第九讲 函数与方程自主招生

第九讲 函数与方程

【说明】

函数是自主招生的一个非常重要内容！

1.就近几年考试情况来看，复旦和交大（“华约”）自主招生中有关函数的内容大约占20%—30%。

2.其中，热点问题是：方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）、函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。

【知识引入】

一．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有关公式

1.一元二次方程的根：2b x a

-±=

2.根与系数的关系：12b

x x a

+=-，12c x x a =（韦达定理）

3.判别式：2

4b ac ∆=-．

二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题 1.函数不等式的恒成立问题：

（1）不等式()f x m ≥在集合D 上恒成立⇔在集合D 上min ()f x m ≥． （2）不等式()f x n ≤在集合D 上恒成立⇔在集合D 上max ()f x n ≤． 2.函数不等式的能成立问题：

（1）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x m ≥成立⇔在集合D 上max ()f x m ≥． （2）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x n ≤成立⇔在集合D 上min ()f x n ≤． 3.函数不等式的恰成立问题：

不等式在集合D 上恰成立⇔该不等式的解集为D ．

三．几个常见的函数方程

1.正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.

2.指数函数()x

f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.

3.对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.

【知识拓展】

一．方程的根与函数的零点：

1.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点．

2.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点

3.零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间

(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =。

►函数零点的理解：

（1）函数()y f x =的零点、方程0)(=x f 的根、函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程0)(=x f 根的个数就是函数)(x f y =的零点的个数，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的个数

（2） 函数的零点不是点，而是函数函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

（3）若函数)(x f 在区间[,]a b 上的图象是一条连续的曲线，则0)()(<⋅b f a f 是)(x f 在区间),(b a 内有零点的充分不必要条件。

二．三次方程的韦达定理：设三次方程3

2

0(0)ax bx cx d a +++=≠的三个根分别是

123,,x x x ，则有

123

121323123

,,.b x x x a

c x x x x x x a

d x x x a ⎧

++=-⎪⎪

⎪

++=⎨⎪

⎪

=-⎪⎩

这个定理的证明并不困难，只要把式子3

2

123()()()ax bx cx d a x x x x x x +++=---展开，比较x 的同次项系数即可。 三．整系数多项式的根：若既约分数

q

p

（即(,)1,0,,p q p p q Z =≠∈）为整系数多项式

1110n n n n a x a x a x a --++

++的根，则0|,|n p a q a 。

【典例精讲】

例1．（2012复旦）设三次方程30x px q ++=的3个根互异，且可成等比数列，则它们的公比是 。 （A

）12-

± （B

）12 （C

12i ± （D

）1

2

i ±

►分析与解答：

设这三个根为2111,','x q x q x ，则由三次方程根的韦达定理有

221111''01''0,'22

x q x q x q q q ++=⇒++==-±。 故选A 。

例2．（2012“北约”）求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数。

►分析与解答：原方程即

1。

3|25|1+=。

令|3||5|1

t t t =⇒-+-=。由于|3||t t -+-≥

|(3)(5)|2t t ---=。所以原方程无实根。

例3．（2011复旦千分考）设,(,)a b ∈-∞+∞，0b ≠，,,αβγ是三次方程3

0x ax b ++=的3个根，则总以

1

11111

,,α

ββ

γγα

+

++为根的三次方程是（ ）

（A ）232

2

20a x abx b x a ++-= （B ）2322

20b x abx a x b ++-=

（C ）2322

20a x ab x bx a ++-= （D ）23

2

2

20b x a bx ax b ++-=

►分析与解答：由三次方程的韦达定理：

0,,,b αβγαβαγβγααβγ++=⎧⎪

++=⎨⎪=-⎩

而