圆与方程复习课件

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高一数学复习考点知识讲解课件13---圆的一般方程

高一数学复习考点知识讲解课件第2课时圆的一般方程考点知识1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能用圆的一般方程解决一些实际应用问题．导语我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？一、圆的一般方程的理解问题1如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0能表示圆的方程，有什么条件？提示将方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，配方可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4，当D2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆．问题2当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示什么图形？提示当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2.知识梳理1．圆的一般方程的概念方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)叫作圆的一般方程(generalequationofcircle)．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F .3．对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明方程条件图形x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝D 2＋E 2－4F ＜0 不表示任何图形D 2＋E 2－4F ＝表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2D 2＋E 2－4F ＞0 表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆注意点：(1)二元二次方程要想表示圆，需x 2和y 2的系数相同且不为0，没有xy 这样的二次项． (2)二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0. 例1若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆．(1)求实数m 的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径．解(1)由表示圆的充要条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，解得m <15，即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15.(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m ,1)，半径r ＝1－5m .反思感悟圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，在x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中，若D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．跟踪训练1(1)若方程2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，2|a |2解析方程2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)，可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝a 22，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，半径为2|a |2.(2)点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积为________．答案9π解析圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，－1，由圆的性质，知直线x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－k2＋1＋1＝0，得k ＝4，圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为1242＋22＋16＝3，∴该圆的面积为9π.二、求圆的一般方程例2已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．解设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A ，B ，C 三点坐标代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧5E ＋F ＋25＝0，D －2E ＋F ＋5＝0，3D ＋4E －F －25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，F ＝－15.∴△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0，即(x ＋3)2＋(y －1)2＝25，∴△ABC 的外接圆圆心为(－3,1)．反思感悟应用待定系数法求圆的方程(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .跟踪训练2已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求△ABC 的外接圆的方程．解设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.三、圆的一般方程的实际应用例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB ＝20m ，拱高OP ＝4m ．建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01m)．解建立如图所示的直角坐标系，使线段AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，由题意知， P (0,4)，B (10,0)，A (－10,0)，设圆拱所在圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为点A ，B ，P 在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧42＋4E ＋F ＝0，102＋10D ＋F ＝0，(－10)2－10D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝21，F ＝－100，故圆拱所在圆的方程为x 2＋y 2＋21y －100＝0，将P 2的横坐标x ＝－2代入圆的方程得y ≈3.86(m)．故支柱A 2P 2的高度约为3.86m. 反思感悟解应用题的步骤 (1)建模．(2)转化为数学问题求解． (3)回归实际问题，给出结论．跟踪训练3赵州桥的跨度是37.4m ，圆拱高约为7.2m ．求这座圆拱桥的拱圆的方程．(精确到0.01)解建立如图所示的坐标系，则A (－18.7,0)，B (18.7,0)，P (0,7.2)，设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧(－18.7)2－18.7D ＋F ＝0，18.72＋18.7D ＋F ＝0，7.22＋7.2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ≈41.37，F ＝－349.69所以圆的方程为x 2＋y 2＋41.37y －349.69＝0.1．知识清单：(1)圆的一般方程的理解． (2)求圆的一般方程．(3)圆的一般方程的实际应用．2．方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法．3．常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件．1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点B．一个圆C．一条直线D．不存在答案A解析方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是()A．m＜12B．m≤12C．m＜2D．m≤2 答案A解析由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜12，故选A.3．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k＝________.答案－2解析由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2. 4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________. 答案4解析以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16.即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F ＝4.课时对点练1．(多选)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，23，方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a的值可以为() A ．－2B ．0C ．1D.23 答案ABD解析根据题意，若方程表示圆，则有(2a )2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得a <1，又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，23，则a 的值可以为－2,0，23.2．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2ax ＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为() A ．3B.5C ．5D ．4 答案D解析圆的方程x 2＋y 2＋2ax ＋9＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝a 2－9，它的圆心坐标为(－a ,0)，可得a ＝－5，故它的半径为a 2－9＝25－9＝4.3．(多选)下列结论正确的是()A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程B．圆的一般方程和标准方程可以互化C．方程x2＋y2＋2x－6y＋10＝0表示圆D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0答案ABD解析AB显然正确；C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示点(－1,3)；D正确．4．若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为()A．2B．－1C．－2D．0答案D解析圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)，∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心．∴2－2＋m＝0，解得m＝0.5．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5答案C解析把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1)．设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－(－1)x 0－2＝－1，y 0－12＝x 0＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2，y 0＝3，故C ′(－2,3)， ∴圆C 关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝5.6．若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α等于()A.π2B.π4C.3π4D.π5答案C解析x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化为标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2，所以当k ＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为3π4.7．方程x 2＋y 2－ax ＋by ＋c ＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a ＋b ＋c ＝________. 答案2解析根据题意，得方程x 2＋y 2－ax ＋by ＋c ＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，－b 2＝2，14(a 2＋b 2－4c )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－4，c ＝4.∴a ＋b ＋c ＝2. 8．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的一般方程为________________．答案x 2＋y 2－4x －5＝0解析设圆C 的圆心坐标为(a ,0)(a >0)，由题意可得|2a |5＝455，解得a ＝2(a ＝－2舍去)，所以圆C 的半径为22＋(－5)2＝3，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0.9．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3)求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．解(1)圆的方程化为[x －(t ＋3)]2＋[y ＋(1－4t 2)]2＝1＋6t －7t 2.由7t 2－6t －1<0，得－17<t <1.故t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t ＋3,4t 2－1)，半径为1＋6t －7t 2.(3)r ＝－7t 2＋6t ＋1 ＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167≤477. 所以r 的最大值为477，此时t ＝37，故圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167. 10．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0.(1)求此圆的圆心与半径．(2)求证：无论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上且为半径相等的圆．(1)解x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0可化为[x ＋(m －1)]2＋(y －2m )2＝9，所以圆心为(1－m ,2m )，半径r ＝3.(2)证明由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a ，b )满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－m ，b ＝2m ，即2a ＋b ＝2.所以无论m 为何值，方程表示的是圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且半径都等于3的圆．11．圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则a 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3答案C解析由于圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的圆心为N (2,0)，又两圆关于直线x －y －1＝0对称，故有1－0a 2－2×1＝－1，解得a ＝2.12．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为() A.5B ．5C ．25D ．10答案B解析圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.13．已知圆C 经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C 与两坐标轴的四个截距之和为________．答案－2解析设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，1＋9＋D ＋3E ＋F ＝0，25＋1＋5D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，则y 2＋4y －20＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－4；令y ＝0，则x 2－2x －20＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2，故圆C 与两坐标轴的四个截距之和为y 1＋y 2＋x 1＋x 2＝－4＋2＝－2.14．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A ，B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是____________．答案3x －2y －3＝0解析圆的方程x 2＋y 2－2x －3＝0，化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1,0)，由k AB ＝－23，得AB 的垂直平分线的斜率为32，且过圆心，从而所求直线方程为y －0＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0.15．已知点P (7,3)，圆M ：x 2＋y 2－2x －10y ＋25＝0，点Q 为圆M 上一点，点S 在x 轴上，则SP ＋SQ 的最小值为()A．7B．8C．9D．10答案C解析由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时SP＋SQ的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以SP＝SP′，S′P＝S′P′，所以SP＋SQ＝SP′＋SQ＝P′Q<S′P′＋S′Q＝S′P＋S′Q.故(SP＋SQ)min＝P′M－1＝(1－7)2＋(5＋3)2－1＝9.16．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆．②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点．(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；(3)求曲线W 的最小覆盖圆的方程．解(1)由题意，得t ＝－2，由于△ABC 为锐角三角形，所以其外接圆就是△ABC 的最小覆盖圆．设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2E ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，4＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－3，E ＝0，F ＝－4.所以△ABC 的最小覆盖圆的方程为x 2＋y 2－3x －4＝0.(2)因为线段DB 的最小覆盖圆就是以DB 为直径的圆，所以线段DB 的最小覆盖圆的方程为x 2＋y 2＝16.又因为OA ＝OC ＝2<4(O 为坐标原点)，所以点A ，C 都在圆内．所以四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程为x 2＋y 2＝16.(3)由题意，知曲线W 为中心对称图形．设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 40＝16.所以OP 2＝x 20＋y 20(O 为坐标原点)，且－2≤y 0≤2.故OP 2＝x 20＋y 20＝16－y 40＋y 20＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20－122＋654，所以当y20＝12时，OP max＝652，所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝654.。

高考理科第一轮复习课件(8.3圆的方程)

【拓展提升】 1.求圆的方程的两种方法（1）直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. （2）待定系数法： ①若已知条件与圆心（a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，
依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的
值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
又由对称性知圆C2的半径与圆C1的半径相等，所以r2=1, 故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.
（2）方法一：∵A（6，0），B（1，5），
5 ∴线段AB的中点坐标为 7 ，），k AB 5 0 1 （， 2 2 1 6 ∴AB垂直平分线方程为 y 5 x 7 ， 2 2 即x-y-1=0.
（3）先求过A，B，C三点的圆的方程，再验证点D与圆的位置
关系即可.
【规范解答】(1)选B.设圆C1圆心（-1，1）关于直线x-y-1=0
的对称点为C2(x1,y1),
y1 1 x 1 1, x1 2, 1 则有解得即C 2 2, 2 , y1 2, x1 1 y1 1 1 0, 2 2
考向 1
确定圆的方程
【典例1】（1）（2013·南昌模拟）已知圆C1：(x+1)2+(y1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为( （A）(x+2)2+(y-2)2=1 （B）(x-2)2+(y+2)2=1 （C）(x+2)2+(y+2)2=1 （D）(x-2)2+(y-2)2=1 )

人教A版必修二第四章圆与方程复习课件

A
y
B
O
x
2 2 2 2 x y 4 25 x y 3．已知直线 y=x+1 与圆相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
解法二：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
联立方程组消去二次项
2 2 x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0 ②
①-②得 x 2 y 1 0 ③ 把上式代入①
x 2x 3 0 ④ (2)2 4 1 (3) 16
• 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径. • 2.圆的方程 • （1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a） 2+（y-b）2=r2.
• （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. • 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的
画板直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为 d
| Aa Bb C | A B
2 2
则
位置 d与 r
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
当-2 2 <b<2

圆的方程及性质课件-2023届高三数学一轮复习

3 3.
判断直线与圆的位置关系的两种方法 >0⇔相交，
(1)代数法：Δ＝判―b别 ―2－→式4ac ＝0⇔相切， <0⇔相离.
(2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：d<r⇔相交，d ＝r⇔相切，d>r⇔相离．
实际操作时，多用几何法．
练习已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的
①两条切线方程； ②直线 AB 的方程； ③线段 PA 的长度； ④线段 AB 的长度．
圆的切线方程的求法 (1)代数法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0 进而求得 k(当 k 不存在时，切线方程为 x ＝x0)． (2)几何法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d，然后令 d＝r，进而求出 k(当 k 不存在时，切线方程为 x＝x0)．（3）若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，则过点 M 的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝ r2.
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【思路】根据直线与圆的位置关系的判断方法——几何法或代数法求解，也可以利用直线所过的定点，结合该定点与圆的位置关系求解．
【解析】＋m2－5＝0，
方法一：由mx2x＋－（y＋y－1－1）m2＝＝05，，消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x
因为 Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交．
圆的定义平面内到定点的距离___________的点的集合是圆，定点是圆心，定长是半径．注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为λ，即||PPAB||＝λ， ①当λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当λ≠1 时，P 点轨迹是圆．

第4章圆与方程复习课

栏目
解 (1)如图所示，|AB|＝4 3，
开关
设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
∴|AD|＝2 3，|AC|＝4.
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y－5＝kx，即 kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
关
3x＋2y－15＝0，
∴由33xx＋＋21y0－y＋159＝＝00，，解得xy＝＝－ 7，3.
∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝ 65.
∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
研一研·题型解法、解题更高效
(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，
∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上， ∴b＝2a.
＝0，即k＝0，或k＝－
7 24
，所以直线l的方程为y＝0，或7x
＋24y－28＝0.
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
(2)设点P(a，b)满足条件，
不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，
则直线l2的方程为y－b＝－1k(x－a)．
本讲
因为圆C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与
求：
本
(1)xy的最大值与最小值；
讲栏
(2)x＋y的最大值与最小值．
目开
解 (1)设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6所表示的圆C上的任
关
意一点P(x，y).
y x
的几何意义就是直线OP的斜率，设
y x
＝
k，则直线OP的方程为y＝kx.
由图①可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．

直线和圆的方程复习课PPT课件

1
一、知识框架
直线与直线方程
直
线
与
圆
的
方
圆与圆方程
程
直线的倾斜角和斜率直线的方程
两直线的位置关系线性规划及应用求曲线方程圆的标准方程圆的一般方程
圆的参数方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
2
1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是 0 180.
2、直线的斜率
k tan, ( 90 )
4.两点间的距离
5.点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
6.平行直线间距离
d C1 C2 A2 B2
11
两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0
平行，则a=（ B ）
A．－3
B．－6
C．

3 2
2
D． 3
2、若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，
返回
7
点与直线
1、点与直线的位置关系 2、点关于直线对称的点坐标 3、直线关于点对称的直线方程 4、点到直线的距离
练习
8
点与直线练习
1、已知直线 l1 : A1x B1 y 1和 l2 : A2 x B2 y 1
相交于点P(2,3)，则过点 P1( A1, B1), P2 ( A2 , B2 )的直线方程为 2x+3y=1＿．
2、点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ A ）
A(－4，－1) B(－5，－2) C(－6，－3) D(－4，－2）
3、已知△ABC的一个顶点为A(3,-1)，∠B被y轴平分，∠C 被直线y=x平分，则直线BC的方程是（ A ）

圆与方程复习课件

所以,
即有a-2b=±1,由此有
或
解方程组得
或
于是r2=2b2=2, 所求圆的方程是
（x+1）2+（y+1）2=2,或（x-1）2+（y-1）2=2.
∴所求圆的方程为 (x 2 2 6)2 ( y 4)2 42 ，或 (x 2 2 6)2 ( y 4)2 42
例6.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l: x-2y=0的距离为 5 的圆的方程．
圆与方程复习
例1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4)与圆的关系．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2
、
．
∵圆心在直线 y 0上，故 b 0
．
∴圆的方程为 (x a)2 y2 r 2
例5.求半径为4，与圆 x2 y2 4x 2y 4 0 相切，
且和直线 y 0 相切的圆的方程．
解：则题意，设所求圆的方程为圆 C：(x a)2 ( y b)2 r 2
圆 C 与直线 y 0 相切，且半径为4，
则圆心 C的坐标为 C1(a , 4) 或 C2(a , 4)
又已知圆 x2 y2 4x 2 y 4 0 的圆心 A 的坐标为
(2 ,1) 半径为3．
若两圆相切，则 CA 4 3 7 或 CA 4 3 1
(1)当 C1(a , 4) 时，(a 2)2 (4 1)2 72 或
(a 2)2 (4 1)2 12 (无解) ，故可得a 2 2 10

2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】

A．a<－2
B．－23<a<0
C．－2<a<0
D．－2<a<23
【解析】由方程表示圆的条件得 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即 3a2＋4a－4<0，∴－2<a<23.故选 D.
6．已知实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝4，则 3x2＋4y2 的最大值为___4_8____．
3．过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( C ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】解法一：∵圆心在直线 x＋y－2＝0 上，
设圆心(a,2－a)，圆方程为(x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2，代入点 A(1，－1)，B(－1,1)得
【解析】由(x－2)2＋y2＝4，得 y2＝4x－x2≥0，得 0≤x≤4.所以 3x2＋4y2＝3x2＋4(4x －x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64,0≤x≤4，所以当 x＝4 时，3x2＋4y2 取得最大值 48.
易错点睛：(1)忽视表示圆的充要条件 D2＋E2－4F>0 致误． (2)忽视圆的方程中变量的取值范围致误．
x－y－1＝0.联立 Nhomakorabeax－y－1＝0， 2x－7y＋8＝0，
解得
x＝3， y＝2.
∴r＝ 6－32＋0－22＝ 13.
∴圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
解法二(待定系数法)：设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得61－－aa22＋＋05－－bb22＝＝rr22，， 2a－7b＋8＝0，

利用圆的参数方程解决最值问题课件-2025届高三数学一轮复习

= −1 + 2cos ,
1.（2024 ·宜春模拟）已知曲线ቊ
( 为参数)上任意一点 0 , 0 ，
= 1 + 2sin
[2 2, +∞)
不等式 ≥ 0 + 0 恒成立，则实数的取值范围是__________.
解析根据题意，曲线ቊ
= −1 + 2cos ,
( 为参数)，
利用圆的参数方程解决最值问题
一利用圆的参数方程求代数式的最值
二利用圆的参数方程求范围
三利用圆的参数方程求距离等最值
06 利用圆的参数方程解决最值问题
2
= 0 + cos ,
1. 圆的方程有标准方程、一般方程、参数方程，一般我们把方程ቊ
(
= 0 + sin
是参数)称为圆 − 0 2 + − 0 2 = 2 的参数方程.
当sin = 1时，取得最大值,最大值为1.
5
4
故实数的取值范围是[− , 1].
1 2
+
2
5
4
− .
06 利用圆的参数方程解决最值问题
10
利用圆的参数方程,采用代入法把求实数的取值范围问题转化为求三角函数的值域问
题,使问题迅速获解,可谓转化巧妙.
06 利用圆的参数方程解决最值问题
11
12
磨尖点三利用圆的参数方程求距离等最值
06 利用圆的参数方程解决最值问题
典例3 （2024 ·上海模拟）已知动圆 −
2
+ −
14
2
= 1经过原点，则动圆上的
2+2
点到直线 − + 2 = 0距离的最大值是_______.

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆的方程》课件ppt

设动点P的坐标为(x，y)，因为 M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝ 2|PM|，所以 x－22＋y2＝ 2· x－12＋y2，
整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q 的轨迹方程.
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B
＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋
F>0.( √ )
教材改编题
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
满足 D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
方法二设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0) 为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径 r＝ a－02＋－2a＋3－02

北师大版高中数学必修2第二章解析几何初步第二节《圆与圆的方程》ppt课件

O
X
1）写出过圆x2+y2=13上一点M（2，3）的
切线的方程。
2)已知圆x2+y2=3,求过点（-3，0）的圆的切线方程。
小结
1）圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是；当圆心在原点时，a=0，b=0，那么圆的方程就是x2+y2=r2。
x a2 y b2 r 2
试一试： 1)已知一个圆的圆心在原点，并且与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。
例2 1） :已知圆心在Y轴上,且过点（10，0）和（0，4）的圆的方程. 解
练习：过点C(-1，1)和D（1，3），圆
心在X轴上，求圆的方程。解
某圆拱桥的一孔圆拱，其跨度为20m，高度为4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度。
2 －1－ａ 2 ＋12＝ｒ 2 2 1－ａ＋3 2＝ｒ
解得
ａ＝2，ｒ2＝10
2 2 ＋ｙ＝ｘ－ 10 2
所以这个圆的方程是
例2； 2）如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱的跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m） y P2 P
A
A1 A2
O
A3 A4 Y
M
B
x
例3：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（xo，yo）的切线的方程.
（x+3)2+(y+4)2=1
2）方程（x-1）2+（y+4）2 = 25 表示的圆的圆心和半径是？
圆心：（1，-4），半径：5
2 2 3) 圆x a y b r 的圆心和半径分别是什么？

高考数学一轮复习第八章解析几何2圆的方程课件新人教A版2

考点2
解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 u=- 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)
的斜率的最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离
|-|
2 +2
= √2,
即 2(a2+b2)=(ab)2≥4ab,所以 ab≥4,当且仅当 a=b 时取等号.

≥2√2,所以|AB|的最小值为 2√2,
√2

a=b=2,切线 l 的方程为 + =1,即 x+y-2=0.
2
2
又|AB|=√2 + 2 =
此时 a=b,即
-21考点1
(x-1)2+(y-1)2=13
.
解析以AB为直径的圆的方程为(x+1)(x-3)+(y-4)(y+2)=0,整理得
(x-1)2+(y-1)2=13.
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆心C的坐标
x2+y2-2x-4y+4=0
为 (1,2)
;圆C的一般方程是
.
解析已知圆 x2+y2+2x=0 的圆心坐标是(-1,0),半径是 1.
设圆 C 的圆心为(a,b),则有

= 1,
+1
-1

+

2025高考数学一轮复习-2.1.2-圆的一般方程【课件】

[跟进训练] 2．已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线 x＋y－1＝0 上，且圆心在第二象限，半径长为 2，求圆的一般方程． [解] 圆心 C－D2 ，－E2， ∵圆心在直线 x＋y－1＝0 上， ∴－D2 －E2－1＝0，即 D＋E＝－2.①
又∵半径长 r＝ D2＋2E2－12＝ 2， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得DE＝＝－2，4 或ED＝＝2－. 4，又∵圆心在第二象限，∴－D2 ＜0，即 D＞0. 则DE＝＝－2，4. 故圆的一般方程为 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
＋Ey0＋F>0．
()
[解析] (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)错误．当 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2<a<23时才表示圆． (4) 正确．因为点 M(x0 ， y0) 在圆外，所以 x0＋D2 2 ＋ y0＋E2 2 >D2＋E42－4F，即 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0. [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
方程
条件
图形
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
x2＋y2＋ Dx＋Ey＋
F＝0
D2＋E2－4F＝0 D2＋E2－4F＞0
表示一个点－D2 ，－E2
表
示
以
－D2 ，－E2
为
圆
心
，
以
1 2
D2＋E2－4F为半径的圆
么？
方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的条件是什
[提示] A＝C≠0，B＝0 且 D2＋E2－4F＞0.
(2)圆心坐标和半径． [解] (2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x ＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.

圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习

题后师说
求圆的方程的两种方法
巩固训练1
(1)已知圆心为(－2，1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是(
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
)
答案： B
解析：根据题意知圆心为(－2，1)，半径为2，故圆的方程为：(x＋2)2＋(y－1)2
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
解析：设点M(x，y)，C(x0，y0)，因为点B(3，0)，M是线段BC的中点，所以x＝
x0 +3
y0 +0
，y＝
，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
2
2
由(1)知，点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M(a，1－2a)．由点(3，0)，(0，
1)均在⊙M上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r
＝ a − 3 2 + 1 − 2a 2 ＝ a2 + 1 − 2a − 1 2 ，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝
圆．( × )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( × )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则02 + 02 ＋Dx0＋
Ey0＋F>0.( √ )

人教A版高中数学必修二第四章圆与方程复习课件

2．(2011·高考广东卷)已知集合 A＝{(x，y)|x，y 为实数，且 x2 ＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y 为实数，且 x＋y＝1}，则 A∩B 的元素个数为( )． A．4 B．3 C．2 D．1 解析集合 A 表示圆 x2＋y2＝1 上的点构成的集合，集合 B 表示直线 x＋y＝1 上的点构成的集合，可判断直线与圆相交，故 A∩B 的元素的个数为 2. 答案 C
0
无根
d>r
离
4.2.2圆与圆的位置关系
R r
•
•
O1
d
O2
R r
•
•
O1
d
O2
两圆外离
R r
•
•
O1 d
O2
R • •r O1 d O2
两圆外切
R O1 • • r
d O2
两圆相交
两圆内切

两圆内含
判断两圆的位置关系的两种方法： 1.根据圆心距与半径和之间的大小关系. 若d＜｜R-r｜，则两圆内含；若d=｜R-r｜，则两圆内切；若｜R-r｜＜d＜R＋r，则两圆相交；若d＝R＋r，则两圆外切；若d＞R＋r，则两圆外离.
高考真题 1．(2011·高考安徽卷)若直线 3x＋y＋a＝0 过圆 x2＋y2＋2x－4y ＝0 的圆心，则 a 的值为( )． A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵ 直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案 B
2.联立两圆方程，看截得解得个数.
△<0
n=0
两个圆相离
△=0
n=1
两个圆相切
△>0
n=2

圆的方程复习PPT精品课件

羽毛动物: 和
没有羽毛动物:
还可以根据其他特征，将他们进行分类
例如有足和无足胎生和卵生有脊柱和无脊柱
根据体内有无脊椎骨
我们可以将所有动物分为两大类
脊椎动物和
无脊椎动物
脊椎动物
常见的6类动物：
哺乳类动物：像猫那样，身体表面长毛，胎生、小时侯吃奶。
鸟类动物：像鸽子、鹰那样身体表面长羽毛、有一对翅膀、一对脚、产卵、由大鸟孵化出来的动物。
则方程： (X2+Y2+D1X+ E1Y+F1)+λ(X2+Y2+D2X+E2Y+F2)=0(λ≠ -1)
表示过圆C1 ,C2交点的圆的方程当λ= -1 时,方程为(D1 – D2)x+ (E1 – E2)Y+ F1 – F2=0表示圆C1 ,C2的公共弦所在的直线方程
直线直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2，
圆心到直线的距离 d=
方法二：判别式法
直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
一元二次方程
圆与圆位置关系的判定方法：几何法
设两圆的半径分别为R和r (R>r), 圆心距为d ，那么：
(1)两圆外离 (2)两圆外切 (3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含
动物的共同特点：
1、都会运动； 2、都需要食物、空气和水； 3、都能繁殖后代； 4、都有生长的能力； 5、都能够对外界变化做出反应。
D2 E 2 4F 0
圆心(
D 2
，-
E 2

圆与方程复习课件

高一数学复习考点知识讲解课件13---圆的一般方程

高考理科第一轮复习课件(8.3圆的方程)

人教A版必修二第四章圆与方程复习课件

圆的方程及性质课件-2023届高三数学一轮复习

第4章 圆与方程复习课

直线和圆的方程复习课PPT课件

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