第十三章 三角形边角关系及命题与证明 (含答案)

第十三章三角形边角关系及命题与证明
一、单选题
1．已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（）
A． 3和4 B． 1和2 C． 2和3 D． 4和5
2．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）
A． 45° B． 45°或135° C． 45°或125° D． 135°
3．下列说法中正确的是（）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类
C．射线就是直线
D．两点之间的所有连线中，线段最短
4．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，C、D 两点落到、处已知
，且，则的度数为
A． B． C． D．
5．已知如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=60°，BO、AO分别平分∠ABC 和∠BAC，求∠BCO的大小（）A． 35° B． 40° C． 55° D． 60°
6．下列命题中，属于真命题的是（）
A．同位角相等 B．任意三角形的外角一定大于内角
C．多边形的内角和等于180° D．同角或等角的余角相等
7．如图：在△ABC中，G是它的重心，AG⊥CD ，如果，
则△AGC的面积的最大值是（）
A． B． 8 C． D． 6
8．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C．
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其中正确的是（）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
9．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是四边形ABCD内一点，若四边形AEOH、
四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为7、9、10，则四边形DHOG的面积为（）
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
10．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依
此类推，则S5的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1=∠2”,能说明它是假命题的反例
是_____.
12．如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边
△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为_____．
13．如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，则a的取值范围是_____．
14．如图，中，，、分别平分，，则________，
若、分别平分，的外角平分线，则________．
15．三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为______．
三、解答题
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16．已知:点D是∠ABC所在平面内一点,连接AD、CD．
（1）如图1,若∠A＝28°,∠B＝72°,∠C＝11°,求∠ADC;
（2）如图2,若存在一点P，使得PB平分∠ABC,同时PD平分∠ADC,探究∠A,∠P,∠C的关系并证明;
.
（3）如图3,在 (2) 的条件下,将点D移至∠ABC的外部,其它条件不变,探究∠A,∠P,∠C的关系并证明
（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（保留作图痕迹，不
写作法）；
（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，∠A=600，∠B=400，求∠BDC．
18．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．
(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；
(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成
立吗？说明理由．
①②
19．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们
把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：
问题一：在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的
数量关系；
问题二：在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD
的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试求∠P的度数；
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问题三：在图3中，已知AP、CP分别平分∠BAM、∠BCD，请问∠P与∠B、∠D之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．
问题四：在图4中，已知AP的反向延长线平分∠EAB，
CP平分∠DCF，请直接写出∠P与∠B、∠D之间的数量
关系．
20．一副三角板如图1摆放,∠C=∠DFE=90∘,∠B=30
∘,∠E=45∘,点F在BC上,点A在DF上,且AF平分∠CAB,现将三角板DFE绕点F顺时针旋转(当点D落在射线FB上时停止旋转).
(1)当∠AFD=_ __∘时,DF∥AC;当∠AFD=__ _∘时，DF⊥AB；
(2)在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若AFP有两个内角相等，求∠APD的度数；
(3)当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若∠AFM=2∠BMN，比较∠FMN与∠FNM的大小，并说明理由。

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参考答案
1．D
2．B
3．D
4．B
5．A
6．D
7．B
8．D
9．B
10．D
11．∠1=70°,∠2=20°(答案不唯一)
12．
13．10＜a≤10．
14．
15．
16．(1) 111º；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.
17．（1）作图见解析；（2）1000
18．(1)∠EFD＝∠C－∠B.（）成立，理由见解析.
19．(1) (2)38°(3) (4)
20．(1)30；60(2) 60∘或105∘或150∘(3)∠FMN=∠FNM
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