新思路辅导与训练数学九年级全册-2019版答案

参考答案
第二十四章 相似三角形 24.1放缩与相似形
1.形状相同的两个
2.长度成比例相等
3.不一定
4.略
5.有一组角对应相等
6.20
7.C
8.B
9.B 10.2(102)210(05)S x x x x x =-=-+<< 11.（1）不相似.A B = 30，28A B ''=BC = 20，18B C ''=而
28183020≠ （2）由题意，得3022023020
x --=. 解方程，得x = 1.5，或
30220
x
-. 解方程，得x = 9 12.不一定相似。

因为多边形相似不仅要对应边成比例，还要对应角相等。

梯形可能，但是如果按照题中的顺序则不可能
24.2（1）比例的性质
2
217351
1.
2. 7.5
3.
4.13
5. 3 i.
63
6.2
7.
8.9.15
14
6x a b y a b +=--13
10.
15 11.12:1312.±厘米14.D 15.1207
厘米 16.11 17.（1）5:4:1(2)
17 18. 89
17
19三、四 20 x = 2，24.2（2）面积比与线段比的相互转化、黄金分割
1.0.5
2. 2
2
33
3.2
4.21
5.12.36厘米69-7.3:21008.C 9.B 10.C 1.D
12.
∵
AD
∥
B
∥
CF ,,,DME
WD
DHF
CHD
QE FBE CHB
S S
S
S
S S S
∆∆===∴,2FHE DEF
BEF
S S
S
∆=∴=
13. 111
1,,,,222
AB AC x BD ED AD x ====∴=+在Rt △ABD 中，由勾股
定
理
，
得
2
2
22
211111,1,12244x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+∴++=+∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
221(1),x x AC AB BC
∴=⋅-∴=⋅AC BC
AB AC
=，即点C 是线段AB 的一个黄金分
割点。

在21x x =-中，整理，得2110,2
x x x -±+-=∴=
AC 为线段长，只能
取正，AC 10.618,0.6182AC
x AB
-+=
≈∴≈黄金比约为0.618 24.3（1）三角形一边的平行线（性质定理）
1.3
2.5
3.4米∴..25.2厘米 6.5:17.A 8.0.5，解略9.∴EF ∥DC →AEBC =
AF :DF ,DE ∥BC →AD :BD = AE :BC ，∴AF :FD = AD :DB 10.提示：PQ PR PS PI ==PB
PD 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AO :OC = OD :O B.又CE ∥AB ，则BO :OEAO :OC ，∴BO :OE = AO :CC = OD :OB ，即OD :OB = BO :O .又OB = 6，OD = 4，即4：6 = 6：OE ，解得OE = 9.又OD = 4，∴DE
24.3（2）三角形一边的平行线（性质定理的推论、重心性质） 1.重心 2.这个顶点对边中点距离 3.404.45.4.56(1)
14
11
（2）207.88.3:59.1:210.211.①③④12.C 13.B 14.（1）∵AD ∥BC ，∴DE FD
BC FC
=FD = 2
，
112
,. 6.624(2)//,33ED DE FE
FC DC AD BC BC FC BC FB
=∴=∴=∴=-=∴
=AE EG
BC GB
∴
=E 是AD 中点，∴AE = DE FE EG
FB GB
=EF ·GB = C ·BF 15.EF mn
m n
=
+16.略17.（1）延长BE 交AD 的延长线于点M ,AD ∥BC ，,DE DM AF AM
EC BC FC BC
∴==∵点E 为边DC 的中点，DM = B C.∵BC = 2AD ，∴DM =
2AD
，
∴
AM
=
AD +DM
=
3AD
33
3(2)///,, 1.22
2AF AD FM AM EM DE BM
AD BC FC AD BF BC BE EC BF
∴
==∴
====∴=5251
,,,2144
BM BE EF BE BF BF =∴=∴= 24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论 1.平行
AD AE
BD CE
= 2.1:43.5:34.不一定平行5.2:36.67.A 8.B 9.略10.略11.略12.（1）∵AB ⊥AC ,EE ⊥AC ,PD ⊥AB ，∴PE ∥AB ,PD ∥AC ，
EN
BN
∴
=,.,,//(2)EP EM EC EN EM
PE EC DB DP NM BC PNM BD PM DP
BN PM
===∴
=∴∠=
PMM ，∴PN = PM = 213.（1）如图（a ），延长AC 至点E ，使CE = CA ，连接BE .∵C 为OB 中点，∴△BCE ≌△OC A.∴E = OA ，∠E = ∠OA C.∴B ∥OA
AP AD
EP EB
∴
=又D 为OA 中点，OA =
OB 12AP AD EP AO ∴
==1.222AP AP AP
EP PC AP PC
∴==∴=+（2）如图（b ）延长AC 至点H ，使CH = CA ，连接BH .∵∴C 为OB 中点，∴△BCH ≌△CCA ，∠CBH = ∠O = 90°，BH = OA AD AO =1
4
，设AD = t ,OD = 3t ，则BH = OA = OB = 4t .在
Rt △BOD
中
，
5BD t
=4//,4BP BH t
OA BH DP AD t
∴
===
1.:1:15
PD BP AD DP ∴=∴=(3) :BC BP n =
24.3（4）平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理 1.
48112.真3.5:34.510
20335. (1) 8
3
(2)
16
3
6.D
7.A
8.B
9.（1）AB = 4，
BC = 10（2）BE = 910.（1）略（2）∵AD ∥BC ，DG AD
BG BE
∴
=四边形ACED 是平行四边形，CF ∥DE ,AD = CE DF CE DG DF
BD BE BG BD
∴
=⋅∴=11.过A 作FK ∥BC 交CE ,BD 的延长线于点F ,K ，,DA AK EA AF
CD BC EB BC
∴
==两式相加，得到AD AE FK CD BE BC +=，再证KF = 2MN = ,1AD AE
BC CD BE +=12.（1）略(2) 23
3(04)4
y x x x =-<<
阶段训练1
1.10:111:10
2.
4786
2055
3. 4.
23
5. 1) 2
6. 81
3
7. 23
a 8. 8 9. 110.211.6:112.D 13.B 14.A 15.B 16.略17.略18.
略
19.
（1）证明略(2)
2211555
10210(2)1022222
PEF
S
EF DH t t t t t ⎛⎫=
⋅=-⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭∴当t = 2秒时，PEF
S
存在最大值，最大值为10，此时BP = 3 = 6厘米（3）存在理由如下：①若
点E 为直角顶点，如图（a ）所示，此时FE ∥AD ,PE = DH = 2，BP = 3.…∴FE ∥AD PF BP AD BD ∴
=2385
t t
=此比例式不成立，故此种情形不存在②若点F 为直角顶点，如图（b ）所示，此时PE ∥AD ,PF = DH = 2t ,BP = 3，CP 10-3t .∵FF ∥AD PF CP AD CD ∴
=210385
t t
-=③若点P 为直角顶点，如图（c ）所示。

过点E 作EM ⊥BC 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N 则EM = FN = DH = 2，EM ∥FN ∥AD
∵
EM
∥
AD
，
EM BM AD BD ∴
=285t BM =557.3444
BM t PM BP BM t t t =∴=-=-=在Rt △EMP
中，由
勾股定理得
2
22222
7113(2)416PE EM PM t t t
⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
//,FN FN AD AD ∴
CN CD =
285
t CN
=5517
.10310444CN t PN BC BP CN t t t =∴=--=--=-中，由勾股定理得
2
2222217353(2)1085100416PF FN PN t t t t ⎛
⎫==+=+-=-+ ⎪⎝⎭在Rt △PEF 中，由勾股
定理得2
2
2
,EF PE PF =+ hil 2
225113353108510021616t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
化简得
21833508t t -=，解得 = 0（舍去）280183t ∴=综上所述，当4017t =秒或280
183t =秒时，△PEF 为直角三角形
24.4（1）相似三角形的判定（相似的传递性、预备定理、判定定理1）
1.2
2.3:2
3.
3625 4. 16
25
5. ACE
6.
2
7. 8.
9. D 10 .B
11.（1）略（2）AE = 6
12.BM =
厘米，解略13.提示：连接CP 证明P = （P ，△FE ∽△PFC 24.4（2）相似三角形的判定定理（2）
1
1.5
2.3
3.
4.
5.8
6.
7.
8.
9.2B C D A B 10.提示：延长MN ,BC
交于点E
11.（1）∵∠ADC = ∠B +∠BAD ，∠AC = ∠ADE +∠（DE ，∴∠B +∠BAD = ∠ADE +∠ODE .
又∠EDC = ∠BAD ，∴∠B = ∠ADE .∵BA = BC ,DA = DE ，$\therefore \quad \frac {B A }{D A } = \frac {B C }{D E }$又B ∠ADE ，∴△ABC △ADE （2）∵△ABC ∽△ADE AB AC
AD AE
∴
=∠BAC = ∠DAE .又∠BAD +∠DAC = ∠BAC ，∠CAE +∠
DAC = ∠DAE ，∴∠BAD = ∠CAE .又
AB AC
AD AE
=△ABD ∽△ACE .∴∠B = ∠ACE .又∵∠B = ∠ADE ，∴∠ADE = ∠ACE .∵∠AE ∠ACE ，∠AOD = ∠BC ，∴△AOD ∽△FOC DA OD
CE OC ∴=∴DA ·CC = OD ·CE 12.（1）（M = 26（2）在Rt △AEP 与
Rt △ABC
中
，
∠
EAP
=
∠
BAC
，
∴
Rt △AEP
∽
Rt △AB C.EP AP
∴
BC AC =
303
404
EP EP x x =⋅∴=3
125
4,,516
x
EP MP x PN BN AB AP MP MP ==∴===---521
5050(032)1616
PN x x x x =--
=-<<（3）①当E 在线段AC 上时，由（2）知1312EM EP =334
EM
x 1313511
.?12161616
EM x EN XAM AP MP x x x =⇒===-=-=由题设△AME ∽△ENB ，AM EN ∴111316161321501616x x
ME NB x x =⇒=
-，解得x = 22 = AP .②当E 在线段BC 上时，由题设△AME ∽△ENB ，∴∠AEM = ∠EBN .由外角定理，∠AEC =
∠
EAB +
∠
EBN
=
∠
EAB +
∠
AEM
=
∠
EMP
，
Rt Rt AC EP ACE EPM CE PM ∴︒⇒=3
4050453
16
x CE CE x =⇒=设AP = z , PB
= 50由
505
Rt Rt (50),30303
BE BA BEP BAC BE z CE BC BE PB BC ω⇒
=⋅=⇒=-∴=-=-5(50).3z - H 503
530(50)
3CE CE z ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
解50530(50)33z =--，得z = 42 = AP 24.4（3）相似三角形的判定定理（3）
7.不一定8.略9.
15412
5
10.90°，解略11.（1）略（2）∵∴△AEC ∽△BED ，,DE BE DE CE
DEC BEA DECO
CE AE BE AE ∴
=∴=∠=∠∴
,DE BE DE CE
DEC BEA DECO
CE AE BE AE
∴=∴=⋅∠=∠∴.DC DE
BEA AB BE
∴
=BE ·DC = AB ·DE 12.（1）△AOD ∽△ODE ，△AOD △BEO ，
△ODEC △BEO (2) 2
(12)y x x
=
1或2 24.4（4）直角三角形相似的判断 8.作FG ⊥BD 于G ，证明
2BG
FG
=9.（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADB = ∠DB C.∴∠ADC +∠C = 180°，∠AEB +∠AED = 180°，又∵∠AEB = ∠ADC ，∴∠C = ∠AE D.∴△ADE ∽△DBC （2）∵△ADE ∽△DBC ，
22,,AD DB
AD BC DB DE CD AD BC CD DB DE CDB
DE BC
∴
=⋅∴⋅=⋅=⋅∴=⋅⋅
∠ = ∠CDE ，∴△CDE ∽△BD C.∴∠DCE = ∠DB C.∵∠ADB = ∠DBC ，∴∠DCE ADB
24.4（5）相似三角形的判定（5）
1.C
2.C
3.B
4.B
5.△ACD △ABC 4
6.86.4
7.6
8.2
9.
7
2
10.111.C D = 8厘米，解略12.提示：证明△BPN ∽△CPD ，△BPC ∽△MBC
阶段训练2 1.4厘米 2.410.2或
2311.2,6或247
12.813.C 14D 15.（1）略（2）略16.
2a
BD b
=b 时两三角形相似17.（1）DE = 4厘米，CD =（2）略18.（1）2,AE EC
AE EF EC EF AE
=⋅∴
=∴∠AEF = ∠CEA ，∴△AEF ∽
△CE A.∴∠EAF = ∠EC A.∵AD = AC ，∴∠ADC = ∠AC D.∴∠ADC = ∠ACD = ∠DCE +∠ECA = ∠DCE +∠EAF （2）：△AEF ∽△CEA ，AFE = ∠CA B.∵∴DA = DB
，
∴
∠
EAF
=
∠
B.
∴
△
EAF
∽
△
CBA AF EF
BA AC
∴
=,,AF EF
AC AD AF AD AB EF BA AD
=∴
=∴⋅=⋅∴DN = AB = 8，BN = AD = 4.∴CN = 6，CD = 10，DM = 4，CM = 6.B C = CD = 10.∴∠ADB = ∠DBC = ∠BD C.∴△ADB ≌△MDB ∴∠DMB = ∠A = 90°，BM = AB = 8.
∴
BM
⊥
DC
（
2
）
∠
C
=
90,90,MBA MBC CMF BME FMB CMF BME
︒︒∠=-∠∠=∠=-∠∴︒CF CM BE BM ∴
=1063
,4(08)884y y x x x -=∴=+-（3）AE = 0或16或 24.5（1）相似三角形的性质（性质定理1） 1.2:32.63.24厘米 4.125.①③④6.
12
7
或27.略8.（1）∴AB = AC ,AD = 11
,22AC AE AB =∴AD = AE .∵∠BAD = ∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE .∴∠ABD = ∠ACE .∵DF ⊥AC ,AD = CD ，∴AF = CF .∴∠GAD = ∠ACE .∴∠GAD = ∠ABD ∠GDA
=
∠
ADB
，
∴
△
GDA
∽
△
ADB 2(2)AD DG
AD
AD DG BD DB AD DB
∴
=∴=⋅∴∠CDG = ∠BDC ，∴△DC △DB C.∴∠DBC = ∠DCG ∵AB = AC ，∴∠ABC = ∠AC B.∵∠ABD = ∠ACE ，∴∠ECB = ∠DBC = ∠DCG 9.（1）△AMF ∽△BGM ，△DMGo △DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可）。

以下证明△AMF ∽△BGM ：∵∴∠AFM = ∠DME +∠E = ∠A +∠E = ∠BMG ，∠A = ∠B ，∴△AMF ∽△BGM ,,DG CD DG
AD CD AD DB CD
=
=∴=（2）当a = 45°时，可得AC ⊥BC 且AC =
BC 8
33
AM BM BG AF ⋅=
==又AC = BC =
84454,4,43 1.33CG CF FG ︒
=∴=-==-=∴===
5
3
24.5（2）相似三角形的性质（性质定理2,3）
1.D
2.B
3.B
4.D
5.D
6.D
7.A
8.B
9.（1）略（2）△ABH ∽△BCM
（3）EM
210.(1)(2,33
OB ==（2）①当0 < t ≤4时
2
12S OP QD =
⋅=②当4≤t ≤8时，12S OP QE =⋅=③当8≤t < 12时，
2
S =+当t = 8时，S 最大（3）①当△OM ∽△OAB 时，41a t
=+t 的取值范围是0 < t ≤8；②当△OPM ∽△OBA 时，2
1a t
=-t 的取值范围是6≤t ≤8
24.5（3）相似三角形的性质应用（1）
1.B
2.C
3.C
4.A
5.∠C = ∠ADE 6,21:27.①③④8.
1
29. 53.810⨯提示：5
2.410AB -=⨯千米，又△OAB ∽
△
OCD
，
35
2.610 2.410
3500AB OE CD --⨯⨯∴==53.810OE =⨯千米10. ( 1) 9
(2)2
11.略12.
( 1)52(2)
14
,145
-+3）不存在 24.5（4）相似三角形的性质应用（2） 1.4
平
方
厘
米
24
2.
3.25
4.3:4
5.50
6.1:3:8.59.1:210.605
︒1l .（1）直线AB 的表达式为y = x +7（2）在□ABCD 中，AB ∥CD ，设CD 的表达式为y = x +c ，
222222(0,),(,0),
,,(52)(25),C c D c CD AB CD AB c c c -=∴=∴+=-++-∴=
22(0,),(,0),
,,C c D c CD AB CD AB ∴-=∴=∴3.∴点C ,D 的坐标分别是
0）（3）设二次函数的解析式为23y ax bx =+-{5423,
0933,
:
2
a b a b a =--⎧⎨
=+-=-⎩∴二
次函数的解析式为223y x x =--作EF ⊥y 轴，BG ⊥y 轴，垂足分别为F ,G OC = OD , BG =
CG .
45.BCG OCD ODC BCD ︒
∴∠=∠=∠=∴∠
=
590.,,3BC
DCE BDO ECF BDC CD ︒
∠=∠∴∠=∠==设CF = 3t
则EF = 5，OF = 3-3，∴点E 坐标为（5t ，3t -3）。

213325103,0t t t t ∴-=--=（舍去），21325t =
点E 坐标为1336,5
25⎛⎫
- ⎪⎝⎭
阶段训练3
60
3. 60
4.4:9
5.
,811
1.
2.
126.
7.1:98.4厘米9.B 0.B 11.C 12.B 13.（1）△ADF ∽△DEC ，△AEF ∽△DEA （2）414.略15.
6037120
49
16.（1）提示：设AE = k ，则BE = 3k ，延长BA ,CD 交于点F ，△BCF
为等边三角形，60B ︒∠=设3BCE
S S =vuit 2HFABD S S =过点C 作CF ∥AB 交AD 的
延
长
线
于点
F ，连
接AC ，则DF = 2A D.设ND
S
2,2KE
OF
S
S x S x =-=ABC
S
S CF =得
3S +25-x
=
x +2x
，
54
x S ∴=
332.417.(1)
,344
LE KE
LE
S BE S S
S x S CE CD DCE AE S S ∆∆∴=-=
∴===⊥∴∠=
90.
,.EC BC
BCA EDC A EDC BAC DCE BCA
DC AC
︒
∠=∠=∠∴︒∴
=⋅∠=∠DCE BCD BCA BCD ∴∠-∠=∠-∠，即∠BCE = ∠DCA
EC BC
DC AC
=∴△BCE
∽△ACD BC AC
BE AD
∴
=，即AC ·BE = BC ·AD （2）∵△BCE ∽△ACD ，∴∠CBE = ∠A.∴∠BCA
904AC ∴==∠ABC +∠A = 90.∴∠CBE +∠ABC = 90°
，
即
∠
DBE
=
I 90B
︒⋅
343
,,4BC AC BE x BE AD BE x ==∴=2
113153,(5)2248
BDE
x x S
BD BE x x -==⋅=-⋅
=2
21,16
GDE VC S DE DE CDE CAB x S AB ∆∆⎛⎫
∴==︒∴== ⎪
⎝⎭22
11312
1.436,652285MC
CDE x S
BC AC S x x ∆-+=
⋅=⨯⨯=∴=-+即S =
S △BDE +
21
6(05)40
CDE
S
x x =-
<<（
3
）
由
14
HDE
MC
S
S =2121531
6,1,484
x x x x -=⨯∴==过点D 作DF ⊥AC 于点F 90.
///.DF AD AF
DFA BCA DF BC BC AB AC
︒
∴∠=∠=∴∴==x = 1时
3416,,555DF AF CF AC AF ===-=在Rt △
DFC 中90,DFC CD ︒∠==当x 4
时，
得12164,,,555DF AF CF AC AF CD =
==-==综上
所述，
4105
CD k =
24.6（1）实数与向量相乘（运算的含义）
1. 52b a =-
2.西北方向6，菱形7.2||8AB 8.A 9.C 10.略11. 1()3
b a -12.
略13. ( 1)2
3
(2) 3,3x y ==-
24.6（2）实数与向量相乘（运算率）
1323
1.B
2. D
3.C
4. B
5.17
6.
7.
8. (1) AE (2)02272
b a b
c b a -
-=-9. 411
2177
x a b c =
-+10.略11.能 24.6（3）实数与向量相乘（平行向量定理）
8.平行。

提示：1
2a b
=- 9. 1
(1)2
a +（2）略2b
24.7（1）平面向量的分解（线性运算的含义、向量的线性组合）（1）
281
1
731
1
o 2. (1) i (2) a i 3. , 4. 34
2
644
3
a x y OP -
--
-
=-=-
=
22
(2) 5. (2),(2)
33
a b AB d c AD c d +=-=- 6.-87.
略
8.
11
,63FE b a AF =-=
11
33
a b +9.
略
10.
35
88
a b -+ 11.
1(1)2(2)2DE DB BE BA BC DB =+=-+=1
()2
CB CA -（3）略
24.7（2）平面向量的分解（线性运算的含义、向量的线性组合）（2） 1.分解分向量 2.
11
33
a b + 3.C 4.B 5.D 6.A 7.D 8.A 9.C 10. 1(1)2MN a =1
2
b -
本章复习题
1.A
2.A
3.C
4.B
5.C
6.D
7.B
8.B
9.A 10.D 11.30米12.65或115°13.2.41:517.4
1
'
is 114. 1. 05 $15 .$ 6418.2,2a -⎛⎫
⎪⎝
⎭19.△ABC 为等腰直角三角形，∠CAB = ∠CBA = 45°，∠E +∠F = 45°，∠E +∠ECA = ∠CAB = 45°，
∠F +∠BCF = ∠CBA = 45，221,,,
,3,2EA CB ECA F E BCF ECA CFB y CA x CA BF ω∴∠=∠∠=∠∴=== lill
216
y x =20.由题意易
证
△AFH
∽
△
CFK 8 1.6
,512 1.6
FH AH FH FK CK FH -∴
=∴=+-8 1.6
,,8512 1.6
FH AH FH FH FK CK FH -∴
=∴=∴=+-即当他与左边较低的树的距离小于8米，就看不到右边较高的树的顶端点C 21.（1）略（2）∠ADC = 2∠HD 22.（1）如图（a ），作AH ⊥BC 于点H .∵∠B = ∠BCD = 45°，
AD
3,9,3, 6.BC BH AH AB CH AC =∴====∴=//,.,AD BC DAP ACB APE B ADP ω
∴∠=∠⨯∠=∠∴.,AD AP
CAB AC BC
∴
=
All ,
9AP AP =∴=(2)
,,DAP ACB APE B APE CBA
∠=∠∠=∠∴︒
,,3
9
3AE AP x y x AC BC ∴
=∴=∴=-，
<（3）①如图（b ），当点G 在线段CD 上时，作DM ∥EP 交AC 35x 于点M ，由（1）得
AM CM DG CD =
∴===
,CP CP AB CG PM DG MP =∴==∴= th ,AD AM
DE MP
=, 2
,3AE =∴=211
333+=②当点G 在CD 的延长线上时，同①可得
227
,3333
DE AE =∴=-=第二十五章锐角三角比
25.1（1）锐角三角比的意义
4314
4
1. 2. 4. 5. 6.07.88.89.010.cos 5
425
5
b A
c =
=1
1.（1）点B 坐标为（4,3）(2) cos 5
AH BAO AB ∠==13.提示：过点A 作AD ⊥BC
于
点
D
，
则
△ADC
是直角三角
形，
4
cot 3
B =
1
sin ,sin sin .2
ABC
AD
C A
D AC C b C X S BC AD AC
∴=
∴=⋅==
⋅1
sin 2
NC
S
ab C ∴= 25.1（2）特殊锐角三角比
1.6045
2.0
3.207.A 8.09.B 10.C 110(2)45︒
︒
︒
︒
︒
1
(3)45(4)5012.213.1
14.615.14
︒︒-
25.1（3）四个三角比之间的特殊关系
1
3
1. 45
2.
30 3.
4. 5.13 6.cos 20sin 207.
8. D 9.C 10.3
8
︒
︒︒︒︒>-
11. 12
(2)
7
12.454
θ︒=13.当0 < a < 45°时，值为cos a -sin a ；当a = 0时，值为0；当45° < a < 90°时，值为sin a -cos a 14. 1
cos 2
α=
15. 222(sin cos )sin cos 2sin cos αααααα-=+-=
131,sin cos 045,sin cos 0,sin cos 44ααααααα︒-
=∴-=<<∴-<∴-=
1. 34
2.
23.
3
<> 4. 105
5.
6.60
7.45 at 60
8.5
13
︒
︒︒9.
1
3
4
2
10.14a 18. tan 4
α=
=
19.
sin cos 11
22,sin cos ,cos sin sin cos 2
αααααααα+=⇒=∴⋅=∴sin cos αα
∴+
== 20. (1)6(2)sin 41
CD B ==21.解略，
120sin ,cos 169A A ∠=
∠119120119
,tan ,cot 169119120
A A =∠=∠= 25.2（1）解直角三角形（1）
39
45 2.1 3.60 4.5 5.
6.7.C 8. B 9.(1)2,4,6016
A AC A
B A ︒
︒
︒
==∠=
30(2)30,60,10(3)30,B A B c A BC AB ︒
︒︒︒∠=∠=∠==∠===10.
(1)15,75D DBC ︒︒
∠=∠=(3)
tan 22.5︒=(2)
tan 2tan 2D DBC =-∠=+11. 2,1AC BC ==12.解略，BC =
13.
45,6ADC AC DC ︒∠=∴==3
sin ,105
AC B AB AB =
=∴=根据
勾股定理，得8BC =从而BD = 2.过点D 作DE ⊥AB 于点E 在Rt △BDE
中
，
3
sin ,sin 1.2.5
DE B DE BD B BE BD =
=∴=⨯=∴=
1.21
1.6,8.4.tan 8.47
DE AE AB BE BAD AE ==-=∴∠=== 25.2（2）解直角三角形（2）
916
2. 8
3. s. 2 6. 3
7. A
8. C
9. D 10. (1) 30,2
3
A AC ︒∠==
2,4(2)30,60BC AB AC AB B A ︒︒===
=∠=∠= (3)
60,ABC A ︒∠=∠=30,AB AC ︒== 11.
35 at 12. 45
, $13 .(1)A
D = \frac {\sqrt {42}}{3} \quad (2)\#$ ERt ABC
th
tan ,,AC
ABC ABC AC BC BC
α∠=
∠=∴= tan
α.
,tan ,AC
ERt ADC ADC ADC DC
∠∀∀∠=
∠,tan ,tan tan .2,tan 2tan AC DC BC DC X BC DC ββαββα
=∴=∴==∴=
25.2（3）仰角俯角
1.∠2∠FBD 仰∠CAB 仰∠3
2. tan 1.5cos a a α
α
⋅ 5.10米
6.D
7.D
8.C
9.塔高AB 为15)米10.C D = CE -DE =
23 2.953≈≈11. 20(2CD =+米12.由an 2,2CF
CDF CF DF
∠=
==米，∴DF = 1米。

过点C 作CG ∥BD ，交AB 于点G .∵BG = 2米，BD = 14米，∴
BF = （C = 15米。

由tan 30AG ︒=
∴=155 1.7328.660=≈⨯=米），∴AB = 8.660+2 = 10.66（米），BE = BD -ED = 12（米）∴BE > AB ，∴不需要封人行道
25.2（4）方向角
1. 千米/时 3.1004. 0,4⎛+ ⎝ 5.90°6.8.27.B 8.C 9.D 10.（1）过点B 作BD ∥AE ，交AC 于点D.∵AB = 36×0.5 = 18（海里），∠ADB = 60°，∠DBC = 30°，∴∠AB = 30.又∠CAB = 30°，∴BC = AB ，即BC = AB = 18 > 16.∴点B 在暗礁区域外（2）过点C 作CH ⊥AB ，令BH = x ，则CH = √3x .∵AH = AB +BH ，3x = 18+x .解方程，得x = 9.∵CH = 93 < 16，所以船继续向东航行有触礁的危险11.（1）B ,D 之间的距离为2千米（2）过点B 作BO ⊥DC 延长线于点
O ，CD DO CO =-==12.（1）AB = 10)米（2）过点
A 作AE ⊥BC 于点E .在Rt △ABE 中，∠
B = 30°
，
10
AB =
1sin 3010) 5.75,30,45.7ERt 2AB CAD B C CAE
︒︒︒︒
=⨯==∠=∠=∴∠∠
=,sin 45,5)AE
AC AC
︒=
∴==H 25.2（5）坡度坡比坡角 1. h l 坡角tan a 2,63.1:24.50米5.33毫米6. 2
37.B 8.D 9.C 10.A 1.过点A 和点
B
分别作
AE ⊥CD ,BF ⊥CD ，交
CD
于点
E
，
CD CF EF DE =++=
36(9+=+米）cot 0.6C ∠=12.过点A 作AM
⊥CD ，垂足为M .∵坡度为1:1，渠道深为0.8米，∴DM = 0.8米，CD = 1.2+2×0.8
= 2.8（米）。

即挖渠道共挖出的1
()2AB CD AM +⋅⨯1600 = 2560（立方米）13.（1）
作BG ⊥AB 于点G ，作HH ⊥AB 于点H .∵CD ∥AB ，∴EH = DG = 5米
1
,61.2DG AG AG =∴=1
,71.4
EH FH FH =∴=米，∴F A = FH +GH -AG = 7+1-6 = 2（米）。

WH,H,MBEF 11
()(12)57.5e 22S ED AF EH ∴=+⋅=+⨯=平方米），V =
7.5×4000 = 30000（立方米）（2）设甲队原计划每天完成x 立方米，乙队原计划
每天完成y 立方米。

根据题意得20()30000
15[(130%)(140%)]30000x y x y +=⎧⎨
+++=⎩1000
500x y =⎧⎨
=⎩
所以甲工程队原计划每天完成1000立方米，乙工程队原计划每天完成500立方米
阶段训练
5
4
371. 2.608.
9.010.C 11.B
5
2
5
︒
12. A 13.AC
=14.乙船的航行速度为（约等于19.7）海里
/时15.
BC =≈152.2米
16. sin ACE ∠=
过点C 作直线AB 的垂线，垂足
为 D.设拖拉机行驶路线CF 与AD 交于点
E 300CD AD ===170DE =≈（米）∴BE = 300-36170 = 94（米）过点B 作BH ⊥C
F ，垂足为H ，则∠EBH = 30°，米）。

∵80 < 100B 栋教室受到拖拉机噪声影响。

以点B 为圆心、100为半径作弧，交CF 于M ,N 两点，则MN
= 80BH =≈260120=⨯=（米）。

所以B 栋教室受噪声影响的时间为120÷8 = 15（秒）。

作AH '⊥CF H '为垂足，则30EAH '︒∠=又AE = 36+94
= 130（米）cos30130AH AE '︒∴=⋅=≈111（米）。

∵111 > 100，所以A 栋教室不受拖拉机噪声影响
本章复习题 10.
boot
θ 11.
10︒ 1.B 2.C 3.B 4D 5.B 6.B 7608.19.1sin α
︒-1.B 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.608.19.1sin 10.0cot 11.1011.10αθ︒
︒
︒
-
12.大15,5米13.12030︒
︒16. 5)17. 61
18.2
-
19.
1
2
-20. 21. 60α︒= 22. (1)5(2)BE = tan 3
5
CE CDE DE ∠=
=
23. BE =
24.我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置25.（1）∠CAE = 1800-67°-38° = 75°（2）AB AC +CD = 2√6+23+2≈10（米），所以这棵大树折断前约高10米
第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念
2 1.
3 H. 1 2. 0 3.
4 4. 61 5. 204020 6. m m ny y x x y x
≠≠---=++=144x -+7. 2 8. 2(4)y x =+ 9. 2100100200
y x x =-++ 10. D 11. C
$11 .$ C $12 .(1)y = 3 x ^{2}-\frac {1}{2}$，是二次函数，二次项系数是3，一次项
系数是0，常数项是1
2-（2）由原式得y = 10x -12，不是二次函数（3）是二次函
数，二次项系数是5，一次项系数是1，常数项是1（4）不是二次函数13.
214y x =-+9(09)4x x <<14. 2
21(1)416C S C ⎛⎫
== ⎪⎝⎭（2）当S = 1时，由
21S 16C =
21
116
C =得C = 4或C = -4（舍去），∴C = 4.此时正方形边长为1厘米15.（1）AB 边长为（18-3x ）米，根据题意，得36 = x ·（18-3x ）·1.5.解方程，得
x = 2或4(2) 29
(183)1.5272
V x x x x =⋅-⋅=-+x 的取值范围是0 < x < 6
26.2（1）二次函数
1.2
2.下y 轴（0,0）
3.-1
4.（0,0）x 轴
5.±2
6.42
7.（0,0）和11,33⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
8.1或-19.
①③②10.911.D 12.D 13. 212y x =-14. 2(1)2y x =（2）点B 的坐标为（2,8）
1
48162
OMB
S
=⨯⨯=15.A （1,2），C （2,1），设过点A 的抛物线解析式21y a x =过点C 的抛物线解析式为22y a x =则a 2≤a ≤a 1，把A （1,2），C （2,1）分别代入，可求得a 1 = 2，214a =
物线用，所以a 的取值范围是
1
24
a 26.2（2）二次函数2y ax c =+
1.B
2.C
3.B
4.D
5.C
6.A
7.向下（0,3）y 轴最大值3y 随x 的增大而增大向上（0，-1）y 轴最小值-1y 随x 的增大而减小
8.-1
9.210. 233y x =-11.
y =222
3112.113.114.815.216.3517.34
x y x y x ---±=-+=
-18.抛物线的表达式为211000250y x =-
+当y = 0时，2
110000250
x -+=解方程，得x 1 = 500，x 2 = -500（舍去），O = 500米19.（1）A （-1,0），B （1,0），C （0，-1）（2）∠P AC = ∠ACB = 90°，四边形ACBP 是直角梯形.P 的坐标为（2,3）
2H Wa J H CBP 4i S ∴=
26.2（3）二次函数2()y a x m =+ 1.
左
42.0
1
3.(2,3)3
-
- 4.
2
21
1
(2)2
2
y x y x =-+=--2 5.22
<->- 6. A 7. D
8. C
29 10.
C
11. (1)2y x =-8x +10（2）另一个交点坐标为35,22⎛⎫
⎪⎝⎭
12.
22
(5)9
y x =--22(1)y x =--13.根据题意可知抛物线2(2)y x =-的顶点C 的坐标
为（2,0），由224(2)y x y x =+⎧⎨=-⎩1104x y =⎧⎨=⎩226
16x y =⎧⎨=⎩所以A 的坐标为（6,16），B 的坐标为（0,4）。

如图所示，过A
作
AD ⊥x
轴，垂足为
D
wEABOO 11
()22
ABC
YDC BDC
S
S S
S OB AD OD OC OB ∆=--=+⋅-⋅1111
(416)624416242222
CD AD -⋅=+⨯-⨯⨯-⨯⨯= 26.2（4）二次函数2()y a x m k =++ 1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 22(2)3
y x =+- 7. 1
8.
1
(1)3
a b =-⎧⎨
=⎩（2）顶点坐标为（3，3) 21
9.(1)(2)22y x =+-（2）抛物线向右平移4个单位10.（1）
y 2的解析式为22(1)2y x =--+顶点坐标为（1,2）（2）y 的解析式可用顶点式表示为23(1)2y x =+-11.（1）O （0,0），A （6,0），M （3,3）（2）设抛物线的关系式为
2(3)3
y a x =-+因为抛物线过点（0，
20),0(03)3a ∴=-+22111
,(3)32333
a y x x x =-∴=--+=-+要使木板堆放最
高，依据题意，得点B 应是木板宽CD 的中点，把x = 2代入2123y x x =-+83
y =所以这些木板最高可堆放83
阶段训练6
1.向上（0,0）y 轴433
± 2.减小增大3.34.右25. 23(3)y x =-67.（5，-1）11. B $12 .$ A $13 .$ C 8. 21322y x x =-++ 9. 22(1)y x =±+ 10. a b d c >>>14.A 15.C 16.k = 3当x > 0时，y 随x 的增大而增大17.
2(1)24y x =+(2) 2a =±18.存在，点P 的坐标为（5,50），（-5,50）19.（1）抛物线的顶点坐标为（0,0），开口向下，对称轴为y 轴（或直线x = 0）；抛物线的顶点坐标为（2,0），开口向下，对称轴为直线x = 2；抛物线的顶点坐标为（2,2），开口向下，对称轴为直线x = 2（2）抛物线22(2)y x =--向右平移2个单位得到；抛物线22(2)2y x =--+是由抛物线先向右平移2个单单位，再向上平移2个单位得到（3）抛物线22(2008)2009y x =--+是由抛物线22y x =-先向右平移2008个单位，再向上平移2009个单位得到20.（1）设抛物线的解析式为桥拱最高点
O 到水面CD 的高为h 米，则D （5，-h ），B （10，-h -3），2y ax =251003
a h a h =-⎧∴⎨=--⎩解方程组，得1251a h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即抛物线的解析式为2125y x =-（2）水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25 = 4（小时），货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4 = 200 < 280，所以货车按原来速度行驶不能安全通过此桥设货车速度提高到x 千米/时，当4x +40×1 = 280时，x = 60即要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时
26.2（5）二次函数的图像
1，B 2.C 3.B 4.A 5.26.-27.四8. 93,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
9.-18-2010.A = 211.（1）令y = 0
得方程222(2)10,(2)4(1)(1)8x m x m m m m -+-++=∆=--⨯-⨯+=+由2m 0，得280,0n +>∴∆>即不论m 取任何实数，这个二次函数的图像必与x 轴有两个交点（2）由x 1+x 2 = m -2 < 0，得m < 2；由x 1·x 2 = -m -1 > 0，得m < -1；又由（1），△ > 0，因此，当m < -1时，两个交点都在原点的左侧（3）由x 1+x 2 = m -2 = 0，得m = 2，因此，当m = 2时，二次函数的图像的对称轴是y 轴12.（1）设边长
比的比例系数为k ，则点的坐标为51,5,,622B k k F k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
代入函数解析式2y x c =-+可解得1145,6144
k c ==所以解析式为（2）设正方形MNPQ 的边长为t ，
则点N 的坐标为1,12t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭将其代入2145144y x =-+解得t =
则正方形MNPQ 的边长为2-（或0.0069） 26.2（6）二次函数的图像性质（1）
1.D
2.B
3.D
4.D
5.≥1
6.一、二、三
7.-409. 3(1)2
k =-（2）抛物线的解析式为2483y x x =-+（3）抛物线的顶点坐标为（1，-1）10. 21(6)312y x =--+11.
(1)m =11(2)(0,1),(1(112
ABC C A B S ---+=⨯=抛物线解析式21(1)33y x =--+3或21(1)33
y x =--13.（1）抛物线的解析式是223y x x =--+（2）因为四边形OBFE 是平行四边形，EF = OB = 3，∴点E 的横坐标为31122-=设点2
1117,,232224E y y ⎛⎫⎛⎫∴=--⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴点E 的坐标为17,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
26.2（7）二次函数2y ax bx c =++
1.D
2.A
3.A
4.B
5.7
6.不能
7.3,2
8. 262S x x =+
9.（1）y = -x +200（2）日销售利润22(120),32024000(160)1600S x y x x x =-=-+-=--+所以售价为
160元/件时，获最大利润1600元10.（1）抛物线的解析式为21(4)64
y x =--+（2）当1(82)32
x =-=时y = 5.75米 > 4米，所以能通过（3）当x = 4-2时，y = 5米 > 4米，所以能通过1.（1）AM = t 厘米，BN = 2t 厘米，则BM = （6-1）厘米，CN
= （12-2）厘米
DMN H ADM S S ABCD S ψ∈=-22min 111,12612(6)26(122)636(3)27222
GN S S S t t t t t t t ∆∆-∴=⨯-⨯--⋅-⨯-=-+=-+3t =在范围0 < t < 6内，S 的最小值为27（2）当∠MD = 90°时，222,12DN DM MN =+∴2222222)612(6)(2)t t t t -+=++-+，解方程，得t = 0或-18，不在范围0 < t < 6内，所以不可能；当1∠MND = 90°时，222222222
,12(122)6(6)(2)DM DN MN t t t t =+∴+=-++-+222222222,12(122)6(6)(2)DM DN MN t t t t =+∴+=-++-+32
t =或6（6不在范围0 < t < 6内，舍），2311762724S ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭
平方厘米 阶段训练7
1.4
2.2
3.4
4.-90
5.x = -1
6.2010
7.2
8.±16
9.（-1,2）10.②③④11.C 12.C 13.A
14.C 15.B 16.y = 3（x -4）2-2 = 3x 2-24x +4617.二次函数的解析式为y =
242x x -+-18.（1）b = -4，c = 4（2）△OAB 的周长为6+19.商场购这1000件西服的总成本为80×1000 = 8000元）。

设定价提高x %，则销售量下降0.5x %，即当定价为1001+x %）元时，销售量为10004-0.5x %）件2100(1%)1000(10.5%)80005500y x x x x =+⋅--=-++2200005(50)32500
x =--+
当x = 50时，y 有最大值32500，即定价为150元/件时获利最大，为32500元20.
（1）M （12,0），P （6,6）（2）这条抛物线的函数解析21(6)66
y x =--+，即y = 2126x x -+（3）设点A 的坐标为
2211,2,,266m m m OB m AB DC m m ⎛⎫-+∴===-+ ⎪⎝⎭
根据抛物线的轴对称，可得,122OB CM m BC m ==∴=-三根木杆长度之和
2221111212222126633
L AB AD DC m m m m m m m =++=-++--+=-++=-2(3)15,m -+∴当m = 3，即OB = 3米时，L 的最大值为15米
本章复习题
221 1. (1,3) 2. 2 3. 4 4. 1 5. 1 6.
7.(7,0) 8. 5 9. 2y x y x ----=+->=-+5
22
x + 10. 1911.12.13.2128
x <--<<14.15.16.17.18.C A C B C 219 19. B 20. (1) 224 (2) ,22y x x ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭
21.若函数是二次函数，与x 轴只有一个交点，则△ = 0，即()
225(21)410,450,4m m m m +--=+==-若函数是一次函数，与x 轴只有一个交点210m -=且210,1m m +≠∴=±综上，54
m =-或-1或122.（1）略（2）抛物线的解析式是211122
y x x =-++ 23. 29(1)(1),5y x =--+∴当x = 1时，y 有最大值最大高度为95
米（2）令y = 0，
则29(1)0,155x x --+=∴=±0,x x >∴=，
即水池半径至少为15⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝
⎭米24.（1）抛物线解析式为22725326
y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，顶点坐标
为11.1B OB ⎛⎫∴∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭
725,26⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）∵点E （x ,y ）在抛物线上
，位于第四象限22272517,22||6432622OE y x S S OA y y x ∆⎛⎫⎛⎫=--∴==⨯⨯⋅=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭25.自变量x 的取值范围是1 < x < 6（3）当S = 24时，即27425242x ⎛⎫--+= ⎪⎝
⎭解方程，得1x =23,4x =故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，-4）和E 2（4,4）。

点E 1（3，-4）满足OE = AE ，所以四边形CEAF 是菱形；点E 2（4，-4）不满足O = AE ，所以四边形OEAF 不是菱形25.（1）抛物线的函数解析式为21262
y x x =+-，它的对称轴为直线x = -2（2）点M 的坐标为（-2，-4）（3）点P （0，k ）为线段OC 上的一个不与端点重合的动点，∴-6 < k < 0.∵PD ∥（M ，∴∠ODP = ,,~,.OD OP OAC OPD OCA ODP OAC OA OC ∠∠=∠∴∴= III ,OA OC OD OP =∴=D 的坐标为（k ，0）。

∴△MPD 的面积,NC AWD MR FOD S S S S S =--- lil
1662S =⨯⨯-221111(6)4(6)2||32222
k k k k k ⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=--当k = -3时，S 的值最大，最大值为92
第二十七章圆
27.1圆的确定
1.A
2.C
3.B
4.外上内
5.锐角钝角直角6,227.0r <<9.圆上圆内圆外
10.（1）点B 在圆上，点C 在圆外（2）D 1（2,4），D 2（2，-4）1.垂直平分线的
交点12.213.1124
14.2个；4个（以B 为圆心、BA 为半径与圆相交P 1；以A 为圆心、AB 为半径与圆相交P 2；AB 的垂直平分线与圆的交点P 3，P 4）
27.2（1）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1.B
2.29
3.A B = CD 或AB CD =等
4.6
5.略
6.提示：连接BD ，∠ABD = 60°，∠DBC = 30°；DB = AD ,DB = DC
7.∠AOB = ∠BOC ，得AB = BC ，易证,AOB AOC AB AC =即△ABC 为等边三角形
8.设,AOB BOC αβ∠=∠=90,2OAD OBA OAB β
α︒∠=--∠=∠=
90,90,180,//22OBC DAB ABC AD BC α
β
︒︒︒-∠=-∠+∠=得证
,AOB COD AB CD ∠=∠=
27.2（2）弦与圆心角的关系
1.90°
2.70°40°
3.60°
4.（1）120°80°160°（2）∠BAC = 60°，∠BOC = 2∠BAC
5.提示：连接OC ，∠COB = 2∠A ，∠A = ∠DOB ，∠COD = ∠DOB
6.提示：连接OC ，∠B = 65°，∠BOC = 50°，∠DOC = ∠BOC
7.连接OD ，
8.提示：过点1,752
DE AB OD AOC ︒==∠=O 作OM ⊥AB ,ON ⊥CD ，垂足分别为M ,N ,AB = CD ,OM = ON ，∠AFO DFO 93AP =BE 设∠OPE = 2a ，△OPE 中，∠POE 1804,,,,PF OC FPO AOP BOE ααα︒∠=-⊥∠=∠=∠=
()
18018043,3AOP BOE ααα︒︒---=∠=∠ 27.3（1）垂径定理及其推论
1.D
2.D
3.B
4.90°
5.15或75°
6.8
7.6
8.810
9.2米或8米10.过点C 作CH ⊥PB
于点H ，在Rt △ABC 中，
2,AB BC BH BA BH ==⋅∴=PB AP ===11.
连接OM ,ON ，即OM = ON ，∠NMO = ∠MNO ，90°-∠NMO = 90°-∠MNO ，∠AMN CNM 12.过点O 作OE ⊥CD 于点E ，由垂径定理，得CE = DE ，∴ON = OM ,OA ON = OB -OM , AN = BM
27.3（2）垂径定理的应用
1.C
2.D 66. 8. 文本接口：免费百度未能识别----22或8厘米1.（1）2厘米（2）60°12.【问题一】（1）如图所示（2）EC = FD 或ED = FC （3）以图（a ）为例来证明，过点O 作OH ⊥l 于H .∵AE ⊥l ,BF ⊥l ，∴AE ∥OH ∥BF .又∵OA = OB ，∴EH = HF ，再由垂径定理可得CH = DH .∴EH CH = FH -DH ，即BC = FD 【问题二当MN ∥O 2O 时，MN 最长，提示：任作两条过点A 的线段EF ,MN ，比较MN 与EF 的大小，不好比较。

根据垂径定理，分别过O ,2O 作弦心距s ，易知CD = 11,22
EF PQ MN =，比较PQ 与CD 的大小即可（PQ = OO 3），发现O 2O 是直角梯形的斜腰，大于直角腰，如果MN 的一半正好是O 2O ，则MN 最长
阶段训练8
1.C
2.B
3.D
4.B
5.B
6.3厘米或8厘米
7.12个
8.29.30120°10.30°9011.1012.500米13.6厘米14.100厘米15.（1）过点O 作OF ⊥CD 于点F ，连接DO .∵AE = 2厘米，EE = 6厘米，∴AB = 8厘米.∴⊙O 的半
径为4厘米.∵∠CEA = 30°，∴OF = 1厘米DF ∴==由
垂径定理，得2CD DF ==2）过点C 作GG ⊥AB 于点G ，过点D 作
DH ⊥AB 于点H ，易求EF =厘米.∴DE =CE =厘米
CG CE
DH DE ∴==32=16.（1）连接BO ,OA ,BC = 6厘米（217.如图，连接OA ,OC ，过点O 分别作AB ,CD 的垂线段，垂足分别为M ，则AM = MB ,CN = N D.∵OM ⊥MN ,M ⊥EN ,CN = ND ，222OM ON OE ∴+=从而
22222OA AM OC CN OE -+-=即22-222222212822AB CD AB CD ⎛⎫⎛⎫+-=⋅∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
27.4直线与圆的位置关系
1.A
2.D
3.B
4.相离
5.相切
6.2个
7.4≤r ≤5
8.0 < r < 2.496013
r =或5r <1210.1或511.（1）相离（2）（3）74754
C α12.提示：连接O
D ，证明∠CDO = 90°13.（1）BP 的中点（2）相离（3）
5516 27.5（1）圆与圆的五种位置关系
1.D
2.C
3.外离外切相交内切内含
4.内切
5.9,1524
6.直角三角形
7.内切或外切
8.3厘米，2厘米，10厘米
9.3 < t < 5或7 < t <
910(2B +-(23；分外切或内切两种情况11.
外切。

连接O 2O ，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则15,2BD O D ==在Rt △1O D 2O 中，得1O 2O = 7
27.5（2）圆与圆位置关系中的两解问题
1.D
2.相交
3.4
4.0≤d < 4或d > 14
5.63
6.1或9厘米
7.2或4或6或8
8.6或
14厘米92
BC C ==10.（1）受影响（2）时11.外切时，可求得76CP =；内切时，可求得72
CP = 27.5（3）两圆的连心线
1.C
2.A
3.内切或外切 5.46.105或157.过O 作OG ⊥CD ,2O H ⊥CE ，垂足为G ,H ，2222,,,CO G CO H O G O H AD BE DCF ECF ==8.45，过点A 作1AD O B ⊥9.410.4或14
27.6正多边形与圆。