第九讲 函数与方程自主招生

第九讲 函数与方程
【说明】
函数是自主招生的一个非常重要内容！
1.就近几年考试情况来看，复旦和交大（“华约”）自主招生中有关函数的内容大约占20%—30%。

2.其中，热点问题是：方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）、函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。

而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。

【知识引入】
一．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有关公式
1.一元二次方程的根：2b x a
-±=
2.根与系数的关系：12b
x x a
+=-，12c x x a =（韦达定理）
3.判别式：2
4b ac ∆=-．
二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题 1.函数不等式的恒成立问题：
（1）不等式()f x m ≥在集合D 上恒成立⇔在集合D 上min ()f x m ≥． （2）不等式()f x n ≤在集合D 上恒成立⇔在集合D 上max ()f x n ≤． 2.函数不等式的能成立问题：
（1）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x m ≥成立⇔在集合D 上max ()f x m ≥． （2）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x n ≤成立⇔在集合D 上min ()f x n ≤． 3.函数不等式的恰成立问题：
不等式在集合D 上恰成立⇔该不等式的解集为D ．
三．几个常见的函数方程
1.正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
2.指数函数()x
f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
3.对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.
【知识拓展】
一．方程的根与函数的零点：
1.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点．
2.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点
3.零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间
(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =。

►函数零点的理解：
（1）函数()y f x =的零点、方程0)(=x f 的根、函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程0)(=x f 根的个数就是函数)(x f y =的零点的个数，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的个数
（2） 函数的零点不是点，而是函数函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

（3）若函数)(x f 在区间[,]a b 上的图象是一条连续的曲线，则0)()(<⋅b f a f 是)(x f 在区间),(b a 内有零点的充分不必要条件。

二．三次方程的韦达定理：设三次方程3
2
0(0)ax bx cx d a +++=≠的三个根分别是
123,,x x x ，则有
123
121323123
,,.b x x x a
c x x x x x x a
d x x x a ⎧
++=-⎪⎪
⎪
++=⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
这个定理的证明并不困难，只要把式子3
2
123()()()ax bx cx d a x x x x x x +++=---展开，比较x 的同次项系数即可。

三．整系数多项式的根：若既约分数
q
p
（即(,)1,0,,p q p p q Z =≠∈）为整系数多项式
1110n n n n a x a x a x a --++
++的根，则0|,|n p a q a 。

【典例精讲】
例1．（2012复旦）设三次方程30x px q ++=的3个根互异，且可成等比数列，则它们的公比是 。

（A
）12-
± （B
）12 （C
12i ± （D
）1
2
i ±
►分析与解答：
设这三个根为2111,','x q x q x ，则由三次方程根的韦达定理有
221111''01''0,'22
x q x q x q q q ++=⇒++==-±。

故选A 。

例2．（2012“北约”）求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数。

►分析与解答：原方程即
1。

3|25|1+=。

令|3||5|1
t t t =⇒-+-=。

由于|3||t t -+-≥
|(3)(5)|2t t ---=。

所以原方程无实根。

例3．（2011复旦千分考）设,(,)a b ∈-∞+∞，0b ≠，,,αβγ是三次方程3
0x ax b ++=的3个根，则总以
1
11111
,,α
ββ
γγα
+
++为根的三次方程是（ ）
（A ）232
2
20a x abx b x a ++-= （B ）2322
20b x abx a x b ++-=
（C ）2322
20a x ab x bx a ++-= （D ）23
2
2
20b x a bx ax b ++-=
►分析与解答：由三次方程的韦达定理：
0,,,b αβγαβαγβγααβγ++=⎧⎪
++=⎨⎪=-⎩
而
111111111222a
b αβαγβγαββγγααβγαβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=++=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
对选项逐个用韦达定理检验，只有选项B 适合。

例4．（2012“华约”）请证明：方程0!
!33!212=+++++n x x x x n
在n 为偶数的时候没有实
数根，在n 为奇数的时候，有且仅有一个实数根。

►分析与解答：
用归纳法证明：n 为奇数时，()n f x 单调递增，且值域为(,)-∞+∞；n 为偶数时，()0
n f x >恒成立。

这里23
()12!3!!
n
n x x x f x x n =++
+++。

对()n f x 求导有 2
11'()1()2!(1)!
n n n x x f x x f x n --=+++
+=-。

1n =时，1()1f x x =+，它在R 上单调递增，且值域为R 。

2n =时，2222111
()11(1)02!222
x f x x x x x =++=++=++>。

故1,2n =时结论成立。

设1n k =-时结论成立。

则n k =时，
①当k 为偶数时，2
()12!!
k
k x x f x x k =++++，1'()()k k f x f x -=。

因为1k -为奇数，由归纳假设1()k f x -在R 上单调递增，且值域为R 。

故方程1()0k f x -=有且仅有一个实根，设为0x ，当0x x <时，1()0k f x -<；当0x x >时，1()0k f x ->，所以对'()k f x 而言，只有
0'()0k f x =，且当0x x <时，'()0k f x <，当0x x >时，'()0k f x >。

所
以
x 是
()
k f x 的最小值，于是
2
00000010()1()02!!!!
k k k k k x x x x f x x f x k k k -=+++
+=+=>（因为k 为偶数）。

0()()0k k f x f x ≥>。

即n 为偶数时()0n f x >恒成立。

②k 为奇数时，1k -为偶数，由归纳假设1()0k f x ->，所以1'()()0k k f x f x -=>，所
以()k f x 在R 上单调递增。

再注意到k 为奇数时，多项式2
()12!!
k
k x x f x x k =+++
+。

当x →+∞时，()k f x →+∞；当x →-∞时，()k f x →-∞。

即当n 为奇数时，()n f x 单调递增，且值域为(,)-∞+∞。

综上，当n 为偶数时，()0n f x >恒成立，故()0n f x =没有实数根；n 为奇数时，()n f x 单调递增，且值域为(,)-∞+∞，故()0n f x =有且只有一个实数根。

例5．（2008复旦）方程2
30x
x e -=的实根是（ ）
（A ）不存在 （B ）有一个 （C ）有两个 （D ）有三个 ►分析与解答：
此方程属于超越方程，没有精确解，只能用数形结合法来解决，画出2
3y x =与x
y e =的函数图象草图，显然方程有且只有一个小于0的解，那么有多少个大于0的解呢？许多同学误认为只有一个。

事实上，认真分析后就可以发现有两个大于0的解。

理由如下：令
2()3x f x x e =-，则
5
(0)10,(1)3
0,(5)750
f f e f e =-<=->=-<，由于(0)(1)0,(1)(5)0f f f f ⋅<⋅<，由零值定理，知开区间(0,1)和(1,5)内各有一根。

故方程
有两正根一负根，本题应选D 。

练习1：函数116
log y x =与它的反函数的交点个数为 （ ）
（B ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
►答案C
►分析与解答：11()24，、11()42
，、还有一个交点在直线y x =上，共3个。

练习2：关于x 的方程(
)
2
2
2
110x x k ---+=，给出下列四个命题：
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是 （ ）
A 0
B 1
C 2
D 3
►分析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.
►解答：2
1t x =-
方法一：根据题意可令21(0)x t t -=≥，则方程化为2
0t t k -+=，(*)
作出函数2
1t x =-的图象，结合函数的图象可知：①当0t =或1t ＞时，原方程有两个不
等的根，②当01t ＜＜时，原方程有4个根，③当1t =时，原方程有3个根. (1)当2k =-时，方程(*)有一个正根2t =，相应的原方程的解有2个；
(2)当14k =
时，方程(*)有两个相等正根1
2
t =，相应的原方程的解有4个； (3)当0k =时，此时方程(*)有两个不等根0t =或1t =，故此时原方程有5个根；
(4)当1
04
k ＜＜时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故
相应的满足方程21x t -=的解有8个，故选A.()
2
22
()11f x x x =---
方法二：由函数(
)
2
2
2
()11f x x x =---的图象(如下图)及动直线()g x k =可得出答案为A .
3. 设21(0)x t t -=≥，2
0t t k -+=，方程的判别式为14k ∆=-，由k 的取值
依据0∆＞、=0∆、0∆＜从而得出解的个数
.
2(1)(1)(11)()(1)(1)(11)
x x x x x x f x x x x x ⎧-+≤-≥⎪=⎨-+-⎪⎩或＜＜
4.
设函数2(1)(1)(11)
()(1)(1)(11)
x x x x x x f x x x x x ⎧-+≤-≥⎪=⎨-+-⎪⎩或＜＜，利用数轴标根
法得出函数与x 轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A .
►点评：方法一、方法二、方法四都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，方法二利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；方法三利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质. 例6．（2007交大）设4
3
2
()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ： （1）方程()0f x =总有相同的实根； （2）存在0x ，恒有0()0f x ≠。

►分析与解答：
本题若看成关于x 的四次多项式，则很难因式分解，若展开重新整理成关于a 的一次多项式：
42432222(34)(2)(4)(1)(2)(1)x x a x x x x x a x x x --++-=-+⋅++- 2222(2)(2)(1)(2)(1)(2)[(2)(1)(1)]x x x a x x x x x x a x x =+-+++-=+-++-
显然()0f x =总有相同实根2x =-；当02x =时，(2)160f =≠。

注：本题从另一个角度，转换参数，将()f x 看成一个关于a 的一次函数，值得回味！ 例7．（2005
3=的实数根。

►分析与解答：
解法一：显然，移项后两边四次方是不可取的，不妨先作一个换元：
令
u v ==，则 44
3
17
u v u v +=⎧⎨+=⎩。

44222222222222()2[()2]2(92)2u v u v u v u v uv u v uv u v +=+-=+--=--
228136217uv u v =-+=，从而2()18320uv uv -+=，解得：2uv =或16（舍去）。

联立3
2
u v uv +=⎧⎨
=⎩，可得：12u v =⎧⎨=⎩或21u v =⎧⎨=⎩故6x =或9-。

解法二：由322=⨯
，联想到等差中项的概念。

可设3232
d d
=+=-，
则
44
322344432234
3333310()46()4()()22222
333337()46()4()()22222
x d d d d d x d d d d d ⎧+=+=+⋅+⋅+⋅+⎪⎪⎨
⎪-=-=-⋅+⋅-⋅+⎪⎩ ①+②得：4281172278
d d =++
，即4222
16216550,(41)(455)0d d d d +-=-+=，解得：12
d =±
， 从而6x =或9-。

例8．（2008交大）已知函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根。

问：
(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论。

①
②
►分析与解答：此问题的解法较多，提供以下三种解法。

解法一：先介绍一个引理。

引理：若{|()},{|(())}M x f x x N x f f x x ====，则M N ⊆。

引理的证明：0x M ∀∈，有00()f x x =，故0000(())()f f x f x x x N ==⇒∈，由0x 的任意性知M N ⊆。

回到原题。

(())f f x x =即2()()af x bf x c x ++=，这是一个4次方程，由上述引理知，
(())f f x x -一定可以分解出()f x x -这样一个因式。

2222()()0()()()0af x bf x c x af x bf x ax bx c ax bx x ++-=⇒++++---=，即 22(())(())()0
a f x x
b f x x f x x -+-+-=(())(())(())()0a f x x f x x b f x x f x x ⇒+-+-+-= (())[(())1]0f x x a f x x b ⇒-+++=
由于()0f x x -=无实根。

下面只要求出方程(())10a f x x b +++=是否有实根即可。

22(())1()1a f x x b a x ab a x ac b +++=+++++，其判别式
222222()4(1)(2144)[(1)44]ab a a ac b a b b ac a b ac ∆=+-++=-+--=---。

又()0f x x -=无实根，故2
'(1)40b ac ∆=--<，由此可知0∆<。

所以方程
(())10a f x x b +++=亦无实根。

综上，(())f f x x =也无实根。

解法二：数形结合，图像法。

若0a >，由于()f x x =无实根，则对任意实数x ，()f x x >，从而
(())()f f x f x x >>，故(())f f x x =无实根（如图4-1）；
图4-1 图4-2
同理，若0a <，则对任意实数x ，()f x x <，(())()f f x f x x <<，(())f f x x =也无实根（如图4-2）。

解法三：反证法。

若存在00(())f f x x =，令0()f x t =，则0()f t x =，即0(,)t x 是()y f x =图像上的点；又0()f x t =，即0(,)x t 也是()y f x =图像上的点，显然这两点不重合。

且这两点关于直线y x =对称。

而2()y f x ax bx c ==++与y x =必有交点，从而()f x x =必有实数解，矛盾！
注：从解法三可以看出，此题的结论不只针对二次函数()f x 是对的，对一般的连续函数都有一样的结论。

例9．（2009交大）当()f x x =时，x 的取值称为不动点。

证明：若(())f f x 有唯一不动点，则()f x 也有唯一不动点。

►分析与解答：
不妨设0x 是(())f f x 的唯一不动点，即00(())f f x x =。

令0()f x t =，则0()f t x =，那么，
0(())()f f t f x =，而0()f x t =，故(())f f t t =，这说明t 也是(())f f x 的不动点。

又
(())f f x 只有唯一不动点知，0x t =。

从而()f t t =，这说明t 也是()f x 的不动点，存在性
得证。

下证唯一性：若()f x 还有另一个不动点't ，即(')'f t t =(')t t ≠，则(('))(')f f t f t t ==，这说明
(())f f x 还有另一个不动点't ，与题设矛盾！ 注:利用不动点原理可以解决某些问题，比如某类递推数列求通项问题，不动点问题也是自主招生考试中的热点问题之一。

【方法总结】
【真题训练】
1.（2011“卓越联盟”）若关于x 的方程2||
4
x kx x =+，有四个不同实数解，则k 的取值范围为（ ）
A.(0,1) B 1(,1)4 C 1(,)4
+∞ D (1,)+∞
2.（2006复旦）设函数()y f x =对一切实数x 均满足(5)(5)f x f x +=-，且方程
()0f x =恰好有6个不同的实根，则这6个实根的和是（ ）
A.10 B 12 C 18 D 30
3.（2008复旦）已知关于x 的方程26(2)|3|920x x a x a -+--+-=有两个不同的实数根，则系数a 的取值范围是（ ）
0a >或2a =- B 0a < C 2a =或0a > D 2a =-
4.（2007交大）设0a >且1a ≠，则方程2
122x a x x a +=-++的解的个数
是 。

5.（2004交大）已知1a ≤≤，则方程||x 的相异实根的个数
是 。

6.（2000交大）方程2
2
7(13)20x k x k k -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是 。

7.
（
2005
交
大
）
已
知
,x y R
=∈，则
(,)x y = 。

8.（2006交大）,,a b c R ∈，0abc ≠，b c ≠，2
()()()0a b c x b c a x c a b -+-+-=有两个相等根，求证：111
,,a b c
成等差数列。

9.（2006交大）设9k ≥，解关于x 的方程322
29270x kx k x k ++++=
10.（2009交大）求方程2x x =+++（n 重根）的解。

11.（2005交大）3
2
0x ax bx c +++=的三根分别为,,a b c ，并且,,a b c 是不全为零的有理数，求,,a b c 的值。

【参考答案】
1.C 显然0x =是原方程的解；0x ≠时，1||4
k x x =
+；0x >时，2
410kx kx +-=；0x <时，
2410kx kx ---=，即2410kx kx ++=。

若2
1640k k ∆=+=或2
1640k k ∆=-=，易验证均不符合要求。

由韦达定理知，方程2
410kx kx +-=两根之和为4-，故只可能是方程2
410kx kx ++=有两个不同的负根，而2410kx kx +-=一正、一负两个实根，其中负根不符要求。

所以21640,40,
110410k k k k
k
⎧∆=->⎪
-<⎪⎪
⇒>⎨>⎪⎪-<⎪⎩，故选C 。

2.D 由(5)(5)()f x f x y f x +=-⇒=的图像关于直线5x =对称。

3.A 原方程可化为2(3)(2)|3|20x a x a -+---=，即(|3|2)(|3|)0x x a ---+=。

由|3|2051x x --=⇒=或，故方程|3|0x a -+=或无实根或实根是1,5。

故0a >或
2a =-。

4.2个 数形结合，原方程即为2
(1)2x
a x a =--+。

1a >时，分别画出x
y a =和
2(1)2y x a =--+的图像，注意到抛物线2(1)2y x a =--+的顶点(1,2)a 在(1,)a 的上方，
故此时交点的个数是2，如图（a ）；01a <<时，同理也是两个交点，如图（b ）。

（a ） （b ）
5.2个或3个或4个
如图，y a
的半圆；||y x =表示两条射线（关于y 轴对称）。

当1a =时这两条射线与半圆
y =相切；
当1a <<两条射线与半圆相交，故有4个交点；
当a =3个交点。

1a =
1a <<
a =6.(3,4)
(2,1)--。

令22()7(13)2f x x k x k k =-++--，由零值定理知，
(0)0,(1)0,(2)0f f f ><>，解得34k <<或21x -<<-。

7.31(,)22
=
====，故31,22x y ==。

8.解法一：依题意，
2222222222222222222222222[()]4()()
(2)4()
244444244(2)0
b c a ac b c a b b c ac a ac ab b ac bc b c ab c a b a bc ab c a c abc b c a b a c ab c a bc abc ab bc ac ∆=----=-+---+=-+-++-=+++--=+-= 所以1122,
ab bc ac a c b +=+=，即111
,,a b c
成等差数列。

解法二：注意到()()()0a b c b c a c a b -+-+-=，故1x =是原方程的根，由题意知它是重根，由韦达定理知()
()
c a b x a b c -=
-，整理得2ab bc ac +=，即112a c b +=。

9.换一个角度，整理成一个关于k 的二次方程 2
2
3
(29)(27)0xk x k x ++++=
2
2
3
2
2
(29)4(27)3610881(69)x x x x x x ∆=+-+=-+=-
所以 2(29)(69)
2x x k x
-+±-=
2)
2)
2)
即 22(29)(69)(29)(69)
22x x x x k k x x
-++--+--==
或， 化简得： 2(3)903x k x k x +-+==--或。

解得：
9)3x k x k =
≥=+或。

10.
x =，用反证法。

若
x
>，
则
23x x x
=>，
故323
x x x x x
+>+=，。

，
2x x x ++>，
这与
2
x x =+
++矛盾！
x <也会产生矛盾。

x =，可得0x =或3x =。

经检验，0x =或3x =均是原方程的解。

11.分析与解：由三次方程的韦达定理知，
(),,.a a b c b ab bc ca c abc =-++⎧⎪
=++⎨⎪=-⎩
由③式，得：0c =或1ab =-
若0c =，代入①②，知20a b b ab +=⎧⎨=⎩，可得：000a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩（舍去）或1
20
a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
若1ab =-，代入①②，得：201
a b c b bc ca ++=⎧⎨
=+-⎩
由④，(2)c a b =-+，代入⑤式，得：
22()(2)1231b a b a b a ab b =+---=----，
将1a b
=-
代入，得2
2122b b b =-⋅-+，整理得：
432220b b b +-+=。

① ② ③
④ ⑤
试根，发现1-是它的解，从而可得3(1)(22)0b b b +-+=，故1b =-或
3220b b -+=。

对于方程3
220b b -+=，由于左边是首项系数为1的整系数多项式，且易见1,2±±均不是它的根，由知识拓展3的推论可知，此方程没有有理数根。

综上，原问题所求的,,a b c 为1,1,1,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩或1,2,0a b c =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
注：解决这个问题用到不少课外知识：三次方程的韦达定理、整系数多项式有理根的知识，
此外，解这个问题还需要一定的代数功底和毅力。