偏好与效用函数
北京大学微观经济学 3、偏好与效用
PowerPoint Slides prepared by: Andreea CHIRITESCUAndreea CHIRITESCUEastern Illinois University偏好和效用PowerPoint Slides prepared by:Andreea CHIRITESCUAndreea CHIRITESCUEastern Illinois University•完备性–如果A 和B 是任意两种情况，理性人总能准确表达下列三种可能性之一准确表达下列三种可能性之:•A 优于B•B 优于A•B A 和B 具有同样的吸引力•传递性–如果个人表示“A 优于B ”以及“B 优于”，那么他一定会认为“”C ，那么他定会认为A 优于C–说明个人的选择具有内在一致性•连续性–如果个人表示“A 优于B ”，那么充分接的情况也一定优于近A 的情况也定优于B–用来分析个人对收入或价格发生相对较小变化的反应•假设: 完备性、传递性和连续性–人们可以规范的将所有可能的情况按照偏好程度由小到大进行排序•经济学家称这种排序为效用–如果一个人在A 和B 两种情况中偏好A–那么就可以说A 的效用比B 的效用大:U(A) > U(B)•效用–个人的偏好顺序可以用下列效用函数来表,x ,...,x 示U(x 1, x 2, . . . , x n )•其中x 1, x 2,…, x n 是个人在某一时点上可能消费的n n 商种品的数量•这个函数只有在保序变换时是唯一的•效用排序在本质上是序数的–记录人们对商品束的相对喜爱程度后谁的效用变–无法得知当情况A 变为B 后，谁的效用变化更大–不同人之间效用不可比较•效用的度量会受到多种因素的影响–所消费实物商品的影响–内心的态度–心理压力–个人经历–所处的文化环境•其他条件不变假定–“其他因素均相同”–集中精力分析那些可计量的选项•令影响行为的其他因素保持不变•消费商品的效用–假设个人必须在n 中消费品x 1, x 2,…, x n 中选择–个人对这些商品的偏好序可以用下列效用函数来表示: 效用= U (x1, x 2,…, x n ; 其他事物)–“”其他事物 在我们的分析中它们是保持不变的, 因此：效用= U (x 1, x 2,…, x n )–仅考虑两种商品, x 和y : 效用= U (x,y )•效用函数的参数–U(W) = 从真实财富(W)中获得的效用U(c h)=–U(c,h) = 从消费和休闲中获得的效用–U(c 1,c 2) = 从两个时期的消费中获得的效用•两种商品的效用函数U(x,y)•多消费比少消费好图中阴影区域表示的是那些排序优于消费组合(x*, y*)的组合(**)。
尼科尔森微观经济理论_基本原理与扩展(第9版)课后习题详解(第3章 偏好与效用)
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1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS 是否随着x 的增加而递减）。
（1）(),3U x y x y =+ （2）(),U x y x y =⋅ （3）(),U x y x y =+ （4）()22,U x y x y =- （5）(),xyU x y x y=+ 答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。
边际替代率为：/3/13x y MRS f f ===，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图3-7 完全替代型的无差异曲线（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。
边际替代率为：()()0.50.50.5///0.5/x y y x MRS f f y x y x -===，随着x 的递增，MRS 将递减，因而有凸的无差异曲线。
图3-8 凸状的无差异曲线（3）无差异曲线如图3-9所示。
边际替代率为：0.5/0.5x y MRS f f x -==，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
图3-9 拟线性型的无差异曲线（4）无差异曲线如图3-10所示。
边际替代率为：()0.522220.5/0.52/0.5()2/x y MRS f f x y x x y y x y --==-⋅-⋅=，因而边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。
图3-10 凹状的无差异曲线（5）无差异曲线如图3-11所示。
4、消费者行为理论_效用
CH4 效用1、效用：在消费者行为理论中，效用是描述“偏好”的。
2、※ 效用函数：是为偏好排序的一种简便方法。
为每个可能的消费束指定一个数字，使具有较多偏好的消费束>具有较少偏好的消费束。
基数效用：表示效用水平的数字有意义，两个消费束之间的效用差额有意义。
在现实中意义不大。
序数效用：表示效用水平的数字没有意义，两个消费束之间的效用差额没有意义。
U(X,Y)。
一般，采用序数函数。
效用函数的值，只在对不同消费束进行排列时才有意义。
3、效用函数的单调变换：（1）单调变换——若u 1>u 2,则“×正数、﹢任意数、奇次幂”，>方向不变（定义域、值域都不变）。
（2）效用函数，正单调变换后，还是效用函数，偏好不变。
（3）单调函数的变动率：是正的。
(因为：⊿f 与⊿u 方向相同)，图形总是正斜率。
4、从几何上说，效用函数，是为无差异曲线，标序数。
单调变换，是为无差异曲线，重新标序数。
二、不同偏好的效用函数1、完全替代效用函数：u(x 1, x 2)=a x 1 +b x 2 （a 、b 是衡量商品1、2对于消费者的“价值”的正数）替代率= 无差异曲线的斜率= -a/b如：u(x 1, x 2 （——可以单调变换）。
2、完全互扑 x 1, x 2)=min{ a x 1 ，b x 2} （a 、b 是描述商品消费比例的正数）3效用函数：u(x 1, x 2)=v(x 1)+ x 2=k （k 是常数=无差异曲线纵轴的高度）拟线性效用：=“局部线性”效用，即，对商品2，效用函数是线性的；对商品l ，是非线性的。
如：u(x 1, x 2 x 2、u(x 1, x 2)=ln x 1+ x 2，是拟线性偏好。
v(x 1, x 2)= x 1 + 22x + 2 x 也是拟线性偏好。
4、柯布—道格拉斯偏好效用函数：u(x 1, x 2)=1a x ×2b x （a b 是描述消费者偏好的正数，a+b=1）柯布—道格拉斯偏好，是性状良好的无差异曲线。
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第3章--偏好与效用)
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1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS 是否随着x 的增加而递减）。
（1）(),3U x y x y =+ （2）(),U x y x y =⋅ （3）(),U x y x y =+ （4）()22,U x y x y =- （5）(),xyU x y x y=+ 答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。
边际替代率为：/3/13x y MRS f f ===，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图3-7 完全替代型的无差异曲线（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。
边际替代率为：()()0.50.50.5///0.5/x y y x MRS f f y x y x -===，随着x 的递增，MRS 将递减，因而有凸的无差异曲线。
图3-8 凸状的无差异曲线（3）无差异曲线如图3-9所示。
边际替代率为：0.5/0.5x y MRS f f x -==，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
图3-9 拟线性型的无差异曲线（4）无差异曲线如图3-10所示。
边际替代率为：()0.522220.5/0.52/0.5()2/x y MRS f f x y x x y y x y --==-⋅-⋅=，因而边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。
图3-10 凹状的无差异曲线（5）无差异曲线如图3-11所示。
第一讲偏好与效用
13
14
定理 当X是有限集合时，一个理性的偏好关系一定能够 用效用函数表示
令X1 是X中最差选项的集合 如果X- X1 非空；令X2是X- X1中最差选项的集合， …. 如果X-(X1∪X2…∪Xn-1)非空;令Xn是X-(X1∪X2…∪Xn-1)中最差选 项的集合 • 直到 X =X1∪ X2 …,∪Xk • 因为X是有限的，所以k最大是|X|,而且根据引理Xn不是空集 ,n=1,2,…,k • 定义： u(x)=k, if x∈ Xk – 如果a b,那么 a∉X1∪X2…∪Xu(b)-1,所以u(a) u(b) • • • •
3
4
偏好关系
• 一个有效的回答一般排除以下情形 – 反应缺乏判断比较能力
• x和y不可比较 • 我不知道x是什么 • 我没有想法
偏好关系
• 理性的偏好关系
– 是定义在选择集 X 上满足以下条件的二元关系 • 完备性 (Completeness) 任意两个消费束 x, , y，都有 都有x y 或 y x。 • 传递性 (Transitivity) 任意消费束x, y, z,如果x y和y z, 那么就有x z
19
（2 ） li n→∞ x n = x 和 lim lim li n→∞ y n = y 那么，就有 x (x) x y y {yn} y x
– 所以有 yn ≻ xn – 与条件矛盾，所以假设不成立。
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证明：D1与D2等价
• D2ÆD1
– 给定偏好满足D2，令x≻y，B(x,r) 和B(y,r) – 假设对任意领域B(x,r) 和B(y,r) ，都存在 z∈ B(y), w∈ B(x) 使得 z w. – 由假设得到存在 xn ∈ B(x,1/n), yn ∈ B(y,1/n), 使得yn xn – 而且有 lim nÆ∞ xn=x, lim nÆ∞ yn=y。 – 所以，由D2得到 y x。 – 与条件矛盾，所以假设不成立
中级微观经济学讲义-2
第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（一）显示偏好弱公理
与古典的从偏好关系到效用函数再到需 求函数的逻辑思路不同， 求函数的逻辑思路不同，萨缪尔森从行为结 果本身推导人的行为准则，抛却了效用理论 果本身推导人的行为准则， 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 弱的要求，比如一致性。 弱的要求，比如一致性。
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化－续（2） 效用最大化－
罗伊恒等式】 【罗伊恒等式】 构造拉格朗日函数 L( x , λ ) = u( x ) + λ ( y − px )， ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) 根据包络定理， 根据包络定理， = = λ*以及 ∂y ∂y ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) = = − λ* x i*，可以得到 ∂ pi ∂p i ∂v ( p , y ) − ∂ pi x i* = x i ( p, y ) = ∂v ( p , y ) ∂y
x 2 f x1 , ∀t ∈ [0,1] ⇒ x t = tx 2 + (1 − t )x1 ~ x1 f ~ 公理 7 : 严格凸性 x 2 ≠ x1 , x 2 f x1 ⇒ x t f x1 ~ (排除了无差异集凹向原 点 < 多元化消费 > )
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（一）偏好关系－续（1） 偏好关系－
偏好公理： 偏好公理： 公理 4 : 局部非饱和性 公理 5 : 严格单调性 公理 6 : 凸性 ∀x 0 ∈ R n , ∃ε > 0 , ∃x ∈ B ε ( x 0 ) I R n ⇒ x f x 0 + + (排除了无差异区域的存 在 ) ∀x 0， x1 ∈ R n ， x1 ≥ x 0 ⇒ x1 f x 0 + ~ (排除了无差异集向上弯 曲)
尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》(第11版)笔记和课后习题详解-偏好与效用【圣才出品】
图 3-1 无差异曲线 ②无差异曲线的特点 第一，由于假定效用函数的连续性，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之 间，存在着无数条无差异曲线。离原点越近的无差异曲线所代表的效用水平越低，离原点越
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远的无差异曲线所代表的效用水平越高。 第二，在同一坐标平面上的任意两条无差异曲线不会相交。
源于个人将其用于购买效用最大的消费品。
当讨论个人的劳动—闲暇选择时有：效用＝U（c，h），其中 c 表示消费，h 表示在一段
给定时间内的非工作时间（即闲暇）。
当讨论在不同时段内个人的消费决策问题时有：效用＝U（c1，c2），其中 c1 表示在现时
段的消费，c2 表示在下一时段的消费。
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并不唯一，因此不能在不同人之间比较效用。
（3）其他条件不变的假定
影响效用度量的因素有很多：①所消费的实物商品的影响；②内心的态度；③来自同阶
层的心理压力；④个人经历；⑤所处的一般文化环境等等。
所以，对效用最大化选择的经济分析中，为了使选择分析形式简单、易于处理，一般都
假定其他条件不变。
（4）效用函数
2．效用及其表示方法 （1）效用的含义 效用是指消费者消费或拥有一定数量的某种商品时所获得的满足程度。一种商品给消费 者所带来的效用不同于该商品的使用价值，它是消费者对所消费商品给予的主观评价，不同 的消费者在相同的时间、地点消费相同数量的商品组合可以分别获得不同的效用，即使同一 消费者在不同的时期、不同的地点消费同样数量的商品组合也可获得不同的满足程度。效用
图 3-2 相交的无差异曲线意味着偏好不一致
第三，在正常情况下，无差异曲线总是凸向原点的。这一特点是由商品的边际替代率递
第一章 偏好与效用
性组合至少应当与原来的消费束中的差者一样 好。
3.4偏好的实例—一些特殊的无差异曲线
• 1、完全替代品
–消费者愿意按照固定的比率用一种商品来替代另一种 商品。
–例如，面额为10元的人民币和面额为1元的人民币总可 以1比10的比例互相替代（假定不考虑携带不便）这对 持币人（消费者）来讲是完全替代品。
数
• x2 f (x1) 代表这条无差异曲线，当 0 1
时，一定存在：f x10 (1 )x11 f (x10) (1 ) f (x11)
• 可以做出如下图形
x2
f x20 (x10 )
无差异曲线凸性图
f x2 (x1)
~
x0
f x2 (x1)
f (x10 ) (1 ) f (x11)
x2
餍足点或 最佳点
x1
Better
3.4偏好的实例——离散商品
• 5、离散商品：只能以整数（离散）数量获得的商
品。
• 假设商品2是一连续变量商品——汽油，商品1是 一离散变量商品——飞机，无差异曲线如何呢？
汽油
无差异“曲线” 是一 些离散点的集合。
0 1 2 3 4 飞机
4、无差异曲线—偏好的图形描述
4 3 2 1
x1
用无差异曲线推出效用函数
数学方法：已知无差异曲线，运用数学 方法找出一个函数，沿每条无差异曲 线它都是一个常数，并且对较高的无 差异曲线指派较大的数字。
定性分析后确定：假定已知偏好的图形， 我们尽量考虑消费者试图使之实现最 大化的是什么——哪一种商品组合能 描述消费者的选择行为，能有效描述 消费者的选择行为的函数就是效用函 数。
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》第11版课后习题详解 第二篇 选择与需求【圣才出品】
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图 3-10 凹状的无差异曲线
（5）无差异曲线如图 3-11 所示。边际替代率为：
MRS MUx
MU y
x
y x
y
y2
xy
x y x x y2
xy
y2 x2
即随着 x 的递增，边际替代率递减，无差异曲线是凸状的。
U
yyU
2 x
0
即当两种商品的边际效用不变时，效用函数不是严格拟凹的。
（2）对于效用函数
U (x, y)= x× y
有：
Ux
1 2
1 1
x 2y2
0,U xx
1 4
3 1
x 2y2
0
Uy
1 2
1 1
x2 y 2
0,U yy
1 4
1 3
x2 y 2
0
U xy
1 4
1 1
x 2y 2
0
则
U
xxU
2 y
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（4）对于效用函数
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U (x, y)= x2 - y2
有：
Ux
x x2
y2
,Uy
y x2 y2
Uxx y2 3 0,Uyy x2 3 0,Uxy
xy
3
x2 y2 2
x2 y2 2
4．如图 3-12 所示，为证明无差异曲线的凸性，一种方法是证明在一条满足 U＝k 的
无差异曲线上的任意两点（x1，y1）和（x2，y2），点
(
x1
+ 2
第一讲偏好、效用与消费
当 u(x1) u(x0 ) ，0 1 时 存在关系： u[ x0 (1 )x1] u(x0 ) 则称 u(x) 为严格的拟凹函数。
一、偏好与效用
4.无差异曲线
(1)无差异曲线概念
◆上水平集（或上登高集）：设函数 f : X R 是一个凹函
R
R
n
n
，“至少一样好”集 。
f( %
x)
x2
由“虚”变”
x0
实”
x0
x1
图1－3
一、偏好与效用
x ◆偏好的局部非厌足性：x0为一给定的消费计划，对于所有x0
都存在某个消费计划 x ,使得 x f 0。
R n
x2
变为一条无厚度”细
x0
线”
图1－4
x1
一、偏好与效用
◆偏好的单调性：对于所有的 x0，x1 Rn ，如果 x0 x1
u[ x0 (1 )x1]
u(x0 ) x
x0 x0 (1 )x1 x1
图1－9 凸函数图解
一、偏好与效用
拟凹性 u(x)是定义在消费凸集 X Rn中的效用函数。
◆拟凹函数：对于任意 x，0 x1 X ，当 u(x1) u(x0 ) ，0 1 存在关系： u[ x0 (1 )x1] u(x0 ) 则称 u(x) 为拟凹函数。
p ( p1, p2,L L , pn ) 0
假定个别消费购买行为不影响物价水平，则 p向量固定，
所以，消费者的预算集 B 为：
B {x x Rn, pgx y}
其中，x 是可行的消费组合。
二、消费者基本问题
x2
pgx y
y
预算线
福利经济学第一定理数学证明
附录2A.1 :偏好，效用函数和需求函数如果消费者的偏好是理性的.（完备的和传递的）,连续的，那么就存在着一个能代表该偏好的连续.效用函.数.u：R L> R。
其中L表示消费集的维度，也就是商品的种类，除非做特别说明，我们总是假定L = 2，即消费者消费x-i和x2两种商品。
我们还假定偏好是单调. 的和凸的，则效用函数u是递增的和拟凹的。
给定上述假定，我们能够得到一组形状良好的无差异曲线，如图2A —1，消费者的无差异曲线是一组凸向原点的曲线，离原点越远，其代表的效用水平越高I O图2A —1无差异曲线一个常用的符合上述假定的效用函数是柯布-道格拉斯效用函数，其形式是：u（%,x2） = A^x2其中A・0,0 I—：：1,0 ：：：'■ ：：：1。
显然，u是连续的，递增的，凹的。
一个理性的消费者面临的问题是在约束条件下追求效用最大化..。
其约束条件为：p1x1 p2x2三W其中，P1, P2为两种商品的市场价格，w则表示消费者的财富（或收入）。
给定偏好的单调性，这一约束一定是紧的，也就是p1x1 p2x2 w。
则消费者的效用最大化问题可以描述为：max x u（x1, x2）s.t p）x1 p2x2 =w上述问题的拉格朗日函数可以写为：L =u（^,x2）' （w- 口為-p2x2）这一问题的一阶条件为：r\ l、u :uP1，P2:x x2假定效用函数是凹的，上述条件是充分必要的。
两式相除，得到：I关于偏好，以及偏好与效用效用函数关系的进一步讨论，参见马斯-克莱尔等人，《微观经济理论》，中国社会科学出版社，2001年版；瓦里安，《微观经济学（高级教程）》，经济科学出版社，1997年版。
上式意味着消费者实现效用最大化的条件是消费两种商品最后一单位的边际效用之比 等于两种商品的价格之比。
我们还定义消费者无差异曲线斜率的绝对值为边际替代率（MRS ）,表示给定效用水平保持不变（比如U ），少消费一单位商品1，必须增加消费多少单位的商品2,即MRS =-無无差异曲线的数学形式为：u （x 「x 2） = u ，表示使消费者的效用水平达到 U 的所有商品组合, 两位全微分，得到 —dx^ — dx^dU =0，这样我们就得到，-坐二,U 。
偏好与效用函数
～ ～
u ( x1 ) u ( x 2 )
（2.2） 由此可知，效用函数 ( x) 确实代表偏好关系。
证明了效用函数的存在性，最后证明代表偏好关系的效用函
x 1 ，那么对于所有的 公理 6 凸性（ Convexity ） 。如果 x 2 ～
t [0,1] ，有 x t tx 2 (1 t ) x 1 x 1 。
～
x1 ， 公理 7 严格凸性 （Strict Convexity） 。 如果 x 2 ≠ x1 ， 并且 x 2 ～
至此，我们已经完成了定理 6 的证明。
效用函数只是给出了对不同的消费束排序的一种方式， 代表 同一偏好关系的效用函数从来不是唯一的。容易证明，如果效用 函数 u 代表一个消费者的偏好，那么 5 或 3 也可以代表 此消费者的偏好， 即效用函数的正单调变换仍然代表同一偏好关 系。
对于 X= R2 ，图 2.2 展示了满足公理 1、公理 2 和公理 3 的偏好。如图 2.2 所示，位于曲线上的点的集合以及位于曲 线内的点的集合所代表的消费束与点 x 0 所代表的消费束无差 异，位于曲线上方的点的集合所代表的消费束严格地偏好于
x 0 ，而 x 0 又严格地偏好于位于曲线下方点的集合所代表的消
t e ～x
相等价。假设存在 t1 t 2 ，满足 t1e ～x 和 t 2 e ～x，根据偏好
关系的传递性， t1e ～ t 2 e ，再根据严格单调性，可推出 t1 t 2 ，与 原假设相矛盾。所以存在唯一的 t 0 ，使 t e ～x。
代表偏好关系的效用函数的存在性及其性质研究
第二讲代表偏好关系的效用函数的存在性及其性质研究偏好关系Æ效用函数Æ需求函数（即两大问题：效用函数的存在性、效用最大化问题）Mill 和Edgeworth ：效用可以测量，可比较。
Pareto(1896)：对效用的可测量性表示怀疑。
(可能性)Slusky(1915)：第一次不用可测量的效用却推导出了需求理论。
（必要性） Hicks(1935)：边际效用递减规律（凸性假设），对需求规律既不必要，也不充分。
Samulson(1947)：在其博士论文《经济分析的基础》中完成了消费者行为最优化的方法。
Debreu(1959)：完成了标准的消费理论的推导，其效用概念公依赖于偏好关系。
Theory of V alue,New York: John Wiley.及其系列论文。
其他人：古诺、瓦尔拉斯、马歇尔、冯·诺伊曼、阿罗等人。
静态理性公理化体系，新古典经济学以此为基础，成为现代经济学的主流。
公理化分析是指：选择原始概念，形成有关假设，运用与任何对原始概念的主观解释无关的数学推理工具（因为数学是迄今我们能够利用的最为严密的又为最广泛的人们所接受的科学），从那些假设中推出结论。
这一方法始于欧几里德（见其《几何原本》），希尔伯特在其《几何基础》（1899）中做了最终的总结。
将这一方法引入经济学的则是德布鲁。
正如他在接受诺贝尔经济学奖的讲演《数学形式的经济学》中所阐述的：“经济理论的公理化可以使一个理论假设完全明确化，可以对这个理论的适用范围做出比较健全的判断……他坚持了数学的严格性，满足了当代许多经济学家追求严格性本身的学术需要……他建立了一个坚实的基础，在这个基础上，经济学家能够用非常经济的方式去相互交流、去思考……探讨能够从新的方向上开始，在以前，研究者必须在每一细节上都怀疑前辈的著作，现在则可以从中解放出来”（德布鲁，1984）。
2.1 什么是效用函数？第一讲，我们介绍了偏好关系的公理性假设第二讲，将以此为基础，进一步说明效用函数的存在性及其性质 ——什么是效用函数？——为什么我们非常希望．．效用函数的存在？ ——那么效用函数存在吗？有何条件？ ——如果存在效用函数的话，偏好关系的一些约束在效用函数上面又有何反映？效用函数的性质？定义：2.1 一个效用函数被定义如下：一个实值函数:nu +→R R ，在下列条件下被称为代表偏好关系的效用函数，该条件是：对于所有的01,n x x +∈R ，01()()u x u x ≥⇔01x x f2.2 为什么非常希望效用函数存在？2.2.1 效用函数反映了偏好关系所传递的信息（等价）现代理论中，偏好关系被当作偏好的最原始、最基本的特征。
上财研究生高微题库——二、偏好与效用
上财研究⽣⾼微题库——⼆、偏好与效⽤第⼆部分偏好与效⽤第⼀节偏好与选择1. [简单][来⾃Rubinstein P .10]对于定义在集合X 上的偏好关系，定义()I x 为满⾜z X ∈且z x ～的所有z 的集合。
证明：对于任意属于X 的x y 和，都有()()I x I y =或者()()I x I y φ∩=。
证明：根据定义，(){|,}I x z z x z X =∈～，(){|,}I y z z y z X =∈～。
如果x y ～，由～的传递性知，(){|,}{|,}()I x z z x z X z z y z X I y =∈=∈=～～。
如果x y ～不成⽴，我们⽤反证法证明()()I x I y φ∩=。
假设()()I x I y φ∩≠，则存在()w I x ∈，且()w I y ∈。
由()()I x I y 和的定义知，w x ～且w y ～。
由～的传递性知，x y ～，⽭盾。
2. [简单][改编⾃Rubinstein P .50] 证明：在⼀个两种商品的世界⾥，假定偏好满⾜严格单调、传递且凸，并且对于,x ε?都有121211212(,)(,)(2,)x x x x x x εδεδδ?+?++～～，则21δδ≥。
证明：121211212(,)(,)(2,)x x x x x x εδεδδ?+?++～～? 1212(2,)x x εδδ?++<12121(,)(,)x x x x εδ?+～? 1212120.5(2,)0.5(,)x x x x εδδ?+++<121(,)x x εδ?+? 1212(,0.50.5)x x εδδ?++<121(,)x x εδ?+?21δδ≥3. [中等][来⾃⽥国强教授《微观经济理论讲义》] 证明：如果偏好满⾜严格单调，则满⾜单调；如果偏好满⾜单调，则满⾜局部⾮餍⾜；如果满⾜局部⾮餍⾜，则满⾜⾮餍⾜。
证明：由严格单调的定义：x y ≥且x y ≠，则x y ，和单调的定义：x y >>，则x y ，易知偏好满⾜严格单调意味着满⾜单调。
FRM模型丨效用函数和风险偏好的辨析
ＦRＭ模型丨效用函数和风险偏好的辨析1.效用历史沿革效用的概念是丹尼尔·伯努利（不是数学家伯努利，但是他们都是伯努利家族的。
)在解释圣彼得堡悖论时提出的，目的是挑战以金额期望值作为决策的标准,证明期望收益并不是人们在做决策时的唯一衡量标准。
经济学家对于效用的理解是有一个过程的。
●１9世纪的威廉姆·斯坦利·杰文斯、里昂·瓦尔拉斯和阿尔弗雷德·马歇尔等早期经济学家认为效用如同人们的身高和体重一样是可以测量的。
●而约翰·希克斯则尝试了只在序数性效用的假定下，也取得了很多的研究成果。
希克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的顺序,并非效用的数值。
因此,从分析消费者行为的方法来看,基数效用论者采用边际效用分析方法,序数效用论者采用无差异曲线分析方法。
从教科书等内容判断，现在比较通用的应该是后者的序数性效用。
1.1.效用概念的提出——圣彼得堡悖论圣彼得堡悖论是尼古拉·伯努利在173８年提出的一个概率期望值悖论。
它来自于一种掷币游戏，圣彼得堡游戏。
游戏规则为:掷出正面或者反面为成功，游戏者如果投掷成功，得奖金2元,游戏结束；若不成功，继续投掷，二次成功得奖金4元，游戏结束;这样,游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果n 次投掷成功，得奖金2ｎ元，游戏结束。
首先,我们用公式1()k kk E X x p ∞==∑来计算这个游戏收益的数学期望值:23423411111()2222222222n n E X n n ==⨯+⨯+⨯+⨯++⨯= 从理论上来说，该游戏的期望值是无穷大的。
按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。
这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”。
如果仅仅以期望值标准,我们将无法给这个游戏进行定价。
圣彼得堡悖论反映了决策理论和实际之间的差别。
人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较,但决策理论模型与实际问题并不是一个东西;圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型,它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的 “近似的”模型。
定价核、市场效用函数与投资者偏好
定价核、市场效用函数与投资者偏好吴鑫育;周海林【摘要】This paper infers the empirical pricing kernels,market utility functions and investor risk aversion functions under a consistent parametric framework of non-affine GARCH diffusion model.An approach for maximum likelihood estimation of the model by using joint data on the underlying asset and option prices is ing data of the Hong Kong financial market,this paper presents an empirical study.There is a reference point corresponding to Hang Seng index return of about-12％.The market utility functions is convexity on the left side of the reference point,but it is concavity on the right side of the reference point;investors act risk seeking below the reference point and risk averse above it.%在非仿射GARCH扩散模型一致参数体系下,推导了经验定价核、市场效用函数以及投资者风险厌恶函数.基于标的资产与期权价格联合数据,建立了模型的极大似然估计方法.采用香港金融市场数据进行实证研究,结果表明:存在一个参照点,其对应于恒生指数收益率约为-12％.市场效用函数在参照点左侧为凸函数,在参照点右侧为凹函数;投资者在收益率低于参照点时表现为风险爱好,在收益率高于参照点时表现为风险厌恶.【期刊名称】《系统工程学报》【年(卷),期】2017(032)001【总页数】11页(P44-54)【关键词】定价核;市场效用函数;风险厌恶;GARCH扩散模型;极大似然【作者】吴鑫育;周海林【作者单位】安徽财经大学金融学院,安徽蚌埠233030;安徽财经大学金融学院,安徽蚌埠233030【正文语种】中文【中图分类】F830.9定价核(pricing kernel)[1](也称为随机折现因子,stochastic discount factor[2])包含了丰富的信息,它隐含了市场效用函数类型以及投资者的风险偏好.根据投资者对待风险的态度不同,可以将其分为三类:风险厌恶者、风险爱好者和风险中性者,相应于三类效用函数:凹的、凸的和线性的.采用凹的效用函数来描述投资者偏好,对应于一个单调递减的定价核以及投资者的风险厌恶行为[3].然而,近年来越来越多的实证研究表明,实际市场中定价核并非单调递减的,相应的市场效用函数并非全是凹的,投资者也并非完全风险厌恶的,而是在初始财富附近存在一个参照点(reference point),在参照点邻域效用函数为凸函数,对应的市场主体表现为风险爱好,即著名的“定价核之谜”(pricing kernel puzzle)或“风险厌恶之谜”(risk aversion puzzle)[1,4,5].最近,Golubev等[6]和Beare等[7]分别采用DAX和S&P500数据,对定价核单调性进行了统计检验,发现定价核单调性的假设被拒绝,进一步为“定价核之谜”提供了实证支持.但是,目前针对我国金融市场对定价核的研究还非常少见.关于定价核的估计研究,早期的文献主要是采用总消费数据进行的,例如Hansen和Singleton[8,9]、Hansen和Jagannathan[10]和Chapman[11].由于总消费数据需要运用宏观经济数据来计算,而通常宏观数据的测量误差大,这种误差对定价核的估计有显著的影响,从而导致实证结果受到质疑.近年来,随着金融衍生产品市场的快速发展,期权价格数据的可获取性,学者们开始采用标的资产与期权价格数据来估计经验定价核,例如文献[1,4,5,12−14].然而,在估计方法上,已有研究分别采用标的资产与期权价格数据单独估计客观与风险中性密度,进而推导定价核,忽略了模型参数一致性1在客观概率测度与风险中性概率测度下,模型部分参数应保持一致(不变)..Broadie等[15]研究发现,忽略特定模型参数在理论上的一致性会造成误导性的结果.此外,已有研究对定价核的估计主要基于仿射的Heston[16]模型.经验研究表明,仿射Heston模型并不能很好的刻画标的资产价格动态性,基于该模型估计的定价核偏离于实际市场情形[17−20].近年来,非仿射的GARCH扩散模型在金融计量经济学文献中引起了学者们广泛的关注,该模型被证明相比仿射Heston模型及其他随机波动率模型在描述金融时间序列的经验特征事实以及期权定价方面具有明显的优越性[21−25].但是,到目前为止,国内外基于非仿射GARCH扩散模型对定价核的估计研究还鲜有见到.基于以上认识,本文在非仿射GARCH扩散模型一致参数体系下,采用香港恒生指数(HSI)及其指数权证价格数据对香港金融市场进行实证研究,建立基于标的资产与期权(权证)价格联合数据的极大似然方法对GARCH扩散模型的客观与风险中性密度进行联合估计,在基础上推导经验定价核、市场效用函数以及投资者风险厌恶函数,分析香港金融市场中投资者的行为.考虑任意一支风险证券,假设其对数价格过程为由资产定价基本原理,在一个完全市场中,存在一个正的随机变数Mt,T(XT),使得T时刻支付为ψT(XT)的金融资产在t 时刻的价格Pt可以表示为[2]其中EP表示客观概率测度P下的期望,Ft表示t时刻的信息集,随机变数Mt,T称为定价核.而根据风险中性定价原理,T时刻支付为ψT(XT)的金融资产在t时刻的价格Pt又可以表示为其中EQ表示风险中性概率测度Q下的期望,r是无风险利率,τ=T−t.假设pt,T(XT)是客观概率测度P下XT的密度函数,称为客观密度;qt,T(XT)是风险中性概率测度Q下XT的密度函数,称为风险中性密度.根据式(2),有比较式(1)和式(3),得在均衡体系下基于消费的资本资产定价模型(CCAPM)中,定价核等于代表性投资者的相对边际效用因此,根据式(4)和式(5),有从而,如果得到了XT的客观与风险中性密度pt,T(XT)和qt,T(XT),可以推导效用函数关于投资者的风险偏好,通常采用绝对风险厌恶(absolute risk aversion,ARA)来描述,定义为根据式(6),有及将式(9)和式(10)代入式(8),得由此,定价核、效用函数与投资者偏好均与客观与风险中性密度具有紧密的联系. 这部分讨论基于非仿射GARCH扩散模型的客观与风险中性密度的估计问题.与已有研究分别采用标的资产与期权价格数据单独估计客观与风险中性密度不同,本文在一致的GARCH扩散模型参数体系下,建立基于标的资产与期权价格联合数据的极大似然方法对客观与风险中性密度进行联合估计.设St是t时刻标的资产价格,Vt是t时刻标的资产收益率的波动率,GARCH扩散模型假设St和Vt在客观概率测度P下服从如下的随机微分方程其中µ,α,β和σ都是常数,α/β表示标的资产收益率的波动率的长期均值,β表示波动率均值回归的速度,σ表示标的资产收益率的波动率的波动率,W1t和W2t是标准的布朗运动,且Corr(dW1t,dW2t)=ρ.实际中ρ通常小于零,表明存在“杠杆效应”[26].根据Chernov等[27]的做法,假设线性的波动率风险溢价,则风险中性调整的GARCH扩散模型为其中r是无风险利率,和是风险中性概率测度Q下标准的布朗运动,且可见,在GARCH扩散模型一致参数体系下,客观概率测度P下的波动率的波动率参数(σ)以及杠杆参数(ρ)与风险中性概率测度Q下的波动率的波动率参数(σ)以及杠杆参数(ρ)应保持一致(不变化).为了对GARCH扩散模型的客观与风险中性密度进行联合估计,首先作平稳变换Xt=lnSt,ht=lnVt,应用Itˆo引理,得将式(16)∼式(17)Euler-Maruyama离散化,得到其中yti=X ti−Xti−1是标的资产收益率,∆i=ti−ti−1是时间步长,显然,εi和ηi均为独立同分布(i.i.d.)的标准正态分布随机变量,且Corr(εi,ηi)=ρ.进一步,引入期权价格信息,假设观测的期权价格Cti具有如下的误差结构2其中非线性函数C(ti,τi,K,Sti,Vti)是GARCH扩散模型下期权理论价格计算公式(见附录A),νi是i.i.d.标准正态分布随机变量,且与εi和ηi相互独立,δ的大小反映期权定价公式逼近期权实际市场价格的精确性.可以看到,式(18)∼式(20)构成了一个非线性、非高斯的状态空间模型.本文建立极大似然方法来估计该模型的参数(包含GARCH扩散模型的客观与风险中性参数).假设观测得到N个期权价格C=(Ct1,Ct2,...,CtN)T,以及N个标的资产收益率Y=(yt1,yt2,...,ytN)T.待估计的模型参数向量为Θ =(µ,α,β,σ,ρ,α∗,β∗,δ),以及N个不可观测状态变量H=(ht1,ht2,...,htN)T.此外,将ht0当作模型的附加参数与Θ一起估计.状态空间模型式(18)∼式(20)的似然函数为其中p(C,Y,H;Θ,ht0)是C,Y和H的联合密度函数,可以写为其中密度函数p(Cti|yti,hti,Θ)、p(yti|hti−1,Θ)和p(hti|yti,hti−1,Θ)由状态空间模型式(18)∼式(20)确定.事实上,易知p(Cti|yti,hti,Θ)是均值为C(ti,τi,K,Sti,Vti),方差为δ2由于理论模型只是对实际的一个近似,因此存在模型定价误差.此外,由于金融市场微观结构效应,例如价格不连续性、非同步观测、买卖报价差等,观测的期权价格常常偏离于均衡价值,存在市场误差.本文将这两种误差整合为一个普通的度量误差[28−31].的正态分布密度函数;p(yti|hti−1,Θ)是均值为方差为的正态分布密度函数;p(hti|yti,hti−1,Θi)是均值为µti,方差为的正态分布密度函数,其中由此,GARCH扩散模型客观与风险中性参数的联合极大似然估计为然而,实际中似然函数(21)是一个非常复杂的高维积分,无法直接求解.为了克服这个问题,本文基于Richard等[32]的研究,建立相应的有效重要性抽样(EIS)方法来估计似然函数,算法具体步骤见附录B.进一步,运用粒子滤波方法给出不可观测状态变量(隐波动率)的估计,算法具体步骤见附录C.根据估计得到的客观与风险中性参数以及隐波动率,计算客观与风险中性概率测度下GARCH扩散模型的特征函数ft,T与[23],进而对ft,T与进行傅里叶逆变换,得到GARCH扩散模型的客观与风险中性密度为4.1 数据本文采用香港HSI指数及其指数权证价格数据进行实证研究3由于HSI指数权证属于备兑权证,它与期权具有相似的特征,因此本文将其当作普通期权处理.,推导香港金融市场的经验定价核、市场效用函数以及投资者风险厌恶函数.HSI指数近似代表了香港经济的综合表现,可以看做是市场投资组合的一个代理.HSI权证选取为交易较为活跃的恒指汇丰三零九购(HS-HSI@EC1309).该权证为欧式认购权证, 2013年9月27日到期,执行价格为25 000,换股比率为12 000.HSI收益率及恒指汇丰三零九购价格联合数据抽样阶段选取为2011年7月21日至2013年5月31日,得到联合数据共918个日度观测值.另外,本文选取一年期香港银行间同业拆借利率(HIBOR)作为无风险利率的代理.所有数据均来源于Wind资讯.图1给出了HSI收益率及恒指汇丰三零九购价格联合时间序列图.从图1(上)可以看到,HSI收益率序列在抽样阶段内展现明显的波动率时变性和聚集性特征.表1给出了HIS收益率的描述性统计量.从表1可以看到,HSI收益率的均值接近于0,HSI收益率的分布存在“尖峰厚尾”的特征;Jarque-Bera统计量较大,拒绝正态分布的假定.为了刻画这种波动率时变性、聚集性以及尖峰厚尾的特征,并允许在模型中体现重要的杠杆效应,本文对HSI指数拟合GARCH扩散模型.4.2 参数与状态变量估计结果采用HSI收益率及恒指汇丰三零九购价格联合数据,应用第3部分给出的极大似然方法对GARCH扩散模型的客观与风险中性参数进行联合估计,得到参数的估计结果如表2所示.可以看到,客观概率测度下HSI收益率的均值为0.244 7,HSI收益率的波动率的长期均值为α/β=0.194 7/2.371 0≈0.082 1,波动率均值回归的速度为β=2.371 0,波动率的波动率为σ=1.278 0,HSI的杠杆效应参数ρ值为−0.537 3,表明存在强的杠杆效应;风险中性概率测度下HSI收益率的波动率的长期均值为α∗/β∗=0.032 1/0.800 1≈0.040 1,均值回归的速度为β∗=0.800 1.对比客观参数(α,β)与风险中性参数(α∗,β∗)的估计值,可以看到,它们存在大的区别,这隐含着市场对波动率风险具有高的定价.基于联合数据还可以获得期权价格度量误差的标准差估计,δ等于0.000 4,这是一个非常小的值,表明基于GARCH扩散模型的期权定价的精确性非常高(事实上,样本期内平均绝对百分比定价误差为0.39%).进一步,根据获得的参数估计结果,利用粒子滤波算法得到波动率的估计结果如图2所示4粒子数选取为M=1 000..可以看到, 2011年香港金融市场存在较大的波动,但随后波动有下降的趋势.4.3 经验定价核、市场效用函数与投资者风险厌恶函数根据估计得到的客观与风险中性参数以及隐波动率,根据式(25)∼式(26),计算得到2013年5月31日HSI收益率未来半年期与一年期(τ=0.5、1年)的客观与风险中性密度如图3所示5HSI收益率(RT=XT−Xt)的客观与风险中性密度定义为˜pt,T(RT)=pt,T(RT+Xt)与˜qt,T(RT)=qt,T(RT+Xt).此外,这里仅代表性的给出τ=0.5年和1年的计算结果,其他期限的计算结果如有需要可向作者索取..可以看到,客观与风险中性密度存在非常明显的区别.风险中性密度的均值接近于0,而客观密度的均值明显大于0,介于0与50%之间;风险中性密度相比客观密度具有明显更尖的峰和更厚的尾部.进一步,应用式(4)、式(7)和式(11),推导得到不同期限下(τ=0.5年、1年)的经验定价核、市场效用函数与投资者风险厌恶函数如图4∼图6所示6这里给出的是关于HSI收益率(RT=XT−Xt)的经验定价核、市场效用函数以及投资者绝对风险厌恶函数,定义为t,T(RT)=Mt,T(RT+Xt),(RT)=U(RT+Xt)与(RT)=ARA(RT+Xt)..从图4可以看到,估计得到的经验定价核并非如经典的经济理论中定价核单调递减的形式,与邹高峰等[33]的研究结果一致.HSI收益率约为−12%是参照点.相应地,从图5可以看到,估计的市场效用函数不同于von Neumann和Morgenstern经典的效用函数.估计的市场效用函数并非严格凹的,而是在一定区域是凸的,在另一些区域是凹的.事实上,市场效用函数在参照点左侧为凸函数,而在参照点右侧为凹函数.可见,任何严格凸或凹的效用函数不能描述投资者真实的风险态度:在一定区域风险爱好,在另一些区域风险厌恶.事实上,从图6可以看到,投资者在参照点左侧表现为风险爱好(投资者风险厌恶函数大于0),而在参照点右侧表现为风险厌恶(投资者风险厌恶函数小于0).投资者在小的区域(较大的损失)是风险爱好的,但随着收益的增加,投资者开始变得风险厌恶.换句话说,人在面临获得时,往往小心翼翼,不愿冒风险;而在面对损失时,人人都成了冒险家7需要指出的是,这里提到的损失指较大的损失(稍低于参照点:−12%).事实上从图6可以看到,当损失变得越来越大时,投资者风险厌恶接近于0,表明投资者开始对风险变得漠不关心..本文的研究结果与经典的经济理论相违背,但契合了Kahneman和Tversky[34]的前景理论(prospect theory):他们通过行为实验发现投资者在特定的参考点之上是风险厌恶的,而在该参考点之下则是风险爱好的,这隐含着效用函数在参考点右侧呈凹形,而在参考点左侧呈凸形.这对于投资决策具有重要的实践指导意义[35,36].本文在非仿射GARCH扩散模型一致参数体系下,推导了经验定价核、市场效用函数以及投资者风险厌恶函数.基于标的资产与期权价格联合数据,建立了模型的极大似然估计方法.这区别于已有研究所采用的模型(仿射Heston模型)以及估计方法(客观与风险中性密度分别单独估计,存在缺乏参数一致性的缺点).基于香港金融市场数据的实证研究表明,存在一个参照点,对应于HSI收益率约为−12%.对应的市场效用函数并非期望效用理论中标准的效用函数形式,在参考点左为凸函数,在参考点右为凹函数.这隐含着投资者在收益率低于参照点时表现为风险爱好,在收益率高于参照点时表现为风险厌恶.显然,本文的研究结果与经典的经济理论相违背,但契合了价值的前景理论.如何将本文的研究结果应用于实际的投资决策、风险管理以及资产定价中,是下一步的研究方向.附录B 似然函数的EIS估计算法步骤1 从自然重要性抽样器中抽取初始样本步骤2递归求解如下线性回归问题(ti=tN→t1):µti和的表达式见式(23)和式(24),是随机误差项,得到EIS辅助参数估计步骤3 从EIS抽样器中抽取新的样本其中EIS密度mti是均值为µati,方差为的正态分布密度函数;步骤4重复步骤2和步骤3,直到收敛;步骤5计算似然值附录C 状态变量的粒子滤波估计算法步骤1给定来自p(hti−1|Fti−1)的样本{h(1)ti−1,h(2)ti−1,...,h(M)ti−1};步骤2从p(hti|hti−1,Θ)抽取样本{h(1∗)ti ,h(2∗)ti ,...,h(M∗)ti };步骤3计算归一化权重定义概率为归一化权重{q1,q2,...,qM},抽样上的离散分布;步骤4从步骤3定义的离散分布中重抽样M次,产生新的粒子抽样吴鑫育(1982—),男,湖南衡山人,博士,副教授,研究方向:金融工程与风险管理,Email:*******************;周海林(1977—),男,湖北襄阳人,博士,教授,研究方向:金融工程与风险管理,Email:******************.【相关文献】[1]Rosenberg J,Engle R F.Empirical pricing kernels.Journal of FinancialEconomics,2002,64(3):341–372.[2]Cochrane J H.Asset Pricing.New Jersey:Princeton University Press,2001.[3]von Neumann J,Morgenstern O.The Theory of Games and Economic Behavior.New Jersey:Princeton University Press,1944.[4]A¨ıt-Sahalia Y,Lo A W.Nonparametric risk management and implied riskaversion.Journal of Econometrics,2000,94(1–2):9–51.[5]Jackwerth J.Recovering risk aversion from option prices and realized returns.Review of 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效用函数推导
消费集假设1：消费集X 性质1. nX R +∈2. X 是闭集3. X 是凸集4. 0X ∈消费组合x 是消费集X 中的一个元素，12(,,,,,)i n x x x x x =代表n 种商品的组合，i x 代表商品i 的数量。
偏好关系用消费集X 上的一种二元关系表示消费者偏好，若12xx ，则对于这个消费者来说，消费组合1x 至少和2x 一样好。
要求这种二元关系满足下面两条公理：公理1.完备性——对于X 上所有的1x 和2x 而言，要么12xx ，要么21x x 。
公理2.传递性——对于X 上任意三个元素1x 、2x 和3x ，如果12xx ，且23xx ，则13xx 。
定义1：偏好关系若上述二元关系满足公理1、2，则称其为偏好关系。
定义2：严格偏好关系12x x ，当且仅当12x x 且21x x 不成立。
关系被称为严格偏好关系（12xx 表示消费组合1x 比2x 好。
定义3：无差异关系12x x ，当且仅当12x x 且21x x 成立。
关系被称为无差异关系（12x x 表示消费组合1x 和2x 无差异。
定义4：令0x 为消费集X 中任意一点，定义X 的下列子集 1. (){}0,x x x X xx ≡∈，称为“至少和0x 一样好”的集合；2. (){}00,x x x X xx ≡∈，称为“不比0x 更好”的集合； 3. (){}00,x x x X x x ≡∈，称为“比0x 差”的集合； 4.(){}0,x x x X xx ≡∈，称为“比0x 好”的集合；5.(){}0,x x x X xx ≡∈，称为“与0x 无差异”的集合。
公理3：连续性——对于所有0nx R +∈，“至少和0x 一样好”的集合()0x 以及“不比0x更好”的集合()0x 是闭的。
公理4：严格递增——对于所有的01,n x x R +∈，如果01x x ≥，则有01xx ；如果01x x ，则有01xx 。
《中级微观经济学》教材第04章 效用函数
用函数为 , = 3 2 + + 12， G的效用函数为
, = ， H的效用函数为 , = + 1 。请问以
上几位消费者的偏好与A的偏好之间关系。
例子2
画出下列效用函数的无差异曲线:
A.U(x, y) = min{2x + y, x + 6y};
如果消费者总是愿意以b单位的商品1交换a单位的商品2，那么该
消费者对两种商品的偏好为完全替代偏好，无差异曲线的斜率为
− Τ ，即以商品2表示商品1的边际替代率为：
21 = − Τ
所以，该偏好对应的效用函数可以表示为:
1 , 2 = 1 + 2
具体偏好的效用函数
1.完全替代偏好的效用函数
效用函数定义
1.效用函数与无差异曲线
直观上讲，效用函数就是对每个消费束按照偏好规律赋予一个
数值，使得较高偏好的消费束被赋予的数值大于较低偏好的消
费束被赋予的数值的一一对应关系。可见，一条无差异曲线被
赋予一个相同的数值。
效用函数定义
1.效用函数与无差异曲线
如考虑消费束 (4,1), (2,3) 及 (2,2)。
1 , 2 满足 1 1 , 2 > 2 1 , 2 ，那么称函数
1 , 2 为原效用函数 1 , 2 的正单调变换。
正单调变换的判断：函数 1 , 2 为效用函数 的复合函
1 ,2
数，且
1 ,2
> 0，那么函数 1 , 2 为原效用函数
MRS = -f(x1”)
对于给定 x1的MRS 是个常数
x1’
x1”
x1
2预算偏好效用函数
对不同消费束指派不同数值，这些数值大小关系能 够表示原消费束偏好顺序，例如：U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4。 指派的数值通常称为效用水平（utility levels）。
p
3.2 效用函数的性质 对于一个偏好关系，效用函数不是唯一的，可以用 不同效用函数表示同一个偏好关系。 单调变换性：效用函数的单调变换与原效用函数表 示相同的偏好。
对于消费束 (4,1)、(2,3) 和 (2,2)。例如， U(x1,x2) = x1x2 表示一个偏好关系。 U(x1,x2) =2 x1x2 、 U(x1,x2) =x1x2 +3都表示 相同偏好。
3.3 效用函数与无差异曲线 无差异曲线包含偏好顺序相同的消费束。
偏好顺序相同 效用水平相同。
min{x1,x2} = 5 min{x1,x2} = 3 3 5 8 x1
5 3
拟线性效用函数
x2 每条曲线都是垂直移动可得
x1
Fehr, E., & Schnidt, K. M. A theory of fairness, competition, and cooperation Quarterly Journal of Economics, 1999, 114(3):817-868.
Engelmann, D., & Strobel M. Inequality aversion, efficiency, and maximim preferences in simple distributional experiments. American Economic Review, 2004, 94(4): 857-869.
效用函数相同偏好
效用函数相同偏好
效用函数相同偏好
有效函数的重要性
有效函数的重要性是不可否认的，因为它们可以帮助开发者创建更高效，更可靠的应用程序。
函数可以很大程度上减少代码重复，减少系统及应用程序复杂性，节省开发时间和开发成本，提高代码质量和代码运行时间，也能够提高系统的安全性。
首先，有效函数的重要性在于可以帮助开发人员更有效地重用代码。
函数就是一组完成独立任务的独立代码片段，可以在需要的地方重复使用，这样就可以显著减少代码的编写工作。
此外，函数的优点还在于它可以有效地把复杂的代码拆分成若干个完成具体任务的函数，这在一定程度上可以减少代码的复杂性，使得编程任务更加简单，也更容易维护和调试。
此外，使用有效函数也可以帮助开发者节省开发时间，从而节省开发成本，减少历史技术债务。
由于重用代码片段，开发者无需重复编码某些部分，从而让编程任务更加简单，也更容易完成，也能够提高代码的质量。
最后，有效函数还能够增加代码的运行效率，这是通过减少频繁的函数调用，寻址的时间和空间消耗来实现的。
此外，有效函数也能提高系统的安全性，帮助开发者有效地控制访问授权，从而避免攻击者窃取敏感信息。
综上所述，有效函数的重要性是显而易见的。
使用有效函数，开发者可以更有效地重用代码，节省开发时间，提高代码的质量，以及提高代码的运行时间。
也可以提高系统的安全性，从而使应用程序更可靠，更安全。
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1
2
公理1：完备性（Completeness）。对于任意属 1 2 2 1 x x x 于X的两个消费束x 和 ，要么 ～ ，要 么 x2 x 1 ，要么二者同时成立。 ~ 公理2：传递性（Transitivity）。对于任意属于 2 3 1 x x x x2 ， X的三个消费束 、 和 ，如果有 x 1 ～ 2 3 1 3 x x 。 且x ，则有 x ～ ～
对于 X= R2 ，图 2.2 展示了满足公理 1、公理 2 和公理 3 的偏好。如图 2.2 所示，位于曲线上的点的集合以及位于曲 线内的点的集合所代表的消费束与点 x 0 所代表的消费束无差 异，位于曲线上方的点的集合所代表的消费束严格地偏好于
x 0 ，而 x 0 又严格地偏好于位于曲线下方点的集合所代表的消
公 理 3 连 续 性 （ Continuity ） 。 对 于 所 有 0 0 0 n n { x : x x } { x : x x } x R R 的 和集合 在 均 ，集合 ～ ～ 0 0 { x : x x } { x : x x } 是闭的。由此，还可推断出 和 都是开集。 连续性公理保证突然的偏好逆转不会出现。根 0 0 x }集 x }和 { X : x 据公理3，由于集合{ X : x ～ ～ n 合在 R 均是闭的，所以集合{x : x ～ x 0 }也是闭的。 这样就排除了图2.1中无差异集的开区域。
公理1和公理2意味着消费者能够完整地对消费 集X中任何有限数目的消费束排序，从最好到 最坏，当然也有可能消费者对有些消费束之间 的偏好无差异。总之，偏好关系使消费者能够 对消费集中的消费束建立一种排序。
对于X= R2 ，图2.1展示了满足公理1和公理2假 设的偏好。如图2.1所示，位于曲线上（不包 括虚线）点的集合以及虚线内的点的集合所代 表的消费束与点 x 0 所代表的消费束无差异；位 于曲线上方的点的集合包括两条虚线中位于右 上方那一条虚线上的点的集合所代表的消费束 严格地偏好于x 0，而 x 0 又严格地偏好于位于曲 线下方的点的集合包括两条虚线中位于左下方 那一条虚线上的点的集合所代表的消费束集。
n 公理 5 严格单调性（Monotonicity） 。对于所有的 x 0 , x1 R ，
x 1 ；另一方面，如果 x 0 x1 ，那么 x 0 x1 。 如果 x 0 x1 ，那么 x 0 ～
பைடு நூலகம்
可以看出，公理 4 与公理 5 所要表达的含义相同，但后者要比前 者严格。 公理 5 排除了在 R2 上的无差异集向上弯曲或包含一个斜 率为正的部分的可能性。它同时要求集合 {x : x x 0 } 应处在无差异 集的下方， 集合 {x : x x 0 } 应处在无差异集的上方。 为更好的理解， 考虑图 2.4。
图 2.4 中的偏好与图 2.3 中的相同，满足公理 1 到公理 4。 在图 2.4 中，根据公理 4 明显可以看出，位于 x 0 左下方的点 x1 和 位于 x 0 右上方的点 x 2 不可能位于 x 0 的无差异集上。所以，在 R2 上 满足公理 1 到公理 4 的假说性偏好的无差异集应排除所有位于 x 0 左下方和位于 x 0 右上方的点，见图 2.5。 对于 X= R2 ，图 2.5 所展示的偏好满足公理 1 到公理 5。
x 1 ，那么对于所有的 公理 6 凸性（ Convexity ） 。如果 x 2 ～
t [0,1] ，有 x t tx 2 (1 t ) x 1 x 1 。
第 3讲 偏好与效用函数
偏好关系反映了消费者在选择消费束时的顺序， 是对消费者的一些主观特性（诸如消费者在选 择消费束时的洞察能力、消费者对不同消费束 的喜好程度等）所施加的限制。在消费者选择 理论中，偏好关系有着举足轻重的地位，我们 将在本讲中专门讨论偏好关系。
在现代经济学理论中，偏好关系被当作偏好的最 原始、最基本的特性。效用函数只代表或概括由 偏好关系所传递的信息。效用是一个比较古老的 概念。在古典理论里，效用是一种主观的满足程 度。它是可以准确度量的，同时也可以在不同的 消费者之间做比较。由于古典效用理论的假设过 于严格甚至有些牵强，这一理论一直广受争议。 帕累托、斯拉茨基、希克斯都曾先后对古典效用 理论提出质疑。德布鲁（Debreu,1959）运用仅依 赖于偏好关系的效用函数推导出了标准的消费者 选择理论。
非饱和性意味着对于代表消费集中任意消费束的点 x 0 ，无论 多
0 x 么小，总能在以 为圆心，以 为半径的邻域内找到一个代表消
费集中消费束的点，使该消费束严格偏好于 x 0 。公理 4 显著地影 响了无差异集的结构，排除了图 2.2 中的无差异区域存在的可能 性。
对于 X= R2 ，图 2.3 所展示的偏好满足公理 1 到公理 4。如图 2.3 所示，位于曲线上的点的集合所代表的消费束与点 x 0 所代表的消 费束无差异， 位于曲线上方的点的集合所代表的消费束严格地偏 好于 x 0 ，而 x 0 又严格地偏好于位于曲线下方的点的集合所代表的 消费束。
x1
定义偏好关系的公理
定义：我们以序号 来表示“弱偏好序”，即 2 1 x x 对于任意属于消费集X的两个消费束 和 ， 1 2 2 1 x x x x 如果 ～ ，说明“ 至少与 一样好”； x x 以序号 2 x1 x 表示“严格偏好序”，即如果 ，说 2 2 1 1 x x x x 明“ 严格地偏好于 ”；以序号～表示“无 差异”，即如果 ～ ，说明“ 与 一样 好”。
费束。
n 公理 4 局部非饱和性 （Local Nonsatiation） 。 对于所有 x 0 R ，
取任意的
n 0 ，总会存在一些 x B ( x 0 ) R ，使得 x x 0 。
B ( x 0 ) 表示一个以 x 0 为中心，以 为半径的一个开球。局部