最新必修四3.2 简单的三角恒等变换(教案)

3.2 简单的三角恒等变换

教案 A

教学目标

一、知识与技能

1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

2．会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用．

二、过程与方法

通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．

三、情感、态度与价值观

通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．

教学重点、难点

教学重点：

1．半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练．

2．三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．

教学关键：三角变换思路的引导．

教学突破方法：引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形．

教法与学法导航

教学方法：启发诱导，讲练结合.

学习方法：自主探究，合作交流.

教学准备

教师准备：多媒体，尺规.

学生准备：练习本，尺规.

教学过程

一、创设情境，导入新课

我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

二、主题探究，合作交流 提出问题： ①α与

2

α

有什么关系？ ②如何建立cos α与sin 2

2

a

之间的关系？ 师生互动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin 2

2

α

，将公式中的α用2α代替，解出sin 22α即可．教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是

2

α

的二倍角．在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中，以α代替2α，以2

α

代替α，即得

cos α=1-2sin 22

α

，

所以sin 22α=2

cos 1α

-． ①

在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中，以α代替2α，以2

α

代替α，即得

cos α=2cos 22

α

-1，

所以cos 22α=2

cos 1α

+． ②

将①②两个等式的左右两边分别相除，即得 tan 2

2α=α

αcos 1cos 1+-． ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；

(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)．

三、拓展创新，应用提高

例1 试以cos α表示2

2

2

sin ,cos ,tan 2

2

2

α

α

α

．

解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12

α

α=-和2cos 12sin 2

α

α=-来做此题．

因为2

cos 12sin 2αα=-，可以得到2

1cos sin 22α

α

-=

；

因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22

αα

+=．

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

又因为2

2

2

sin 1cos 2tan 2

1cos cos 2

α

α

ααα-=

=+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

活动：教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．

例2．求证：

（１）()()1

sin cos sin sin 2αβαβαβ=

++-⎡⎤⎣

⎦； （２）sin sin 2sin cos

22

θϕθϕ

θϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1

sin cos sin sin 2αβαβαβ=

++-⎡⎤⎣

⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=； ① 设,αβθαβϕ+=-=，那么,2

2

θϕ

θϕ

αβ+-=

=

．

把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos

22

θϕθϕ

θϕ+-+=． 点评：例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积

的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．

例３

求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．

解：sin y x x =+

这种形式我们在前面见过，

1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛

⎫===+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，