB AC BC ∴=====，=22225AC BC AB ∴+==ABC ∴为直角三角形()3由()2可知ABC 为直角三角形.且90ACB ∠=︒2AE t AF t ==，，AF AB AE AC ∴==又EAF CAB ∠=∠，AEF ACB ∴∽，90.AEF ACB ∴∠=∠=︒AEF ∴沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处，由翻折知，DE AE =，24AD AE t ∴==， 当DCO BCO ≌时，BO OD =， 441OD t BO =-=，，441t ∴-=，解得：t =34，即：当t =34秒时，.DCO BCO ≌【名师点睛】本题考查二次函数解析式与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，综合性较强，掌握相关知识并灵活应用是本题的解题关键.14．抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C ，C 点的坐标为（0，﹣2），连接BC ，以BC 为边，点O 为对称中心作菱形BDE C ．点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，交BD 于点M .（1）求抛物线的解析式.（2）x 轴上是否存在一点P ，使三角形PBC 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）当点P 在线段OB 上运动时，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形？请说明理由.1．抛物线2(2)(6)y x x =-+的对称轴是 A ．3x =B ．3x =-C ．2x =D ．2x =-2．将抛物线22y x =向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线为 A ．22(4)1y x =+-B ．22(4)1y x =++C ．22(4)1y x =-+D ．22(4)1y x =--3．若b <0，则二次函数y =x 2+2bx ﹣1的图象的顶点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如图是二次函数2 23y x x =--+的图象，使0y ≥成立的x 的取值范围是A ．31x ≤≤－B ．1x ≥C ．31x x <->或D ．31x x ≤-≥或5．直线y =ax +b 和抛物线y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．若函数y =mx 2+2x +1的图像与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值为 A ．m =1B ．m =1或m =2C ．m =0D ．m =1或m =07．如图，边长为2的正ABC ∆的边BC 在直线l 上，两条距离为1的平行直线a 和b 垂直于直线l ，a 和b 同时向右移动（a 的起始位置在B 点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t （秒），直到b 到达C 点停止，在a 和b 向右移动的过程中，记ABC ∆夹在a 和b 间的部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为A ．B ．C ．D ．8．如图，已知抛物线y 1＝﹣x 2+1，直线y 2＝﹣x +1，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1，y 2．若y 1≠y 2，取y 1，y 2中的较小值记为M ；若y 1＝y 2，记M ＝y 1＝y 2．例如：当x ＝2时，y 1＝﹣3，y 2＝﹣1，y 1<y 2，此时M ＝﹣3．下列判断中：①当x <0时，M ＝y 1；②当x >0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于1的x 值不存在；④使得M ＝12的值是﹣2或12，其中正确的个数有A ．1B ．2C ．3D ．49．抛物线y =（x –2）（x +3）与y 轴的交点坐标是__________．10．若A （–3.5，y 1）、B （–1，y 2）、C （1，y 3）为二次函数y =–x 2–4x +5的图象上三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是__________．（用>连接）11．二次函数y =x （x –6）的图象的对称轴是__________．12．已知一个二次函数的图象经过A （1，6）、B （–3，6）、C （0，3）三点，求这个二次函数的解析式，并指出它的开口方向．13．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25 m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住（如图）．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？14．已知二次函数y=–12x2–x+72．（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；（3）将二次函数y=–12x2的图象如何平移能得到二次函数y=–12x2–x+72的图象，请写出平移方法．15．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()21，-，并且与y 轴交于点()03，C ，与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于点A (10)-，、B (40)，，与y 轴交于点C ．（1）a =__________；b =__________；（2）点P 为该函数在第一象限内的图象上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ， ①求线段PQ 的最大值；②若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．1．抛物线2362y x x =-++的对称轴是 A ．直线2x = B ．直线2x =- C ．直线1x =D ．直线1x =-2．抛物线244y x x =-+-与坐标轴的交点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．33．已知点()()()()1,,1,,2,0A m B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是A ．y x ＝B ．2y x=-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣4．已知反比例函数y =abx的图象如图所示，则二次函数y =ax 2-2x 和一次函数y =bx +a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是A ．B ．C ．D ．5．将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为 A ．22(2)3y x =++ B ．22(2)3y x =-+ C ．22(2)3y x =--D ．22(2)3y x =+-6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =7．在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1y x =-+，下列说法中错误的是 A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2yx 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到8．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1<1<x 2，则c 的取值范围是 A ．c <-3 B ．c <-2 C ．c <14D ．c <19．已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 A ．2a < B ．1a >- C ．12a -<≤D ．12a -≤<10．如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；②11024a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s （单位：m ）与时间t （单位：min ）的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是A ．25 min~50 min ，王阿姨步行的路程为800 mB ．线段CD 的函数解析式为324002550s t t =+≤≤（）C ．5 min~20 min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+≤≤12．小飞研究二次函数y =–（x –m ）2–m +1（m 为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y =–x +1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1<x 2，x 1+x 2>2m ，则y 1<y 2；④当–1<x <2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2其中错误结论的序号是 A ．① B ．② C ．③D ．④13．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点．拱高为78米（即最高点O 到AB 的距离为78米），跨径为90米（即AB =90米），以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为A ．y =26675x 2B ．y =-26675x 2C ．y =131350x 2D ．y =-131350x 214．二次函数y =-（x -6）2+8的最大值是__________．15．在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线l 分别与函数y =x -a +1和y =x 2-2ax 的图象相交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是__________． 16．当03x ≤≤时，直线y a =与抛物线2(1)3y x =--有交点，则a 的取值范围是_________． 17．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A （-1，P ），B （3，q ）两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是__________．18．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为__________米．19．已知二次函数2y x x a =++的图象与x 轴交于12(0)(0)A x B x ，、，两点，且2212111x x +=，求a 的值．20．已知抛物线224y x x c =-+与x 轴有两个不同的交点．（1）求c 的取值范围；（2）若抛物线224y x x c =-+经过点()2,A m 和点()3,B n ，试比较m 与n 的大小，并说明理由．21．在画二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：乙写错了常数项，列表如下：通过上述信息，解决以下问题：（1）求原二次函数()20y ax bx c a =++≠的表达式；（2）对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当x __________时，y 的值随x 的值增大而增大；（3）若关于x 的方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．22．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件． （1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？23．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）24．在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？25．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．26．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．27．随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p=12x+12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？28．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50 60 80周销售量y（件）100 80 40周销售利润w（元）1000 1600 1600 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．1．【答案】A【解析】∵223y x =-+（），∴二次函数223y x =-+（）的图象的顶点坐标是（2，3），故选A.【名师点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其顶点式一般形式的特点. 2．【答案】A【解析】一元二次方程3x 2+1=6x 化为一般形式是3x 2–6x +1=0，各项的系数分别是：3，–6．故选A【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化． 相交，D 选项符合．故选D ． 4．【答案】D【解析】根据一次函数的图象可得a >0，b <0．则二次函数开口向上，对称轴在y 轴的右侧． 故选D ． 5．【答案】C【解析】∵由图象知，开口向上，∴a >0，故A 错误；由图象知，与y 轴的交点在负半轴，∴c <0，故B 错误；令x =1，则a +b +c >0，故C 正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ= b 2–4ac >0，故D 错误．故选C ． 6．【答案】C【解析】（1）反比例函数113=3m y mx x=，当m >0时，图象在第一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，当m <0时，图象在第二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大，故（1）的说法错误；（2）函数13y x =-中k =103-＜，y 随x 的增大减小，故（2）的说法正确； （3）函数213y x =-中a =103-＜，函数图象开口向下，对称轴为直线x =0，所以当0x >时，y随x 的增大而减小，故（3）的说法正确.故选C.【名师点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数和二次函数的图象与性质，熟练掌握它们的性质是解决此题的关键. 7．【答案】A【解析】∵经过A （m ，n ）、C （3–m ，n ），∴二次函数的对称轴x =32，∵B （0，y 1）、D ，y 2）、E （2，y 3）与对称轴的距离B 最远，D 最近， ∵|a |>0，∴y 1>y 3>y 2；故选A ．【名师点睛】此题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键． 8．【答案】B【解析】∵抛物线C ：y =x 2+2x –3=（x +1）2–4，∴抛物线对称轴为直线x =–1．∴抛物线与y 轴的交点为A （0，–3）．则与A 点关于直线x =–1对称的点是B （–2，–3）．若将抛物线C 平移到C ′，并且C ，C ′关于直线x =1对称，就是要将B 点平移后以对称轴x =1与A 点对称，则B 点平移后坐标应为（4，–3）．因此将抛物线C 向右平移4个单位长度．故选B ． 9．【答案】B【解析】∵把抛物线y =12x 2–1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴得到的抛物线的解析式为y =12（x –1）2–3，故选B ． 10．【答案】A【解析】由图可知，对称轴为直线x =2，∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（–1，0），又∵抛物线开口向下，∴不等式ax 2+bx +c >0的解集是–1<x <5．故选A ． 11．【答案】x 1=–1，x 2=3【解析】观察图象可知，抛物线y =2x 2–4x +m 与x 轴的一个交点为（–1，0），对称轴为x =1，∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为（3，0），∴一元二次方程2x 2–4x +m =0的解为x 1=–1，x 2=3．故答案为：x 1=–1，x 2=3．。
初中数学《二次函数》重难点题型汇编含解析
二次函数重难点题型汇编【题型01：二次函数的概念】【题型02：二次函数的条件】【题型03：列处二次函数关系式】【题型04：特殊二次函数的图像和性质】【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】【题型06：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质】【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】【题型08：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关的信息】【题型09：二次函数的平移变换】【题型10：二次函数的交点个数问题】【题型01：二次函数的概念】1下列函数是关于x的二次函数的是()A.y=x2+1x2B.y=x1-xC.y=x+12-x2 D.y=ax2+bx+c【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．【详解】解：A、y=x2+1x2的分母含有自变量，不是y关于x的二次函数，故A不符合题意；B、y=x1-x=-x2+x，是y关于x的二次函数，故B符合题意；C、y=x+12-x2=2x+1，不是y关于x的二次函数，故C不符合题意；D、y=ax2+bx+c，当a=0时不是二次函数，故D不符合题意；故选：B．2下列各式中，是二次函数的是()A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=2x2-1x【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．【详解】解：A、y=2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；B、y=-2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；C、y=x2+2，是二次函数，故本选项符合题意；D、y=2x2-1x，右边中-1x不是整式，不是二次函数，故本选项不合题意．故选：C．3下列函数解析式中，y是x的二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=-5x+1C.y=-23x2+x-34D.y=2x2-1x【答案】C【分析】根据：形如y=ax2+bx+c a≠0，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．【详解】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，不符合题意；B、y=-5x+1，是一次函数，不是二次函数，不符合题意；C、y=-23x2+x-34，是二次函数，符合题意；D、y=2x2-1x，不是二次函数，不符合题意；故选C．4如图，分别在正方形ABCD边AB、AD上取E、F点，并以AE、AF的长分别作正方形．已知DF= 3,BE=5．设正方形ABCD的边长为x，阴影部分的面积为y，则y与x满足的函数关系是()A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系【答案】A【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出AE、AF的长度，再结合阴影部分的面积等于以AE、AF的长的正方形的面积之差可得y=4x-16，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键．【详解】解：由题意可得：AE=AB-BE=x-5，AF=AD-DF=x-3，则阴影部分的面积为y=x-32-x-52=x2-6x+9-x2+10x-25=4x-16，即：y=4x-16，为一次函数，故选：A．【题型02：二次函数的条件】5抛物线y=ax2+a-2x-a-1经过原点，那么a的值等于()A.0B.1C.-1D.35【答案】C【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把(0,0)代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键．【详解】解：∵抛物线y=ax2+a-2x-a-1经过原点，∴a≠0-a-1=0，解得：a=-1，故选C．6已知y=m-1x m2+1-2x+5是二次函数，则m的值为()A.1或-1B.1C.-1D.0【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2即可求解．【详解】解：根据二次函数的定义：m2+1=2，且m-1≠0，解得：m=1或m=-1，又∵m≠1，∴m=-1，故选：C．7已知二次函数y=m-2x m2-2+3x+1，则m=．【答案】-2【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c a≠0，这样的函数叫做二次函数，得到m-2≠0，m2-2=2，进行求解即可．解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．【详解】解：∵函数y=m-2x m2-2+3x+1是二次函数，∴m-2≠0，m2-2=2，∴m=-2．故答案为：-2．【题型03：列处二次函数关系式】8某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为()A.y=91+x2 B.y=9+9x+x2C.y=9+91+x+91+x2 D.y=91+x2【答案】C【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：91+x，三月份新产品的研发资金为：91+x2，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金．【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：91+x，三月份新产品的研发资金为：91+x2，今年一季度新产品的研发资金y=9+91+x+91+x2，故选：C．9已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加xcm时，正方体的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是()A.y=6x2-36xB.y=-6x2+36xC.y=x2+36xD.y=6x2+36x【答案】D【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答．【详解】根据题意有：y=6x+32-6×32=6x2+36x，故选：D．10某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件(7.5<x<13.5)时，获取利润y元，则y与x的函数关系为()A.y=x-7.5500+xB.y=13.5-x500+200xC.y=x-7.5500+200xD.以上答案都不对【答案】D【分析】当销售价为x元/件时，每件利润为(x-7.5)元，销售量为[500+200×(13.5-x)]，根据利润=每件利润×销售量列出函数关系式即可．【详解】解：由题意得w=(x-7.5)×[500+200×(13.5-x)]，故选：D．【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含x的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键．11正方形边长3，若边长增加x，增加后正方形的面积为y，y与x的函数关系式为．【答案】y=x+32/y=3+x2【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解．【详解】解：依题意，y=x+32，故答案为：y=x+32．【题型04：特殊二次函数的图像和性质】12已知函数y=-(x-2)2的图象上有A-32,y1，B3,y2，C4,y3三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y 1<y 2<y 3B.y 2<y 1<y 3C.y 1<y 3<y 2D.y 2<y 3<y 1【答案】C【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．【详解】解：∵函数y =-(x -2)2，∴图象开口向下，对称轴为直线x =2，∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大，2--32=72，3-2 =1，4-2 =2，∵1<2<72，∴y 1<y 3<y 2，故选：C ．13对于二次函数y =2x -1 2+3，下列说法正确的是()A.开口方向向下B.顶点坐标(1，-3)C.对称轴是y 轴D.当x =1时，y 有最小值【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质：根据抛物线的性质，由a =2得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x =1，当x =1时，y 有最小值3，再进行判断即可．【详解】解：二次函数y =2(x -1)2+3的图象开口向上，顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x =1，当x =1时，y 有最小值3．故选项D 正确，故选：D14下列抛物线中，对称轴为直线x =12的是()A.y =x -122B.y =12x 2C.y =x 2+12D.y =x +122-3【答案】A【分析】本题考查了抛物线求对称轴方程的公式：x =-b2a．利用抛物线对称轴的公式即可确定每一个函数的对称轴，然后即可确定选项．【详解】解：A 、y =x -122的对称轴为直线x =12，故选项符合题意．B 、y =12x 2的对称轴为直线x =0，故选项不符合题意．C 、y =x 2+12的对称轴为直线x =0，故选项不符合题意．D、y=x+122-3的对称轴为直线x=-12，故选项不符合题意．故选：A．15在二次函数y=-x-12+3的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是()A.x>-1B.x<-1C.x>1D.x<1【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题可知，函数图象开口向下，对称轴为x=1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；在对称轴左侧，y随x 的增大而增大，据此即可得到答案．【详解】解：由二次函数的解析式得，抛物线开口向下，对称轴为x=1，当x>1时，y 随 x 的增大而减小．故选：C ．16抛物线y=-2x+12+2的顶点的坐标是．【答案】(-1,2)【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为h,k，即可求解．【详解】解：抛物线y=-2x+12+2的顶点坐标是(-1,2)，故答案为：(-1,2)．17点A-3,y1，B2,y2均在二次函数y=-x2+2的图象上，则y1y2．(填“>”或“<”)【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小进行求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为y=-x2+2，∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，∴离对称轴越远函数值越小，∵0--3=3>2-0=2，∴y1<y2，故答案为：<．【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】18如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=12x2的图象，C2是函数y=-12x2的图象，则阴影部分的面积是()A.4πB.2πC.πD.无法确定【答案】B【分析】据函数y =12x 2与函数y =-12x 2的图象关于x 轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．【详解】解：∵C 1是函数y =-12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，且当x 相等时，两个函数的函数值互为相反数，∴函数y =12x 2的图象与函数y =-12x 2的图象关于x 轴对称，∴阴影部分面积即是半圆面积，∴面积为：12π×22=2π．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．19如图，已知点A 1,A 2,...,A 2024在函数y =2x 2位于第二象限的图像上，点B 1,B 2,...,B 2024在函数y =2x 2位于第一象限的图像上，点C 1,C 2,...,C 2024在y 轴的正半轴上，若四边形O 1A 1C 1B 1,C 1A 2C 2B 2,...,C 2023A 2024C 2024B 2024都是正方形，则正方形C 2023A 2024C 2024B 2024的边长为()A.1012B.10122C.20232D.202322【答案】B【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB 1与y 轴的夹角为45°，然后表示出OB 1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B 1的坐标，然后求出OB 1的长，再根据正方形的性质求出OC 1，表示出C 1B 2的解析式，与抛物线联立求出B 2的坐标，然后求出C 1B 2的长，再求出C 1C 2的长，然后表示出C 2B 3的解析式，与抛物线联立求出B 3的坐标，然后求出C 2B 3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．【详解】解：∵OA 1C 1B 1是正方形，∴OB 1与y 轴的夹角为45°，∴OB 1的解析式为y =x ，联立方程组得：y =xy =2x 2 ，解得x 1=0y 1=0 ，x 2=12y 2=12．∴B 点的坐标是：12，12，∴OB 1=122+122=22=1×22；同理可得：正方形C 1A 2C 2B 2的边长C 1B 2=2×22；⋯依此类推，正方形C 2023A 2024C 2024B 2024的边长是为2024×22=10122．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．20如图，正方形OABC 有三个顶点在抛物线y =14x 2上，点O 是原点，顶点B 在y 轴上则顶点A 的坐标是()A.2,2B.2,2C.4,4D.22,22【答案】C【分析】连接AC 交y 轴于点D ，设点B 坐标为0,m ，根据正方形的性质可得OD =12m ,AD =12m ，从而得到A 12m ,12m，再代入y =14x 2，即可求解．【详解】解：如图，连接AC 交y 轴于点D ，设点B 坐标为0,m ，∵四边形OABC 是正方形，∴OD =12OB ,CD =AD ,AC ⊥y 轴，∴OD =12m ,AD =12m ，∴A 12m ,12m，∵A 在抛物线y =14x 2上，∴12m =14×12m 2，解得m =0(舍去)或8，∴点A 的坐标为4,4 ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．21如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为1,1 、1,4 、4,4 ．若抛物线y =ax 2的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是．【答案】116≤α≤4【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a 的值即可解决问题．【详解】解：∵正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为1,1 、1,4 、4,4 ．∴D 4，1 ，当抛物线经过点B 1,4 时，则a =4，当抛物线经过D4,1时，a=1 16，观察图象可知，抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是116≤α≤4，故答案为：116≤α≤4．【题型06：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质】22将抛物线y=x2-4x+3绕原点O顺时针旋转180°，则旋转后的函数表达式为()A.y=x2+4x-3B.y=-x2+4x+3C.y=-x2-4x-3D.y=-x2+4x-3【答案】C【分析】本题考查了二次函数的旋转变换，熟练掌握二次函数的性质和旋转的性质是解题的关键．设P x,y为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点O顺时针旋转180°点P -x,-y，则P 是在旋转后的抛物线上，然后代入化简即可解答．【详解】解：设P x,y为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点O顺时针旋转180°点P -x,-y，由题意可知：P -x,-y是在抛物线y=x2-4x+3上，即：-y=x2+4x+3，化简得：y=-x2-4x-3．故选C．23直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是()A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【详解】解：A、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；B、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；C、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，ab>0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab<0，故选项不符合题意；D、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，对称轴位于y轴左侧，则ab>0，故选项符合题意；故选：D．24已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x⋯-4-2035⋯y ⋯-24-80-3-15⋯则下列关于这个二次函数的结论正确的是()A.图象的开口向上B.当x >0时，y 的值随x 的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x =1【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得4a -2b +c =-8c =09a +3b +c =-3 ，解得a =-1c =0b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x =-x -1 2+1，∵a =-1<0，∴图象的开口向下，故选项A 不符合题意；图象的对称轴是直线x =1，故选项D 符合题意；当0<x <1时，y 的值随x 的值增大而增大，当x >1时，y 的值随x 的值增大而减小，故选项B 不符合题意；∵顶点坐标为1,1 且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C 不符合题意；故选：D ．25如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P ，Q 都在x 轴上，平行于x 轴的直线与两条抛物线相交于A ，B ，C ，D 四点，若AB =10，BC =5，CD =6，则PQ 的长度为()A.7B.8C.9D.10【答案】B【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM ,QN ，交AD 于点M ，N ，得四边形PMNQ 是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．【详解】分别作出两条抛物线的对称轴PM ,QN ，交AD 于点M ，N ，∴四边形PMNQ 是矩形，∴MN =PQ ，∵AB=10，BC=5，CD=6，∴MA=MC=12AC=12AB+BC=152，BN=ND=12BD=12CD+BC=112，∴MN=AD-AM-ND=AB+BC+CD-AM-ND，=21-112-152=8，∴PQ=8，故选B．26二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2-bx+a=0的根的情况是()A.只有一个实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的判别式，首先根据二次函数的图象得到a<0，b>0，然后判断一元二次方程的判别式求解即可．【详解】∵二次函数图象开口向下，对称轴大于零，∴a<0，-b2a>0∴b>0∴方程x2-bx+a=0的判别式Δ=b2-4ac=-b2-4×1×a=b2-4a>0∴关于x的一元二次方程x2-bx+a=0的根的情况是有两个不相等的实数根．故选：C．27抛物线y=x2+14x+54的顶点坐标是()A.7,5B.7,-5C.-7,5D.-7,-5【答案】C【分析】依据题意，由抛物线为y=x2+14x+54=(x+7)2+5，从而可以判断得解．本题主要考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键．【详解】解：由题意，∵抛物线为y=x2+14x+54=(x+7)2+5，∴顶点为-7,5．故选：C．28用配方法将二次函数y=-x2-2x-3化为y=a x-h2+k的形式为()A.y=-x-12-2 D.y=x-12+22-4 C.y=-x+12+3 B.y=x+1【答案】C【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．运用配方法即可将其化为顶点式．【详解】解：y=-x2-2x-3=-x2+2x+1-2=-x+12-2故选：C．29如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为-1,0，则点Q的坐标为()A.0,-1D.3,0C.4,0B.2,0【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意可得点P、点Q关于对称轴对称即可求解．【详解】解：由题意得：点P、点Q关于对称轴对称，∴点Q的坐标为3,0，故选：D．【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】30已知抛物线y=-x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为-7，求此时t的值为()A.1或-2B.2或-2C.3或-1D.-1或-2【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，分2种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵y=-x2+2x+1=-x-12+2，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越小，∵t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为-7，分两种情况：①当t-1≤t+2-1时，即：t≥0时，当x=t+2时，y=-t+22+2t+2+1=-7，解得：t=-4(舍去)或t=2；②当t-1>t+2-1时，即：t<0时，当x=t时，y=-t2+2t+1=-7，解得：t=4(舍去)或t=-2；综上：t的值为2或-2；故选B．31已知二次函数y=x2-2x-1≤x≤t-1，当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是()A.0<t≤2B.0<t≤4C.2≤t≤4D.t≥2【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由y=x2-2x=x-12-1，可知图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，-1，当x=-1时，y =3，即-1，3关于对称轴对称的点坐标为3，3，由当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，可得1≤t-1≤3，计算求解，然后作答即可．【详解】解：∵y=x2-2x=x-12-1，∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，-1，当x=-1时，y=3，∴-1，3关于对称轴对称的点坐标为3，3，∵当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，∴1≤t-1≤3，解得，2≤t≤4，故选：C．32已知抛物线y=x2+(2a-1)x-3，当-1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为()A.-12B.-13C.-12或-13D.-1或-13【答案】D【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．【详解】解：∵y=x2+(2a-1)x-3，∴图象开口向上，对称轴为直线x=-2a-12，∵-1≤x≤3，∴当-2a-12≤1时，即a≥-12，x=3时有最大值1，∴9+(2a-1)×3-3=1，∴a=-13，当-2a-12≥1时，即a≤-12，x=-1时有最大值1，∴1+(2a-1)×(-1)-3=1，∴a=-1，∴a=-1或-13，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．33已知二次函数y=x-m2-1(m为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最小值为3，则m的值为()A.0或3B.0或7C.3或4D.4或7【答案】B【分析】利用二次函数的性质，分三种情况求解即可．【详解】解：∵y=x-m2-1，∴当x=m时，y的最小值为-1．当m<2时，在2≤x≤5中，y随x的增大而增大，∴2-m2-1=3，解得：m1=0，m2=4(舍去)；当2≤m≤5时，y的最小值为-1，舍去；当m>5时，在2≤x≤5中，y随x的增大而减小，∴5-m2-1=3，解得：m1=3(舍去)，m2=7．∴m的值为0或7．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，分三种情况求解是解题的关键．34已知二次函数y=mx2-2mx+2(m≠0)在-2≤x≤2时有最小值-2，则m=()A.-4或-12B.4或-12C.-4或12D.4或12【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线x=1，进而分m>0和m<0两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：∵二次函数解析式为y=mx2-2mx+2(m≠0)，∴二次函数对称轴为直线x=-2m-2m=1，当m>0时，∵在-2≤x≤2时有最小值-2，∴当x=1时，y=m-2m+2=-2，∴m=4；当m<0时，∵在-2≤x≤2时有最小值-2，∴当x=-2时，y=4m+4m+2=-2，∴m=-12；综上所述，m=4或m=-1 2，故选：B．35已知二次函数y=-x2-2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值范围是()A.m≥-1B.m≤2C.-3≤m≤-1D.0≤m≤2【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由y=-x2-2x+2=-x+12+3，可得当x=-1时，y取最大值是3，又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，故m≤-1≤m+2，进而计算可以得解．【详解】解：由题意，∵y=-x2-2x+2=-x+12+3，∴当x=-1时，y取最大值是3．又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，∴m≤-1≤m+2．∴-3≤m≤-1．故选：C．【题型08：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关的信息】36已知二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图象如图所示，对称轴为x=32，且经过点-1,0，下列结论：①ab<0；②8b-3c=0；③若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．由对称轴为x =32即可判断①，由抛物线经过点-1,0 ，得出a -b +c =0，对称轴x =-b 2a =32，得出a =-13b ，代入即可判断②；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断③．【详解】解：∵对称轴x =-b 2a =32，∴b =-3a ，∴ab =-3a 2<0，①正确；∵经过点-1,0 ，∴a -b +c =0，∵对称轴x =-b 2a =32，∴a =-13b ，∴-13b -b +c =0，∴3c =4b ，∴4b -3c =0，故②错误；∵对称轴x =32，∴点0,c 的对称点为3,c ，∵开口向上，∴y ≤c 时，0≤x ≤3．故③正确；综上所述，正确的有2个．故选：C ．37二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示，下列结论错误的是()A.y有最小值B.当-1<x<2时，y<0C.a+b+c>0D.当x<-1时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】本题考查了抛物线的图像及其性质，根据性质，结合图像判断解答即可.【详解】解：A、由图像可知函数有最小值，故正确；B、由抛物线可知当-1<x<2时，y<0，故正确；C、当x=1时，y<0，即a+b+c<0，故错误；D、由图像可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确.故选：C.38二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴左侧交点为-1,0，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc>0；②3a+c>0；③a+c2-b2<0；④a+b≤m am+b(m为实数)．其中结论正确的为()A.①④B.②③④C.①②④D.①②③④【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线开口方向，对称轴位置，以及与y轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得到b=-2a，再结合当x=-1时，y= 0，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论．【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在负半轴，∴a>0，a、b异号，c<0，∴b<0，∴abc>0，①结论正确；∵抛物线对称轴是直线x=1，=1，∴-b2a∴b=-2a，由图象可知，当x=-1时，y=0，∴a-b+c=a--2a+c=3a+c=0，②结论错误；由图象可知，当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，又∵a-b+c=0，∴a+ca+c-b=0，③结论错误；2-b2=a+c+b∵当x=1时，y=a+b+c为最小值，∴a+b+c≤am2+bm+c，∴a+b≤m am+b，④结论正确，故选：A．39已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.abc>0B.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=-2，x2=3C.a+b=c-bD.a+4b=3c【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象先判定a,b,c的符号，再结合对称轴求解抛物线与x轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可．【详解】解：由函数图像可知开口向下，与y轴交于正半轴，∴a<0，c>0，∵对称轴为x=-b=1，2a∴b>0，∴abc <0，故A 不符合题意；∵抛物线与x 轴交于3,0 ，对称轴为直线x =1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为-1,0 ，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是x 1=-1，x 2=3；故B 不符合题意；∵抛物线与x 轴交于3,0 ，-1,0 ，对称轴为直线x =1，∴b =-2aa -b +c =09a +3b +c =0，解得：b =-2ac =-3a ，∴∵a +b =a -2a =-a ，c -b =-3a --2a =-a ∴a +b =c -b ，故C 符合题意；∴a +4b =a +-8a =-7a ≠-9a ；∴a +4b =3c 错误，故D 不符合题意；故选：C ．40如图，二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的图象与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线x =1，下列四个结论：①bc <0；②3a +2c <0；③ax 2+bx ≥a +b ；④若-2<c <-1，则-83<a +b +c <-43，其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出c =-3a ，进一步得到13<a <23，又根据b =-2a 得到a +b +c =a -2a -3a =-4a ，即可判断④.【详解】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a >0；∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴b <0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴bc>0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，∴-b2a=1，∵b=-2a，∴x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0，故②正确；③∵对称轴为直线x=1，a>0，∴y=a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c，∴ax2+bx≥a+b，故③正确；④∵-2<c<-1，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x1x2=-1×3=-3=c a，∴c=-3a，∴-2<-3a<-1，∴1 3<a<23，∵b=-2a，∴a+b+c=a-2a-3a=-4a，∴-83<a+b+c<-43，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C【题型09：二次函数的平移变换】41将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为()A.y=2(x+3)2-4B.y=2(x+3)2-2C.y=2(x-1)2-2D.y=2x-1【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的抛物线解析式是：y=2 (x+1-2)2-3+1，即y=2(x-1)2-2．故选：C．42将抛物线y=-3x2+2向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为()A.y=-3(x-1)2-3B.y=-3(x-1)2-1C.y=-3(x+1)2-3D.y=-3(x+1)2-1【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=-3x2+2向左平移1个单位所得直线解析式为：y=-3(x+1)2+2；再向下平移3个单位为：y=-3(x+1)2+2-3，即y=-3(x+1)2-1．故选：D．【题型10：二次函数交点的个数问题】43如图所示，已知函数y1=x2x≤28xx>2的图象与一次函数y2=x+b的图象有三个交点，则b的取值范围是()A.-14≤b≤2 B.b>-14C.-14≤b<2 D.-14<b<2【答案】D【分析】此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式，首先根据题意画出图象，然后求出A2,4，代入y2=x+b求出b=2；然后得到当一次函数y2=x+b的图象与y=x2相切时，得到x2-x-b=0的Δ=b2-4ac=0，进而求出b=-14，然后根据图象求解即可．【详解】解：如图所示，当x=2时，函数y=x2=22=4，∴A2,4，当一次函数y2=x+b的图象经过点A时，∴4=2+b，解得b=2；当一次函数y2=x+b的图象与y=x2相切时，∴x2=x+b，即x2-x-b=0，∴Δ=b2-4ac=0，∴-12-4×1×-b=0，解得b=-1 4，∴由图象可得，当-14<b<2时，函数y1=x2x≤28xx>2的图象与一次函数y2=x+b的图象有三个交点．故选：D．44如图，二次函数y=-x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是()A.14<m<-3 B.254<m≤1 C.-2<m<1 D.-3<m<-2【答案】D【分析】如图所示，过点B作直线y=x+m，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解【详解】解：在y=-x2+x+2中，当y=0，0=-x2+x+2，解得x1=-1，x2=2，A-1,0，B2,0，当x=0时，y=2，∴原抛物线与y轴交点坐标为0,2，∴翻折后与y轴的交点坐标为0,-2，如图，当直线y=x+m经过点B时，直线y=x+m与新图有3个交点，把B2,0代入y=x+m中，得m=-2，∵抛物线y=-x2+x+2翻折到x轴下方的部分的解析式为：-y=-x2+x+2，∴翻折后的部分解析式为：y=x2-x-2-1<x<2，当直线y=x+m与抛物线y=x2-x-2-1<x<2只有一个交点C时，直线y=x+m与图象有3个交点，把y=x+m代入y=x2-x-2-1<x<2中，得到方程x+m=x2-x-2有两个相等的实数根，整理得x2-2x-2-m=0，∴Δ=-22-4×1×-2-m=0，解得m=-3，∴当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是-3<m<-2．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键．45抛物线y=-x2+kx+k-54与x轴的一个交点为A(m,0)，若-2≤m≤1，则实数k的取值范围是()A.-214≤k≤1 B.k≤-214或k≥1 C.-5≤k≤98D.k≤-5或k≥98【答案】B【分析】根据抛物线有交点，则-x2+kx+k-54=0有实数根，得出k≤-5或k≥1，分类讨论，分别求得当x=-2和x=1时k的范围，即可求解．。
初三数学二次函数分类题型及解析[整理版]-12页文档资料
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初三数学二次函数分类题型及解析一．解答题（共10小题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．3．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．4．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．5．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围．6．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？7．某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？8．2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x ≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？9．草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y 与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．10．襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y=．（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．2016年12月09日天津优胜教育二次函数组卷参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0）， 解得：， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．2．（2016•菏泽）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+2过B （﹣2，6），C （2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若直线y=﹣x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x 2﹣x+2．（2）∵y=x 2﹣x+2=（x ﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC 为y=﹣x+4，∴对称轴与BC 的交点H （1，3），∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =•3+•1=3．（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．3．（2016•淄博）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A的坐标为（﹣1，0），∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，∴B点的横坐标为1，当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+2．4．（2016•大连）如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x；（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴当m==时，d 最大===，∴D 点的坐标为（，）． 5．（2016•黔南州）已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象与y 轴交于点C （0，﹣6），与x 轴的一个交点坐标是A （﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）将二次函数的图象沿x 轴向左平移个单位长度，当 y ＜0时，求x 的取值范围．【解答】解：（1）∵把C （0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A （﹣2，0）代入y=x 2+bx ﹣6得：b=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x 2﹣x ﹣6．∴y=（x ﹣）2﹣．∴抛物线的顶点坐标D （，﹣）．（2）二次函数的图形沿x 轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣． 令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x 1=，x 2=﹣．∵a ＞0，∴当y ＜0时，x 的取值范围是﹣＜x ＜． 6．（2016•咸宁）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【解答】解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．（2）设每星期利润为W元，W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．∴x=55时，W最大值=6750．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，当x=52时，销售300+30×8=540，当x=58时，销售300+30×2=360，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．7．（2016•成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【解答】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600﹣5x）（100+x）=﹣5x2+100x+60000=﹣5（x﹣10）2+60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．8．（2016•铜仁市）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y （个）与售价x （元）之间的函数关系（12≤x ≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据题意可知：y=180﹣10（x ﹣12）=﹣10x+300（12≤x ≤30）．（2）设王大伯获得的利润为W ，则W=（x ﹣10）y=﹣10x 2+400x ﹣3000，令W=840，则﹣10x 2+400x ﹣3000=840，解得：x 1=16，x 2=24，答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．（3）∵W=﹣10x 2+400x ﹣3000=﹣10（x ﹣20）2+1000，∵a=﹣10＜0，∴当x=20时，W 取最大值，最大值为1000．答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．9．（2016•云南）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图是y 与x 的函数关系图象．（1）求y 与x 的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．10．（2016•湖北襄阳）襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y=．（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．【解答】解：（1）当40≤x＜60时，W=（x﹣30）（﹣2x+140）=﹣2x2+200x﹣4200，当60≤x≤70时，W=（x﹣30）（﹣x+80）=﹣x2+110x﹣2400；（2）当40≤x＜60时，W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2（x﹣50）2+800，∴当x=50时，W取得最大值，最大值为800万元；当60≤x≤70时，W=﹣x2+110x﹣2400=﹣（x﹣55）2+625，∴当x＞55时，W随x的增大而减小，∴当x=60时，W取得最大值，最大值为：﹣（60﹣55）2+625=600，∵800＞600，∴当x=50时，W取得最大值800，答：该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元；（3）当40≤x＜60时，由W≥750得：﹣2（x﹣50）2+800≥750，解得：45≤x≤55，当60≤x≤70时，W的最大值为600＜750，∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55．希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
(完整)二次函数知识点总结——题型分类总结,推荐文档
二次函数知识点总结——题型分类总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）1、下列函数中，是二次函数的是 .①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ；⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =错误！未定义书签。
； ⑧y=－5x 。
F (4)2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
4、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于的二次函数，则m 的值为 。
x 6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值记忆：如果解析式为顶点式：y=a(x －h)2+k ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为一般式：y=ax 2+bx+c ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为交点式：y=(x-x 1)(x-x 2), 则对称轴为： ，最值为： 。
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ .3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( )A.开口向上，对称轴是y 轴B.开口向下，对称轴是y 轴C.开口向下，对称轴平行于y 轴D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .147．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。
二次函数知识点及例题详解最终
二次函数知识点及例题详解最终文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c （a，b，c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是 2．⑵a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax的性质：2.y ax c 的性质：上加下减。
3.y a x h的性质：左加右减。
4.y a x h k的性质：三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线y ax的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数y a x h k与y ax bx c的比较从解析式上看，y a x h k与y ax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y a(x+b2a )24ac− b24a，其中h= -b2a，k4ac− b24a五、二次函数y ax bx c 的性质当a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x2a ,顶点坐标为(−b2a,4ac− b24a).当x-b2a时，y随x的增大而减小；当x b2a时，y随x的增大而增大；当x= b2a 时，y有最小值4ac− b24a.当时，抛物线开口向下，对称轴为x-b2a , 顶点坐标为(−b2a,4ac− b24a).当x- b 2a时， y 随 x 的大而增大y;当随 x b 2a时,y 随 x 的增大而减小;当x = b2a时 , y 有最大值4ac − b 24a.六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax bx c（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：y a(x h)k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式（交点式）：y a(x x)(x x)（a0，x，x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴当a 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵当a 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为0对称轴为y轴）3.常数项c⑴当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax bx c 0 是二次函数y ax bx c 当函数值y 0 时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当b 4ac 0 时，图象与x 轴交于两点Ax1，0，B x2，0(x1x2) ，其中的x1，x 2是一元二次方程ax bx c 0a 0的两根．②当 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2 ' 当a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 ．2.抛物线y ax bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1. 二次函数解析式的确定例 1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得{3=a −b +c3=a +b +c 6=4a +2b +c 解得 {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8, ∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2, ∴解析式为 y=2x 2-4x-6. 解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.∴4a (−3a )−(2a)24a=-8.又∵a≠0,∴a=2.∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x -x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2). 2. 二次函数的图象例 2 y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知: 抛物线开口向上 a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 c 0b bc>0. 对称轴x2a在y 轴右侧 b 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是(). 分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:开口上下决定a 的正负左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号与a 的符号相同;)来判别b 的符号抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定2 直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D. 3. 二次函数的性质例 4 对于反比例函数 y=- 2x与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1); 不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命 题的热点.4. 二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足x 12+x 2=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.2 2 ∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k. ∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1. ∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称, ∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n2=m 2+m 2. ∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0. ∵P 、Q 是抛物上不同的点, ∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0. ∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数 y x 24x 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线 y 2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y 2(x 1)2B. y 2(x 1)2C. y 2x2 1D. y 2x2 13.函数y kx2 k 和y k(k 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x4.已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当x1和x 3时,函数值相等;③4a b 0 ④当y 2时, x 的值只能取 0.其中正确的个数是( )个个 C. 3 个个5.已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标（-1，）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程ax2 bx c 0 的两个根分别是x1和x2（）Ａ．已知二次函数y ax2 bx c 的图象如图所示，则点(ac, bc) 在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2x x2=2x的正根的个数为（）个个个. 3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y x2 x 2B. y x2 x 2C. y x2 x 2 或y x2 x 2D. y x2 x 2 或y x2 x 2二、填空题9．二次函数y x2 bx 3 的对称轴是x 2 ，则b 。
二次函数知识点总复习附解析
二次函数知识点总复习附解析
一、定义
二次函数是由一元二次多项式表示的函数，它的形式为：
f(x)=ax2+bx+c（a≠0）。
这个函数的曲线是一条开口向上的抛物线，其
图像上的点满足二次恒定关系。
二、二次函数的性质
1、图像的形状：当a>0，抛物线的顶点是变量x的最小值；当a<0，
抛物线的顶点是变量x的最大值。
2、顶点：顶点的坐标是（-b/2a，f(-b/2a）），即（x,y）=（-b/2a，c-b^2/4a）。
3、极值：若a>0，则抛物线的变量x的最小值是顶点，即最大值是
f(-b/2a）；若a<0，则抛物线的变量x的最大值是顶点，即最小值是f(-
b/2a）。
4、求根：二次函数的根是-b±√（b^2—4ac）/2a，可能有0个、1
个或2个，具体情况取决于b^2—4ac的值。
5、无穷极：抛物线的两条边都是x轴，因此抛物线的两条边都是x
轴的无穷极。
三、二次函数的应用
1、力学中的抛物线：物体受重力的作用，经过其中一点后抛出的轨
迹是抛物线，由于重力加速度的恒定性，即可用抛物线方程表示物体的轨迹。
2、统计学中的回归曲线：在一些情况下，其中一个自变量与其中一应变量之间存在着一种最佳拟合的抛物线，这种抛物线就是统计学中的回归曲线，抛物线方程数学表示就是二次函数。
(完整版)二次函数知识点及经典例题详解最终
二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值0 ．a < 0向下(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值0 ．2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值c ．a < 0向下(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值c ．3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4.y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ，k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y = a +，其中h= - ，k=(b2a )24ac - b 24ab2a 4ac - b 24a 五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.b2a (‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)当x < - 时，y 随x 的增大而减小；b2a当x > - 时，y 随x 的增大而增大；b2a 当x =- 时，y 有最小值 .b 2a 4ac ‒ b 24a 2. 当α<0时，抛物线开口向下，对称轴为x =- , 顶点坐标为.当b2a(‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)x < -时， y 随 x 的大而增大y;当随 x > - 时,y 随 x 的增大而减小;当x =- 时 , y 有最大值.b2ab 2a b 2a 4ac ‒ b 24a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2.顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3.两根式（交点式）： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a ⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当 ∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x 1 ，0)，B (x 2 ，0 ) (x 1 ≠ x 2 ) ，其中的 x 1 ，x 2是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．②当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例 1求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得 {3=a ‒b +c 3=a +b +c 6=4a +2b +c {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴ =-8.4a (‒3a )‒(2a)24a又∵a≠0,∴a=2.⎬∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x-x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2).2.二次函数的图象例 2y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上⇒ a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 ⇒ c < 0b ⇒ bc>0.对称轴x = - 2a 在y 轴右侧 ⇒ b < 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标o系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:⎧开口上下决定a 的正负⎪左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号⎪⎨与a 的符号相同;)来判别b 的符号⎪抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定⎪⎩c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3.二次函数的性质例 4对于反比例函数 y=-与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:2x ①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函2数开放性题目是近几年命题的热点.4.二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x 12+x 2=-2k 2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k.∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1.∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.22②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称,∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n 2=m 2+m 2.∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0.∵P 、Q 是抛物上不同的点,∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0.∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y = x 2- 4x - 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线 y = -2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y = -2(x +1)2B. y = -2(x -1)2C. y = -2x 2+1D. y = -2x 2-13.函数 y = kx 2- k 和 y = k(k ≠ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;② 当 x = 1和 x = 3时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的两个根分别是 x 1 = 1.3和x 2 =（）Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.方程 2x - x 2= 的正根的个数为（）2xA.0 个B.1 个C.2 个.3个08.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2B. y = -x 2+ x + 2C. y = x 2- x - 2 或 y = -x 2+ x + 2 D. y = -x 2- x - 2 或 y = x 2+ x + 2二、填空题9．二次函数 y = x 2+ bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b = 。
初中数学二次函数真题汇编附答案
<x
0
<
1 2
D．
1 2
<x
0
<1
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意推断方程 x3+2x-1=0 的实根是函数 y=x2+2 与 y 1 的图象交点的横坐标，再根 x
据四个选项中 x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例 函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程 x3+2x-1=0 的实根 x 所在范围． 【详解】
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】 【分析】 分点 P 在 AB 边和 BC 边上两种情况画出图形，分别求出 y 关于 x 的函数关系式，再结合其 取值范围和图象的性质判断即可. 【详解】
解：当点 P 在 AB 边上，即 0 x 8 时，如图 1，由题意得：AP=BQ=x，∠ABD=45°，∴
其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
3．在抛物线 y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线 y＝﹣ 1 x 的图象上有三点（x1，m）、 2
（x2，m）、（x3，m），则 x1+x2+x3 的结果是（ ）
A． 3 m 1
B．0
22
C．1
D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．
∴m＝﹣ 1 x1， 2
∴x1＝﹣2m， ∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2， 故选：D．
【点睛】 本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结 合思想画出函数图形．
初中数学《二次函数》十大题型汇编含解析
二次函数【十大题型】【题型1 辨别二次函数】 (1)【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 (3)【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】 (4)【题型4 二次函数的一般形式】 (6)【题型5 求二次函数的值】 (7)【题型6 判断函数关系】 (9)【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】 (11)【题型8 列二次函数关系式(增长率)】 (14)【题型9 列二次函数关系式(循环)】 (15)【题型10 列二次函数关系式(销售)】 (16)知识点1：二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．【题型1 辨别二次函数】【例1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，yy一定是xx的二次函数的是（）A．yy=2aaxx2B．yy=2xx+aa2C．yy=2xx2−1D．yy=xx2+1xx【答案】C【分析】本题考查二次函数的识别，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．【详解】解：A，当aa=0时，yy=2aaxx2=0，不是二次函数，不合题意；B，yy=2xx+aa2，yy是xx的一次函数，不合题意；C，yy=2xx2−1，yy一定是xx的二次函数，符合题意；D，yy=xx2+1xx中含有分式，不是二次函数，不合题意；故选C．【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（）A．yy=2xx−1B．yy=√xx2−1C．yy=xx2−1D．yy=12xx【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如yy=aaxx2+bbxx+cc （aa、b、c为常数，aa≠0）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A、函数yy=2xx−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、函数yy=√xx2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、函数yy=xx2−1是二次函数，故本选项符合题意；D、函数yy=12xx分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：C．【变式1-2】（23-24九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（）（1）yy=3(xx−1)2+1；（2）yy=1xx2−xx；（3）SS=3−2tt2；（4）yy=xx4+2xx2−1；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2；（6）yy=mmxx2+8．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．【详解】解：（1）yy=3(xx−1)2+1是二次函数，故符合题意；（2）yy=1xx2−xx，不是二次函数，故不符合题意；（3）SS=3−2tt2是二次函数，故符合题意；（4）yy=xx4+2xx2−1不是二次函数，故不符合题意；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2=6xx不是二次函数，故不符合题意；（6）yy=mmxx2+8，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；综上所述，二次函数有2个．故选：B．【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①yy=5xx−5；②yy=3xx2−1；③yy=4xx3−3xx2；④yy=2xx2−2xx+1；⑤yy=1xx2．其中是二次函数的是．【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①yy=5xx−5为一次函数；②yy=3xx2−1为二次函数；③yy=4xx3−3xx3自变量次数为3，不是二次函数；④yy=2xx2−2xx+1为二次函数；⑤yy=1xx2函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．【题型2 由二次函数的定义求字母的值】【例2】（23-24九年级下·广东东莞·期中）已知函数yy=(mm−1)xx mm2+1是二次函数，则mm=．【答案】−1【分析】根据定义得：形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa、bb、cc是常数，且aa≠0)的函数是二次函数，列方程可求得答案．【详解】解：依题意得：mm2+1=2且mm−1≠0，解得mm=−1．故答案为：−1．【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc中，aa是常数，本题关键点为aa≠0．【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果yy=2xx|mm|+3xx−1是关于xx的二次函数，则mm=．【答案】±2【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义得出答案．【详解】解：∵yy=2xx|mm|+3xx−1是关于x的二次函数，∴|mm|=2，解得：mm=±2．故答案为：±2．【变式2-2】（23-24九年级上·湖北·周测）如果函数yy=(kk−1)xx kk2−kk+2+kkxx−1是关于x的二次函数，则kk=．【答案】0【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到kk−1≠0且kk2−kk+2=2，然后解不等式和方程即可得到k的值．【详解】解：根据题意，得kk−1≠0且kk2−kk+2=2，解得kk=0．故答案为：0．【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州·期末）如果yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是．【答案】敏敏【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得|kk−1|=2，kk−3≠0，即可求解；理解定义：“一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc（a、b、c是常数，aa≠0）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键．【详解】解：∵yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，∴|kk−1|=2，解得kk1=3，kk2=−1，又∵kk−3≠0，即kk≠3，∴kk=−1，故敏敏正确．【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数yy=(kk−1)xx2+kkxx−1（kk是常数）是二次函数，那么kk的取值范围是．【答案】kk≠1【分析】根据：“形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)，这样的函数叫做二次函数”，得到kk−1≠0，即可．【详解】解：由题意，得：kk−1≠0，∴kk≠1；故答案为：kk≠1．【变式3-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数yy=(mm2−mm)xx2+(mm−1)xx−2（m为常数）．(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．【答案】(1)mm=0；(2)mm≠1且mm≠0．【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题．【详解】（1）解：依题意mm2−mm=0且mm−1≠0，所以mm=0；（2）解：依题意mm2−mm≠0，所以mm≠1且mm≠0．【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．【变式3-2】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，则aa的取值范围是（）A．aa≠1B．aa≠−1C．aa≠±1D．为任意实数【答案】C【分析】根据二次函数定义可得aa2−1≠0，解出答案即可．【详解】因为关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，∴aa2−1≠0，解得：aa≠±1．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)概念，熟练掌握二次函数定义是解题关键．【变式3-3】（23-24九年级下·四川遂宁·期中）已知函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8．若这个函数是二次函数，求mm的取值范围【答案】mm≠√2且mm≠-√2【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式mm2-2≠0，解不等式即可求得．【详解】解：∵函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8是二次函数，∴mm2-2≠0，解得mm≠±√2，故答案为：mm≠√2且mm≠-√2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．【题型4 二次函数的一般形式】【例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数yy=xx2−3xx+5的二次项是，一次项系数是，常数项是．【答案】xx2−3 5【分析】根据二次函数的定义判断即可。
初中数学二次函数知识点总结
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中考复习专题二次函数分类讲解复习以及练习题含答案
1、二次函数的定义定义： y=ax2 ＋ bx ＋ c a 、 b 、 c 是常数, a ≠ 0 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式练习：1、y=-x2,y=2x2-2/x,y=100-5 x2,y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个;2.当m_______时,函数y=m+1χ - 2χ+1 是二次函数2、二次函数的图像及性质例2：已知二次函数1求抛物线开口方向,对称轴和顶点M 的坐标;2设抛物线与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点,求C,A,B 的坐标;抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值y=ax2+bx+ca>0y=ax 2+bx+ca<0由a,b 和c 的符号确定由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上a<0,开口向下在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=直线abx 2-=直线23212-+=x x y3x为何值时,y随的增大而减少,x为何值时,y有最大小值,这个最大小值是多少4x为何值时,y<0x为何值时,y>03、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点,通常设解析式为________________y=ax2+bx+ca≠02,顶点式：已知抛物线顶点坐标h, k,通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.y=ax-h2+ka≠03,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点x1,0、x2,0,通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=ax-x1x-x2 a≠0练习：根据下列条件,求二次函数的解析式;1、图象经过0,0, 1,-2 , 2,3 三点；2、图象的顶点2,3, 且经过点3,1 ；3、图象经过0,0, 12,0 ,且最高点的纵坐标是3 ;例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点3,-6;求a、b、c;解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时,x=1∴顶点坐标为 1 , 2∴设二次函数的解析式为y=ax-12+2又∵图象经过点3,-6∴-6=a 3-12+2 ∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2x-12+2即： y=-2x2+4x4、a,b,c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：1a的符号：由抛物线的开口方向确定2C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.3b的符号：由对称轴的位置确定4b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定5a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时,对应的y值决定;当x=1时,y>0,则a+b+c>0当x=1时,y<0,则a+b+c<0当x=1时,y=0,则a+b+c=06a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时,对应的y值决定;当x=-1,y>0,则a-b+c>0当x=-1,y<0,则a-b+c<0当x=-1,y=0,则a-b+c=0练习１、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c的符号为A、a<0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<02、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c的符号为A、a>0,b>0,c=0B、a<0,b>0,c=0C、a<0,b<0,c<0D、a>0,b<0,c=03、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c 、△的符号为A、a>0,b=0,c>0,△>0B、a<0,b>0,c<0,△=0C、a>0,b=0,c<0,△>0D、a<0,b=0,c<0,△<0熟练掌握a,b, c,△与抛物线图象的关系上正、下负左同、右异4.抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象经过原点和二、三、四象限,判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.5.抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象经过原点,且它的顶点在第三象限,则a、b、c满足的条件是：a 0,b 0,c 0.6.二次函数y=ax2+bx+c中,如果a>0,b<0,c<0,那么这个二次函数图象的顶点必在第象限先根据题目的要求画出函数的草图,再根据图象以及性质确定结果数形结合的思想7.已知二次函数的图像如图所示,下列结论;⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是A 1个B 2个C 3个D 4个要点：寻求思路时,要着重观察抛物线的开口方向,对称轴,顶点的位置,抛物线与x轴、y轴的交点的位置,注意运用数形结合的思想;5、抛物线的平移左加右减,上加下减 练习⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x-32的图象; ⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到函数y=2x+12+2的图象;引申：3由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+66二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b2-4ac 的关系我们知道:代数式b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.二次函数y=ax2＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标,便是对应的一元二次方程ax2＋bx ＋c=0的解;二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: 1有两个交点b2 – 4ac > 0 2有一个交点b2 – 4ac= 0 3没有交点 b2 – 4ac< 0若抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有交点,则b2 – 4ac ≥0例1如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有＿＿＿＿个交点.2已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=＿＿＿＿.y=x 24125(2--=x y .2422,1aacb b x -±-=∴3一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.7二次函数的综合运用1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同a=1或-1又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为1,5或1,-5所以其解析式为:1 y=x-12+52 y=x-12-53 y=-x-12+54 y=-x-12-5 展开成一般式即可.2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是-2,0,求原抛物线的解析式. 分析:1由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过1,0 2 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线练习题1．直线y ＝3 x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限,则k 的范围是………………A k ＜31 B 31＜k ＜1 C k ＞1 D k ＞1或k ＜1 提示由⎩⎨⎧-=-=k x y x y 13,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.23121k y k x 因点在第四象限,故21k -＞0,231k -＜0．∴ 31＜k ＜1．答案B ．点评本题应用了两函数图象交点坐标的求法,结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图,则下列各式中成立的个数是…………1abc ＜0； 2a ＋b ＋c ＜0； 3a ＋c ＞b ； 4a ＜－2b ． A1 B2 C3 D4 提示由图象知a ＜0,－ab2＞0,故b ＞0,而c ＞0,则abc ＜0．当x ＝1时,y ＞0,即a ＋c －b ＞0；当x ＝－1时,y ＜0,即a ＋c －b ＜0． 答案B ．点评本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系．因a ＜0,把4a ＜－2b 两边同除以a ,得1＞－ab 2,即－a b 2＜1,所以4是正确的；也可以根据对称轴在x ＝1的左侧,判断出－a b 2＜1,两边同时乘a ,得a ＜－2b ,知4是正确的．3．若一元二次方程x 2－2 x －m ＝0无实数根,则一次函数y ＝m ＋1x ＋m －1的图象不经过………………………………………………………………………………… A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限提示由＝4＋4 m ＜0,得m ＋1＜0,则m －1＜0,直线过第二、三、四象限． 答案A ．点评本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质．注意,题中问的是一次函数图象不经过的象限．4．如图,已知A ,B 是反比例函数y ＝x2的图象上两点,设矩形APOQ 与矩形MONB 的面积为S 1,S 2,则……………………………………………………………… A S 1＝S 2 B S 1＞S 2 C S 1＜S 2 D 上述A 、B 、C 都可能 提示因为S APOQ ＝|k |＝2,S MONB ＝2,故S 1＝S 2． 答案A ．点评本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线,由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k |．5．若点A 1,y 1,B 2,y 2,C ,y 3在反比例函数y ＝－xk 12＋的图象上,则A y 1＝y 2＝y 3B y 1＜y 2＜y 3C y 1＞y 2＞y 3D y 1＞y 3＞y 2提示因－k 2＋1＜0,且－k 2＋1＝y 1＝2 y 2＝y 3,故y 1＜y 2＜y 3．或用图象法求解,因－k 2＋1＜0,且x 都大于0,取第四象限的一个分支,找到在y 轴负半轴上y 1,y 2,y 3 的相应位置即可判定． 答案B ．点评本题是反比例函数图象的性质的应用,图象法是最常用的方法．在分析时应注意本题中的－k 2＋1＜0．6．直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是……A B C D提示两个解析式的常数项都为c ,表明图象交于y 轴上的同一点,排除A,B ．再从a 的大小去判断． 答案D ．点评本题综合运用了一次函数、二次函数的性质．B 错误的原因是由抛物线开口向上,知a ＞0,此时直线必过第一、三象限．7．已知函数y ＝x 2－1840 x ＋1997与x 轴的交点是m ,0n ,0,则m 2－1841 m ＋1997n 2－1841 n ＋1997的值是…………………………………………… A1997 B1840 C1984 D1897提示抛物线与x 轴交于m ,0n ,0,则m ,n 是一元二次方程x 2－1840 x ＋1997＝0的两个根．所以m 2－1840 m ＋1997＝0,n 2－1840 n ＋1997＝0,mn ＝1997．原式＝m 2－1840 m ＋1997－mn 2－1840 n ＋1997－n ＝mn ＝1997． 答案A ．点评本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系,应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点,并要灵活地把所求代数式进行适当的变形． 8．某乡的粮食总产量为aa 为常数吨,设这个乡平均每人占有粮食为y 吨,人口数为x ,则y 与x 之间的函数关系为……………………………………………A B C D 提示粮食总产量一定,则人均占有粮食与人口数成反比,即y ＝xa．又因为人口数不为负数,故图象只能是第一象限内的一个分支． 答案D ．点评本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用．A 错在画出了x ＜0时的图象,而本题中x 不可能小于0． 二填空题每小题4分,共32分9．函数y ＝12-x ＋11-x 的自变量x 的取值范围是____________． 提示由2 x －1≥0,得x ≥21；又x －1≠0,x ≠1．综合可确定x 的取值范围．答案x ≥21,且x ≠1．10．若点Pa －b ,a 位于第二象限,那么点Qa ＋3,ab 位于第_______象限． 提示由题意得a ＞0,a －b ＜0,则b ＞0．故a ＋3＞0,ab ＞0． 答案一．11．正比例函数y ＝kk ＋112--k k x 的图象过第________象限．提示由题意得k 2－k －1＝1,解得k 1＝2,k 2＝－1舍去,则函数为y ＝6 x ． 答案一、三．点评注意求出的k ＝－1使比例系数为0,应舍去．12．已知函数y ＝x 2－2m ＋4x ＋m 2－10与x 轴的两个交点间的距离为22,则m ＝___________．提示抛物线与x 轴两交点间距离可应用公式||a ∆来求．本题有∆＝)10(4)42(22--+m m ＝5616+m ＝22,故m ＝－3． 答案－3．点评抛物线与x 轴两交点间距离的公式为||a ∆,它有着广泛的应用．13．反比例函数y ＝xk的图象过点Pm ,n ,其中m ,n 是一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两个根,那么P 点坐标是_____________．提示Pm ,n 在双曲线上,则k ＝xy ＝mn ,又mn ＝4,故k ＝4． 答案－2,－2．点评本题是反比例函数、一元二次方程知识的综合应用．由题意得出k ＝mn ＝4是关键．14．若一次函数y ＝kx ＋b 的自变量x 的取值范围是－2≤x ≤6,相应函数值y 的范围是－11≤y ≤9,则函数解析式是___________．提示当k ＞0时,有⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 69211,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.625b k当k ＜0时,有⎩⎨⎧+-=+=-b k b k 29611,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.425b k答案y ＝25x －6或y ＝－25x ＋4．点评因k 是待定字母,而k 的不同取值,导致线段分布象限不一样,自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同．故本例要分k ＞0时自变量最大值对应函数最大值,与k ＜0时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论． 15．公民的月收入超过800元时,超过部分须依法缴纳个人收入调节税,当超过部分不足500元时,税率即所纳税款占超过部分的百分数相同．某人本月收入1260元,纳税23元,由此可得所纳税款y 元与此人月收入x 元(800＜x ＜1300)间的函数关系为____________． 提示因1260－800＝460,46023＝5%,故在800＜x ＜1300时的税率为5%． 答案y ＝5%x －800．点评本题是与实际问题相关的函数关系式,解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税,而是超过800元的部分才纳税,故列函数式时月收入x 须减去800． 16．某种火箭的飞机高度h 米与发射后飞行的时间t 秒之间的函数关系式是h ＝－10 t 2＋20 t ,经过_________秒,火箭发射后又回到地面．提示火箭返回地面,即指飞行高度为0,则－10 t 2＋20 t ＝0,故t ＝0或t ＝20． 答案20．点评注意：t ＝0应舍去的原因是此时火箭虽在地面,但未发射,而不是返回地面． 三解答题17．6分已知y ＝y 1＋y 2,y 1 与x 成正比例,y 2 与x 成反比例,并且x ＝1时y ＝4,x ＝2时y ＝5,求当x ＝4时y 的值．解设y 1＝k 1x ,y 2＝xk 2,则y ＝k 1x ＋xk 2．把x ＝1时y ＝4,x ＝2时y ＝5分别代入上式,得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22542121k k k k ,解得∴ 函数解析式为y ＝2 x ＋x 2． 当x ＝4时,y ＝2×4＋42＝217．∴ 所求的y 值为217．点评本题考查用待定系数法求函数解析式．关键在于正确设出y 1,y 2 与x 的函数解析式．注意两个比例系数应分别用k 1,k 2 表示出来,而不能仅用一个k 值表示．18．6分若函数y ＝kx 2＋2k ＋1x ＋k －1与x 轴只有一个交点,求k 的值． 提示本题要分k ＝0,k ≠0两种情况讨论．解当k ＝0时,y ＝2 x －1,是一次函数,此时,直线与x 轴必有一个交点．当k ≠0时,函数为二次函数,此时,＝4k ＋12－4 kk －1＝12 k ＋4＝0．∴ k ＝－31． ∴ 所求的k 值为0或－31． 点评注意,当问题中未指明函数形式,而最高次项系数含字母时,要注意这个系数是否为0．函数图象与x 轴有一个交点包括两种情形：当函数是一次函数时,直线与x 轴必只有一个交点；当函数是二次函数时,在＝0的条件下,图象与x 轴只有一个交点．19．8分已知正比例函数y ＝4 x ,反比例函数y ＝xk．1当k 为何值时,这两个函数的图象有两个交点k 为何值时,这两个函数的图象没有交点2这两个函数的图象能否只有一个交点若有,求出这个交点坐标；若没有,请说明理由． 解由y ＝4 x 和y ＝xk ,得 4 x 2－k ＝0,＝16 k ．1当＞0,即k ＞0时,两函数图象有两个交点；当＜0,即k ＜0时,两函数图象没有交点；2∵ 比例系数k ≠0,故≠0．∴ 两函数图象不可能只有一个交点．20．8分如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图,横断面的地平线为x 轴,横断面的对称轴为y 轴,桥拱的D ′GD 部分为一段抛物线,顶点G 的高度为8米,AD 和AD ′是两侧高为米的立柱,OA 和OA ′为两个方向的汽车通行区,宽都为15米,线段CD 和CD ′为两段对称的上桥斜坡,其坡度为1∶4．1求桥拱DGD ′所在抛物线的解析式及CC ′的长．2BE 和B ′E ′为支撑斜坡的立柱,其高都为4米,相应的AB 和A ′B ′为两个方向的行人及非机动车通行区,试求AB 和A ′B ′的宽．3按规定,汽车通过桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不可小于米,今有一大型运货汽车,装载上大型设备后,其宽为4米,车载大型设备的顶部与地面的距离为7米,它能否从OAOA ′安全通过请说明理由．分析欲求函数的解析式,关键是求出三个独立的点的坐标,然后由待定系数法求之．所以关键是由题中线段的长度计算出D 、G 、D ′的坐标,当然也可由对称轴x ＝0解之．至于求CC ′、AB 、A ′B ′的数值,则关键是由坡度的定义求解之；到底能否安全通过,则只需在抛物线的解析式中令x ＝4,求出相应的y 值,即可作出明确的判断．解1由题意和抛物线的对称轴是x ＝0,可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ．由题意得G 0,8,D 15,∴ ⎩⎨⎧=+=.5.52258c a c∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8901c a∴ y ＝2901x -＋8．又 AC AD ＝41且AD ＝, ∴ AC ＝×4＝22米．∴ CC ′＝2C ＝2×OA ＋AC ＝2×15＋22＝74米．∴ CC ′的长是74米．2∵ BC EB ＝41,BE ＝4, ∴ BC ＝16．∴ AB ＝AC －BC ＝22－16＝6米．A ′B ′＝AB ＝6米．3此大型货车可以从OAOA ′区域安全通过．在y ＝2901x -＋8中,当x ＝4时,y ＝－901×16＋8＝45377,而 45377－7＋＝4519＞0, ∴ 可以从OA 区域安全通过． 21．8分已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象抛物线G 经过－5,0,0,25,1,6三点,直线l 的解析式为y ＝2 x －3．1求抛物线G 的函数解析式；2求证抛物线G 与直线l 无公共点；3若与l 平行的直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点P ,求P 点的坐标．分析1略；2要证抛物线G 与直线l 无公共点,就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；3直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点,就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解,求出这组解,就得P 点的坐标．解1∵ 抛物线G 通过－5,0,0,25,1,6三点, ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==--=cb ac c b a 6255250,解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.25321c b a∴ 抛物线G 的解析式为y ＝21x 2＋3 x ＋25． 2由⎪⎩⎪⎨⎧++=-=25321322x x y x y , 消去y ,得21x 2＋x ＋211＝0, ∵ ＝12－4×21×211＝－10＜0, ∴ 方程无实根,即抛物线G 与直线l 无公共点．3由⎪⎩⎪⎨⎧++=+=2532122x x y m x y ,消去y ,得21x 2＋x ＋25－m ＝0． ① ∵ 抛物线G 与直线y ＝2 x ＋m 只有一个公共点P ,∴ ＝12－4×21×25－m ＝0． 解得m ＝2． 把m ＝2代入方程①,解得x ＝－1． 把x ＝－1代入y ＝21x 2＋3 x ＋25,得y ＝0． ∴ P －1,0．点评本题综合运用了二次函数解析式的求法．抛物线与直线的交点等知识,其关键是把函数问题灵活转化为方程知识求解．。
二次函数应用题分类与解析
二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。
解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。
例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。
根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式为1x 53x 101y 2++=（2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2++-=（3）由（2）465)25x (10x 5x S 22+--=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。
二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。
解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。
物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。
市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。
在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。
设销售单价为x 元，日均获利为y 元。
2022年中考数学试题汇编：二次函数(解答题)(含解析)
2022年中考数学试题汇编：二次函数（解答题）1．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？2．（2022•盘锦）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：x（天）123 (x)每天的销售量（千克）101214…设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如上图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）（1）将表格中的最后一列补充完整；（2）求y关于x的函数关系式；（3）求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？3．（2022•营口）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：售价（元/本）……22232425……每天销售量（本）……80787674……（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？4．（2022•贵阳）已知二次函数y＝ax2+4ax+b．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．5．（2022•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为为物线上一动点．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，作PE⊥x 轴，垂足为E，交AB于点F，设△PDF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当＝时，求点P坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．6．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D 沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．7．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，9），点D在y轴正半轴上，OD＝4，点P是线段OB上的一点，过点B作BE⊥DP，BE交DP的延长线于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若＝，求点P的坐标；（3）点F为第一象限抛物线上一点，在（2）的条件下，当∠FPD＝∠DPO时，求点F 的坐标．8．（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．9．（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E 运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．10．（2022•铜仁市）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于 5.5千元．请解答以下问题：（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？11．（2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：……202224……每千克售价x（元）日销售量y（千……666054……克）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？12．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M ，使△MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长．13．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ），（3，n ）在抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）上，设抛物线的对称轴为x ＝t ．（1）当c ＝2，m ＝n 时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点（x 0，m ）（x 0≠1）在抛物线上．若m ＜n ＜c ，求t 的取值范围及x 0的取值范围．14．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m0 2 5 8 11 14竖直高度y /m20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y ＝a （x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．15．（2022•呼和浩特）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE 是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x 轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．16．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b 经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC 于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接P A，PC，△BAF的面积记为S1，△P AC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；（3）如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．17．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P的坐标．18．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：x…﹣10123…y…430﹣5﹣12…（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图像向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图像，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝，实数k的取值范围是；（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．19．（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？20．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．21．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x 轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？22．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x 轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．23．（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．24．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c 称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．25．（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．26．（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x 取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y＝，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？27．（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．（1）图中点P所表示的实际意义是，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少kg；（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？28．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A 的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．29．（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A （1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．30．（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B 两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．32．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．（1）求b的值；（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．33．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．34．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？35．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．36．（2022•湖北）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：销售单价x（元/千克）…2022.52537.540…销售量y（千克）…3027.52512.510…（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．37．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y 轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．38．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？39．（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．40．（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B 的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．41．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B 两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．42．（2022•荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？43．（2022•河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．44．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？45．（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）第x天12...6...11 (15)150150+m…150+5m…150+10m…150+14m 供应量y1（个）220229...245...220 (164)需求量y2（个）（1）直接写出y1与x和y2与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．46．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．参考答案与试题解析1．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？。
(完整版)人教版初中数学二次函数知识点汇总
二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a b .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 ac x x a bx x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121 13．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根 14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．。
新初中数学二次函数全集汇编及解析(1)
新初中数学二次函数全集汇编及解析(1)一、选择题1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0； ∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2ba->0， 又∵a>0， ∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．2．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．-4【答案】A 【解析】 【分析】分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a 2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a 2=3，由抛物线与x 的交点坐标得到x 2=-a ，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a 2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a 的值． 【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，其顶点坐标为(0，a 2)，而a 2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，a 2=3，而当y=0时，x 2=−a ，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a 2+b=0，所以a=−1； 若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a 2+b=0①；令x=−2，y=0，则4a−2b+a 2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个. 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数y=ax 2+bx +c(a≠0)的图象与系数的关系：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；顶点坐标为(-，)；也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式.3．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度．故选：A．【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc＜0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答．【详解】①由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，∴ab＜0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确．③∵（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c），而x＝0时，y＝c＞0，∴x＝2时，y＝c＞0，∴y＝4a+2b+c＞0，故③正确；④由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．5．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ． 【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．6．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a -b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断． 【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y ＞0， 即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=n 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.7．如图，二次函数()200y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有一个根为1a-，其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1a代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案. 【详解】由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣2ba＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣1a ，把﹣1a代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C. 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.8．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2ba=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案． 【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线；当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数；故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．10．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】 【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得01442b cb c =-+⎧⎨=++⎩解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得1201bb c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键．11．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③13＜a＜23；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④【答案】B【解析】【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出③的正误．【详解】①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间，∴-2＜c＜-1∵-12ba =， ∴b=-2a ，∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴c=-3a ， ∴-2＜-3a ＜-1， ∴13＜a ＜23；故③正确 ④∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴b-c=a ， ∵a ＞0，∴b-c ＞0，即b ＞c ； 故④正确； 故选B ． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．12．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．1y ＜2y ＜3y B ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【答案】C 【解析】 【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可． 【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -， y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --， y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -， ∵-3m -＜m -＜5m -， ∴y 2＜y 1＜y 3． 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．13．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101234…y…1250﹣3﹣4﹣305…给出以下结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣12＜x＜2时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，y1＞y2．上述结论中正确的结论个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；（2）从表格可以看出，当﹣12＜x＜2时，y＜0，符合题意；（3）﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，x2离对称轴远，故错误，不符合题意；故选择：B．【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题解析：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣2ba＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣2ba位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误． 故选C ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．15．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．【详解】 ∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为：(2,−1)，∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C. 【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.16．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ＝2ax +（a+c ）x+c 与一次函数y ＝ax+c 的大致图象．正确的（ ）A ．B ．C ．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．【详解】令ax2+（a+c）x+c=ax+c，解得，x1=0，x2=-ca，∴二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（−ca，0），选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，故选项C不符题意，故选：D．【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．在函数2yx，3y x=+，2y x=的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．【详解】y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函数2y x =符合条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．18．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】试题解析：①由开口向下，可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ， 故①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确； ③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< ……（1） 当1x =时，0y <,即0a b c ++< ……（2） （1）+（2）×2得，630a c +<， 即20a c +<， 又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦所以22().a c b +< 故④正确，综上可知，正确的结论有2个. 故选B ．19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断． 【详解】解：Q 抛物线开口向下，0a ∴<，Q 对称轴12bx a=-=， 0b ∴>，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；Q 抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故②正确；Q 对称轴12bx a=-=， 2a b ∴=-，20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．20．平移抛物线y ＝﹣（x ﹣1）（x +3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（ ）A．向左平移1个单位B．向上平移3个单位C．向右平移3个单位D．向下平移3个单位【答案】B【解析】【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解：y＝﹣（x﹣1）（x+3）=-（x+1）2+4A、向左平移1个单位后的解析式为：y＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；B、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；C、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；D、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.。
二次函数知识点总结初中数学
二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c (a ≠0)的图象与性质要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b =0，则y=ax 2+c ； 若c =0，则y=ax 2+bx ； 若b=c =0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax 2（a ≠0）；②y=ax 2+k （a ≠0）；③y=a(x-h)2（a ≠0）；④y=a(x-h)2+k （a ≠0），其中abh 2-=,a b ac k 442-=；⑤y=ax 2+bx+c （a ≠0）. 要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a =0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）；2. 顶点式：y=a(x-h)2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）；3. 两根式：))((21x x x x a y --=（a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.x 240b ac -≥要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。
最新初中数学二次函数单元汇编附答案解析
最新初中数学二次函数单元汇编附答案解析一、选择题1．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0【答案】A【解析】 【分析】 【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0． ∵对称轴在y 轴的左边，∴b2a-＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0． ∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2． 把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4， ∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0． 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．3．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a -b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断． 【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=n 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.4．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（ ）A ．3122m -+B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】 【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果． 【详解】解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ）， ∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0） ∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1，∴232x x +＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2，∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣12x 上， ∴m ＝﹣12x 1， ∴x 1＝﹣2m ，∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m+2m+2＝2， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．5．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2ba=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.6．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92t =；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y =ax （x ﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴y =﹣t 2+9t =﹣（t ﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误， ∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确，∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确， ∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B ．7．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】 【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得01442b cb c =-+⎧⎨=++⎩解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得1201bb c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键．8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)， ∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2， ∴a +c ＝0，b ＝﹣2， ∴A 正确； ∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2， ∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ， ∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点， ∵x 1+x 2＝2a，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a， 当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0， ∴m +n ＜0，2a＞0， ∴m +n ＜2a； ∴D 正确， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．9．已知抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得． 【详解】抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为：x ＝﹣212a +＝﹣a ﹣12， 纵坐标为：y ＝()()224214a a a --+＝﹣2a ﹣14， ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y ＝2x +34， ∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．10．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（ ）A ．010t ≤≤B ．210t ≤≤C ．28t ≤≤D ．210t <<【答案】B 【解析】 【分析】直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围； 【详解】解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中， 得，23330n m n =⎧⎨-++=⎩解得32n m =⎧⎨=⎩∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ）， 当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5， 当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21， 当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5， 解得：2≤t≤10． 故应选B 【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．11．如图，已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”）.现将抛物线()()2120y a x a =++<沿x 轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．12a ≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<-【答案】D 【解析】 【分析】画出图象，利用图象可得m 的取值范围 【详解】 解：∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，将(0，1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1. 将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点，∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意.综上可知:当1-1a<-2≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.12．抛物线y=–x 2+bx+c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表所示： x … –2 –1 0 1 2 … y…4664…从上表可知，下列说法错误的是A ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为(–2，0)B ．抛物线与y 轴的交点坐标为(0，6)C ．抛物线的对称轴是直线x=0D ．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：当x=-2时，y=0， ∴抛物线过（-2，0），∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-2，0），故A 正确； 当x=0时，y=6，∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，6），故B 正确； 当x=0和x=1时，y=6， ∴对称轴为x=12，故C 错误； 当x ＜12时，y 随x 的增大而增大， ∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D 正确； 故选C ．13．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．1y ＜2y ＜3y B ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【答案】C 【解析】 【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可． 【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -， y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --， y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -， ∵-3m -＜m -＜5m -， ∴y 2＜y 1＜y 3． 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．14．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：给出以下结论：（1）二次函数y ＝ax 2+bx +c 有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣12＜x ＜2时，y ＜0；（3）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在函数的图象上，则当﹣1＜x 1＜0，3＜x 2＜4时，y 1＞y 2．上述结论中正确的结论个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断. 【详解】解：（1）函数的对称轴为：x ＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意； （2）从表格可以看出，当﹣12＜x ＜2时，y ＜0，符合题意； （3）﹣1＜x 1＜0，3＜x 2＜4时，x 2离对称轴远，故错误，不符合题意； 故选择：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x 轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．16．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【详解】若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限． 故答案为：B ．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．17．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1．下列结论： ①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③ab c ＜0；④b 2+8a ＜4ac ． 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断 【详解】由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣2ba＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确；②已知x=﹣2ba＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确； ④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：244ac b a＞2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确； 因此正确的结论是①②④． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．18．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a 、b 、c 的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：根据图象可知a ＞0，c ＜0，b ＞0， ∴, 故③错误； ∵.∴B （-c ，0）∴抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A （-2，0）和B （-c ，0）两点， ∴， ac 2-bc+c=0∴ ，ac-b+1=0， ∴，故②正确； ∴，b=ac+1∴,∴2b-c=2，故①正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断． 【详解】解：Q 抛物线开口向下，0a ∴<，Q 对称轴12bx a=-=， 0b ∴>，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；Q 抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故②正确；Q 对称轴12bx a=-=， 2a b ∴=-，20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在y 左侧，a ，b 同号，对称轴在y 轴右侧a ，b 异号，以及当a 大于0时开口向上，当a 小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bxy bx a⎧=+⎨=-⎩得ax2＝−a，∵a≠0∴x2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选C．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。
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初中数学二次函数分类汇编及解析一、选择题1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
2．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．0m ≤C ．01m ≤≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C【解析】【分析】 找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知.【详解】解：如图1所示，当t 等于0时，∵2(1)4y x =--，∴顶点坐标为(1,4)-，当0x =时，3y =-，∴(0,3)A -，当4x =时，5y =，∴(4,5)C ，∴当0m =时， (4,5)D -，∴此时最大值为0，最小值为5-；如图2所示，当1m =时，此时最小值为4-，最大值为1．综上所述：01m ≤≤，故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．3．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0【答案】A【解析】【分析】【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y轴的左边，∴b2a-＜0．∴b＞0．∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．故选A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．4．抛物线y＝-x2+bx+3的对称轴为直线x＝-1．若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．-12＜t≤3B．-12＜t＜4 C．-12＜t≤4D．-12＜t＜3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.【详解】解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，∴b＝−2，∴y＝－x2−2x＋3，∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12，∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4，∴－12＜t≤4，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．5．对于二次函数()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，下列说法正确的个数是（ ） ①对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点；②若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有001x <<；③当0x ≥时，y 随x 的增大而增大；④若()14,P y ，()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点，如果12y y >总成立，则112a ≤-． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．【详解】 对于()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭当2x =时，142(2)12y a a =+-=，则二次函数的图象都经过点()2,1当0x =时，0y =，则二次函数的图象都经过点()0,0则说法①正确 此二次函数的对称轴为1212124a x a a-=-=-+ 0a <Q1114a∴-+> 01x ∴>，则说法②错误 由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当114x a<-+时，y 随x 的增大而增大；当114x a ≥-+时，y 随x 的增大而减小 因11104a-+>> 则当1014x a <-≤+时，y 随x 的增大而增大；当114x a≥-+时，y 随x 的增大而减小 即说法③错误 0m >Q44m ∴+>由12y y >总成立得，其对称轴1144x a=-+≤ 解得112a ≤-，则说法④正确 综上，说法正确的个数是2个故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．6．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a +b ＝0；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定解答．【详解】①由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，∴ab ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确．③∵（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c），而x＝0时，y＝c＞0，∴x＝2时，y＝c＞0，∴y＝4a+2b+c＞0，故③正确；④由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．7．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S （cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．8．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴x=﹣＝1，故b＜0，bc＜0，即可判断一次函数y＝x+bc的图象.【详解】①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确；②方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；③当x＜2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误；④由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，x=﹣＝1＞0，∴b＜0，∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.10．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤4【答案】D【解析】【分析】 先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4．【详解】∵抛物线的对称轴为x ＝2， ∴22m -=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解， 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点．11．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数()()39m x x y =++及()()26y n x x =--图象，将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ）A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移10个单位长度D ．向右平移10个单位长度【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．【详解】解：∵y ＝m （x ＋3）（x ＋9）＝mx 2＋12mx ＋27m ，y ＝n （x －2）（x －6）＝nx 2－8nx ＋12n ，∴二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的对称轴为直线x ＝－6，二次函数y ＝n （x －2）（x －6）的对称轴为直线x ＝4，∵4－（－6）＝10，∴将二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．12．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【解析】【分析】 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】由图象可得，a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确， 故选C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．13．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线1122y x=+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜98C．1≤a＜98或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜98【答案】C【解析】【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令1122x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0∴△＝9﹣8a＞0∴a＜9 8①当a＜0时，110111 aa++≤⎧⎨-+≤⎩解得：a≤﹣2∴a≤﹣2②当a＞0时，110111 aa++≥⎧⎨-+≥⎩解得：a≥1∴1≤a＜9 8综上所述：1≤a ＜98或a ≤﹣2 故选：C ．【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．14．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（ ）A ．010t ≤≤B ．210t ≤≤C ．28t ≤≤D ．210t <<【答案】B【解析】【分析】 直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围；【详解】解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中，得，23330n m n =⎧⎨-++=⎩解得32n m =⎧⎨=⎩∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ），当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，解得：2≤t≤10．故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．15．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（）A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3B．函数y＝（x+2）*x的图象与x轴有两个交点C．在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数D．方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5【答案】D【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B；根据题目中所给的运算法则可得a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，由此即可判定选项C；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】∵a*b＝ab﹣a+b，∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣x2＝﹣1B正确；∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；∵（x﹣2）*3＝5，∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5，解得，x＝3，故选项D错误；故选D．【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.16．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③13＜a＜23；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】B【解析】【分析】 根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c 的大小得出③的正误．【详解】①∵函数开口方向向上，∴a ＞0；∵对称轴在y 轴右侧∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，故②错误；③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间，∴-2＜c ＜-1∵-12b a， ∴b=-2a ， ∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴c=-3a ，∴-2＜-3a ＜-1，∴13＜a ＜23；故③正确 ④∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴b-c=a ，∵a ＞0，∴b-c ＞0，即b ＞c ； 故④正确；故选B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．17．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②3④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0，由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：2b a-＝1， ∴b ＝﹣2a ，∵抛物线过点（3，0），∴0＝9a+3b+c ，∴9a ﹣6a+c ＝0，∴3a+c ＝0，故②正确；③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ，当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ，即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）：∴y 1＝y 2，故④错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．18．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【答案】B【解析】分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1，解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选B ．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况求出h 值是解题的关键．19．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1．下列结论：①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③abc ＜0；④b 2+8a ＜4ac ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a ＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断【详解】 由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣2b a＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确； ②已知x=﹣2b a＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：244ac b a ＞2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确；因此正确的结论是①②④．故选：C ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断．【详解】解：Q 抛物线开口向下，0a ∴<，Q 对称轴12b x a=-=， 0b ∴>，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；Q 抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故②正确；Q 对称轴12b x a=-=， 2a b ∴=-， 20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．。