九年级数学切线的概念判定性质
九年级数学切线长定理
例2 已知：如图, △ABC的内切圆⊙O与 BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘米,CA ＝ 13厘米,求AF、BD、CE的长。
A E F B D O C
小结：
（1）切线长定理。 （2）连接圆心和切点是我 们解决切线长定理相关问题 时常用的辅助线。
切线长定理的拓展
A
D
O
H
C
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系 （2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
o．
．
o．
三角形外接圆
C
三角形内切圆
C
． o
A B B
． o
A
外切圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
外切圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
白荌苒居然急了起来“好思思，你快帮帮我吧，我可不想在大学的时候让他被别人抢了先去！ ”
钟思敛起了佯装的正经冲她笑了笑“知道了、知道了，我能拿你这小女子有什么办法呢！ ”
再回头想想，上学的时候也不是没有人跟她示好过，但都是被她一本正经的以学业为重的理由给婉拒了。
她难免会跟白荌苒诉苦“你说说、我老爹跟老娘都是怎么想的，真是想一出来一出，上学的时候总是期盼着我年年拿第一，要考一流的大学、 要做上乘的工作，这些我都做到了以后又开始给我出新的难题，简直都不让人消停了。”
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钟思当时不免笑着揶揄她“小白白，没想到你居然也会有发奋图强的这一天啊，居然还是为了一个男生！ ”
白荌苒赶紧捂紧她的嘴急的直瞪她“你小点声，被你爸妈听到我就完了！ ”
人教版九年级数学上册 24.2.2 圆的切线的性质及判定综合运用培优 (无答案)
A Ol圆的切线的性质及判定综合运用知识点：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 ． 几何符号语言表达：∵ l 是⊙O 的 ，OA 是 ， ∴ l ⊥OA切线的判定：经过半径的 并且 的直线是圆的切线。
几何符号语言表达： ∵ OA 是 ，OA ⊥l 于A ， ∴ l 是⊙O 的 。
归纳：证明切线添加辅助线的方法：1）直线与圆的公共点已知时，连半径，证 （应用判定方法3）2）直线与圆公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明 （方法2）一、典型例题例1．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ． （1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O 的半径．利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:(1)直线经过半径的 ;(2)直线与这半径 。
▲判断一条直线是圆的切线的方法：1.利用切线的定义:与圆有 公共点的直线是圆的切线。
2.利用d 与r 的关系作判断:圆心到直线的距离等于 (即d r)的直线是圆的切线。
3.利用切线的判定定理:经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线。
例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD=NB．例3．如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,试求△ABC的内切圆的半径.例4．如图，已知抛物线y=mx2+2mx+c（m≠0），与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A（﹣4，0）和点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若P是线段OC上的动点，过点P作PE∥OA，交AC于点E，连接AP，当△AEP的面积最大时，求此时点P的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，⊙Q为△ABD的外接圆，求证⊙Q与直线y=2相切．二、综合训练1．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）A ．25cmB ．45cmC ．25cm 或45cm D. 23cm 或43cm3．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）A ．33B ．36C ．323D ．6234．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线2-=x y 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能5．若⊙O 的半径等于5cm ，P 是直线l 上的一点，OP=5cm ，则直线l 与圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交6．已知⊙O 的面积为9πcm 2，若点O 到直线l 的距离为πcm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定7．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°8．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．49．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．，10．如下左图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=21则∠ACD= °．11．如上右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．12．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；14. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过，垂足为D.C作CD PA（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．三、课外作业： 1.如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE=190，则∠AFB 的度数为（ ）A.97°B.104°C.116°D.142°第1题图 第2题图2.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切.若点A 的坐标为(0,8),则圆心M 的坐标为( )A.(-4,5)B.(-5,4)C.(5,-4)D.(4,-5)3.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A.2B.3C.3D.32第3题图4.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC.若∠A=400,则∠C= ．5.如图,∠ABC=900,O 为射线BC 上一点,以点O 为圆心,OB 21长为半径作⊙O ，当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转 时与⊙O 相切.第4题图 第5题图6.已知AB 是⊙O 的直径,AP 是⊙O 的切线,A 是切点,BP 与⊙O 交于点C.（1）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）；（2）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.7.如图,已知直线ABC 与⊙O 相交于B,C 两点,E 是的中点,D 是⊙O 上一点,若∠EDA=∠AMD ． 求证:AD 是⊙O 的切线．。
切线的定义和判定定理
切线的定义和判定定理切线的定义和判定定理是数学中关于圆的切线的重要知识点。
以下是关于这个主题的详细解释。
一、切线的定义切线与圆的定义是几何学中的基本概念，对于每一个圆来说，其切线是指与圆只有一个公共点的直线。
这个公共点被称为切点，切线与圆的切点是唯一的。
在二维平面上，如果一条直线与圆有且仅有一个交点，则这条直线被称为圆的切线。
切线的性质：切线与圆只有一个交点，即切点。
切线与经过切点的半径垂直。
切线的斜率等于经过切点的半径的斜率。
二、切线的判定定理判定定理一：定义判定法，如果直线上的每一个点都位于圆外，则直线为切线。
这是最直接的判定方法，也是最常用的。
判定定理二：半径垂直法，如果直线经过半径的外端并且垂直于该半径，则直线为切线。
这个判定方法通常用于证明过程中，尤其是在解题时，可以根据已知条件证明某直线满足这个判定定理。
判定定理三：角平分线法，如果直线平分圆的任意一条弦（非直径），并且垂直于该弦，则直线为切线。
这个判定方法在一些特殊情况下非常有用，可以通过证明某直线满足这个判定定理来证明某直线为切线。
在具体的应用中，可以根据题目的条件和要求选择合适的判定方法来确定切线的位置和性质。
同时，也要注意切线与半径、弦之间的关系，以及切线与其他几何元素之间的联系，以便更好地理解和掌握切线的性质和判定定理。
在实际应用中，了解和掌握切线的性质和判定定理是非常重要的。
在解析几何、平面几何、圆和圆锥曲线等学科中，都需要用到这些知识点来解决相关问题。
通过深入理解切线的定义和判定定理，我们可以更好地理解和应用几何学的其他概念和定理，从而更好地解决各种数学问题。
此外，切线的性质和判定定理也在其他领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，切线性质可以用于研究物体运动轨迹的变化；在工程学中，判定定理可以用于确定机械零件的尺寸和位置；在经济学中，可以用于研究供需关系和市场均衡等等。
因此，深入理解切线的定义和判定定理不仅可以提高数学素养，也可以为其他学科的学习和研究提供有益的帮助。
《切线的判定与性质》PPT课件 人教版九年级数学
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出 圆的切线？
.O . Al
第一步：连接OA； 第二步：过A点作OA的垂线l.
归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
.O
几何符号表达：∵直线l切⊙O于点A， A
l
∴OA⊥l
反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并 判定定理 →且垂直于这条半径
的直线是圆的切线
切线的性 质定理
→
圆的切线垂直于 经过切点的半径
→
有切线常作辅助线： 见切线，连切点，得垂直.
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂1 ， ∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
l2
初中数学 什么是圆的切线
初中数学什么是圆的切线
圆的切线是指与圆的边界相切且只有一个交点的直线。
下面我将详细介绍圆的切线的概念和性质：
1. 圆的切线定义：
圆的切线是指与圆的边界相切且只有一个交点的直线。
这个切点是圆上的点，切线与圆的边界只有这一个交点。
2. 圆的切线的性质：
-圆的切线与半径垂直，即切线与半径的夹角为90°。
-从圆的外部引一条直线与圆相交，如果直线与圆的边界相切，那么这条直线就是圆的切线。
-圆的切线长度等于从切点到圆心的半径长度。
-圆的切线与切点到圆心的连线共线。
-圆的切线是与圆心连线的直线中最短的一条。
3. 圆的切线的应用：
圆的切线在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在光学中，圆的切线可以用于描述光线与曲面的相交关系；在工程学中，圆的切线可以用于定位和布局。
另外，圆的切线的性质也可以用于解决一些几何问题，如构造、证明等。
需要注意的是，圆的切线是一条直线，它与圆的边界相切且只有一个交点。
以上是关于圆的切线的概念和性质的介绍。
希望以上内容能够满足你对圆的切线的了解。
切 线+++第1课时 圆的切线的判定与性质++课件++2024—2025学年华东师大版数学九年级下册
证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F. ∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA. 又∵DF⊥OB，D是∠AOB平分线上一点， ∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切．
知识点2：切线的性质
3．(长春中考)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35
°，则∠ACB的度数为
（C ）
A．35°
B．45°
(2)解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r＋1， 4 OE r
∵sin∠AFE＝5＝OF＝r＋1， ∴r＝4，∴AB＝2r＝8， 在Rt△ABC中， sin∠ABC＝AACB＝sin∠AFE＝45，AB＝8， ∴AC＝45×8＝352，∴BC＝ AB2－AC2＝254.
的延长线于点 D.若⊙O 的半径为 1，则 BD 的长为
（D ）
A．1
B．2
C. 2
D. 3
8．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂 直，垂足为 D. (1)求证：AC 平分∠DAB；
3 (2)若 AD＝8，tan∠CAB＝4，求边 AC 及 AB 的长．
如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作 AC的垂线，垂足为点E. (1)求证：点D是BC的中点； (2)求证：DE是⊙O切线． 【思路分析】(1)根据“三线合一”证明； (2∵AB是直径，∴AD⊥BC， 又∵AB＝AC，∴BD＝CD, ∴点D是BC的中点． (2)连接OD，∵AO＝BO, BD＝CD， ∴OD∥AC，又∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线． 【名师支招】切线的判定方法2，3的选择标准是看直线与圆的公共点是 否已知，若已知公共点，则连圆心与公共点，证垂直；若公共点未知， 则过圆心作垂线，证d＝r.
九年级数学圆的切线的知识点
九年级数学圆的切线的知识点数学中的圆是一个常见的几何图形，它有许多有趣的性质，其中之一就是切线。
切线是一个与圆相切于一点且与圆没有其它的交点的直线。
在这篇文章中，我们将探讨九年级数学课程中关于圆的切线的知识点。
1. 切线定义及性质切线是一个特殊的直线，它与圆只有一个交点，且与圆在该点的切线相切。
切线的性质有以下几点：(1) 切线与半径垂直：切线与从切点到圆心的半径垂直相交。
(2) 弦切角相等：切线和过切点的弦所夹的角相等。
(3) 切线长度相等：从圆外的任意一点引切线，得到的切线长度都相等。
2. 切线的判定方法在几何中，判断一条直线是否为圆的切线，有以下两种判定方法：(1) 切线判定法一：若直线与圆只有一个交点，并且该交点到圆心的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。
(2) 切线判定法二：若直线与圆相交，且与圆的切点处平分被切角，那么该直线也是圆的切线。
3. 切线的性质在解题中的应用切线的性质经常在解题过程中被使用，下面介绍几个常见的应用情况：(1) 切线的长度：我们可以利用切线的性质来求解切线的长度。
根据切线与半径垂直的性质，我们可以使用勾股定理或者勾股定理的变形来求解切线的长度。
(2) 弦的长度：通过切线和弦的切角相等的性质，我们可以利用已知的切线长度和弦的长度来计算未知的切线或者弦的长度。
(3) 切线的方程：切线与圆的关系可以通过方程来表示。
我们可以利用切线判定法一中的条件，得到切线方程的一般形式。
4. 实际生活中的切线应用切线在实际生活中有许多应用，下面介绍几个例子：(1) 轮胎的设计：车辆的轮胎通常是圆形的，轮胎的切线对于保证行驶的稳定性非常重要。
(2) 光学反射：光线在两种介质之间传播时，若入射角等于反射角，则光线与界面的交点所在的直线即为切线。
(3) 经济决策：在经济学中，曲线图表上的切线可以表示某一点的边际效应，帮助决策者做出合理的判断。
总结起来，九年级数学课程中关于圆的切线的知识点包括切线的定义及性质，切线的判定方法，切线性质的应用，以及实际生活中的切线应用。
初中九年级上册数学课件 圆 切线的性质
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
D
C
E
l
A
O
B
6、如图，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC 的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO 及延长线分别交AC、BC于点 G、F.
(1) 求证：DF垂直平分AC； （2）求证：FC＝CE； （3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.
OM﹤OA，这说明圆心O到直线 a的距离小于半径OA，于是直
a
线a就要与圆相交，而这与直线
O
a是圆O的切线相矛盾。
因此，OA与直线a垂直。
MA
a
性质3：圆的切线垂直于过切点的半径。
符号语言 ∵ 直线a是圆O的切线,切点为A
∴ OA ⊥ a
练习1
AC是直径，AB和CD
是切线，判断AB和CD
的位置关系
3、AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E, 过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
4、已知的半径为R，AB是⊙O的直径，D是 AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切 点，连结AC，若∠CAB=30o, 求BD的长.
A
O
B D
C
5、如图，⊙O的直径AB ＝4，C为圆周上一点， AC ＝2，过点C作⊙O的切线 l，过点B作l的 垂线BD，垂足为D，BD与⊙O 交于点E．
圆的切线的性质
知识回顾 证明一条直线是圆的切线有哪些方法?
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
解题方法：有交点，连半径，证垂直。
无交点，作垂直，证半径。
初中数学 什么是切线
初中数学什么是切线在几何学中，切线是指与给定曲线（如圆、椭圆、抛物线等）仅有一个公共点且与该曲线相切的直线。
切线在数学中有着重要的应用和意义。
在本文中，我将详细解释切线的概念、性质和应用。
切线的定义如下：对于给定曲线上的一点P，经过P点且与曲线相切的直线称为曲线在P点的切线。
切线与曲线仅有一个公共点，即切点。
切线的位置和方向是由曲线在该点的切线斜率决定的。
切线的性质包括以下几个方面：1. 切线与曲线在切点处的切线斜率相等。
切线斜率可以用导数来表示，即切线斜率等于曲线在该点的导数值。
2. 切线与曲线在切点处的切线垂直。
这是因为切线斜率与曲线的斜率相等，而曲线的斜率是垂直于切线的。
3. 切线在切点处与曲线有公共的切点。
这是切线的定义所决定的，切线与曲线仅有一个公共点，即切点。
通过切线的性质，我们可以进行切线的求解和应用。
以下是一些常见的切线应用：1. 求解曲线的切线方程。
根据切线的性质，我们可以通过求解切线的斜率和切点来确定切线的方程。
通常，切线方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k为切线的斜率，b为切线与y轴的截距。
2. 计算曲线上某点切线的斜率。
通过求解曲线在该点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而确定切线的性质和方程。
3. 解决与切线相关的几何问题。
切线在几何学中有着广泛的应用，如切线与圆的性质、切线与曲线的相交问题等。
通过应用切线的性质和定理，我们可以解决与切线相关的几何问题。
总结起来，切线是与给定曲线仅有一个公共点且与曲线相切的直线。
切线的性质包括切线斜率相等、切线垂直于曲线、切线与曲线有一个公共切点等。
切线在数学中有着广泛的应用和意义，可以用于求解切线方程、计算切线斜率以及解决与切线相关的几何问题。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
人教版九年级数学上册2切线长定理
证明：由切线长定理得
D
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
O
DN=DP
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
AL
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
C M B
练一练
1．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则 ∠BOC的度数为（ ） A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】C 【详解】 解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上， ∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4， ∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20． 故选：C．
课后回顾
课后回顾
01
02
03
【答案】C 【详解】 ∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°． 故选C．
练一练
2．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点， 分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25
知识回顾
圆的切线的判定定理和性质定理各是什么？
判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。
问题1：如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
连接OP，以OP为直径作圆，与⊙O 交于A、B两点。 连接PA、PB， 则PA、PB即为⊙O切线。
A
O
九年级数学切线的性质与判定2
A
O
B
OC=OC
∠OBC=∠ODC
∵BC是⊙ 的切线,∴∠OBC=90°
∴∠ODC=90°.
∴DC是⊙ 的切线
怪有着极似木头一样的肩胛和很像新月造型的翅膀，这巨怪柔软的深黄色元宵似的胸脯闪着冷光，仿佛面包造型的屁股更让人猜想。这巨怪有着酷似卧蚕一样的腿和水 青色柠檬一样的爪子……古怪的淡绿色肥肠似的三条尾巴极为怪异，墨紫色黑熊一样的牛怪雪峰肚子有种野蛮的霸气。深黄色鲇鱼造型的脚趾甲更为绝奇。这个巨怪喘 息时有种暗青色豆包似的气味，乱叫时会发出纯蓝色铁饼般的声音。这个巨怪头上深绿色熏鹅造型的犄角真的十分罕见，脖子上如同牙膏造型的铃铛丰盈的脑袋好像绝 无仅有的神气飘然！月光妹妹笑道：“就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组 成了一个巨大的熊掌号喉圣！这个巨大的熊掌号喉圣，身长二百多米，体重七十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分壮丽的号喉！这巨圣有着青古磁色驴肾般的身躯和 淡紫色细小布条样的皮毛，头上是紫玫瑰色肥肠模样的鬃毛，长着碳黑色海豹般的香炉春藤额头，前半身是青兰花色香蕉般的怪鳞，后半身是古怪的羽毛。这巨圣长着 乳白色海豹般的脑袋和钢灰色马心般的脖子，有着白杏仁色古树造型的脸和亮灰色玩具般的眉毛，配着土灰色海蜇模样的鼻子。有着水白色天网造型的眼睛，和锅底色 榛子般的耳朵，一张水白色古猿般的嘴唇，怪叫时露出淡黑色鳞片般的牙齿，变态的青兰花色刀峰样的舌头很是恐怖，淡紫色章鱼形态的下巴非常离奇。这巨圣有着酷 似画笔般的肩胛和活像灵芝模样的翅膀，这巨圣笨拙的青远山色兔子样的胸脯闪着冷光，极似狮子模样的屁股更让人猜想。这巨圣有着活似猩猩般的腿和中灰色板斧般 的爪子……细长的紫玫瑰色海蜇样的八条尾巴极为怪异，粉红色秤砣般的核桃星花肚子有种野蛮的霸气。青远山色铁链模样的脚趾甲更为绝奇。这个巨圣喘息时有种土 灰色花豹样的气味，乱叫时会发出白象牙色冰块造型的声音。这个巨圣头上烟橙色黑熊模样的犄角真的十分罕见，脖子上仿佛竹竿模样的铃铛深绿色南瓜模样的脑袋仿 佛真是典雅和出色。这时那伙校精组成的巨大假山豺角怪忽然怪吼一声！只见假山豺角怪抖动酷似卧蚕一样的腿，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来… …突然，整个怪物像巨大的紫宝石色种子一样裂开……二条淡紫色榛子模样的残缺巨根急速从里面伸出然后很快钻进泥土中……接着，一棵墨绿色手杖模样的奇寒巨大 怪芽疯速膨胀起来……一簇簇青远山色槟榔模样的凶恶巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵紫葡萄色杏仁模样的贪婪巨蕾恐怖地钻了出来……随着
切线的性质与判定方法
切线的性质与判定方法引言在数学中，切线是用于描述曲线和函数图像上某一点附近的直线。
切线具有重要的几何性质，能够帮助我们理解曲线在某一点的变化规律。
本文将介绍切线的性质以及判定方法，以帮助读者更好地理解和应用切线概念。
切线的定义和性质切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线。
切线具有以下性质：1.切线与曲线相切于相交点，且相交点上的切线方向与曲线方向一致；2.切线与曲线的变化趋势相近，可以用切线来近似曲线在该点的变化规律。
切线的判定方法方法一：利用导数切线的判定方法之一是利用函数的导数。
对于函数f(x)，若某一点x=a处的导数存在，则可以通过求出该点的导数值来判定是否存在切线。
具体步骤如下：1.计算函数f(x)关于x的导数f′(x)；2.判断导数在点x=a处是否存在，即f′(a)是否有定义；3.若f′(a)存在，则点(a,f(a))处存在切线，其斜率为导数值f′(a)。
方法二：利用近似线性化切线的判定方法之二是利用近似线性化，即将曲线在某一点附近进行线性化处理，将曲线近似看作直线。
具体步骤如下：1.选择一个点P，并计算其横坐标和纵坐标分别为x0和y0；2.确定一个合适的区间范围，例如x在[x0−ℎ,x0+ℎ]的范围内，其中ℎ为一个较小的正数；3.在该区间内选择另外一个点Q，并计算其横坐标和纵坐标分别为x和y；4.计算点P和点Q之间的斜率 $k=\\frac{y-y_0}{x-x_0}$；5.若在不同的点对P和Q计算得到的斜率值都相近，则表示该曲线在点P的附近存在切线。
切线的应用举例例一：求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程首先，计算函数y=x2的导数：$$ \\frac{dy}{dx} = 2x $$在点(1,1)处的导数值为2，因此切线的斜率为2。
切线方程可以表示为：y−1=2(x−1)例二：利用切线近似计算函数值考虑函数 $y = \\sin(x)$，在x=0处的切线方程为y=x。
利用切线的性质，我们可以近似计算 $\\sin(0.1)$ 的值：将x=0.1代入切线方程y=x，得到y=0.1。
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案一、切线的概念1. 切线的定义在圆上取一点P，连接P与圆心O，若通过点P的直线与圆相交于点P，则这条直线称为该圆在点P处的切线。
2. 切线的性质切线只与圆相交于切点，且垂直于半径。
二、切线的判定1. 判定方法1在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
若连接P与圆心O的线段与已知直线L 垂直，则L与圆的交点就是切点，而L即为此点处的切线。
2. 判定方法2在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
作过点P并与已知直线L平行的直线，与圆相交于点Q。
再连接点Q与圆心O，则Q与L的交点即为圆在点P处的切点，L即为点P处的切线。
三、切线性质的应用1. 切线定理若一条直线与圆相交于点A、B，则与这条直线垂直的切线分别过点A、B。
2. 判定定理在圆上任取两点P、Q，以这两点为端点连一条线段，若该线段平分圆周角，则它的延长线必过圆的圆心。
3. 弦割定理两条互相垂直的弦互相垂直。
4. 弦长定理两条互相垂直的弦所对圆周的两段弧相等。
5. 弧上点角定理圆周上一点的任意两个角所对的弧长相等。
四、练习题1.已知圆O，半径为3.4cm，P为圆上一点，PA为一条直线，且PA=8.1cm。
求PA的垂线与OP的夹角。
2.已知圆的直径是20cm，D,E,F,G均在圆上。
若DE⊥FG，DE=12cm，FG=9cm，求DG的长。
3.已知圆心角ACB的弧度是20度，线段AB上一点D是圆上的一点，求角ADC的角度。
五、课堂小结1.切线的定义和性质。
2.切线判定方法和定理。
3.切线性质的应用。
4.练习题的解答。
六、作业1.完成课堂练习题。
2.独立思考，将切线定理、判定定理、弦割定理、弦长定理和弧上点角定理的证明写出来。
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2.切线的判定和性质
3.已知⊙O的半径r=7cm,直线a//b, 且a与⊙O相切,圆心O到b的距离为 9cm,则a与b的距离为 . 4.如图,直角梯形ABCD 中,AD//BC ∠A=900,以 A D CD为直径的圆切AB于E. E O 已知AD=3,BC=4,则⊙O B C 的直径为 .
5.如图,D是△ABC的AC边上一点, 0, A 且AD:DC=2:1.已知∠C=45 D 0.求AB是 ∠ADB=60 C B △BCD的外接圆的切线. O 6.如图,在△ABC B 0,⊙O切 中,∠C=90 AB于D,切BC于E, D E O 切AC于F,求∠EDF A C F 的度数.
7.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O 于B,⊙O的弦AD//OC.
⑴求证:DC是⊙O的切线;
⑵如果设⊙O的半径 为r.①求AD· OC的值; ②若有AD+OC=9r/2, 求CD的长.
D A O
C
B
课堂作业:
1.⊙O的圆心O到直线L的距离为d,⊙O 的半径为R.若d,R是方程x2-8x+15=0的 两个根时,则直线L与圆的位置关系 是 ;当d,R是方程x2-2x+m=0的两根, 若直线L与圆相切时,m= .
2.如图,OA,OB是⊙O的半 径,OA⊥OB.延长OB到C, 使BC=OB,CD切⊙O于D, 则∠OAD= 度.
O
B C
A D
3.正△ABC的边长为a,以A为圆心画半 径为r的圆,要使这个圆与三角形的三边 都有公共点,则r的取值范围是 . 4.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于 B,OC交⊙O于D,连AD并延长交BC于E. ⑴若BC=√3,CD=1,求⊙O的半径; A ⑵若取BE的中点F,连DF. O D 求证:DF是⊙O的切线. M ⑶过点D作DG⊥BC于 EGF B G,OE与DG交于M,试 C 判断DM与GM是否相等,并说明理由.
复习(一)
切线的概 念· 判定· 性质
复习目标:
1.了解切线的概念,直线和圆的位置关系; 2.掌握切线的判定定理和性质定理; 3.会用切线的判定,性质进行证明或计算.
复习指导:
回忆下列知识点,会的直接写,不会的可 翻书查找,边填边记,5分钟后,比谁能正 确填写,并能运用它们解题.
知识要点: 1.直线和圆的位置关系:
⑴判定定理:经ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ半径的 是圆的切线. 的直线
⑵性质定理:
①经过圆心垂直于切线的直线必经过 ②圆的切线垂直于 的半径;
;
③经过切点垂直于切线的直线必经过
.
检测练习:
1.设⊙O的半径为R,圆心到直线L的 距离为d,已知R=2,d=3,则直线与圆的 位置关系是 ; 若R=√5,则当 时, 直线与圆相交. 2.如图,以O为圆心,OA为 半径的⊙O交OB于C.若 O C OA=3,AB=4,BC=2,则AB A B 与⊙O的位置关系是 .