高一数学必修5课件：习题课数列求和

高中数学第二章数列习题课2数列求和课件新人教A版必修5

＋
1 a3a4
＋…＋
1 an－1an
可用裂项法求和，具体过程
如下：
∵an－11·an＝1dan1－1－a1n， ∴Tn＝1da11－a12＋a12－a13＋…＋an1－1－a1n ＝1da11－a1n＝na－1a1n .
①
xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1
②
①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 ＝x11－－xxn－nxn＋1， ∴Sn＝1－x x2·[nxn＋1－(n＋1)xn＋1]，
nn＋1

2
∴Sn＝0
1－x x2[nxn＋1－n＋1xn＋1]
当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和．
1．已知数列{cn}：1
1 2
，2
1 4
，3
1 8
，…，试求{cn}的前n项
和．
解析：令{cn}的前n项和为Sn，则Sn＝112＋214＋318＋…＋n＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋14＋18＋…＋12n
1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是( )
A．1,1
B．－1，－1
C．1,0
D．－1,0
解析： S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1， S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0. 答案： D
2．数列{an}，{bn}满足 anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn} 的前 10 项和为( )
(1)求an； (2)求数列{nan}的前n项和Tn.

高一数学必修5课件：习题课数列求和

① -②,得
23Tn=13+3×312+3×313+3×314+…+3×31��-(3n-2)×3��1��+1
=
1
13+3×32
1-3��1��-1 1-13
1
-(3n-2)×3��+1
=56
−
1 2
×
1
1
3��-1-(3n-2)×3��+1.
∴Tn=54
−
裂项相消法求数列的和,主要适用于数列的通项公式是分式,且分母是两个关于 n的一次因式的积.常见的裂项有:
-16-
习题课:数列求和
探究一
探究二
探究三
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
①1
��(��+1)
差数列,
1 2��
为等比数列,故采用分组法求和.
-5-
习题课:数列求和
探究一
探究二
探究三
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
解:Sn=112+314+518+…+
(2��-1)
+
1 2��
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一分组法求和
当一个数列本身既不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组法求和,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.

高中数学第1部分 2.5第2课时数列求和课件新人教A版必修5

观察条件 ―→ Sn＝－12n2＋kn及Sn的最大值为8 ―S―n是―关―― 于―n的―二――次―函―数→ 当n＝k时，Sn取得最大值
根据已知条件，可利用an与Sn的关系求通项公式注意公式的使用条件 an＝Sn－Sn－1＝92－nn≥2，a1＝S1＝72 验证n＝1时，an是否成立 an＝92－n.
[活学活用] 3．在数列{an}中，an＝n＋1 1＋n＋2 1＋…＋n＋n 1，且 bn＝ an·a2n＋1，求数列{bn}的前 n 项的和．解：an＝n＋1 1(1＋2＋…＋n)＝n2，∵bn＝an·a2n＋1， ∴bn＝n n2＋1＝8(n1－n＋1 1)，∴数列{bn}的前 n 项和为
2· 2 Sn＝8[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(n1－n＋1 1)]＝8(1 －n＋1 1)＝n8＋n1.
(2)令 bn＝an2－1 1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解](1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由于 a3＝7，a5＋a7＝26， ∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na12＋an， ∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
[名师批注]
1.利用 an＝Sn－Sn－1 时，易忽视条件 n≥2. 又 a1＝S1＝72，所以 an ＝92－n.
(2)因为9－2n2an＝2nn－1，(7 分) 所以 Tn＝1＋22＋232＋…＋n2－n－21＋2nn－1，(8 分) ① 所以 2Tn＝2＋2＋32＋…＋n2－n－31＋2nn－2，(9 分) ② ②－①：2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋2n1－2－2nn－1 ＝4－2n1－2－2nn－1＝4－n2＋n－12.(11 分) 故 Tn＝4－n2＋n－12.(12 分)

高中数学人教A必修5精品课件：2.5.3 数列求和专题

1. 3
a a2b a3b2 L a100b99
a 1 (ab)100 1 ab
1 2
1
(
1 6
)100
1 1
3 5
(1
1 6100
).
6
2.倒序相加法
倒序相加法在教材中是推导等差数列前n项和的方法
例2 S89 sin2 1 sin2 2 sin2 3 .... sin2 89
2.5.3数列求和专题
1.公式法
即直接用求和公式,求前n项和Sn
①等差数列的前n项和公式：Sn
n(a1 2
an
)
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式 ③ 1 2 3 L n 1 n(n 1)
2
Sn
na1 (q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
④ 12 22 32 L n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
⑤
13 23 33 L
n3
n(n 2
1)
2
例1：若实数a,b满足 4a2 9b2 4a 6b 2 0
求：a a2b a3b2 L a100b99
解：由已知有(4a2 4a 1) (9b2 6b 1) 0
即：（2a-1）2 (3b 1)2 0
解得a=
12，b
2 4 L 2n 3 51 52 L 5n
n(2 2n)
3
1 5
1
1 5n
2
1 1
n(n
1)
3 4
1
1 5n
5
规律概括：如果一个数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用分组求和法：在本章我们主要遇到如下两种形式的数列.

数列求和-裂项相消法-PPT课件

步骤： ①展开：将Sn展开
为等b比n 数列
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比
③错位：让次数相同的相对齐④相减⑤解出Sn
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
(教材必修5习题2.3B组第四题)
解：
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
Sn a1 a2 a3
an1 an
(1- 1）（1 - 1）（1 - 1）（ 1 1） (1 1 ) 2 2 3 3 4 n 1 n n n 1
1 (1 1 ) 3 3n 1
数列求和-裂项相消法
规律方法·反思提升
(1)an
1 n(n
k)
1 k
(
1 n
n
1
k
)
(2)bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3)bn
9n2
1 3n
2
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
数列求和-裂项相消法
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n，
S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3) ＋…＋( 2 016－ 2 015)＋( 2 017－ 2 016)＝ 2 017－1. 答案：C
数列求和-裂项相消法
强化练习·扩展延伸
强化练习2
题型3：
2n
11
an (2n 1)(2n1 1) 2n 1 2n1 1
数列求和数列求和的基本方法
知识回顾

高一数学数列求和课件新课标人教A 必修5(通用)

求S
x x y S lgn lgn 1 (•y ) .. l.gn
S ly g n lg y n 1 • ( x ) . .l.x g n
2 S l( g x)n y l( g x)n y . .l.( g x)n y
n(n1)a
3、求和
S 1 n 3 x 5 x 2 7 x 3 . . ( 2 n . 1 ) x n 1 , ( x 0 )
（1）x=1时，Sn=n2 （2）x≠1时
S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 x·S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1) xn
12x(1xn1)(2n1)xn 1x
其他求法
第一题
4
（1）求{an}的通项公式
（2）设
bn 1 anan 1
记{bn}的前n项和为Tn，求Tn
答
案
反馈练习1答案 (1) q=1时 S1+S2+…+Sn=a+2a+…+na= n(n 1)a
2
(2) q≠1时，S1+ S2+a …+[S1 (nq)(1q2).. .(1qn)] 1q
a [n(qq2...qn)] 1q
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+(a1+an)
Sn=
n(a1 an) 2
返
设等比数列{an}的首项是a1，公比是q
Sn=a1+a2+……+an =a1+a1q+a1q2+……+a1q n-1

高中数学第二章数列习题课数列求和课件新人教B版

1－q
习题课数列求和
12
预课当习堂∴导讲检S学义测n＝11－－qqn2－1n－·qqn ＝n·q栏Cn＋ON1目T－E1N索T－SnP＋qA引G12E qn＋1.
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
nn＋1 若 q＝1，则 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝ 2 ，
nn＋1 2
q＝1，
∴Sn＝nqn＋1－n＋1qn＋1
习题课数列求和
2
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
CONTENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
习题课数列求和
挑战自我，点点落实重点难点，个个击破当堂训练，体验成功
3
预课当习堂导讲检学义测
[预习导引]
栏目索引
CONTENTS PAGE
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
CONTENTS PAGE
第二章——
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
习题课数列求和
1
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
CONTENTS PAGE
习题课数列求和
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
[学习目标]
1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式. 2.掌握数列求和的几种基本方法.
1－q2
q≠1.
习题课数列求和
13
预课当规习堂律导讲检学义测方法用错位相减法栏求目和索时引，应注意：挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功 CONTENTS PAGE
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.

高中数学人教A版必修5课件：2.5.2数列求和习题课(42张)

对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．
|化解疑难|
求数列前 n 项和，一般有下列几种方法 (1)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对
应项相乘构成的数列求和． (2)分组转化法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的
2．已知数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1，则{an}的前 n 项
和 Sn 等于( )
A．n2
B．n2＋2n
C．2n2＋n
D．n＋2
解析：a1＝2×1＋1＝3， Sn＝na12＋an＝n3＋22n＋1＝n2＋2n. 故选 B. 答案：B
3．1＋1×1 2＋2×1 3＋…＋99×1100等于(
跟踪训练 1 求数列 214，418，6116，…，2n＋2n1＋1，…的前 n 项和 Sn.
解析：Sn＝214＋418＋6116＋…＋2n＋2n1＋1 ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋14＋18＋…＋2n1＋1 ＝n2n2＋2＋1411－－1212n ＝n(n＋1)＋12－2n1＋1.
)
99 199 A.100 B.100
98 197 C.99 D. 99
解析：因为nn1＋1＝1n－n＋1 1，所以所求和＝
1＋1－12＋12－13＋…＋919－1100 ＝1＋1－1100＝119090. 答案：B
4．数列{n·2n}的前 n 项和等于( ) A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2 C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋1
3Tn ＝ 6×1×31 ＋ 6×2×32 ＋ 6×3×33 ＋ 6(n － 1)×3n － 1 ＋ 6n×3n，②

高中数学习题课数列求和课件新人教a必修5

(��∈N*),求数列{bn}的前
n
项和
Tn.
解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
∵a3=7,a5+a7=26,
∴a1+2d=7,2a1+10d=26,
解得a1=3,d=2. 由于 an=a1+(n-1)d,Sn= ��(��12+��),
∴an=2n+1,Sn=n(n+2).
(3)错位相减法
若数列{an}为等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}.当求该数列的前n项和时,常常将 {anbn}的各项乘以公比q,然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减, 即可转化为特殊数列的求和,这种数列求和的方法称为错位相减法.
题型一题型二题型三
保留了哪些项.
3.常见的裂项相消技巧有:
(1)
1 ��(��+1)
=
1 ��
−
1 ��+1
;
(2)
1 (2��-1)(2��+1)
=
1 2
1 2��-1
-
1 2��+1
;
1 ��(��+��)=1 ��
1 ��
(2)已知数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,….
①求其通项公式an;
②求这个数列的前n项和Sn.
解①an=1+2+22+…+2n-1=

人教A版高中数学必修五2.5.2数列求和课件

且 a1 a4 9, a2a3 8.（Ⅰ）求数列 an的通项公式；
（Ⅱ）设 Sn 为an 前n项和 Tn .
数列的前n项和，bn
an1 Sn Sn 1
，求数列 bn的
1 2
4
1 35
1
nn
2
1 2
1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 4
1 6
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
2
1 2
1
1 2
1 n 1
n
1
2
3 4
2n
2n 3
1n
2
消项的规律具有对称性
1
2.数列 {an} 的通项公式是 an
n
，前n项和为9，则n＝__9__9____.
(1 1 )] n n1
裂项相消法
（三）裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和.
练一练
1
1
1
1
1.求数列 1 3 ，2 4 ，3 5 ， … ， n n 2 ， … 的前n项和．
解： an
1
nn
2
1 2
1 n
n
1
2ห้องสมุดไป่ตู้
sn
a1
a2
an
1 1 3
(2n
1)
1 2n
前n项的和.
例3：
1
1
1
求数列 1 ，1 2 ， 1 2 3，…， 1 2 3 ... n ， … 的前n项和．
Sn
1 1 1 2
1
1 23

高中数学人教A版必修5第2章第5节《数列求和》课件

1 2
(1 2
1 4
1 3
1 5
1 4
1 6
1 5
1 7
1 1 1 1 ) n n 2 n 1 n 3
••
•
•
Sn
1 2
(1 2
1 3
n
1
2
1) n3
5 12
2(n
2n 5 2)(n
3)
小规律：
裂项相消时，前面剩几项，对应后面就剩几项；前面剩第几项，对应后面就剩倒数第几项；前后至少各写出两组数。
解：设等差数列an
的首项为a1
,
公差为d， an
1 an1
的前n项和为Tn
3a1a123dd36
ad1
1 1
an n
1 1 anan1 n(n 1)
1 1 n n1
Tn
11
1 2
1 2
1 3
1 1 n 1
n n 1
1 1 1 11 n 1 n n nn1
常见数列的裂项方法
(1)
(3)2 4 6 (4)12 22 32
(5)13 23 33
2n n(n 1)
n2 n(n 1)(2n 1) 6
n3 n2 (n 1)2 4
二.倒序相加法
适用于：如果一个数列 an 中与首
末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和。
方法：把数列分别正着写和倒着写再相加。
1 2
an 2n 1
(2)
1
1
anan1 (2n 1)(2n 1)
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Tn
1 2
(1
1 3
1 3

高一数学必修5课件：习题课数列求和

高中数学第二章数列习题课2数列求和课件新人教A版必修5