偏好与效用函数
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第 3讲 偏好与效用函数
偏好关系反映了消费者在选择消费束时的顺序， 是对消费者的一些主观特性（诸如消费者在选 择消费束时的洞察能力、消费者对不同消费束 的喜好程度等）所施加的限制。在消费者选择 理论中，偏好关系有着举足轻重的地位，我们 将在本讲中专门讨论偏好关系。
在现代经济学理论中，偏好关系被当作偏好的最 原始、最基本的特性。效用函数只代表或概括由 偏好关系所传递的信息。效用是一个比较古老的 概念。在古典理论里，效用是一种主观的满足程 度。它是可以准确度量的，同时也可以在不同的 消费者之间做比较。由于古典效用理论的假设过 于严格甚至有些牵强，这一理论一直广受争议。 帕累托、斯拉茨基、希克斯都曾先后对古典效用 理论提出质疑。德布鲁（Debreu,1959）运用仅依 赖于偏好关系的效用函数推导出了标准的消费者 选择理论。
公理1和公理2意味着消费者能够完整地对消费 集X中任何有限数目的消费束排序，从最好到 最坏，当然也有可能消费者对有些消费束之间 的偏好无差异。总之，偏好关系使消费者能够 对消费集中的消费束建立一种排序。
对于X= R2 ，图2.1展示了满足公理1和公理2假 设的偏好。如图2.1所示，位于曲线上（不包 括虚线）点的集合以及虚线内的点的集合所代 表的消费束与点 x 0 所代表的消费束无差异；位 于曲线上方的点的集合包括两条虚线中位于右 上方那一条虚线上的点的集合所代表的消费束 严格地偏好于x 0，而 x 0 又严格地偏好于位于曲 线下方的点的集合包括两条虚线中位于左下方 那一条虚线上的点的集合所代表的消费束集。
公 理 3 连 续 性 （ Continuity ） 。 对 于 所 有 0 0 0 n n { x : x x } { x : x x } x R R 的 和集合 在 均 ，集合 ～ ～ 0 0 { x : x x } { x : x x } 是闭的。由此，还可推断出 和 都是开集。 连续性公理保证突然的偏好逆转不会出现。根 0 0 x }集 x }和 { X : x 据公理3，由于集合{ X : x ～ ～ n 合在 R 均是闭的，所以集合{x : x ～ x 0 }也是闭的。 这样就排除了图2.1中无差异集的开区域。
n 公理 5 严格单调性（Monotonicity） 。对于所有的 x 0 , x1 R ，
x 1 ；另一方面，如果 x 0 x1 ，那么 x 0 x1 。 如果 x 0 x1 ，那么 x 0 ～
可以看出，公理 4 与公理 5 所要表达的含义相同，但后者要比前 者严格。 公理 5 排除了在 R2 上的无差异集向上弯曲或包含一个斜 率为正的部分的可能性。它同时要求集合 {x : x x 0 } 应处在无差异 集的下方， 集合 {x : x x 0 } 应处在无差异集的上方。 为更好的理解， 考虑图 2.4。
百度文库
对于 X= R2 ，图 2.2 展示了满足公理 1、公理 2 和公理 3 的偏好。如图 2.2 所示，位于曲线上的点的集合以及位于曲 线内的点的集合所代表的消费束与点 x 0 所代表的消费束无差 异，位于曲线上方的点的集合所代表的消费束严格地偏好于
x 0 ，而 x 0 又严格地偏好于位于曲线下方点的集合所代表的消
x 1 ，那么对于所有的 公理 6 凸性（ Convexity ） 。如果 x 2 ～
t [0,1] ，有 x t tx 2 (1 t ) x 1 x 1 。
费束。
n 公理 4 局部非饱和性 （Local Nonsatiation） 。 对于所有 x 0 R ，
取任意的
n 0 ，总会存在一些 x B ( x 0 ) R ，使得 x x 0 。
B ( x 0 ) 表示一个以 x 0 为中心，以 为半径的一个开球。局部
～
1
2
公理1：完备性（Completeness）。对于任意属 1 2 2 1 x x x 于X的两个消费束x 和 ，要么 ～ ，要 么 x2 x 1 ，要么二者同时成立。 ~ 公理2：传递性（Transitivity）。对于任意属于 2 3 1 x x x x2 ， X的三个消费束 、 和 ，如果有 x 1 ～ 2 3 1 3 x x 。 且x ，则有 x ～ ～
非饱和性意味着对于代表消费集中任意消费束的点 x 0 ，无论 多
0 x 么小，总能在以 为圆心，以 为半径的邻域内找到一个代表消
费集中消费束的点，使该消费束严格偏好于 x 0 。公理 4 显著地影 响了无差异集的结构，排除了图 2.2 中的无差异区域存在的可能 性。
对于 X= R2 ，图 2.3 所展示的偏好满足公理 1 到公理 4。如图 2.3 所示，位于曲线上的点的集合所代表的消费束与点 x 0 所代表的消 费束无差异， 位于曲线上方的点的集合所代表的消费束严格地偏 好于 x 0 ，而 x 0 又严格地偏好于位于曲线下方的点的集合所代表的 消费束。
x1
定义偏好关系的公理
定义：我们以序号 来表示“弱偏好序”，即 2 1 x x 对于任意属于消费集X的两个消费束 和 ， 1 2 2 1 x x x x 如果 ～ ，说明“ 至少与 一样好”； x x 以序号 2 x1 x 表示“严格偏好序”，即如果 ，说 2 2 1 1 x x x x 明“ 严格地偏好于 ”；以序号～表示“无 差异”，即如果 ～ ，说明“ 与 一样 好”。
图 2.4 中的偏好与图 2.3 中的相同，满足公理 1 到公理 4。 在图 2.4 中，根据公理 4 明显可以看出，位于 x 0 左下方的点 x1 和 位于 x 0 右上方的点 x 2 不可能位于 x 0 的无差异集上。所以，在 R2 上 满足公理 1 到公理 4 的假说性偏好的无差异集应排除所有位于 x 0 左下方和位于 x 0 右上方的点，见图 2.5。 对于 X= R2 ，图 2.5 所展示的偏好满足公理 1 到公理 5。
偏好关系反映了消费者在选择消费束时的顺序， 是对消费者的一些主观特性（诸如消费者在选 择消费束时的洞察能力、消费者对不同消费束 的喜好程度等）所施加的限制。在消费者选择 理论中，偏好关系有着举足轻重的地位，我们 将在本讲中专门讨论偏好关系。
在现代经济学理论中，偏好关系被当作偏好的最 原始、最基本的特性。效用函数只代表或概括由 偏好关系所传递的信息。效用是一个比较古老的 概念。在古典理论里，效用是一种主观的满足程 度。它是可以准确度量的，同时也可以在不同的 消费者之间做比较。由于古典效用理论的假设过 于严格甚至有些牵强，这一理论一直广受争议。 帕累托、斯拉茨基、希克斯都曾先后对古典效用 理论提出质疑。德布鲁（Debreu,1959）运用仅依 赖于偏好关系的效用函数推导出了标准的消费者 选择理论。
公理1和公理2意味着消费者能够完整地对消费 集X中任何有限数目的消费束排序，从最好到 最坏，当然也有可能消费者对有些消费束之间 的偏好无差异。总之，偏好关系使消费者能够 对消费集中的消费束建立一种排序。
对于X= R2 ，图2.1展示了满足公理1和公理2假 设的偏好。如图2.1所示，位于曲线上（不包 括虚线）点的集合以及虚线内的点的集合所代 表的消费束与点 x 0 所代表的消费束无差异；位 于曲线上方的点的集合包括两条虚线中位于右 上方那一条虚线上的点的集合所代表的消费束 严格地偏好于x 0，而 x 0 又严格地偏好于位于曲 线下方的点的集合包括两条虚线中位于左下方 那一条虚线上的点的集合所代表的消费束集。
公 理 3 连 续 性 （ Continuity ） 。 对 于 所 有 0 0 0 n n { x : x x } { x : x x } x R R 的 和集合 在 均 ，集合 ～ ～ 0 0 { x : x x } { x : x x } 是闭的。由此，还可推断出 和 都是开集。 连续性公理保证突然的偏好逆转不会出现。根 0 0 x }集 x }和 { X : x 据公理3，由于集合{ X : x ～ ～ n 合在 R 均是闭的，所以集合{x : x ～ x 0 }也是闭的。 这样就排除了图2.1中无差异集的开区域。
n 公理 5 严格单调性（Monotonicity） 。对于所有的 x 0 , x1 R ，
x 1 ；另一方面，如果 x 0 x1 ，那么 x 0 x1 。 如果 x 0 x1 ，那么 x 0 ～
可以看出，公理 4 与公理 5 所要表达的含义相同，但后者要比前 者严格。 公理 5 排除了在 R2 上的无差异集向上弯曲或包含一个斜 率为正的部分的可能性。它同时要求集合 {x : x x 0 } 应处在无差异 集的下方， 集合 {x : x x 0 } 应处在无差异集的上方。 为更好的理解， 考虑图 2.4。
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对于 X= R2 ，图 2.2 展示了满足公理 1、公理 2 和公理 3 的偏好。如图 2.2 所示，位于曲线上的点的集合以及位于曲 线内的点的集合所代表的消费束与点 x 0 所代表的消费束无差 异，位于曲线上方的点的集合所代表的消费束严格地偏好于
x 0 ，而 x 0 又严格地偏好于位于曲线下方点的集合所代表的消
x 1 ，那么对于所有的 公理 6 凸性（ Convexity ） 。如果 x 2 ～
t [0,1] ，有 x t tx 2 (1 t ) x 1 x 1 。
费束。
n 公理 4 局部非饱和性 （Local Nonsatiation） 。 对于所有 x 0 R ，
取任意的
n 0 ，总会存在一些 x B ( x 0 ) R ，使得 x x 0 。
B ( x 0 ) 表示一个以 x 0 为中心，以 为半径的一个开球。局部
～
1
2
公理1：完备性（Completeness）。对于任意属 1 2 2 1 x x x 于X的两个消费束x 和 ，要么 ～ ，要 么 x2 x 1 ，要么二者同时成立。 ~ 公理2：传递性（Transitivity）。对于任意属于 2 3 1 x x x x2 ， X的三个消费束 、 和 ，如果有 x 1 ～ 2 3 1 3 x x 。 且x ，则有 x ～ ～
非饱和性意味着对于代表消费集中任意消费束的点 x 0 ，无论 多
0 x 么小，总能在以 为圆心，以 为半径的邻域内找到一个代表消
费集中消费束的点，使该消费束严格偏好于 x 0 。公理 4 显著地影 响了无差异集的结构，排除了图 2.2 中的无差异区域存在的可能 性。
对于 X= R2 ，图 2.3 所展示的偏好满足公理 1 到公理 4。如图 2.3 所示，位于曲线上的点的集合所代表的消费束与点 x 0 所代表的消 费束无差异， 位于曲线上方的点的集合所代表的消费束严格地偏 好于 x 0 ，而 x 0 又严格地偏好于位于曲线下方的点的集合所代表的 消费束。
x1
定义偏好关系的公理
定义：我们以序号 来表示“弱偏好序”，即 2 1 x x 对于任意属于消费集X的两个消费束 和 ， 1 2 2 1 x x x x 如果 ～ ，说明“ 至少与 一样好”； x x 以序号 2 x1 x 表示“严格偏好序”，即如果 ，说 2 2 1 1 x x x x 明“ 严格地偏好于 ”；以序号～表示“无 差异”，即如果 ～ ，说明“ 与 一样 好”。
图 2.4 中的偏好与图 2.3 中的相同，满足公理 1 到公理 4。 在图 2.4 中，根据公理 4 明显可以看出，位于 x 0 左下方的点 x1 和 位于 x 0 右上方的点 x 2 不可能位于 x 0 的无差异集上。所以，在 R2 上 满足公理 1 到公理 4 的假说性偏好的无差异集应排除所有位于 x 0 左下方和位于 x 0 右上方的点，见图 2.5。 对于 X= R2 ，图 2.5 所展示的偏好满足公理 1 到公理 5。