平面上散乱数据点的二次曲线拟合

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基于场分布的平面散乱点集B样条曲线重建算法

收稿日期：2008-08-16基金项目：国家“973”计划资助项目（2004CB719404）；国家自然科学基金重点资助项目（60635020）；国家“863”重点资助项目（）作者简介：黄童心（），男，湖北咸宁人，硕士研究生，主要研究方向为计算机辅助几何设计。

2010年工程图学学报2010第2期J OURNAL OF ENG INEERING GRAPHICSNo.2基于场分布的平面散乱点集B 样条曲线重建算法黄童心1,3,4，王文珂1,2,3,4，张慧1,3,4，宋征轩1,3,4（1.清华大学软件学院，北京100084；2.清华大学计算机科学与技术系，北京100084；3.信息系统安全教育部重点实验室，北京100084；4.清华信息科学与技术国家实验室，北京100084）摘要：平面散乱点集的曲线重建是逆向工程研究的核心问题之一。

该文在Goshtasby 算法的基础上，提出了一种基于场分布的平面散乱点集B 样条曲线重建算法。

首先，通过估计场强基函数的边界提高量子化效率，生成散乱点集场分布的数字图像；然后，利用图像细化结合改进的BFS （Breadth-First-Search ）算法来避免数字图像中由于存在大量冗余分支像素而难以生成脊轮廓的问题；最后，采用加权最小二乘法延长重建曲线，改进Goshtasby 算法所得的开曲线在端点处收缩的缺点。

实验表明，对于带噪声的平面稠密点集，该算法可有效地重建反映点集形状和走向的B 样条曲线。

关键词：计算机应用；B 样条曲线重建；场分布；散乱点集中图分类号：TP 391文献标识码：A文章编号：1003-0158(2010)02-0073-11B-Spline Curve Reconstr uction from Planar Unorganized PointsBased on Field DistributionHUANG Tong-xin 1,3,4,WANG Wen-ke 1,2,3,4,ZHANG Hui 1,3,4,SONG Zheng-xuan 1,3,4(1.School of Software,Tsinghua University,Beijing 100084,China;2.Department of Computer Science and Technology,Tsinghua Univers i ty,Bei jing 100084,C hina;3.Key Laboratory for Information System Security,Ministry of Education,Beijing 100084,China;4.Tsinghua National Laboratory for Information Science and Technology,Beijing 100084,Chi na )Abstr act:Curve reconstruction from planar unorganized points is one of the most important problems in reverse engineering.A practical B-spline curve fitting algorithm based on Goshtasby ’s approach is presented.The digital image representing field distribution by estimating the bound of field strength basis function is generated at first,and then an algorithm of image thinning associated with improved BFS is proposed to overcome difficulties of obtaining the ridge contour under the situation of redundant branch pixels,and finally the weighted least squares method is used to extend the reconstructed curve for overcoming the deficiency that reconstructed curve may be shortened.Experiments show that the algorithm is valid and practical for B-spline curve reconstruction,especially when the given points are dense and noisy .K ey wor ds:computer application;B-spline curve reconstruction;field distribution;unorganized points2007AA0404011984-由平面采样点集重建曲线是逆向工程几何造型领域中的一个重要问题[1-3]。

大规模散乱数据的插值和拟合问题讨论

---大规模散乱数据的插值和拟合问题讨论candlewill：计算机应用技术jinjing714：计算机应用技术5hon20：计算机应用技术摘要散乱数据的插值和拟合问题已广泛应用于众多的科学与工程领域。

本文回顾了散乱数据的插值和拟合技术（可视化）发展的历史。

在此基础上，通过对已有的散乱数据插值或拟合的方法进行了分析，对近年来散乱数据可视化研究的热点进行了归纳，然后讨论了空间散乱分布的观测数据经Delaunay剖分后形成四面体网格后，三元样条函数在散乱数据插值计算中的作用，并用Bezier-Bernstein多项式表示四面体内的多项式样条。

通过说明四面体拼接处满足连续可导所要满足的条件，对四面体进行细分。

然后从基于对四面体不同细分方式的多种样条中，实现了基于Clough-Tocher细分的三元样条函数在空间散乱分布数据的插值，并用理论模型与其他方法进行对比。

对比结果表明，相比其他方法，具有精度较高，光滑性好，不用设置参数，可并行计算，能够利用梯度信息等优点。

最后，对进一步的研究工作进行了展望。

关键字：散乱数据，插值拟合，径向基函数插值法，Clough-Tocher方法，Delaunay剖分AbstractScattered data interpolation and fitting problems have been widely used in many fields of science and engineering. This paper reviews the history of scattered data interpolation and fitting techniques (visual) development. On this basis, through the existing method of scattered data interpolation or fitting analyzes of recent research data visualization scattered hot spots were summarized, and then discuss the scattered distribution of the observed data space after the formation of Delaunay triangulation after tetrahedral mesh, the role of ternary spline interpolation of scattered data in the calculation, and the polynomial representation body surrounded by a polynomial spline Bezier-Bernstein. Stitching by describing tetrahedral continuous conduction meet the conditions to be met for tetrahedral subdivision. Then based on the tetrahedron from a variety of different ways spline segments, the realization of interpolation based on Clough-Tocher ternary subdivision spline spatial distribution of scattered data and comparison with theoretical models and other methods. Comparative results show that, compared with other methods, with high precision, good smoothness, do not set the parameter, parallel computing, and so able to use the gradient information. Finally, further research are discussed. Keywords: Scattered Data, Interpolation fitting, Radial basis function interpolation, Clough-Tocher method, Delaunay triangulation目录一、引言 (1)1.1大规模散乱数据问题的提出 (1)1.2目前研究现状 (2)1.2.1 中、小规模散乱数据的插值 (2)1.2.2 大规模散乱数据的插值 (4)1.3 存在的问题 (5)二、原理 (5)2.1三元样条介绍 (5)2.2 B形式 (6)2.2.1重心坐标系 (6)2.2.2 Bezier-Bernstein 多项式 (7)2. 3 Clough-Tocher 方法 (9)2.4 径向基函数插值法 (12)三、应用 (13)3.1 径向基函数插值法 (14)3.2 Clough-Tocher方法 (15)四、结论 (15)一、引言1.1 大规模散乱数据问题的提出进入80年代以后，随着计算机技术在各学科领域中的广泛应用，尤其是在天体物理、地质、石油、气象、医学等领域，产生了大量的科学数据。

散乱数据处理方法

Euler插值方法
• 给定 ( xi , yi ) 选定基函数系 f j ( x) j=1,2,….,n 解方程组：
a
j1
n
j
f j ( xi ) yi
i=1,2,….,n
得到：
f ( x) a j f j ( x)
j1 n
注：要上述方程组有解，需要系数矩阵可逆
多项式可以插值，但是Runge现象复杂。
2.克里格方法的具体步骤
导入数据进行预测数据分析否
计算克里格系数数据变换
是否服从正态分布是是否存在趋势否根据数据选择合适的方法计算样点间的距离矩阵计算样点间的属性方差
拟合理论半变异函数图绘制经验半变异函数图
K D
K 1 D 2 K T D ( x , x )
在以上的介绍中，区域化变量 Z(x) 的数学期望 E[ Z ( x)] m 可以是已知或未知的。如果m是已知常数，称为简单克立格法；如果m是未知常数，称为普通克立格法。不管是哪一种方法，均可根据方法计算权重系数和克立格估计量。
散乱数据处理
Problem
有N个已知的数据点列或点集 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),,( xN , y N ) （点集来自一个未知函数 u ( x ) : x R
x D Rn ）
要求构造一个光滑（连续且一阶可导的）函数 f ( x )，满足
f ( xi ) yi u ( xi ) (i 1, 2,, N )
Shepard方法
• 首先有气象及地质学家提出 • 基本思想：用N个采样点xk处的函数值yk的加权平均来表达其它任意点处的函数值F(x)，权重与当前点x与各采样点xk的距离成反比(Inverse Distance Weighting IDW)。一般格式：

二次曲线拟合

二次曲线拟合
二次曲线拟合是指将一组数据，通过一条二次曲线的方式进行拟合，从而产生更为准确的结果。

它是一种经典的非线性拟合方法，主要用于拟合实验数据或者理论数据，二次曲线拟合的手段有多种，如最小二乘法、曲线拟合、曲线积分等。

二次曲线拟合的应用广泛，例如在工程技术中，它可以用来拟合曲线，从而绘制出实验结果曲线，从而更好地研究事物的变化规律，从而更好地设计出更加合理的工程结构。

在物理学中，它可以用来拟合沿曲线移动的运动轨迹，从而更准确地研究动力学的规律。

在金融领域，它可以用来拟合金融市场的价格波动趋势，从而更好地分析市场变化的规律，从而更好地决策投资。

二次曲线拟合不仅可以用来拟合实验数据，还可以用来拟合理论数据。

例如，在概率统计中，它可以用来描述随机变量的概率分布，从而更准确地研究随机变量的变化规律。

总之，二次曲线拟合是一种非常有用的非线性拟合方法，它可以用来拟合实验数据和理论数据，从而更加准确地研究事物的变化规律，使得科学研究取得更大的进展。

二维数据拟合曲面方程

二维数据拟合曲面方程在科学研究和工程应用中，通过采集一系列的二维数据点，我们希望能够找到一个拟合曲面方程，以便进行预测、优化和模拟等分析。

在本文中，我们将探讨二维数据拟合曲面方程的方法。

一、多项式拟合法多项式拟合是最常见的一种拟合方法之一。

它通过将二维数据点拟合为高次多项式方程，来实现曲面拟合的目的。

其基本原理是确定多项式的次数，并使用最小二乘法求解多项式的系数。

以二次多项式拟合为例，假设已知的二维数据点为(x1, y1)、(x2,y2)、...(xn, yn)，则二次多项式可表示为：f(x, y) = a + bx + cy + dx^2 + exy + fy^2利用最小二乘法，可以求解出多项式的系数a、b、c、d、e、f的值，从而得到拟合曲面方程。

二、径向基函数插值法径向基函数插值是一种基于插值原理的曲面拟合方法。

它通过选取适当的径向基函数，将二维数据点表示为径向基函数的线性组合，从而得到曲面方程。

其中，径向基函数常用的有高斯函数、多孔径函数等。

以高斯函数为例，其径向基函数可表示为：φ(r) = e^(-k*r^2)其中，r为二维数据点到控制点的距离，k为控制径向基函数形状的参数。

通过选取合适的控制点和参数值，将二维数据点表示为径向基函数的线性组合，即可得到拟合曲面方程。

三、样条插值法样条插值是一种基于插值原理的曲面拟合方法。

它通过选取适当的节点，将二维数据点表示为节点上的样条函数的线性组合，从而得到曲面方程。

其中，样条函数常用的有线性样条函数、二次样条函数等。

以线性样条函数为例，其曲面方程可表示为：f(x, y) = ∑(ai*φi(x, y))其中，φi(x, y)为控制节点i处的样条函数。

通过选择合适的控制节点和样条函数形式，将二维数据点表示为样条函数的线性组合，即可得到拟合曲面方程。

四、最小二乘法拟合除了多项式拟合、径向基函数插值和样条插值等方法外，最小二乘法也是常用的一种拟合方法之一。

二次拟合原理

二次拟合原理
二次拟合原理是数学中的一个重要概念，用来描述通过一系列离散的数据点来构建一个二次曲线拟合最佳的拟合曲线的方法。

在实际应用中，二次拟合常用于分析实验数据，预测未知的数据点，并且能够提供对数据之间关系的更好理解。

二次拟合的基本原理是找到一个二次函数，即一个带有二次项、一次项和常数项的方程，来拟合数据点集合。

拟合过程中，通过最小化数据点与拟合曲线之间的误差来确定最佳的拟合曲线。

常用的误差度量方法是最小二乘法，即通过最小化数据点到拟合曲线的距离的平方和来确定最佳的二次曲线。

拟合过程中，二次拟合曲线的方程形式通常为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别是拟合曲线的系数。

这些系数的确定可
以通过求解一个最优化问题来实现。

具体来说，可以使用线性代数方法或数值优化算法来找到使得误差最小化的最佳系数。

一旦确定了最佳拟合曲线的系数，就可以使用拟合曲线来预测未知数据点的值，或者通过对曲线的解析分析来得出更深入的结论。

总之，二次拟合原理是一种通过构建二次曲线来拟合离散数据的方法，它能够提供对数据关系的更好理解，预测未知数据点的值，并且是实验数据分析中常用的工具之一。

最小二乘法拟合二次曲线公式

最小二乘法拟合二次曲线公式
最小二乘法是一种常用的统计分析和拟合算法的计算方法，用于最小化拟合曲
线与原始数据之间的差异。

它是指在一定的统计数据上，通过实验取得一组期望结果，对付詹迭乘法拟合二次曲线，能够更加准确地预测结果，从而达到更好的精度。

应用最小二乘法拟合二次曲线，只需进行简单的处理就可以计算出符合要求的
拟合曲线，且能够更加精准地拟合出原始数据，取得更加精确的预测结果。

最小二乘法拟合二次曲线的流程可大体分为以下几步：
（1）将给定的原始数据搭建成（x、y）形式，进行表格统计；
（2）由表格得出，进行拟合曲线系数计算，利用最小二乘法拟合出线性回归
方程；
（3）根据拟合曲线回归方程，计算出y值；
（4）将原始数据和y值画出拟合曲线，完成拟合结果。

最小二乘法通过不断迭代，找到最佳的线性拟合方程，从而取得更加精确的预
测结果。

因此，不管是应用到科学技术、经济管理和社会发展等各个领域，最小二乘法拟合二次曲线都具备极强的实用性和准确性。

不规则曲线拟合公式

不规则曲线拟合公式
不规则曲线拟合通常涉及到使用数学函数或模型来逼近给定的数据点。

这可以通过多种方式来实现，具体取决于数据的性质和拟合的要求。

以下是一些常见的不规则曲线拟合方法：
1. 多项式拟合：使用多项式函数来逼近数据。

一般形式为：
1110()n n n n f x a x a x a x a −−=++
++ 其中10,,
,n n a a a −是待定系数，可以通过最小二乘法等方法来确
定。

2. 样条插值：使用分段低次多项式（通常是三次样条）连接数据点，以光滑地逼近曲线。

这样的方法可以确保在连接点上有一定的光滑性。

3. 非线性最小二乘法：使用非线性函数来拟合数据，这些函数可以是任意形式。

例如，指数函数、对数函数、高斯函数等。

4. 神经网络模型：使用神经网络来拟合不规则曲线。

神经网络具有足够的灵活性，可以适应各种不规则形状的数据。

5. 局部拟合方法：采用局部拟合方法，如局部加权回归（Locally Weighted Scatterplot Smoothing ，LOWESS ）或局部多项式回归（LOESS ）。

这些方法在拟合时更注重邻近的数据点，从而能够适应数据的不规则性。

6. 径向基函数（Radial Basis Function ，RBF ）：使用径向基函数来拟合数据，这些函数在数据点附近有较大的值，而在远离数据点时逐渐减小。

选择哪种方法取决于你的数据的性质以及你对拟合结果的要求。

在实际应用中，通常需要根据具体情况进行尝试和调整。

二次曲面拟合与拟合参数不确定度分析

Q ua d ra tic su rfa ce fitting a nd unce rta in ty a na lys is o f fitting p a ram e te rs
Zhang Xi Hu Chunhua Chen W uyi
( School of Mechanical Engineering and Automation, Beijing University of Aeronautics and A stronautics, Beijing 100083, China)
3
3
3
3
T
( 6)
4 曲面质量评定
4. 1 评定指标
3. 1. 1 代数偏差
设 P0 是参数向量最优估计值 P ^ 附近一点 , 希望对 P0 进行调整得到 P ^ = P0 +Δ 满足 ( 6 ) 式 , 由于测量 X ′ 数据并非来自理想二次曲面 , 并且存在测量误差 , 因此不可能完全满足 ( 6 ) 式 , 存在偏差: ε = F ( P0 + Δ) | X = X ′ i (P) i
2 拟合参数初值的计算
二次曲面的一般方程式 ( 2 ) 可化为矩阵方程:
X′ AX′ + 2 bX ′= 1 d1 d4 d2 d6 d5 d6 d3
T
( 3)
其中
A =
d4 d5
b = [ d7 d8 d9 ]
因为 A 为实对称矩阵 , 所以存在正交矩阵 R0
T 使 A 对角化 , 即 R0 AR0 =Λ. 令 X ′ = R0 Y, 则旋转 T 矩阵 R = R0 , 把 X ′ 代入 ( 3 ) 式可得
( 7)
二次曲面拟合的目的通常是为了评价曲面的质量 , 评价的指标主要为两个方面 : ① 曲面的特征参数与设计参数之间的偏差 ; ② 实际测量数据和拟合曲面的平均偏差 , 即轮廓度 , 可用离散点与设计曲面之间偏差的均方根值 (σRM S ) 表示 , 即 σRM S =

空间散乱点的二次曲面拟合

建筑与工程
●Ｉ
空问散乱点的二次曲面拟合
王伟左俊华
承德０７０）６００（河北省地勘局第四地质大队河北［摘要］针对空间散乱点的次曲面拟合问题，文主要讨论了求解非线性最小二乘问题的阻尼ＧｕＳＮｗｏ：本ａｓ — ｅｔｎ法和Ｌｖｎｅｇ ‘ａｑａｄ法。利用ｅｅｂｒＭｒｕｒｔ这两种迭代方法，程实现二次曲面未知参数的求解及二次曲面拟合的实现，编并将求得的结果进行误差分析与比较，此基础上验证此算法的特点及误差表示的在准确性。［关键词］线性最小二乘阻尼ＧｕｓＮｗｏ非ａｓ — ｅｔｎ法ＬｖｎｅｇＭｒｕｒｔｅｅｂｒ — ａｑａｄ法误差中图分类号：Ｐ９Ｔ３ｉ文献标识码：Ａ文章编号：０９９４（００２ — １９０１０１Ｘ２１）７０５２
１引言
逆向工程作为一种重要的计算机辅助手段受到越来越多的重视，曲面拟合是其重要的组成部分，究利用散乱数据点来重构出符合要求的曲面具有很重研要的意义。Ｎ０ｒ出８％的机械零件都可以用平面、球面、圆柱面、ｕｅ指ｓ５圆锥面来描述，ｉ１统计出：传统的机械零件中，Ｍ１ｓ在圆柱面出现的频率就达到了７．％１所以研究利用二次曲面（：、圆柱、圆锥）数据点进行拟合３５１，如球的具有比较实用的意义。二次曲面表达式的选择是拟合问题关键，它将直接影响到曲面参数的准确性、曲面拟合误差的大小，这些是衡量曲面拟合好坏的标准。２二次曲面拟合的算法研究多项式拟合法和距离函数法是目前应用最广泛的生成拟合曲面算法，本文主要讨论多项式拟合法。２１二次曲面多项式拟台原理多项式拟合法是直接采用隐函数曲面或参数曲面来逼近或拟合已知数据点集。二次曲面多项式拟合是根据数据点求出表达式（）１中的系数，

二次曲线拟合方法

二次曲线拟合方法摘要：1.二次曲线拟合方法简介2.二次曲线拟合方法的原理与应用3.二次曲线拟合方法的优缺点4.实际案例分析5.总结与展望正文：一、二次曲线拟合方法简介二次曲线拟合方法是一种数学建模方法，主要通过构建一个二次方程来描述两个变量之间的关系。

这种方法在实际应用中广泛使用，如在物理学、经济学、生物学等领域。

二次曲线拟合方法的优点是简单易懂，计算简便，且在一定条件下可以较好地描绘数据之间的关系。

二、二次曲线拟合方法的原理与应用1.原理：二次曲线拟合方法是基于最小二乘法原理，通过寻找一条曲线，使得所有数据点到这条曲线的垂直距离之和最小。

最小二乘法可以求解线性回归、一元二次方程等问题。

2.应用：二次曲线拟合方法常用于数据分析、预测、建模等领域。

例如，在市场营销中，可以通过二次曲线拟合方法预测销售额与广告投入之间的关系；在环境科学中，可以利用二次曲线拟合方法研究污染物排放量与空气质量之间的关系。

三、二次曲线拟合方法的优缺点1.优点：计算简便、易懂、具有良好的可视化效果，可以较好地反映数据之间的关系。

2.缺点：对数据样本的要求较高，样本量不足或数据质量较差时，拟合效果可能不佳。

此外，二次曲线拟合方法有时无法很好地应对复杂非线性关系。

四、实际案例分析以某企业为例，通过收集近几年的销售数据和广告投入数据，利用二次曲线拟合方法建立销售收入与广告投入之间的关系模型。

通过分析模型，企业可以更好地调整广告策略，实现利润最大化。

五、总结与展望二次曲线拟合方法作为一种常用的数学建模方法，在实际应用中具有一定的局限性。

在今后的研究中，可以探讨与其他方法的结合，以提高拟合效果和实用性。

正交多项式曲线拟合

二乘拟合的精度优于普通最小二乘拟合, 因此在曲线拟合中这种方法更有适用性。 ( 1)在实际工作中观测量的误差很小可以忽略时, 还是应该采用普通最小二乘法来拟合曲线 , 这种方法简单实用计算量比较小, 因而应用比较广泛。 ( 2)在正交多项式最小二乘拟合中可以看出这种方法顾及了自变量和因变量的误差, 从理论上来讲这种方法拟合的曲线更合理。但是这种方法在具体计算中怎样批量的导入数据并且计算出结果来还需要编一个程序来计算。
6162根据测量平差原理的间接平差方法对上述误差方程进行求解得bbb由间接平差的精度评定得出单位权中误差oov2k一十1实例分析本算例的目的在于比较验证笔者介绍的这种方法来拟合曲线与普通最小二乘法拟合曲线的精离散点的坐标tab1thecoordinatesofdiscretepointsy05082114125135141622532中给出的数据分别用两种方法进行拟合并且比较两种拟合方法的精度使用的两种方法都是拟合二次曲线
x1
0
j= 0
jaj x k x1 x2 xk
2 2 2
0
j- 1
yi ) ] 其实残差 ri 是到过曲线某点切线的垂直距离, 拟合的准则为所有坐标点到拟合曲线的正交距离平方和最小。因此这种拟合方法称为正交距离回归 ( 丁克良, 2010 ) (图 2), 又称正交多项式最小二乘拟合法。拟合曲线的观测方程可以表示为 x ^ i = x i + vxi y ^ i = y i + vyi
k
。
4 结论
从上述的实例分析可以看出, 正交多项式最小
Orthogonal Polyno m ial Curve F itting
ZHU X iao dong, LU T ie d ing, CH EN X i jiang ( F aculty of Geom atics , E ast China Inst itute o f T echnology , Fuzhou , JX 344000 , Ch in a) Abstract : Th is paper in troduces prin c ip le of least squares f ittin g curve and f inds the ir shortages. In view of these shortages , putting in a new least squares fitting of o rthogona l po lynom ia.l Th is way can com pensate a phenom enon th at the consequence is different in least squares f ittin g curve w hile x fitt ing y or y fitt ing x. Th is degree o f preci sio n is m ore higher than least squares f ittin g curve , and th is m ethod o f po ly nom ial coe ff icients accordin g to th e ir accuracy can independen tly choose th e iteration ti m es, m ake m ore accura te results . K ey W ords: least squares f ittin g orthogonal po ly nom ia l random erro r residua l

matlab散乱点云去噪算法代码

一、引言在计算机视觉和图像处理领域，散乱点云通常指代三维空间中零散分布的点数据，这些点数据通常是通过激光扫描、三维摄像头或其他传感器获取的。

散乱点云在实际应用中经常受到噪声干扰，因此需要针对其进行去噪处理，以提高数据质量和后续分析的准确性。

MATLAB作为一种常用的科学计算软件，提供了丰富的工具和函数，可以用于实现散乱点云的去噪算法。

二、去噪算法概述1. 传统滤波算法传统的去噪算法主要包括均值滤波、中值滤波、高斯滤波等。

这些算法通常是基于邻域像素值的统计特性，对每个像素点进行滤波处理，以降低噪声对图像的影响。

然而，这些算法在处理散乱点云数据时，可能会导致点云的形状和边缘信息模糊，因此需要更加精确的去噪算法。

2. 基于数据拟合的去噪算法基于数据拟合的去噪算法利用数学模型对散乱点云进行拟合，并通过拟合误差来判断数据点是否为噪声。

这类算法通常包括平面拟合、曲面拟合、最小二乘拟合等，可以较好地保留点云的形状和结构信息。

三、MATLAB实现的散乱点云去噪算法1. 选择合适的数据拟合模型在MATLAB中，可以利用Curve Fitting Toolbox或者自定义函数，选择合适的拟合模型对散乱点云进行拟合。

常用的拟合模型包括线性模型、二次曲线模型、高阶多项式模型等，根据实际数据的特点选择合适的模型进行拟合。

2. 拟合误差计算在拟合完成后，可以利用残差或者拟合误差来判断数据点是否为噪声。

MATLAB提供了丰富的函数和工具，可以方便地计算拟合误差，并根据设定的阈值来判断数据点是否为噪声。

3. 数据点去除根据拟合误差的判断，可以将拟合误差超过阈值的数据点视为噪声数据，并将其从散乱点云数据中去除。

MATLAB提供了灵活的数据操作和处理函数，可以方便地实现数据点的去除操作。

四、算法实现示例以下是一个简单的散乱点云去噪算法的MATLAB实现示例：```matlab读取散乱点云数据data = load('point_cloud_data.txt');选择拟合模型进行数据拟合model = fit(data, 'poly2');计算拟合误差error = calculate_error(data, model);设置拟合误差阈值threshold = 0.1;去除拟合误差超过阈值的数据点clean_data = remove_noise(data, error, threshold);显示去噪后的散乱点云数据plot(clean_data);```在上述示例中，我们首先读取了散乱点云数据，然后选择了二次多项式模型进行数据拟合，计算了拟合误差，并设置了拟合误差的阈值。

二次曲面拟合法

5、最小二乘配置法
根据最小二乘原理
拟合结果四
从拟合统计结果来看在结合了平面拟合、相关平面拟合、二次曲面拟合、三次曲面拟合方法的最小二配置之后，精度提高明显。
6、基于EGM2008的“移去-恢复”法
根据物理大地测量学的理论,高程异常可分解为3个分量：
移去--恢复法的思想就是首先在高程异常中移去长波分量部分或短波分量部分,对其剩余值进行拟合,然后再在待定点上恢复移去的长波分量值理：
3.2、相关平面拟合法
当测区地形较平坦，也可采用相关平面拟合法，即取统一公式的前3项和第5项，其数学模型为：
当公共点个数大于4时，按间接平差原理：
3.3、二次曲面拟合法
当测区地形稍有起伏，可采用二次曲面拟合法，即取统一公式的前6项，其数学模型为：
当公共点个数大于6时，按间接平差原理：
3.4、三次曲面拟合法
当测区地形起伏较大，可采用三次曲面拟合法，即取统一公式的所有项，其数学模型为：
当公共点个数大于6时，按间接平差原理：
案例二工程概况：西部某省级测绘院承担并完成了西煤东运煤炭基地A测区1:10000地形图基础测绘及264幅地形图航空摄影测量外业工作。测区范围南北宽约60 km，东西长约165 km，总面积约6600km2，合计 1∶10000地形图264幅（其中利用卫星影像成图157 幅，航摄像片成图107幅）。测区最高高程约为 2800m，最低高程约为600m，相对高差约为2200m 。测区大部分区域平均高程约为800m。测区内道路通行情况较差，一年当中大部分时间属大风极寒天气。通过外业测量，共获得GPS水准公共点61个，航测像控点158个，其中采用几何水准检核点25个。
GPS高程拟合原理其应用

曲面拟合的方法(一)

曲面拟合的方法(一)曲面拟合简介曲面拟合是一种常见的数据处理技术，用于将散点数据拟合成一个平滑的曲面。

在计算机图形学、地理信息系统、工程设计等领域都有广泛的应用。

本文将介绍几种常用的曲面拟合方法。

多项式拟合多项式拟合是最简单直接的方法之一。

它通过使用多项式函数来逼近原始数据。

常见的多项式拟合方法有最小二乘多项式拟合和使用插值多项式的方法。

最小二乘多项式拟合最小二乘多项式拟合是基于最小二乘法的思想，将原始数据拟合成一个多项式函数。

通过最小化误差的平方和来确定多项式的系数。

该方法简单易懂，但可能会导致过度拟合。

插值多项式拟合插值多项式拟合是将原始数据点直接连接成一条曲线的方法。

它使用拉格朗日插值或牛顿插值来计算拟合曲线上的其他点。

这种方法适用于数据点较少的情况，但在数据点密集的情况下可能会产生振荡。

B样条曲线B样条曲线是一种常用的曲线拟合方法。

它通过在局部范围内使用多个低阶多项式来逼近原始数据。

B样条曲线的特点是平滑，且可以控制曲线的形状。

三次B样条曲线三次B样条曲线是一种常用的B样条曲线方法。

它使用三次多项式来逼近原始数据。

三次B样条曲线具有良好的平滑性和合理的计算复杂度，被广泛应用于曲面拟合、曲线绘制等领域。

最小二乘曲面拟合除了拟合曲线，还有一种方法可以拟合曲面。

最小二乘曲面拟合是通过最小化误差的平方和来确定曲面的系数。

常见的方法有多项式曲面拟合和克里金插值法。

多项式曲面拟合多项式曲面拟合是将原始数据点拟合成一个多项式函数的表面。

通过最小二乘法确定多项式的系数，从而拟合出一个平滑的曲面。

这种方法简单易懂，但可能会导致过度拟合。

克里金插值法克里金插值法是一种基于统计学的方法，用于对散点数据进行空间插值。

它基于数据的空间相关性来估计拟合曲面上任意点的值。

克里金插值法适用于数据点较多且分布均匀的情况，但在数据点密集的情况下可能会产生振荡。

总结曲面拟合是一种常见的数据处理技术，可以将散点数据拟合成一个平滑的曲面。

excel 二次曲线拟合

Excel二次曲线拟合是一种数据采样和拟合技术，它可以将一系列离散点绘制成一条曲线。

该技术主要用于描述一个具有上升或者下降趋势的数据分布规律，通过建立拟合曲线来研究一组数据的变化规律。

在Excel中，二次曲线拟合可以通过以下步骤实现：
1.在Excel中输入实验数据，最好将两个变量分别输入到两个竖排的列中。

2.选中所有数据，注意不要选中文字部分。

3.在菜单栏中点击“插入”，然后选择“散点图”下的下拉菜单。

4.选择需要的散点图类型，通常选择既有数据点又有平滑曲线的散点图。

5.点击一个数据点，会选中所有数据点，然后右键点击，在弹出的菜单中选择“添加趋势线”。

6.在“添加趋势线”对话框中，选择“多项式”作为趋势线的类型，并设置阶数为2（表示二次曲线）。

7.勾选“显示公式”和“显示R平方”的复选框，以便在图表中显示拟合的公式和相对误差。

完成以上步骤后，Excel会自动计算并显示拟合的二次曲线、公式和相对误差。

通过这种方法，可以直观地了解数据的分布规律，并进行进一步的分析和预测。

python 散点拟合曲线

要在 Python 中实现散点的曲线拟合，你可以使用 numpy 和 matplotlib 这两个库。

如果你还没有安装这两个库，你可以使用 pip 安装：pip install numpy matplotlib以下是一个简单的示例，该示例生成了一些随机散点，并使用 numpy 的 polyfit 函数来拟合一个二次曲线。

然后使用 matplotlib 来绘制散点和拟合曲线。

pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 生成随机数据np.random.seed(0)x = np.random.rand(100)y = 2 * x**2 + 3 * x + np.random.rand(100) # 二次曲线加上一些噪声# 使用 numpy 的 polyfit 函数进行拟合，这里我们拟合一个二次曲线，所以 degree=2 coefficients = np.polyfit(x, y, 2)# 创建一个用于绘制拟合曲线的 x 值数组x_fit = np.linspace(0, 1, 100)# 使用拟合得到的系数来计算 y 值y_fit = coefficients[0] * x_fit**2 + coefficients[1] * x_fit + coefficients[2]# 绘制原始散点plt.scatter(x, y, label='原始数据')# 绘制拟合曲线plt.plot(x_fit, y_fit, 'r', label='拟合曲线')plt.legend()plt.show()这个示例中的 np.polyfit 函数用于拟合一个多项式曲线。

函数的第一个参数是 x 值数组，第二个参数是 y 值数组，第三个参数是你想要拟合的多项式的度数。

在这个例子中，我们选择了2，表示我们想要拟合一个二次曲线。