常微分方程初等解法的研究

2015届本科毕业论文(设计) 论文题目：常微分方程初等解法的研究

学院：数学科学学院

专业班级：数学与应用数学11-1班

学生姓名：汤鹏

指导老师：张新东副教授

答辩日期：2015年5月5日

新疆师范大学教务处

目录

引言 (1)

1 常微分方程的定义及分类 (2)

1.1 定义 (2)

1.2 一阶线性微分方程 (2)

1.3 一阶线性微分方程组 (2)

2 一阶线性微分方程的解法 (4)

2.1 分离变量法 (4)

2.2 常数变易法 (5)

2.3 全微分法 (6)

2.4 参数法 (7)

3 n阶常系数线性微分方程的解法 (9)

3.1 单根的情形 (9)

3.2 重根的情形 (10)

4 常微分方程的应用 (11)

4.1 人口动力学问题 (11)

4.2 简谐运动 (11)

4.3 电路理论 (12)

4.4 MATLAB解常微分方程 (13)

5 总结 (15)

参考文献 (16)

致谢 (17)

常微分方程初等解法的研究

摘要：本文主要对常微分方程的初等解法进行研究，使大家更深一步地了解常微分方程的分类、解法及其在其他领域的应用。首先总结阐述常微分方程的定义和几种常见的类型，然后讲解了常微分方程的解法及方程组解的情况，最后讲述了常微分方程在以下四个方面的应用：动力学问题、简谐运动、电路理论及用MATLAB解常微分方程。

关键词：常微分方程；初等解法；方程组；动力学；MATLAB

Research elementary solution of ordinary differential

equations

Abstract: This paper mainly elementary solution of ordinary differential equation is studied,make you a deeper understanding of classification,the ordinary differential equation solution and its application in other fields.Firstly summarizes the type describes the definition of ordinary differential equations and several common,then explain the ordinary differential equation solution and the solution of equations,and finally describes the application of ordinary differential equations in the following four aspects:dynamics,simple harmonic motion,boundary value problem and the solution of ordinary differential equation with MATLAB.

Key words: Ordinary differential equations; The primary solution; Equations; Dynamics; MATLAB

引言

常微分方程是数学中的一个重要的方程之一。常微分方程是人类在生活实践中得来的。据史料记载它的的出现要比微积分还要早。笛卡尔在光学问题上的研究由切线性质引出的镜面形状、伽利略研究自由落体运动等等[10]。事实上，这些问题都要建立并求解微分方程。

本文首先给出了常微分方程的相关定义、分类及其解法，想让大家对常微分方程的相关知识进行整理和汇总，在此基础上应用实际应用例子，以体现常微分方程的重要作用。

1 常微分方程的定义及分类

1.1 定义

一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式[7]。

当未知函数中依赖于一个自变量时，相应的微分方程称为常微分方程[8]。

1.2一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的形式：

)()(x q y x p dx dy

+= （1.2.1） 其中()x p 和()x q 是区间b x a <<上的已知函数。

如果()0≡x q ,即

y x p dx dy

)(= （1.2.2） 则称其为一阶线性齐次方程。如果0)(≠x q ，则称（1.2.1）式为一阶线性非齐次方程[8]。

1.3一阶线性微分方程组 一阶线性微分方程组:

如果在一阶微分方程组中，函数i f ),,2,1)(,,,,(21n i y y y x n ΛΛ=关于n y y y ,,,21Λ 是线性的，一阶微分方程组可以写成：

()()()()()()()()()()()()

⎪⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪

⎪⎨⎧++++=++++=++++=x f y x a y x a y x a dx dy x f y x a y x a y x a dx dy x f y x a y x a y x a dx dy n n nn n n n n n n n ΛM ΛΛ22112

22221212112121111

（1.3.1）

则称（1.3.1）为一阶线性微分方程组。

为了方便记忆，可以把（1.3.1）写成向量的形式。为此，记