人教版几何模型基本图形
6.1几何图形 (课件)人教版(2024)数学七年级上册
(1)展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体或正
方体；
(2)展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或棱锥；
(3)展开图中有长方形(或正方形)和圆时，要考虑圆柱；
(4)展开图中有扇形时，要考虑圆锥.
感悟新知
知4－练
6-1.[期末·北京大兴区] 如图是由下列哪个立体图形展开得 到的？( B ) A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱
( B) A.1 种 C.3 种
B.2 种 D.4 种
感悟新知
知4－练
例 8 [立德树人 家国情怀]小红通过学习中国现代史了解到遵义 会议是中国共产党成立以来，第一次独立自主地运用马列
主义基本原理解决自己的路线、方针和政策问题的会议. 如图6.1-11，她将路线、方针、政策六个字分别填写在正 方体的展开图上，折叠成正方体后，
▲▲▲
综合应用创新
题型 2 列代数式表示实际问题
例 12 [新趋势 学科内综合]如图6.1-18，这是一个正方体的 表面展开图，且正方体相对面上的两个数互为相反数.
综合应用创新
(1)a=__3__，b=_－__1_，c=__5__； 解题秘方：根据正方体的表面展开图特点找到a，b，c 相对应的数字，再根据相反数的概念即可解题. 解：由正方体的表面展开图特点可知，a 与－3 相对，b 与1 相对，c 与－5 相对. 因为正方体相对面上的两个数 互为相反数，所以a=3，b=－1，c=5 .
点：线• 和• 线• 相• 交• 的地方是点.
感悟新知
2. 点、线、面、体的关系
知5－讲
感悟新知
知5－讲
特别解读
1. 几何中的点只有位置，没有大小；线只有长短，没
有粗细；面只有大小，没有薄厚.
三角形全等几何模型(一线三等角)(人教版)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册专项突破
专题12.11三角形全等几何模型（一线三等角）第一部分【知识点归纳】【知识点一】一线三直角模型1.基本图形题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°图1图2图3解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS 或ASA）结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：（1）四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）【知识点二】一线三等角模型图4图5题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥，BE MN ⊥，垂足分别为D E 、．（1）求证：ADC CEB ≌；（2）若3cm =AD ，5cm BE =，求四边形ABED 的面积．【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是3cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE 的长度为（）A ．30cmB ．27cmC ．21cmD ．10cm【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若5BE =，2CF =，则EF 的长度为．【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知ABC 是直角三角形，90BAC AB AC ∠=︒=，，直线l 经过点A ，分别过点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E（1）如图a ，当点B 、C 位于直线l 的同侧时，证明：ABD CAE≌（2）如图b ，锐角ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B ，C 位于l 的同一侧，如果CEA ADB BAC ∠=∠=∠，请找到图中的全等三角形，并写出线段ED EC 、和DB 之间的数量关系【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3B ．2C ．94D ．92【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系问题情境：如图1，三角形纸片ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =.将点C 放在直线l 上，点A ，B 位于直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D初步探究：（1）在图1的直线l 上取点E ，使BE BC =，得到图2，猜想线段CE 与AD 的数量关系，并说明理由；（2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN 继续进行拼图操作，其中90MPN ∠=︒，MP NP =.小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN 的顶点P 放在直线l 上，点M 与点B 重合，过点N 作NH l ⊥于点H .如图3，探究线段CP ，AD ，NH 之间的数量关系，并说明理由【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，906AC AB BD ABD BC ==∠=︒=，，，则BCD △的面积为（）A ．9B ．6C ．10D ．12【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，过点C 作CD AC ⊥，且CD AC =，连接BD ，若92BCD S = ，则BC 的长为．【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展【例4】如图，A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（-3.0），D 为x 轴上的一个动点，AE ⊥AD ，且AE=AD ，连接BE 交y 轴于点M（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:（2）求证:M为BE的中点（3）当D点在x轴上运动时，探索:OMBD为定值【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD中，则该长方形中空白部分的面积为（）A．54B．60C．100D．110【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川南充·中考真题）如图，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为．2、拓展延伸【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．（1）操作发现：如图甲，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，且AB AC =，直线l 经过点A ．小华分别过B 、C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．易证ABD CAE △△≌，此时，线段DE 、BD 、CE 的数量关系为：；（2）拓展应用：如图乙，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，已知点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A 的坐标：；（3）迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰ABC ，AB AC =，且90BAC ∠≠︒，她在直线l 上取两点D 、E ，使得BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请你帮助小华判断（1）中线段DE 、BD 、CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，ABC 中，2AB AC =，90BAC ∠≠︒，点D 、E 在直线l 上，且BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请直接写出线段DE 、BD 、CE 的数量关系．【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1，90ACB AC BC AD CE BE CE ∠==⊥⊥，，，，垂足分别为D ，E ．（1）若 2.5cm 1.7cm AD DE ==，，求BE 的长．（2）在其它条件不变的前提下，将CE 所在直线变换到ABC 的外部（如图2），请你猜想AD DE BE ，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AC BC =，D ，C ，E 三点在同一条直线上，并且有BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。
人教版初中数学一年级上册《几何图形- 点、线、面、体》图文课件
线 动 成 面
直角三角形绕一直 角边旋转成圆锥体
长方形绕一边旋 转成圆柱体
点动成—— 线 线动成—— 面
面动成—— 体
（动态）
体是由面围成 面与面相交成线 线与线相交成点
（静态）
练一练：把下面第一行的平面图形绕线 旋转一周，便能形成第二行的某个几何 体，请用虚线连一连：
1
2
3
4
5
A
B
C
D
2.老师叫小明在地上画圆圈,并交给了他两件东西:
一支粉笔和一根细绳,小明很快画好了,你知道他
是怎样画的吗?
从中体现了怎样的数学知识?
3. ①飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩 带”,用数学知识解释为： 点动成。线
②把一张纸对折，形成一条折痕,用数学知 识解释为： 面面相交形。成线
● 你学到了什么？
1、多姿多彩的图形是由点、线、面、体组 成。点是构成图形的基本元素。
面与面相交的地方形成线
点
点
天上的星星、地图上的城市等都给我们以点的形象。
线和线相交的地方是点。
练一练：下图是一个长方体的模型，它 有几个面？面和面相交的地方形成了几 条线？线和线相交成几个点？
·· ·· ·· ··
6个面 12条线 8个点
几何图形是由点、线、面、体组成的
点动成线
点 动 成 线
E
为什么北 京市在右 边地图上 几乎占了 整个版面
点无大小 北京市地图
为什么在 左边地图 上北京只 是一个点
点
是构成图形 的基本元素
点、线、面、体经过运动 变化，形成多姿多彩世界。
点、线、面、体经过运动 变化，形成多姿多彩世界。
点、线、面、体经过运动 变化，形成多姿多彩世界。
九年级数学几何模型
九年级数学几何模型一、相似三角形模型。
1. A字模型。
- 基本图形：在三角形ABC中，DE平行于BC，则三角形ADE相似于三角形ABC。
- 性质：对应边成比例，即(AD)/(AB)=(AE)/(AC)=(DE)/(BC)。
- 应用：在很多几何证明和计算中，若已知平行关系和部分线段长度，可以利用此模型求出其他线段的长度。
例如，已知AD = 2，AB = 5，BC = 6，求DE的长度。
根据(DE)/(BC)=(AD)/(AB)，可得DE=(AD× BC)/(AB)=(2×6)/(5)=(12)/(5)。
2. 8字模型。
- 基本图形：若有四边形ABDC，其中AB与CD相交于点E，则三角形AEC相似于三角形BED。
- 性质：(AE)/(BE)=(CE)/(DE)，并且AE× DE = BE× CE。
- 应用：在求解线段比例关系或者证明线段乘积相等时经常用到。
比如在一个几何图形中，已知AE = 3，BE = 4，CE = 6，求DE的长度。
根据AE× DE = BE×CE，可得DE=(BE× CE)/(AE)=(4×6)/(3)=8。
3. 母子相似三角形模型（射影定理模型）- 基本图形：在直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，CD垂直于AB于点D。
则三角形ACD相似于三角形ABC，三角形BCD相似于三角形BAC，三角形ACD相似于三角形CBD。
- 性质：- 在三角形ACD与三角形ABC中，AC^2=AD× AB。
- 在三角形BCD与三角形BAC中，BC^2=BD× AB。
- 在三角形ACD与三角形CBD中，CD^2=AD× BD。
- 应用：在涉及直角三角形中的线段长度计算和比例关系证明时非常有用。
例如，在直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，CD垂直于AB，AD = 2，DB = 8，求AC 的长度。
新人教版七年级数学上册《几何图形初步》精品课件(共37张PPT)
四棱柱 五棱柱
六棱柱
圆锥
锥体
三棱锥
棱锥
四棱锥 五棱锥
六棱锥
认识多面体
若围成立体图形的面是平的面，这样的立体图形又称为多面体
著名的欧拉公式：
多面体可以按面数V来+分F类-E，=如2下列图形中：
V：点、 E：棱、 F：面
四面体
六面体
八面体
正视图 从正面看
• 观察 • 立体图
三视图
左视图 从左面看 俯视图 从上面看
D
O
使DB=2CD，延长DC到A，使AC= 1 CB， C
若AB=10，则CD= ______
2
A CD
B
用一个大写字母表示点，1.当角的顶点处只有一个角时,可用表示 用二个大写字母表示线，顶 2.在点顶的点一处个加大上写弧字线母注表上示数; 字; 用三个大写字母表示角，3.在顶点处加上弧线注上希腊字母.
练 习： ⑺在以O为端点的两条射线上，分别取线段OA 、OB二等分OA 、OB，分别得 中点M、N，连结A、B并连结M、N。
• 2.如图：用所给的字母表示图中分别有直线_____,射线
B
______________,线段____
A
DE
CD 、CE、AB
AC DC E
3.填空：⑴如果两条直线有一个公共点，那么这两
A
B
C
o
1
ABC
o
1
1周角=3600 1平角=1800 小于平角的角按角的大小分类
▪ 锐角:小于直角的角; ▪ 直角:平角的一半(900); ▪ 钝角:大于直角且小于平角的角.
角度的转化： 1°=60′ 1′=60 〞 1°=3600 〞
角度的加减： 1.同种形式相加减； 2.度加（减）度；分加（减）分； 秒加（减）秒 3.超60进一；减一成60
人教版几何模型基本图形
A BC DEAC DBEABCDDABDEFGD AB CEADCBECNOMDAEC BAEFBOEABCDA1.EC FC⇒⊥正方形ABCD中，BD⊥CE⇔BD＝CE平移后也成立2. //AB CDB D E⇒∠+∠=∠6.△ABD，△ACE为等边△⇒BE＝CDBE、CD相交所成锐角为60°//360AB CDB D E⇒∠+∠+∠=︒ABDE与ACFG为正方形⇒EC＝BG，BG⊥CE注：条件可换成△BAE，△CAG为等腰Rt△3.B D⇒∠=∠7.①AD平分∠CAB；②DE//AC；③AE＝DE中，知二推一1902BOCA⇒∠=︒+∠8. △ABC为等腰Rt△,AE平分∠CAB，∠D＝90︒⇒AE＝2BD12BOC A⇒∠=∠DE//BC⇒C△ADE＝AB+AC1902BOCA⇒∠=︒-∠9.AC＝BC，则CE⊥BD⇔CE＝BD△ACD、△BCE为等边△，A、C、B共线⇒△ACE≌△DCB; △ACM≌△DCN △MCE≌△NCB; AE＝BD，AM＝DN，EM＝BN，CM＝CN，AE、BD相交成锐角60°，AO＝DO+CO，BO＝EO+CO，OM+ON＝CO，OC平分∠AOB，注：△BCE绕C旋转时，结论有些变化.10. AC＝BC⇒△DEF为等腰Rt△15. ⇒OD＝OEBE+CD＝BCA ABCD21D CBAE FE F A ′B ′C′O ABCDAD BCEFE FMA C DB F MGAB C DE45︒FEABCD ⇒PB+PC ＝2PD ∠ABP+∠C ＝180°16.AD ＝CD ⇔CD ＝BD ⇔AD ＝BDAB ＝AC⇒AE+BE ＝BC17.⇒∠A ＝∠B或∠A+∠B ＝180°12.AC ＝BC⇒∠ADC ＝∠BDF ； CF+DF ＝AD18. ⇒DE+BF ＝EFAE 平分∠DEF ，AF 平分∠BFE13.⇒CD ＝CE ＝BG CEFD 为菱形∠2＝2∠1 ⇒AF ＝BC+CF14.AB ＝AC⇒DE+DF ＝BM （钝角△也成立）⇒AE+CF ＝CDEF OES 四边形OEBF ＝14a 2等腰梯形 ⇒EF+EG ＝CM⇒BE+DF=AEEFDCBAGHA B CDE FE B A CDABCNM DF AB CE H 1ADBCB ACDEFEC BADAB CDFEA BCDEFABCDEFA 19.BF=AD ⇔BF ⊥AD⇒∠1＝∠B△ADC ∽△CDB ∽△ACB AC 2=AD ·AB BC 2＝BD ·BAAC ·BC ＝AB ·CD CD 2＝AD ·BD BF=AC ⇔BF ⊥AC25.∠C ＝∠D⇔△ABC ∽△ADE ⇔AB ·AD ＝AC ·AE 20.中点四边形EFGH 至少是，取决于AC 、BD 的关系，EF ，EH 的关系对应AC 、BD 的关系26.∠B ＝∠E⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD ·AB ＝AC ·AE21. 梯形ABCD 中： ①AE ＝BE ； ②AD+BC ＝CD ；③DE ⊥CE ，知二推一27.⇒DF ＝EF22. ⇒AM 2+BN 2＝MN 228.2AE AFED BF⇒=23.AD ＝BC ＝a ，BF ＝CF⇒HF+HD ＝a29. ⇒EF//ADEF ＝12(BC －AD)OMDCB AE N OFABCDENMOD C B A N A B C D EM aaM ABODE MEA CN B D FEB C D A1D CBA G E ABCDM FA24.∠1＝∠C⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD ·AB ＝AE ·AC 30.⇒AN DGAM BC=∠1＝∠B⇔△ADC ∽△ACB ⇔∠ADC ＝∠ACB ⇔AC 2=AD ·AB31.DE//BC⇒DN ＝EN ， BM ＝CM35.⇒AO ＝2DO BO ＝2EO CO ＝2FO⇒MO ＝NO112AD BC MN +=⇒AB BM BNAC CM CN==32.⇒DM BN EM CN = 当DM ＝EM 时， 则BN ＝CN37.⇒222OD DE a += 222OD DE a +=同上33.⇒111AB CD EF+=34.AD ＝DC ，PN//BD ⇒PN+MN ＝2BDP FAB CDE MAO BCPAB ＝AC⇒PE+PF ＝2AD1半弧所对的圆心角等于整弧所对的圆心角 AOC APB ⇒∠=∠2（1）五元素：①CD 过圆心O ；②CD ⊥AB ；③AM ＝BM ；④AD BD ＝；⑤AC BC ＝中，知二推三。
人教版七年级上数学教学课件第四章几何图形全章
谜 语
：
落 到 水 中 看 不
千 条 线 万 条 线
见
1.把下面第一行的平面图形绕线旋转一周，便能形成第二 行的某个几何体，请用虚线连一连：
1
2
3
4
5
A
B
C
D
E
2.下图是一个长方体的模型，它有几个面，面和面相交的
地方形成了几条线？线和线相交成几个点？
·· ··
·· ·· 6个面
12条线
从上面看 从正面看
从左面看
从上面看 从正面看
从上面看 从左面看
从正面看
从正面看
从左面看
从上面看
利用骰子，摆成下面的图形，分别从正面、左面、上 面观察这个图形，各能得到什么平面图形？
从正面看
从上面看 从左面看
请你从不同角度观察，下列立体图形各是 什么图形?
把你手中的立体图形沿棱展开，看它的平面展开图是什 么?
➢(2)直线的表示方法是怎样呢? a
画一条直 线CF
AB
直线AB 或直线 a
线段
线段的表示方法:
a
A
B
在我们的日常生活 中有哪些有关“线 段”的形象的例子?
线段AB （线段BA）或线段a 画一画：画出线段b
b
射线
线段向一个方向无限延伸就形成了一条射线.
a
O
A
射线0A 或射线 a
射线0A和射线AO是 同一射线吗？
(B)圆柱
(C)圆锥 (D)圆
10．小明为班级专栏设计了一个图案，如图所示，主 题是“我们喜爱合作学习”，请你也尝试用圆、扇形、 三角形、四边形、直线等为环保专栏设计一个图案， 并标明你的主题．
几何图形的基本模型
几何图形的基本模型【典型例题】模型一：双子型（手拉手模型）——全等（1）等边三角形条件：ΔOAB, ΔOCD均为等边三角形。
结论：①ΔOAC≌ΔOBD ②AC=BD ③∠AEB=600④OE平分∠AED ⑤点E在ΔOAB的外接圆上（2）等腰直角三角形条件：ΔOAB, ΔOC D均为等腰直角三角形。
结论：①ΔOAC≌ΔOBD ②AC=BD ③∠AEB=900 ④OE平分∠AED ⑤点E在ΔOAB的外接圆上（3）任意等腰三角形条件：ΔOAB, ΔOCD均为等腰三角形。
结论：①ΔOAC≌ΔOBD ②AC=BD ③∠AEB=∠A0B ④OE平分∠AED（或∠AED的外角）⑤点E在ΔOAB的外接圆上例题：（1）如图①，△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰三角形ABD,ACE，分别取BD,CE,BC的中点M、N、G，连接GM、GN，线段GM与GN数量关系是；位置关系是（2）如图②，把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，AB﹥AC,其中，其它条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由。
（3）如图③，在（2）的基础上，又作了进一步的探究，向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD、ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明。
模型二：双子型（手拉手模型）——相似（1）一般情况条件：CD ∥AB(ΔOCD ∽ΔOAB ),将ΔOCD 旋转至右图位置结论：右图中①ΔOCD ∽ΔOAB⇔ΔOAC ∽ΔOBD ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠AEB=∠AOB ③点E 在ΔOAB 的外接圆上。
（2） 特殊情况条件：CD ∥AB (ΔOCD ∽ΔOAB ), ∠AOB=∠COD=900将ΔOCD 旋转至右图位置结论：右图中①ΔOCD ∽ΔOAB ⇔ΔOAC ∽ΔOBD ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠AEB=900（BD ⊥AC ）③连接AD,BC ,则S ABCD =12AC ×BD ④OD OC =OBOA =tan ∠OCD ⑤点E 在ΔOAB 的外接圆上(A,O,E,B 四点共圆) ⑥必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2例题：以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO=∠DCO=300(1)点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM. ① 如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FMEM =② 如图2，将图1中△AOB 的绕点O 沿顺时针方向旋转α角(00＜α＜600)，其他条件不变，判断FM EM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明（3） 如图3，若B0=3√3，点N 在线段OD 上，且NO=2.点P 是线段AB 上的一个动点，在将ΔOAB 绕点0旋转过程中，线段PN 长度的最小值为 ，最大值为 。
人教版七年级数学上册第四章《几何图形初步》知识点汇总
⎧⎨⎩⎧⎨⎩人教版七年级数学上册第四章《几何图形初步》知识点汇总一、知识结构框图二、具体知识点梳理（一）几何图形(是多姿多彩的)立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.1、几何图形平面图形：三角形、四边形、圆等.主（正）视图---------从正面看；2、几何体的三视图 侧（左）视图-----从左面边看；俯视图---------------从上面看.（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.3、立体图形的平面展开图（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面图形不一样的.（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.4、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.面：包围着体的是面，分为平面和曲面.体：几何体也简称体.（2）点动成线，线动成面，面动成体.（二）直线、射线、线段1、基本概念图形直线射线线段端点个数无一个两个表示法直线a直线AB（BA）射线AB线段a线段AB（BA）作法叙述作直线AB作直线a 作射线AB作线段a作线段AB、连接AB延长叙述不能延长反向延长射线AB延长线段AB反向延长线段BA 2、直线的性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简称：两点确定一条直线.3、画一条线段等于已知线段（1）度量法（2）用尺规作图法4、线段的大小比较方法（1）度量法（2）叠合法5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点叫做线段的中点.图形：A M B符号：若点M 是线段AB 的中点，则AM=BM=AB ，AB=2AM=2BM.126、线段的性质：两点的所有连线中，线段最短.简称：两点之间，线段最短.7、两点的距离：连接两点的线段长度叫做这两点的距离.8、点与直线的位置关系 （1）点在直线上； （2）点在直线外.（三）角1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的表示法（四种）：∠1 ； ； ； .α∠β∠ABC ∠3、角的度量单位及换算4、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角.5、角的比较方法 （1）度量法 （2）叠合法6、角的和、差、倍、分及其近似值7、画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法，可以作出任意给定的角.8、角的平线线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.图形： 符号：9、互余、互补（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）余（补）角的性质：同（等）角的余角相等. 同（等）角的补角相等.10、方向角（1）正方向；（2）北（南）偏东（西）方向；（3）东（西）北（南）方向.。
人教版七年级数学上册第四章《几何图形初步》知识点汇总
⎧⎨⎩⎧⎨⎩人教版七年级数学上册第四章《几何图形初步》知识点汇总一、知识结构框图二、具体知识点梳理（一）几何图形(是多姿多彩的)立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等.主（正）视图---------从正面看； 2、几何体的三视图 侧（左）视图-----从左面边看；俯视图---------------从上面看.（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.3、立体图形的平面展开图（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面图形不一样的.（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.4、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.面：包围着体的是面，分为平面和曲面.体：几何体也简称体.（2）点动成线，线动成面，面动成体.（二）直线、射线、线段1、基本概念2、直线的性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简称：两点确定一条直线.3、画一条线段等于已知线段（1）度量法（2）用尺规作图法4、线段的大小比较方法（1）度量法（2）叠合法5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点叫做线段的中点.图形：A M B符号：若点M 是线段AB 的中点，则AM=BM=12AB ，AB=2AM=2BM. 6、线段的性质：两点的所有连线中，线段最短.简称：两点之间，线段最短.7、两点的距离：连接两点的线段长度叫做这两点的距离.8、点与直线的位置关系 （1）点在直线上； （2）点在直线外.（三）角1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的表示法（四种）：∠1 ； α∠ ； β∠ ； ABC ∠.3、角的度量单位及换算4、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角.5、角的比较方法 （1）度量法 （2）叠合法6、角的和、差、倍、分及其近似值7、画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法，可以作出任意给定的角.8、角的平线线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线. 图形： 符号：9、互余、互补（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）余（补）角的性质：同（等）角的余角相等. 同（等）角的补角相等.10、方向角（1）正方向；（2）北（南）偏东（西）方向；（3）东（西）北（南）方向.。
初中数学 第一章基本的几何图形(5个) 人教版4精品公开课件
分 类
椎体
棱锥
球体 ⑦⑨
连 线
棱柱
球体 圆柱
连线
点、线、面关系
立方体展开图
如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的
数字和最小的是(B ).
A. 4
B. 6
C. 7
D.8
如图，是一个几何体的展开图，每个面都标了 字母，请回答问题： ①若E面是多面体的左面，则谁是右面？ ②若A面在前面，E面在下面，则谁在右面？ ③若C面上面，D面左面，则谁在后面？
判断正误
①延长直线AB至点C。（ ）
②延长射线AB至点C。（ ）
③反延长射线AB至点C。（ ）
④延长线段AB至点C。（ ）
⑤直线A和直线B交于点C(
)
⑥线段m和线段n交于点C(
)
⑦射线是直线的一半（ ）
⑧直线AB和直线BA是同一条直线（
⑨射线AB和射线BA是同一条射线（
⑩线段AB和线段BA是同一条线段（
②四条直线两两相交，最多会有 几个交点？
③五条直线两两相交，最多会有 几个交点？ ④n条直线两两相交，最多会有 几个交点？
解： ①如图，3条直线相交最多3个交点 解：②如图，4条直线，最 多有6个交点. 解：③如图，5条直线，最多有10个交点.
人教版九年级数学中考总复习《基本几何图形的认识》(共34张PPT)
考点3 平行线的判定
考点精讲 【例3】（2014汕尾）如图1-4-1-11，能判定EB∥AC的条件是
（）
A. ∠C=∠ABE B. ∠A=∠EBD C. ∠C=∠ABC D. ∠A=∠ABE
思路点拨：在复杂的图形中具有相等关系的两角，首先要判断 它们是否是同位角或内错角，根据平行线的判定定理找同位角 或内错角相等即可. 答案：D
考题再现
1. （2016长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ B ）
2. （2014佛山）若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部
分的角的大小是 A. 15° B. 30°
C. 45°
（C） D. 75°
3. （2015济南）如图1-4-1-1，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的
度数是
（ C）
B. ∠AOC=∠AOD-∠COD
C. ∠AOC=∠AOB+∠BOD-∠BOC D. ∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC
4. 如图1-4-1-20，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点
放在一个矩形的对边上，如果∠1=25°，那么∠2的度数是
A. 100°
B. 105°
（ C） C. 115° D. 120°
55°，则∠1等于
A. 55°
B. 45°
C. 35°
（ C） D. 25°
4. （2015广州）如图1-4-1-7，AB∥CD，直线l分别与AB，CD
相交，若∠1=50°，则∠2的度数为___5_0_°___.
考点演练
5. 如图1-4-1-8，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若
∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为
直线a平行直线b，可记作a∥b.
初中数学几何模型归纳
初中数学几何模型归纳1. 直线模型：直线是最基本的几何图形，可以用直线方程y = kx + b 来表示。
其中，k 是斜率，b 是截距。
2. 点模型：点是几何图形中的基本元素，可以用坐标(x, y) 来表示。
3. 线段模型：线段是由两个端点确定的有限长度的直线部分。
线段可以用起点和终点的坐标来表示。
4. 射线模型：射线是由一个端点和一个方向确定的无限延伸的直线部分。
射线可以用起点和方向向量来表示。
5. 角模型：角是由两条射线的公共端点和这两条射线之间的夹角组成的。
角可以用顶点、始边和终边来表示。
6. 三角形模型：三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。
三角形可以用三边的长度和三个内角的大小来表示。
7. 四边形模型：四边形是由四条边和四个内角组成的多边形。
四边形可以用四边的长度和四个内角的大小来表示。
8. 圆模型：圆是由一个圆心和一个半径确定的平面上的所有点到圆心的距离都等于半径的图形。
圆可以用圆心和半径来表示。
9. 椭圆模型：椭圆是由两个焦点和一个长轴、短轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之和等于常数的图形。
椭圆可以用两个焦点和长轴、短轴的长度来表示。
10. 双曲线模型：双曲线是由两个焦点和一个实轴、虚轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之差等于常数的图形。
双曲线可以用两个焦点和实轴、虚轴的长度来表示。
11. 正多边形模型：正多边形是由相等的边和相等的内角组成的多边形。
正多边形可以用边数和内角度数来表示。
12. 梯形模型：梯形是由一对平行边和一对非平行边组成的四边形。
梯形可以用两对边的长度和夹角来表示。
13. 矩形模型：矩形是由四个直角和两对相等的边组成的四边形。
矩形可以用两对边的长度和夹角来表示。
14. 正方形模型：正方形是特殊的矩形，它的四个边都相等且四个角都是直角。
正方形可以用边长来表示。
15. 三角形面积模型：三角形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式为S = (底边长度×高) / 2。
6.1 几何图形 课件 (共30张PPT) 2024—2025学年人教版(2024)数学七年级上册
6.1 几何图形
对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究. 从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形. 在建筑、 工程等设计中，也常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体 图形. 图6.1-5是一个工件的立体图，设计师们常常画出从不同方向 看它得到的平面图形来表示它(图6.1-6).
6.1 几何图形
3.如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的 立体图形。把有对应关系的平面图形与立体图形用线连起来.
6.1 几何图形
6.1 几何图形
6.1 几何图形
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本 元素. 一些庆祝活动的背景图案(图6.1-15)也可以看作由点组成.
点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图 形，形成多姿多彩的图形世界.
6.1 几何图形
1.围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的? 哪些面是曲的?
6.1 几何图形
6.1 几何图形
有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部 分都在同一平面内，它们是平面图形。
6.1 几何图形
虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的. 很多立体图形中的某些部分是平面图形，例如，长方体的侧面是长方形.
6.1 几何图形
1.一个铁球有下列性质：铁质，坚硬，灰黑色，球形， 直径为5cm，质量约为517g，摸上去较凉，等等，几何研究 其中的哪些性质?
6.1 几何图形
各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质，还具 有形状(如方的、圆的等)、大小(如长度、面积、体积等)和位 置关系(如相交、垂直、平行等)，物体的形状、大小和位置关 系是几何中研究的内容.
我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长 方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出 的，它们都是几何图形(geometric figure). 几何图形是数学研究 的主要对象之一.
初中数学66个几何模型
初中数学66个几何模型初中数学有许多有趣的几何模型，下面我将介绍其中的66个。
1. 点：几何中最基本的图形，没有长度和宽度，只有位置。
2. 直线：无穷大延伸的路径，由无数个点组成。
3. 线段：直线的一部分，有特定的长度。
4. 射线：起点固定，向一个方向无限延伸。
5. 角：由两条射线共享起点组成。
6. 直角：角的一种，两条射线相互垂直。
7. 锐角：角的一种，小于90度。
8. 钝角：角的一种，大于90度且小于180度。
9. 平行线：永远不会相交的直线。
10. 垂直线：两条直线相互垂直。
11. 三角形：由三条线段组成的图形。
12. 直角三角形：一条角为直角的三角形。
13. 等腰三角形：两条边长度相等的三角形。
14. 等边三角形：三条边长度都相等的三角形。
15. 直线角：由两条直线相交形成的角。
16. 顶角：两条直线相交时，不在同一边的两角。
17. 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
18. 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
19. 平行四边形：有两对平行边的四边形。
20. 矩形：有四个直角的平行四边形。
21. 正方形：既是矩形又是等边四边形的四边形。
22. 平行梯形：有两对平行边的梯形。
23. 圆：平面上由一条弧连结的所有点，到一个固定点的距离相等。
24. 圆心：圆的中心点。
25. 半径：圆心到圆上任意一点的距离。
26. 直径：穿过圆心并且两边端点在圆上的线段。
27. 弦：圆上两点间的线段。
28. 弓形：圆上的一段连续弧。
29. 扇形：由圆心和弧围成的区域。
30. 三角形的面积：三角形内部的空间大小。
31. 四边形的面积：四边形内部的空间大小。
32. 面积：平面图形内部的空间大小。
33. 周长：图形边界的长度。
34. 弧长：圆上弧的长度。
35. 圆周率：常数π，约等于3.14159。
36. 顶点：角的端点。
37. 对角线：多边形内连接两个非相邻顶点的线段。
38. 同位角：两直线被一条截线分割后，位于相应位置的角。
初中数学八大基本图形几何模型及练习
几何中的模型如同代数中的公式，是同学们快速解题的关键，如果平时多总结一些几何模型，对于几何的学习是非常有帮助的，一些学霸做题非常快，一部分原因就是如此。
今天来列举8个常考的几何模型，看到最后有惊喜！
一、相似三角形基本模型
相似三角形是几何证明中重要的应用之一，利用三角形相似可证明角相等、线段成比例（或等积式）以及求线段的长，所以能在复杂的图形中找到相似三角形的基本模型至关重要圆中得角相等的方法有很多，所以相似三角形常与圆相结合。
二、共顶点模型
又叫做手拉手模型，全等'、相似中最常见的一个类型。
三、半角模型
四、对角互补模型
邻边相等、对角互补 是典型的旋转模型。
五、一线三等角模型
六、弦图模型
七、中点模型
倍长中线、中位线 等都是很好的解题思路。
八、四点共圆模型
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2024版人教版数学七年级上册第六章几何图形初步6.1.2 点、线、面、体 教学课件ppt
A.1
B.2
C.3
D.4
当堂训练
3. 请把下图中的平面图形与其绕轴旋转一周后得到的立体图 形连接起来.
当堂训练
4.小明用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案 滚涂到墙上,下列给出的4个图案中,符合图示滚涂 出的图案是（ A ）
A.
B.
C.
D.
当堂训练
5.长为4cm，宽为2cm的长方形，绕其一边进行旋转得到 一个几何体.
（打一物）
谜底——雨—滴———
思考：将雨滴看知
学生活动一 【一起探究】 构成图形的元素 图中有哪些你熟悉的立体图形？
长方体
正方体
球
体
圆
柱
探究新知
以上立体图形都是几何体，简称体.
探究新知
1. 你知道这些几何体是由什么围成的吗？ 2. 下图中的图形分别有哪些面？这些面有什么不同吗？
第六章 几何图形初步
6.1 几何图形 6.1.2 点、线、面、体
学习目标
1.了解几何体、平面和曲面的意义，能正确判定 围成几何体的面是平面还是曲面. 2.了解几何图形构成的基本元素是点、线、面、 体及其关系，能正确判定由点、线、面、体经过 运动变化形成的简单的几何图形.
导入新课
猜谜语
千条线，万条线， 落入水中看不见.
围动
成成
体
物体的图形
探究新知
1. 几何体是由面围成的. 2. 面分为平的面和曲的面.
探究新知
实际生活中的平面与曲面
平平面面
曲面
曲面
探究新知
说一说
如下图，围成这些立体图形的各个面中哪 些面是平的？哪些面是曲的？
探究新知
观察长方体、圆柱、棱锥等熟悉的几何体模型，结合下 列问题小组合作探究：
数学48个几何模型总结
数学48个几何模型总结摘要数学中的几何模型是研究几何形状和空间关系的工具，具有广泛的应用。
本文总结了48个常见的几何模型，包括点、线、面和立体等，介绍了它们的定义、特点、性质和应用领域等内容。
1. 点(Point)点是几何学中最基本的概念，用于表示位置，没有大小和形状。
点常用大写字母标记，如A、B、C等。
2. 线(Line)线由无限多个点构成，是一维的，没有宽度和厚度。
线可用一条直线符号表示，如AB。
3. 线段(Segment)线段是由两个点确定的线段部分，有起点和终点。
线段通常用两个点的大写字母标记，如AB。
4. 射线(Ray)射线由一个起点和一个方向确定，可以无限延伸。
射线通常用一个点和一个方向符号表示，如AB→。
5. 直线(Angle)角是由两条相交的线段组成，分为内角和外角。
角常用顶点的大写字母来标记，如∠ABC。
6. 三角形(Triangle)三角形是由三条线段组成的图形，有三个顶点和三条边。
三角形根据边长和角度可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型。
7. 直角三角形(Right Triangle)直角三角形是其中一个角为直角的三角形。
直角三角形的斜边和直角边之间存在特殊的关系，如勾股定理。
8. 矩形(Rectangle)矩形是由四条边组成的四边形，有四个顶点和四个直角。
矩形的对角线相等且垂直，可以用长和宽来定义。
9. 正方形(Square)正方形是一种特殊的矩形，具有四个相等的边和四个直角。
10. 平行四边形(Parallelogram)平行四边形是一个有两对平行边的四边形，对角线不相交，相邻两边相等。
11. 梯形(Trapezoid)梯形是一个有一对平行边的四边形。
梯形的两条非平行边叫做腰，两个腰之间的距离叫做高。
12. 菱形(Rhombus)菱形是具有四条相等边的四边形，对角线相交于垂直的角。
13. 正多边形(Regular Polygon)正多边形是指边长和内角都相等的多边形，如正三角形、正四边形等。
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A
B
C D
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A C D
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E A B
C D
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C B
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E A
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B
N O
M
D
A
E C
B
F
A B
C
D
E F E D B
A
A B C O A
B C D
O
E
A B
C
D A
B C
D E
A
1.
EC FC ⇒⊥
正方形ABCD 中，BD ⊥CE ⇔BD ＝CE 平移后也成立
2. B D E
∠+∠=∠
6.
△ABD ，△ACE 为等边△⇒BE ＝CD BE 、CD 相交所成锐角为60° //360AB CD
B D E ⇒∠+∠+∠=︒
ABDE 与ACFG 为正方形⇒EC ＝BG ，BG ⊥CE 注：条件可换成△BAE ，△CAG 为等腰Rt △ 3. B D ⇒∠=∠ 7.
①AD 平分∠CAB ；②DE//AC ；③AE ＝DE 中，知二推一
4.
1
902
BOC
A
⇒∠=︒+∠ 8.
△ABC 为等腰Rt △,
AE 平分∠CAB ，
∠D ＝90︒
⇒AE ＝2BD
1
2
BOC A ⇒∠=∠
DE//BC ⇒
C △ADE ＝AB+AC
1
902
BOC
A
⇒∠=︒-∠ 9.
5.
AC ＝BC ，则CE ⊥BD ⇔CE ＝BD
△ACD 、△BCE 为等边△，A 、C 、B 共线⇒ △ACE ≌△DCB; △ACM ≌△DCN △MCE
≌△NCB; AE ＝BD ，AM ＝DN ，EM ＝BN ，CM ＝CN ，AE 、BD 相交成锐角60°，AO ＝DO+CO ，BO ＝EO+CO ，OM+ON ＝CO ，OC 平分∠AOB ，注：△BCE 绕C 旋转时，结论有些变化.
10.
AC ＝BC
⇒△DEF 为等腰Rt △ 15.
⇒OD ＝OE BE+CD ＝BC
F M
D
G A B C E A
B
C
D
2
1
D C
B
A
E F
E F A ′
B ′
C
′
O A
B
C
D
A
D B
C
F
A P
C B
100︒
B C
A
E
E F
M
A C D
B F M
G
A
B C D
45︒
F
E
A B
C
D 11.
⇒PB+PC ＝2PD ∠ABP+∠C ＝180°
16.
AD ＝CD
⇔CD ＝BD ⇔AD ＝BD
AB ＝AC
⇒AE+BE ＝BC
17.
⇒∠A ＝∠B
或∠A+∠B ＝180°
12.
AC ＝BC
⇒∠ADC ＝∠BDF ； CF+DF ＝AD
18.
⇒DE+BF ＝EF
AE 平分∠DEF ，AF 平分∠BFE
13.
⇒CD ＝CE ＝BG CEFD 为菱形
∠2＝2∠1
⇒AF ＝BC+CF
14.
AB ＝AC
⇒DE+DF ＝BM （钝角△也成立）
⇒AE+CF ＝CD
EF ＝2OE
S 四边形OEBF ＝
14
a 2
等腰梯形
⇒EF+EG ＝CM
⇒BE+DF=AE
1
A
C
A
B C
D
F
E
1
A B
C
D
E 1
D
C
B
A G E A
B
C
D
M F
19.
BF=AD ⇔BF ⊥AD
⇒∠1＝∠B
△ADC ∽△CDB ∽△ACB AC 2=AD·AB BC 2＝BD·BA 少是 24.
∠1＝∠C
⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD·AB ＝AE·AC 30.
⇒
AN DG
AM BC
=
∠1＝∠B
⇔△ADC ∽△ACB
P F
A
B C D
E M P
A
B
N D
C
⇔∠ADC ＝∠ACB ⇔AC 2=AD·AB
AD ＝DC ，PN//BD
⇒PN+MN ＝2BD
AB ＝AC
⇒PE+PF ＝2AD
4
1
1802
C AOB ⇒∠=︒-∠
O
B A
C
5. 共斜边的两直角三角形，四个顶点在同一圆上。
B
A
C
D
D
C
A
B
10
BD CD ⇒= △ABE ∽△ADC ∽△CDE
△ABD ∽△AEC ∽△BED BD 2＝CD 2＝DE ·DA AB ·AC ＝AE ·AD AE ·
DE ＝BE ·CD
*
2cos AB AC
BAD AD
+=∠
若I 为△ABC 内心，则BT ＝CD ＝ID ，关注∠BAC 为特殊角时图形的特殊性、及相关比值。
14
PD PO PM PN ⇒=
△PDM ∽△PNO
CA 平分∠PCD △OND ∽△OPN
15
1
90BOC A ⇒∠=︒+∠
18
⇒AB+CD ＝AD+BC
19
22
AP BP r OP
⇒=-
△PBA∽△PCB BE·BD＝AD·CE
若AC是直径，则△ADP＝45°
*若△BDE为等腰Rt△或等边△时，上述结论有些变化。
23
AC EC
⇒=CB＝CG F为△ABC的内心
其它同前（10）题
AC。