武汉大学研究生《泛函分析》期末试题15-16

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泛函分析2015-2016

一（10分）

设(X,ρ)为度量空间，令

U(x0,ε)={x∈X:ρ(x,x0)<ε},S(x0,ε)={x∈X:ρ(x,x0)≤ε}(1)问U(x0,ε)的闭包是否等于S(x o,ε)?

二（15分）

设p是赋范线性空间X上的次线性泛函，满足p(0)=0，且在0处连续。证明：p是连续映射。

三（15分）

设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子，若T的零空间是闭集，问T是否一定有界？

四（15分）

设X是可分的赋范线性空间，证明X∗中的任意有界序列{f n}必有弱*收敛的子列。

五（15分）

设H是Hilbert空间，φ(x,y)是定义在H×H上的泛函且关于x是线性的，关于y是共轭线性的，并且存在常数C使得|φ(x,y)|≤C∥x∥∥y∥，∀x,y∈H.

证明：存在唯一的线性算子A∈B(H)使得对所有x,y∈H，φ(x,y)= (Ax,y)且∥A∥=∥φ∥。其中∥φ∥=sup∥x∥=1,∥y∥=1|φ(x,y)|。

六（15分）

求R n在范数∥x∥=max1≤k≤n|ζk|下的共轭空间，其中任意x= {ζ1,ζ2,……,ζn}∈R n。

2七（15分）

设X=C[0,1]，A:x(t)→tx(t)，∀x∈X。证明：σ(A)=[0,1]，且A 没有特征值。