新思路辅导与训练数学九年级全册-2019版答案
新思路中考数学试卷答案
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -√3D. 1/2答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为0。
选项D可以表示为1/2，是有理数。
2. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x1和x2，则x1 + x2的值为（）A. 5B. -5C. 6D. 0答案：A解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，x1 + x2 = -b/a。
在方程x^2 - 5x + 6 = 0中，a = 1，b = -5，所以x1 + x2 = 5。
3. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4答案：C解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)。
选项C中的函数y = x^3满足这个条件。
4. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于y轴的对称点是（）A. (-2,3)B. (2,-3)C. (-2,-3)D. (2,3)答案：A解析：点A(2,3)关于y轴的对称点，横坐标取相反数，纵坐标不变，所以对称点是(-2,3)。
5. 一个等边三角形的边长为a，则其面积为（）A. (3/4)a^2√3B. (1/2)a^2√3C. (1/4)a^2√3D. (1/3)a^2√3答案：B解析：等边三角形的面积公式为(√3/4)a^2，选项B正确。
二、填空题（每题4分，共20分）6. 若|a| = 3，则a的值为______。
答案：±3解析：绝对值表示数与0的距离，所以a可以是3或-3。
7. 二项式(2x - 3)^2的展开式中，x^2的系数为______。
答案：-12解析：根据二项式定理，(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9，所以x^2的系数为-12。
8. 若等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则an = ______。
答案：a1 + (n - 1)d解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d。
北师版九年级数学上册 第1章 特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题 专题训练 (含答案)
6.解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF
(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．
二、最值问题
7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )
A．2 B．4
∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，
∴点O为正方形的角平分线的交点，
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，证明如下：
延长BG交DE于点H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式是；
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
人教版 九年级数学 下册 第28章 锐角三角函数 综合训练(含答案)
18. 如图，大海中某灯塔 P 周围 10 海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 A 处观察 灯塔 P 在北偏东 60°方向，该海轮向正东方向航行 8 海里到达点 B 处，这时观察 灯塔 P 恰好在北偏东 45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险 吗？试说明理由．(参考数据： 3≈1.73)
C． 3 5
B． 3 4
D． 4 5
3. （2020·扬州）如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A、B、C 都在 格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C、D.则 sin∠ADC 的值为
（）
A. 2 13
13
B. 3 13 13
C. 2 3
D. 3 2
4. 如图，点 A,B,C 在正方形网格的格点上，则 sin∠BAC=（ ）
＝6 3＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋20＋6 3≈39.4(米)．
6. 【答案】C 【解析】如解图，过点 P 作 PC⊥OB 于点 C，则在 Rt△OPC 中， OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα ＝cosα ，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα ＝sinα ，即 点 P 的坐标为(cosα ，sinα )．
7. 【答案】D 【解析】如图，过点 A 作 AE⊥OC 于点 E，作 AF⊥OB 于点 F，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°， ∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴ FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx， 故选 D．
8. 【答案】A
13. 【题目】（2020·哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD
上海市初中九年级数学拓展Ⅱ教学参考资料(含练习册答案)
初中数学拓展Ⅱ课本教学参考材料编者的话《数学课程标准》中安排的初中数学拓展II的内容，是定向拓展内容，提供希望在初中毕业后进入普通高中学习的学生修习。
根据《数学课程标准》编写的“初中数学拓展II”课本（试验本），用于九年级，现正在基地学校进行第一轮教学试验。
为了帮助执教老师理解课本、把握要求和开展实践研究，教材编写人员编写了本册课本的教学参考材料。
这本教学参考材料，没有经过有关部门的审查，不是正式出版的“教学参考书”。
由于编写仓促，成稿匆忙，《材料》内容难免存在错误和不足，只是考虑到新课本进行第一轮教学对参考材料的需要，所以将此很不成熟的《材料》公诸于众。
本《材料》提供执教老师在教学研究中参考使用，同时在使用中开展研究；通过对《材料》的使用和研究，发现并纠正其中的错误，弥补不足，充实内容，为编写正式的“教学参考书”打好基础。
希望这本教学参考材料对执教老师有参考作用，更期待执教老师对此材料提出宝贵意见和修改建议。
初中数学教材编写组2007年8月第一部分课本概述初中数学拓展II课本（以下简称本册课本），含“一元二次方程与二次函数”、“直线与圆”两章内容，还有配合各章内容的练习部分。
本册课本内容的确定，其依据是《上海市中小学数学课程标准（试行本）》；内容的安排，是在“二二分段，九年级分层”的框架下进行的。
初中数学内容的设计，整体上按照六、七年级和八、九年级进行分段，同时在九年级进行必要的分层处理。
在初中阶段，以全体学生必学的数学基本内容为课程内容的核心，着眼于所有学生未来发展的普遍需要，构建共同的数学基础；再以学生定向选学的数学拓展II内容，以及学生按兴趣爱好选学的数学拓展I内容和课外活动材料，适当扩充数学基础，形成具有差别性和层次性的数学，满足不同个性的学生的不同需要。
学生在六年级到九年级所学的数学基本内容中，包括“实数知识基础”、“初等代数知识基础”、“平面几何知识基础与向量代数初步知识”、“初等代数函数的基础与分析初步”、“概率与统计初步知识”。
2018-2019学年最新北师大版九年级数学上册思维特训三有答案：四边形中几种辅助线的小结-精编试题
思维特训(三) 四边形中几种辅助线的小结1．截长补短法：通过将最长线段截成较短的两部分或将较短线段延长构造全等三角形解决线段的和差倍分问题．2．在三角形中，已知一边的中点，常在另一边上找一中点，从而构造中位线解决问题．3．在直角三角形中，常作斜边上的中线得等腰三角形，然后利用图形的性质等解决问题．类型一连接对角线解决问题1．如图3－S－1，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线AC上，且∠ABF＝∠CDE，AE＝CF.(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？图3－S－12．如图3－S－2，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点E，G分别在AD，CD上，连接AF，BF，CF.(1)求证：AF＝CF；(2)若∠BAF＝35°，求∠BFC的度数．图3－S－2类型二截长补短法解决线段问题3．如图3－S－3，在正方形ABCD中，P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP 的延长线于点E，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF.(1)若AE＝1，求EF的长；(2)求证：PF＝EP＋EB.图3－S－34．如图3－S－4，E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G.(1)若AB＝8，BF＝16，求CE的长；(2)求证：AE＝BE＋DG.图3－S－45．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N，AH⊥MN于点H.(1)如图3－S－5①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：________．(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立，请写出理由；如果成立，请证明．(3)如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．(可利用(2)中得到的结论)图3－S－5类型三构造三角形的中位线解决问题6．如图3－S－6，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝12，AC＝16，E，F分别为AB，CD 的中点，求EF的长．图3－S －67．如图3－S －7，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点F 在AC 上，AF ＝12FC ，AD 与BF 相交于点E.求证：E 是AD 的中点．图3－S －7类型四 构造直角三角形斜边上的中线解决问题8．如图3－S －8，∠ABC ＝∠ADC＝90°，M ，N 分别是边AC ，BD 的中点．求证：MN⊥BD.图3－S －89．如图3－S －9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点E 在边AC 上，AB ＝12DE ，AD ∥BC.求证：∠CBA＝3∠CBE.图3－S －9详解详析1．解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ABF和△CDE中，∠BAC＝∠DCA，∠ABF＝∠CDE，AF＝CE，∴△ABF≌△CDE(AAS)．(2)当四边形ABCD满足AB＝AD时，四边形BFDE是菱形．理由如下：连接BD交AC于点O，如图所示．由(1)得△ABF≌△CDE，∴AB＝CD，BF＝DE，∠AFB＝∠CED，∴BF∥DE.∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵BF＝DE，BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形BFDE是菱形．2．解：(1)证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，FE＝FG，∴AD－ED＝CD－GD，∴AE＝CG.在△AFE和△CFG中，AE＝CG，∠AEF＝∠CGF＝90°，FE＝FG，∴△AFE≌△CFG(SAS)，∴AF＝CF.(2)由(1)得△AFE≌△CFG，∴∠AFE＝∠CFG.又∵AB∥EF，∠BAF＝35°，∴∠AFE＝∠CFG＝∠BAF＝35°.连接DF，如图，∵四边形DEFG是正方形，∴∠DFG＝45°，∴∠BFC＝180°－∠CFG－∠DFG＝180°－35°－45°＝100°.3．解：(1)∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°.∵AF⊥AE，∴∠BAE＋∠BAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF.∵BE⊥DP，∴∠ABE＋∠BPE＝90°.又∵∠ADF＋∠APD＝90°，∠BPE＝∠APD(对顶角相等)，∴∠ABE＝∠ADF.在△ABE和△ADF中，∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF(ASA)，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形．∵AE＝1，∴EF＝2AE＝2×1＝ 2.(2)证明：如图，过点A作AM⊥EF于点M.∵△AEF是等腰直角三角形，∴AM＝MF＝EM.∵P是AB的中点，∴AP＝BP.又∵∠APM＝∠BPE，∠AMP＝∠BEP＝90°，∴△AMP≌△BEP(AAS)，∴PM＝EP，AM＝EB.∵PF＝PM＋MF，∴PF＝EP＋EB.4．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，∴AB＝BC＝8，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F.∵AF平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠F，∴AE＝EF.设CE＝x，则BE＝8－x，EF＝AE＝8＋x.在Rt△ABE中，由勾股定理得82＋(8－x)2＝(8＋x)2，解得x＝2，即CE＝2.(2)证明：如图，延长CB到点M，使BM＝DG，连接AM.∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABM＝90°，AD＝AB，AB∥CD，∴∠3＝∠2＋∠5＝∠4.在△ABM和△ADG中，AB＝AD，∠ABM＝∠D，BM＝DG，∴△ABM≌△ADG(SAS)，∴∠M＝∠4，∠6＝∠1.∵∠1＝∠2(角平分线的定义)，∴∠2＝∠6，∴∠4＝∠M＝∠3＝∠2＋∠5＝∠6＋∠5，即∠M＝∠MAE，∴AE＝ME.∵BM＝DG，∴AE＝BE＋DG.5．解：(1)AH＝AB(2)还成立．证明：如图，延长CB至点E，使BE＝DN.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°.在Rt△AEB和Rt△AND中，AB＝AD，∠ABE＝∠D，BE＝DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAM＝∠NAM＝45°.在△AEM和△ANM中，AE＝AN，∠EAM＝∠NAM，AM＝AM，∴△AEM≌△ANM，∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN.又∵AB，AH分别是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AH＝AB.(3)如图，分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△AMB和△AND，∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°.分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由(2)可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD.设AH＝x，则MC＝x－2，NC＝x－3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，∴52＝(x－2)2＋(x－3)2，解得x 1＝6，x 2＝－1(不符合题意，舍去)． ∴AH 的长为6.6．解：如图，取边BC 的中点G ，连接EG ，FG.∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EG 是△ABC 的中位线，FG 是△BCD 的中位线，∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD. 又∵BD＝12，AC ＝16，AC ⊥BD ，∴EG ＝8，FG ＝6，EG ⊥FG. 在Rt △EGF 中，由勾股定理，得EF ＝EG 2＋FG 2＝82＋62＝10，即EF 的长是10.7．证明：如图，取CF 的中点M ，连接DM.∵AF ＝12FC ， ∴AF ＝FM ＝CM.∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴DM 是△BFC 的中位线，∴DM ∥BF.∵AF ＝FM ，∴AE ＝DE ，即E 是AD 的中点．8．证明：如图，连接BM ，DM.∵∠ABC ＝∠ADC＝90°，M 是AC 的中点，∴BM ＝DM ＝12AC. ∵N 是BD 的中点，∴MN ⊥BD.9．证明：如图，取DE 的中点F ，连接AF.∵AD ∥BC ，∠C ＝90°，∴∠DAE ＝∠C＝90°，∴AF ＝DF ＝EF ＝12DE. ∵AB ＝12DE ， ∴DF ＝AF ＝AB ，∴∠D ＝∠DAF，∠AFB ＝∠ABF， ∴∠AFB ＝∠D＋∠DAF＝2∠D， ∴∠ABF ＝2∠D.∵AD ∥BC ，∴∠CBE ＝∠D，∴∠CBA ＝∠CBE＋∠ABF＝3∠CBE.。
2019年北师大版九年级数学上册全册导学案(含答案)
第1课时菱形的性质1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力.自学指导：阅读课本P2~4，完成下列问题.1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.3.菱形具有平行四边形的一切性质.2.菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.它有两条对称轴,两条对称轴互相垂直.4.菱形的四条边都相等.5.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.知识探究1.请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？(2)菱形中有哪些相等的线段？解：（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角线所在的直线。
两条对称轴互相垂直。
（1）菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等.自学反馈如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？(2)有哪些特殊的三角形?活动1 小组讨论例1已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD,对角线AC 与BD 相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD ； （2）AC ⊥BD.证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB = CD ，AD= BC （菱形的对边相等）. 又∵AB=AD ， ∴AB=BC=CD=AD. (2)∵AB=AD,∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形ABCD 是菱形,∴OB=OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD 中， ∵OB=OD, ∴AO ⊥BD, 即AC ⊥BD.例2 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.解：∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD(菱形的四条边都相等)， AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直） ， OB=OD=21BD=21×6=3（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD 中， ∵∠BAD=60°, ∴△ABD 是等边三角形. ∴AB=BD=6.在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2+OB 2=AB 2 .∴OA=.333362222=-=-OB AB∴AC=2OA=.36此题由菱形的性质可知AB=AD ，结合∠BAD=60°，即可得到△ABD 是等边三角形，从而可求AB 的长度.在根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求AO,继而求出AC.活动2 跟踪训练1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误．．的是（ ） A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．OA=OCABCDO2.如图，在菱形ABCD 中，AC ＝6, BD ＝8,则菱形的边长为（ ）A.5B.10C.6D.83.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ）A.B.C.23cmD.223cm4.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ） A ．(21)，B ．(12)，C ．(211)+，D ．(121)+，5.如图，在菱形ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC 等于 .6.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．7.如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点连结AE、CE，请找出图中一对全等三角形为______________.8.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=12 BE.课堂小结1.菱形的定义.2.菱形的性质.3.菱形与平行四边形的关系.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈解：（1）相等的线段：AB=CD=AD=BC，OA=OC，OB=OD.相等的角：∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA，∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°，∠1=∠2=∠3=∠4，∠5=∠6=∠7=∠8.（2）等腰三角形：△ABC △DBC △ACD △ABD直角三角形：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA【合作探究】活动2 跟踪训练1.B2.A3.D4.C5.56.37.ABD CDB△≌△（或ADE CDE△≌△或ABE CBE△≌△）8.∵ABCD是菱形，∴AD//BC，AB=BC=CD=DA.又∵∠ABC= 60°，∴BC=AC=AD.∵DE∥AC，∴ACED为平行四边形.∴CE=AD=BC，DE=AC. ∴DE=CE=BC，∴DE=12 BE.第2课时菱形的判定理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题自学指导：阅读课本P5~7，完成下列问题.知识探究1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四边相等的四边形是菱形.自学反馈1.判断下列说法是否正确：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；( )(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；( )(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；( )(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.( )2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，(1)若AB=AD，则□ABCD是形；(2)若AC⊥BD，则□ABCD是形；(3)若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形.活动1 小组讨论例1. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.求证: □ABCD是菱形.[ 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA=BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形定义).例2已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.证明:∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形(菱形定义).活动2 跟踪训练1.如图，在ABCD中，添加下列条件不能判定是菱形的是( )A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD2.已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A．AD平分∠BAC B．AB＝AC，且BD＝CDC．AD为中线 D．EF⊥ADAB D CFE3.将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A.三角形B.不规则的四边形C.菱形D.一般平行四边形②①4.如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是（）A．AE=AF B．EF⊥ACC．∠B=600 D．AC是∠EAF平分线5.如图所示，在ABCD中，AC BD⊥，E为AB中点，若OE＝3，则ABCD的周长是 .6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．7.如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，A B=5，AC=8，DB=6.求证:四边形ABCD是菱形.课堂小结菱形常用的判定方法：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈1.（1）×（2）√（3）×（4）×2.（1）菱（2）菱（3）菱【合作探究】活动2 跟踪训练1.D2. C3. C4. C5. 246.证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C.∵在△AED和△CFD中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,DFDECACFDAED，∴△AED≌△CFD（AAS）.(2)∵△AED≌△CFD，∴AD=CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．7.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=4,OB=OD=3.又AB=5，则32+42=52，即OA2+OB2=AB2.∴∠AOB=90°,即AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.第3课时菱形的性质与判定的综合1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力.阅读教材P8-9，能灵活运用菱形的性质及判定.自学反馈1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6，(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC=120°，求AC的长.(4)菱形ABCD的面积.活动1 小组讨论例1 如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,即∠AED=90°，DE=12BD×10=5（cm）∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：∴AC=2AE=2×12=24(cm).（2）S菱形ABCD = S△ABD+ S△CBD=2×S△ABD=2××BD×AE= BD×AE=10×12=120(cm2).菱形的面积除了以上求法，还可以用对角线相乘除以2.活动2 跟踪训练1.如图，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则∠ABC= °，AC= cm.2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是cm2．3. 如图，四边形ABC D中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P,QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈解：(1)6.(2)垂直平分.(3)36.(4)318.【合作探究】活动2 跟踪训练51.120°32.163.解：由AB=AC=AD，可知△ABC、△ADC是等腰三角形．∵AE是∠BAC的角平分线，AF是CD边上的中线，则∠AEC＝∠AFC＝90°．∵PC⊥CD，QC⊥BC，∴∠QCE＝∠PCD＝90°．∴AE∥QC，PC∥AF，∴四边形APCQ是平行四边形．在Rt△PEC和Rt△QFC中，∠PEC＝∠QFC＝90°，∠PCE＝90°－∠PCQ＝∠QCF，由BC=CD，可知EC＝CF，∴Rt△PEC≌Rt△QFC，∴PC＝CQ．∴平行四边形APCQ是菱形．第1课时矩形的性质1.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系.2.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;3.会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．自学指导：阅读课本P11~14，完成下列问题.1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.生活中你见到过的矩形有五星红旗、毛巾.3.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质.4.矩形的四个角都是直角.5.矩形的对角线相等.6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.知识探究1.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质.矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.2.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OB与AC是什么关系？[解：由矩形性质2得：AC=BD，再由平行四边形性质得：AO=OC，BO=OD，所以AO=BO=CO=DO=12AC=BD.因此可得直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
新思路 九年级沪教版
新思路九年级沪教版
（实用版）
目录
1.新思路的重要性
2.新思路的含义
3.如何培养新思路
4.新思路对九年级沪教版学生的帮助
正文
在九年级沪教版的学习过程中，新思路的培养是非常重要的。
新思路是指对问题或事物的新的、独特的看法或思考方式，它能帮助我们更好地理解问题，找到更有效的解决方案。
新思路的含义并不仅仅是指“新的思路”，它更包含了对事物的全新解读，对问题的深入挖掘，以及对解决方案的创新性思考。
新思路的培养需要我们积极主动地思考问题，不断地挑战已知的观点和解决方案，同时也需要我们有开放的心态，愿意接受新的观点和信息。
对于九年级沪教版的学生来说，新思路的培养不仅能帮助他们更好地学习，也能帮助他们在未来更好地适应社会。
新思路能帮助他们更深入地理解知识，从而提高学习效率；新思路也能帮助他们创新性地解决问题，提高他们的创新能力和竞争力。
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思路教练九年级全一册数学答案
思路教练九年级全一册数学答案思路教练九年级全一册数学答案列表如下：
一、代数
1. 代数基础知识
- 代数式的概念和基本运算法则
- 同类项的合并和分离
- 因式分解
- 公因式、最大公因式、最小公倍数
- 分式运算
2. 一元二次方程
- 一元二次方程的定义、基本形式、通解形式
- 一元二次方程的解法：配方法、公式法、图像法
3. 不等式
- 不等式的基本概念和性质
- 一元一次不等式的解法
- 一元二次不等式的解法
二、几何
1. 空间几何
- 空间直线和平面的位置关系及其判定方法
- 空间角的概念和性质
- 等腰三角形和等边三角形的性质
- 空间直角坐标系
2. 三视图和投影方法
- 正交投影法和轴测投影法的基本概念和方法
- 空间物体在三视图中的表示方法
- 三视图之间的转换
三、数据统计与概率
1. 数据统计
- 数据的收集、整理、描述等基本方法
- 统计量的概念和计算方法：平均数、中位数、众数、四分位数、极差等
- 统计图形的绘制：条形图、饼图、折线图、散点图等
2. 概率基础知识
- 随机事件的概念和基本性质
- 概率的概念和计算方法：古典概型、几何概型、条件概率等
- 随机变量、概率分布和期望
以上是思路教练九年级全一册数学的答案列表，希望对你有所帮助！。
2019年浙教版数学九年级上册第1章二次函数附答案
【章节训练】第1章二次函数-11. 二次函数 y=3 (X -2) A . (0, 2)B. (0,- 5)C. (0, 7) D . (0, 3) 2.已知关于 X 的二次函数a 白 勺值为（ )A . -1或1B. 1或-3C. -1或3D . 3或-33. 二次函数 y= (x+1) 2、选择题（共25小题） -2的图象大致是（）2-5与y 轴交点坐标为（） y=x 2 - 2χ- 2,当 a ≤x ≤ a+2,函数有最大值1,则A .4.下列函数中，y 关于X 的二次函数是（） A. y=aX 2+bx+c B. y=x （X - 1）D. y= (X- 1) 2—χ25.用配方法将二次函数y=x2-8x—9化为y=a (X- h) 2+k的形式为( )A.y= (X- 4) 2+7B.y= (X- 4) 2- 25C.y= (x+4) 2+7D.y= (x+4) 2- 256.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=- 1 ,则这个二次函数的表达式B.y=x2+2x+3C.y= - x2+2X- 3D.y=- x2- 2x+37.若抛物线y=x2-bx+9的顶点在X轴的负半轴上，则b的值为( )A.± 3B. 6C.- 6D.± 68.下列各点中，抛物线y=x2-4x- 4经过的点是( )A.(0, 4)B- (1,- 7)C.(- 1,- 1)D.(2, 8)9.抛物线y= (X- 1) 2+3 ( )A.有最大值1B.有最小值1C有最大值3D.有最小值310.下列函数中，二次函数是（）A.y= - 4x+5B.y=x (2x- 3)11.函数y=x2+2χ- 2 写成y=a (X- h) 2+k 的形式是( )A.y=(X- 1)2+2B.y= (X- 1) 2+1C.y= (x+1) 2- 3D.y= (x+2) 2- 112.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m,此时水面到桥拱的距离是4m,则抛物线13.将抛物线y=x2平移得到抛物线y= （x+3）2,则这个平移过程正确的是（A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位C向上平移3个单位D.向下平移3个单位14.如图，二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0, 1）和（-1，0），下列结论：① abv0,②b2>4,③0va+b+cv 2,④0vbV1, ⑤当x>- 1时，y>0.其中正确结论的个数是（）B.3个C.4个D.5个15.二次函数y=x2- 2x- 3与X轴交点的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个16.二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论:①b2- 4ac> 0;②4a- 2b+cv0；③3b+2cv 0；④m （am+b） V a- b （m≠- 1）,其中正确结论的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 17.在直角坐标系Xoy 中，二次函数C i , Q 图象上部分点的横坐标、纵坐标间 的对应值如下表：X .. -10 12 2.534y i 0 m i -8 n i -8.75 -8 -5 y 2 5m 2-11n 2-12.5-11-5则关于它们图象的结论正确的是（）A. 图象C i ，C 2均开口向下B. 图象C i 的顶点坐标为（2.5,- 8.75）C. 当 x > 4 时，y i > y 2D. 图象C i 、Q 必经过定点（0,- 5）18.已知抛物线y=（a+i ） x 2-ax- 8过点（2,- 2）,且与X 轴的一个交点的横 坐标为2n ,则代数式4n 2- n+20i6的值为（）A. 2020B. 20i9C. 20i8D. 20i7 i9.二次函数y=aX ⅛x+c 的图象如图所示，那么一次函数 y=bx+a 的图象大致是 （ ）ILVl ∖√A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个21. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，y 与X 的部分对应值如下： X 1.11.21.31.41.51.6y - 1.59 - 1.16 - 0.71 - 0.240.25 0.76则一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个解X 满足条件()A. 1.2 v XV 1.3B. 1.3 V XV 1.4C. 1.4 V XV 1.5D. 1.5 V XV 1.622. 将抛物线y=2X 2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( A. y=2X 2+3 B. y=2X 2- 3 C. y=2 (X+3)220.抛物线CI : y ι =mx 2- 4mx+2n - 1与平行于X 轴的直线交于 A 、 点坐标为（-1, 2）,请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线 线与y 轴交点坐标为（0,- 1）；③m >二；④若抛物线C 2： y 2=ax5段AB 恰有一个公共点，则a 的取值范围是 一≤ av 2；⑤不等式25>0的解作为函数C 的自变量的取值时，对应的函数值均为正数， 的B 两点，且AX =2 ;②抛物（a ≠ 0）与线mx 2 - 4mx+2 n其中正确结论CD. y=2 (X- 3) 223.如图，抛物线yι=ax2+bx+c (a≠ 0)的顶点坐标A (- 1, 3),与X轴的一个交点B (- 4, 0),直线y2=mx+ n (m ≠0)与抛物线交于A, B两点，下列结论：①2a- b=0;②abcv 0;③抛物线与X轴的另一个交点坐标是(3, 0);④方程ax2+bx+c- 3=0有两个相等的实数根；⑤当-4vx<- 1时，则y2v yι. 其中正确的是( )A.①②③B.①③⑤C①④⑤D.②③④24.如图，在正方形ABCD中，E F分别是AB CD的中点，EG丄AF, FH丄CE,垂足分别为G, H,设AG=X图中阴影部分面积为y,则y与X之间的函数关系C.y=8x2D.y=9x225.二次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2,若关于X的一元二次方程-x2+mx- t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是( )A. t >- 5B.- 5< t < 3C.3v t ≤ 4D.—5v t ≤ 4二、填空题(共5小题)(除非特别说明，请填准确值)26.已知二次函数y=-x2+2x+3,当m≤x≤m+3时，y的取值范围是O≤y≤4,则m的值为________27.已知点A (xι, yι), B (x2, y2)在二次函数y= (X- 1) 2+1的图象上，若X i Vx2v 1 ,则y i __________ y2.(填“或”之”)28.二次函数y=-x2-2x图象X轴上方的部分沿X轴翻折到X轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象X轴下方的部分组成一个“M形状的新图象，若直线ypx+b与该新图象有两个公共点，则b的取值范围为______________ .29.二次函数y=ax2- 3x- 1与X轴交于A、B两点，且A、B两点在C (- 1 , 0) 与原点之间(不包括端点)，则a的取值范围是__________30.若y= (m+2) X二/「“3x- 2是二次函数，则m的值是 ________ .三、解答题(共2小题)(选答题，不自动判卷)31.已知函数y= (m2- m) x2+ (m - 1) x+m+1.(1)若这个函数是一次函数，求m的值；(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样?32.在平面直角坐标系XOy中，已知点A (- 3, 1), B (- 1, 1), C (m, n), 其中n> 1,以点A, B, C为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为D1, D2, D3,如图所示.(1) ____________________________________________ 若m=- 1, n=3,则点D i, D2, D3的坐标分别是________________________________ , ________ , ______(2)是否存在点C,使得点A, B, D i, D2, D3在同一条抛物线上？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由.章节训练】第 1 章二次函数 -1参考答案与试题解析一、选择题(共25 小题)1.二次函数y=3 (X - 2) 2- 5与y轴交点坐标为( )A. (0, 2)B. (0,- 5)C. (0, 7)D. (0, 3)【分析】根据题目中的函数解析式，令x=0,求出相应的y的值，即可解答本题. 【解答】解：∙∙∙y=3 (X-2) 2-5当x=0 时，y=7,即二次函数y=3 (X-2) 2-5与y轴交点坐标为(0, 7), 故选：C.【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数与y 轴交点的横坐标等于0.2.已知关于X的二次函数y=x2- 2x- 2,当a≤x≤a+2时，函数有最大值1,则a 的值为( )A.- 1 或1B. 1 或- 3C.- 1 或3D. 3 或- 3【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1 时x 的值,结合当a≤x ≤ a+2时函数有最大值1 ,即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论.【解答】解：当y=1 时,有x2- 2x- 2=1,解得：x1=- 1 , x2=3.•••当a≤x≤a+2时，函数有最大值1,.∙. a=- 1 或a+2=3,.∙∙ a=- 1 或a=1.故选：A.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值, 利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时X的值是解题的关键.【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一判断可得•【解答】解：在y=(x+1) 2-2中由a=1>0知抛物线的开口向上，故A错误；其对称轴为直线x= - 1,在y轴的左侧，故B错误；由y= (x+1) 2- 2=x2+2X- 1知抛物线与y轴的交点为(0,- 1),在y轴的负半轴，故D错误；故选：C.【点评】本题考查了对二次函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力.4.下列函数中，y关于X的二次函数是( )A、y=ax2+bx+c B. y=x (X- 1) C. D. y= (X- 1) 2- x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论.【解答】解：A、当a=0时，y=bx+c不是二次函数；B、y=x (X- 1) =x2-X是二次函数；C、y= "L不是二次函数；D、y= (X- 1) 2- X2=- 2x+1 为一次函数.故选：B.【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键.5.用配方法将二次函数y=x2-8x- 9化为y=a (X- h) 2+k的形式为( )A. y= (X- 4) 2+7B. y= (X - 4) 2- 25C. y= (x+4) 2+7D. y= (x+4) 2【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案.【解答】解：y=x2- 8x- 9=X - 8x+16 - 25=（X- 4）2- 25.故选：B.【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键.6.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=- 1 ,则这个二次函数的表达式为（）A. y= - x2+2x+3B. y=x2+2x+3C. y=- x2+2x- 3D. y=- X2- 2x+3【分析】由抛物线的对称轴为直线x=- 1设解析式为y=a （x+1）2+k,将（-3, 0）、（0, 3）代入求出a、k的值即可得.【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x=- 1,过点（-3, 0）、（0, 3）,设抛物线解析式为y=a （x+1）2+k, 将（-3, 0）、（0, 3）代入，得：（佃+由0,冷+k 二3解得:叵1,Ik二 4则抛物线解析式为y= -（x+1）2+4= - x2- 2x+3,故选：D.【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据题意设出合适的二次函数解析式.7.若抛物线y=x2-bx+9的顶点在X轴的负半轴上，则b的值为（）A.± 3B. 6 C- 6 D.± 6【分析】抛物线y=aW+bx+c的顶点坐标为（-圭，如:IbL）,因为抛物线y=x2-bx+9的顶点在X轴上，所以顶点的横坐标小于0,纵坐标为零，列不等式和方程求解•【解答】解：T抛物线y=x2-bx+9的顶点在X轴的负半轴上，2 2•••顶点的横坐标小于0,纵坐标为零，即x=- V0, y= i =∙i' =0,2X1 4a ∣4I解得b=- 6，故选：C.【点评】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握顶点的表示方法和X轴上的点的特点.8.下列各点中，抛物线y=x2-4x- 4经过的点是（）A. （0, 4）B. （1，- 7）C. （- 1，- 1）D. （2, 8）【分析】分别计算出自变量为0、1、- 1、和2所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断.【解答】解：当x=0 时，y=x2- 4x- 4=- 4;当x=1 时，y=x2- 4x- 4=- 7;当X= —1 时，y=x2- 4x- 4=1 ;当x=2 时，y=x2- 4x- 4= - 8,所以点（1,- 7）在抛物线y=x2- 4x- 4上.故选：B.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.9.抛物线y= （X- 1）2+3 （）A.有最大值1B.有最小值1C.有最大值3D.有最小值3【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最大（小）值的方法.【解答】解：由函数关系式可知，X的系数为1>0,抛物线y= （X- 1）2+3有最小值，于是当x=1时y=3.故选：D.【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法.10.下列函数中，二次函数是( )A、y= - 4x+5 B. y=x (2χ- 3) C. y= (x+4) 2- x2 D. y」【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论.【解答】解：A、y=- 4x+5为一次函数；B、y=x (2x- 3) =2x2- 3x 为二次函数；C、y= (x+4) 2- X2=8X+16为一次函数；D、y=丄不是二次函数.K故选：B.【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键.11.函数y=x2+2x- 2 写成y=a (X- h) 2+k 的形式是( )A. y= (X- 1) 2+2B. y= (X- 1) 2+1C. y= (x+1) 2- 3D. y= (x+2) 2- 1 【分析】利用配方法整理即可得解.【解答】解：y=x2+2x- 2，=x2+2x+1 - 1 - 2，=(x+1) 2- 3，即y= (x+1) 2- 3.故选：C.【点评】本题考查了二次函数的三种形式之间的转化，配方即可，比较简单.12.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m,则抛物线A. y巫JB. y=_豈C. y=-釦D∙y桧Jy 4 X y4【分析】抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，解析式符合最简形式y=ax2,把点A 或点B的坐标代入即可确定抛物线解析式.【解答】解：依题意设抛物线解析式y=af,把B （5,- 4）代入解析式，得-4=a× 52, 解得a=-备，所以y=- _X2.故选：C.【点评】根据抛物线在坐标系的位置，合理地设抛物线解析式，是解答本题的关键.13.将抛物线y=x2平移得到抛物线y= （x+3）2,则这个平移过程正确的是（）A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位C.向上平移3个单位D.向下平移3个单位【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况.【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0, 0）,抛物线y= （x+3）2的顶点坐标为（-3, 0）,•••点（0, 0）向左平移3个单位可得到（-3, 0）,•••将抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y= （x+3）2.故选：A.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.14.如图，二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（-1, 0）,下列结论：① abv0,②b2>4,③OVa+b+cv2,④OVbV1,⑤当x> - 1时，y>0.其中正确结论的个数是（）A. 2个B. 3个C 4个D. 5个【分析】利用抛物线开口方向得av0,利用对称轴在y轴的右侧得b>0 ,贝U可对①进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得c=1, a - b+c=0,则b=a+c=a+1,所以0v bV1,于是可对②④进行判断；由于a+b+c=a+a+1+1=2a+2, 利用av0可得a+b+cv 2,再根据抛物线的对称性得到抛物线与X轴的另一个交点在（1,0）和（2, 0）之间，贝U x=1时，函数值为正数，即a+b+c>0,由此可对③进行判断；观察函数图象得到x>-1时，抛物线有部分在X轴上方，有部分在X轴下方，则可对⑤进行判断.【解答】解：•••由抛物线开口向下，.∙∙ av 0,•••对称轴在y轴的右侧，.∙∙ b>0,∙∙∙ abv0,所以①正确；•••点（0, 1）和（-1, 0）都在抛物线y=aX⅛x+c上，∙c=1, a- b+c=0,.∙. b=a+c=a+1,而av0,∙0v bv 1,所以②错误，④正确；■/ a+b+c=a+a+1+1= 2a+2,而av0,∙2a+2v 2,即卩a+b+cv 2,■•°抛物线与X轴的一个交点坐标为（-1, 0）,而抛物线的对称轴在y轴右侧，在直线x=1的左侧，•••抛物线与X轴的另一个交点在（1, 0）和（2, 0）之间，.∙∙ x=1 时，y>0, 即卩a+b+c>0,.∙∙ OV a+b+c< 2 ,所以③正确；V X>- 1时，抛物线有部分在X轴上方，有部分在X轴下方，••• y>0或y=0或y<0,所以⑤错误.故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=aX2+bX+c（a ≠ 0）,当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab< 0）,对称轴在y轴右；常数项C决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0, C）；抛物线与X轴交点个数由△决定：△ =b2- 4ac> 0时，抛物线与X轴有2个交点；△ =b2- 4ac=0时，抛物线与X轴有1个交点；△ =b2- 4ac< 0时，抛物线与X轴没有交点.15.二次函数y=X2- 2X- 3 与X 轴交点的个数为（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【分析】根据b2- 4ac 与零的关系即可判断出二次函数y=X2- 2X- 3 的图象与X 轴交点的个数.【解答】解：•••△ =b2- 4ac= （- 2）2- 4× 1×（-3）=16> 0,•二次函数y=X2- 2X- 3的图象与X轴有2个交点.故选：B.【点评】本题考查二次函数y=aX2+bX+c的图象与X轴交点的个数的判断，是基础题型.16.二次函数y=aX2+bX+c（a≠ 0）的图象如图，给出下列四个结论：①b2- 4ac> 0；②4a- 2b+c<0；③3b+2c< 0；④m （am+b） < a- b （m≠- 1）,其中正确结论的个数是( )A. 4个B. 3个C 2个D. 1个【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案•【解答】解：①抛物线与X轴有两个交点，•••△> 0 ,①正确；②由于对称轴为X=- 1,•••( 1, 0)关于直线X=- 1的对称点为(-3, 0),(0, 0)关于直线X=- 1的对称点为(-2, 0),当X=- 2 时，y=0,∙∙∙ 4a-2b+c=0,故②错误；③由题意可知：一=-1 ,2a∣•∙ 2a=b,当X=1时，yv 0,•a+b+cv 0,•号+b+cv 0,•3b+2cv 0,故③正确；④由于该抛物线的顶点横坐标为-1,此时y=a-b+c是最大值，•am2+bm+cv a- b+c (m≠- 1),•m (am+b) V a- b (m≠- 1),故④正确；故选：B.【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是根据图象判断a、b、C的大小关系，本题属于中等题型.17.在直角坐标系XOy中，二次函数C1, C2图象上部分点的横坐标、纵坐标间•••二次函数C i , C 2的对称轴都是直线x=2,故选项B 错误；•••当XV2时，y i 、y 2都是随着X 的增大而减小；当x >2时，y i 、y 2都是随着X 的增大而增大， •••图象C i , Q 均开口向上，故选项A 错误；∙.∙ x=3时，y i = — 8, y 2=- ii , x=4时，y i =y 2=-5,•••增加相同的x , y i 增加的数小于y 2增加的数， •••当x >4时，y 2>y i ,故选项C 错误；•••二次函数C i , C 2的对称轴都是直线x=2,且都过点（4,— 5）, •图象C i 、C 2必经过定点（0,- 5）,故选项D 正确. 故选： D .点评】 本题考查了二次函数的性质， 二次函数图象上点的坐标特征， 观察表格 从中获取有用信息是解题的关键.的对应值如下表：X —i0 iy i 0 m i —8 y 2 5m 2—ii2 2.53 4n i - 8.75 - 8 - 5 n 2- i2.5 - ii- 5则关于它们图象的结论正确的是（ ）A. 图象C i , C 2均开口向下B. 图象C i 的顶点坐标为（2.5,- 8.75）C. 当 x > 4 时，y i > yD. 图象C i 、C 2必经过定点（O ,- 5）【分析】观察表格可知，x=1与x=3时， 的对称轴都是直线y i = - 8，y 2= - 11，那么二次函数 C i ， C 2 x=2，得出选项B 错误；根据XV 2时，y i 、y 2都是随着X 的增都是随着X 的增大而增大，得出图象 C i ，C 2均开 x ，y i 增加的数小于y 2增加的数，得大而减小；当x >2时，y i 、y 2 口向上，那么选项 A 错误；根据增加相同的 出当 x > 4 时y 2>y i ,选项C 错误；根据对称轴都是直线 x=2,且都过点（4,（0，- 5）,得出选项D 正确.y i =- 8， y 2=- ii ，- 5），得出图象 C i 、 C 2 必经过定点18.已知抛物线y= (a+1) x2-ax- 8过点(2,- 2),且与X轴的一个交点的横坐标为2n,则代数式4n2- n+2016的值为( )A. 2020B. 2019C. 2018D. 2017【分析】.首先求出a的值，进而把x=2n代入得出关于n的等式进而得出答案. 【解答】解：T抛物线y= (a+1) X2- ax- 8过点(2,- 2),•••- 2= (a+1) × 22- a× 2 - 8=2a-4,解得，a=1,•y=2X2 - X- 8,T抛物线y=2X2-X- 8与X轴的一个交点的横坐标为2n,•2×( 2n) 2-2n - 8=0,化简，得4n2- n - 4=0,•4n2- n=4,•4n2- n+2016=4+2016=2020,故选：A.【点评】此题主要考查了二次函数与X轴的交点，正确得出a的值是解题关键. 19.二次函数y=aX⅛x+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+a的图象大致是【分析】根据二次函数图象的开口向上可得a> 0 ,再根据对称轴确定出bv 0, 从而确定出一次函数图象即可得解.【解答】解：T二次函数图象开口向上，.∙∙ a> 0,.∙∙ bv 0,•••一次函数y=bx+a 的图象经过二、一、四象限, 故选：C.【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，此类题目通常根据二次函数 图象的开口方向，对称轴以及X 的特殊值求出a b 、C 的关系是解题的关键.20.抛物线C i : y ι=mx 2- 4mx+2n - 1与平行于X 轴的直线交于 A 、B 两点，且A 点坐标为（-1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线 x=2;②抛物 线与y 轴交点坐标为（0，- 1）;③m >二；④若抛物线C 2： y 2=aX^ （a ≠0）与线5段AB 恰有一个公共点，则a 的取值范围是-二≤ av 2；⑤不等式mx 2- 4mx+2n25>0的解作为函数G 的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论 的个数有（）A . 2个B. 3个G 4个D. 5个【分析】①利用抛物线对称轴方程可判定；②与 y 轴相交设x=0,问题可解；③ 当抛物线过A （- 1，2）时，带入可以的到2n=3- 5m ，函数关系式中只含有参 数m ，由抛物线与X 轴有两个公共点，则由一元二次方程根的判别式可求；④求 出线段AB 端点坐标，画图象研究临界点问题可解；⑤把不等式问题转化为函数 图象问题，答案易得.【解答】解：抛物线对称轴为直线 x=-』二二弹二』故①正确； 当x=0时，y=2n - 1故②错误； 把A 点坐标（-1，2）代入抛物线解析式 得：2=m+4m+2n -1•••对称轴为整理得：2n=3- 5m带入y1=mx2- 4mx+2n - 1整理的：yι=mx2- 4mx+2 - 5m由图象可知，抛物线交y轴于负半轴，则：2-5mv0即m>二故③正确；5由抛物线的对称性，点B坐标为（5, 2）当y2=ax2的图象分别过点A、B时，其与线段分别有且只有一个公共点此时，a的值分别为a=2、a=-25a的取值范围是一≤ av 2；故④正确；25不等式mx2- 4mx+2 n> O的解可以看做是，抛物线yι=mx2- 4mx+2 n- 1位于直线y=- 1上方的部分，由图象可知，其此时X的取值范围使y1=mx2- 4mx+2n- 1函数图象分别位于轴上下方故⑤错误；故选：B.【点评】本题为二次函数综合性问题，考查了二次函数对称轴、与坐标轴交点、对称性、抛物线与X轴交点个数判定、与抛物线有关的临界点问题以及从函数的观点研究不等式.21.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与X的部分对应值如下：X 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y - 1.59 - 1.16 - 0.71 - 0.24 0.25 0.76则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解X满足条件（）A. 1.2vXV 1.3B. 1.3vXV 1.4C. 1.4vXV 1.5D. 1.5vXV 1.6【分析】仔细看表，可发现y的值-0.24和0.25最接近0,再看对应的X的值即可得.【解答】解：由表可以看出，当X取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根.ax2+bx+c=0的一个解X的取值范围为1.4VXV 1.5.故选：C.【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的.22.将抛物线y=2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A. y=2x2+3B. y=2x2- 3C. y=2 (x+3) 2D. y=2 (X- 3) 2【分析】根据左加右减”的原则进行解答即可.【解答】解：将抛物线y=2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y=2(x+3) 2; 故选：C.【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.23.如图，抛物线yι=ax2+bx+c (a≠0)的顶点坐标A (- 1, 3),与X轴的一个交点B (- 4, 0),直线y2=mx+ n (m ≠0)与抛物线交于A, B两点，下列结论：①2a-b=0;②abcv 0;③抛物线与X轴的另一个交点坐标是(3, 0);④方程ax2+bx+c- 3=0有两个相等的实数根；⑤当-4V XV- 1时，则y2v yι. 其中正确的是( )YrA.①②③B.①③⑤C.①④⑤D.②③④【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到av 0, 由对称轴位置可得b>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c>0,于是可对②进行判断；根据抛物线的对称性对③进行判断；根据顶点坐标对④进行判断；根据函数图象得当-4vXV- 1时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断.【解答】解：•••抛物线的顶点坐标A (- 1, 3),•••抛物线的对称轴为直线X= -— = - 1,2a∙∙∙ 2a- b=0,所以①正确；•••抛物线开口向下，∙ av 0,•∙ b=2av 0,•••抛物线与y轴的交点在X轴上方，•c> 0,•abc> 0,所以②错误；•••抛物线与X轴的一个交点为（-4, 0）而抛物线的对称轴为直线X=- 1,•抛物线与X轴的另一个交点为（2, 0）,所以③错误；•••抛物线的顶点坐标A （- 1, 3）,•X=- 1时，二次函数有最大值，•方程a×2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以④正确；T抛物线y1=aX2+bX+c 与直线y2=mx+ n（m≠ 0）交于A （- 1, 3）, B 点（-4, 0）•当-4vXV- 1时，y2vy1,所以⑤正确.故选：C.【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=aX⅛x+c（a≠ 0）, 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当av0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b 同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab V 0）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）；常数项C决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0, C）；抛物线与X轴交点个数由△决定：△ =b2- 4ac>0时，抛物线与X轴有2个交点；△ =b2- 4ac=0时，抛物线与X轴有1个交点；△ =b2-4acv 0时，抛物线与X轴没有交点.24.如图，在正方形ABCD中，E F分别是AB CD的中点，EG丄AF, FH丄CE,垂足分别为G，H,设AG=X图中阴影部分面积为y,则y与X之间的函数关系式是（）A. y=3LYx2B. y=4 =x2C. y=8x2D. y=9x2【分析】设正方形的边长为a,易证四边形ADCE是平行四边形，所以四边形EHFG 是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用X表示出EG从而可求出y与X之间的关系式；【解答】解：设正方形的边长为2a,•∙ BC=2a BE=Cl）V E、F分别是AB CD的中点，•AE=CFV AE// CF,•四边形AFCE是平行四边形，•AF/ CE,V EG丄AF, FH丄CE•四边形EHFG是矩形，V∠ AEG∠ BEC=/ BCE∙∠ BEC=90,∙∠AEG=/ BCE•tan∠ AEG=tan∠ BCE•EG=2X•由勾股定理可知：AE= ^X ,.∙. AB=BC=2 □x,.∙∙ CE=5χ易证：△ AEG^△ CFH∙∙∙ AG=CH∙∙∙ EH=EC- CH=4χ∙∙∙ y=EG?EH=8X故选：C.【点评】本题考查矩形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，综合程度较高，属于中等题型.25.二次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2,若关于X的一元二次方程-x2+mx- t=0（t为实数）在1vXV5的范围内有解，则t的取值范围是（）A. t>-5B.- 5VtV3C. 3Vt≤4D.- 5V t≤4【分析】如图，关于X的一元二次方程-x2+mx-1=0的解就是抛物线y=-x2+mx 与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题.【解答】解：如图，关于X的一元二次方程-x2+mx-1=0的解就是抛物线y=- x2+mx 与直线y=t的交点的横坐标，当x=5时，y=- 5，由图象可知关于X的一元二次方程-x2+mx - t=0 （t为实数）在1v XV 5的范围内有解，直线y=t在直线y=- 5和直线y=4之间包括直线y=4,∙°∙- 5V t≤ 4.故选：D.【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题.二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）26.已知二次函数y=-X2+2X+3,当m≤x≤m+3时，y的取值范围是O≤y≤4，则m的值为 -1或O【分析】利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，结合y的取值范围即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，代入y=0 求出X 的值，结合当m≤X≤ m+3时y的取值范围是0≤ y≤ 4，即可得出m的值，验证后即可得出结论.【解答】解：t y=- X2+2X+3= -（X- 1）2+4，.（曲1I I nH-3≥1 ,解得：-2≤ m≤ 1.当y=0 时，有-X2+2X+3=0,解得：X l= - 1，X2=3，∙m=- 1 或m+3=3，∙m=- 1 或0.故答案为：-1或0.【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，禾I」用二次函数图象上点的坐标特征找出m的值是解题的关键.27.已知点A （X1，y1），B （X2，y2）在二次函数y= （X- 1）2+1的图象上，若X1V X2V 1 ,则y1 > y2 .（填“或” V”）第31页（共32页）【分析】根据题意画出函数图象即可进行比较.【解答】解：I二次函数y（X- 1）2+1 ,画出图象为: 根据图象可知，当XV1时，y的值随X的增大而减少，T xιv X2V1,∙∙∙ yι> y2,故答案为：>.V J∖ M 呼:TI■II V-5Γ t i i i^⅛* LE I【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是画出二次函数的图象，此题难度不大.28.二次函数y=-X2-2x图象X轴上方的部分沿X轴翻折到X轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象X轴下方的部分组成一个“M形状的新图象，若直线yJχ+b与该新图象有两个公共点，则b的取值范围为OvbV1 或b V-亠.------- —【分析】画出图象求出直线经过点A和原点时的b的值，结合图象可以确定b 的范围，再求出直线与翻折后的抛物线只有一个交点时的b的值，可以利用方程组只有一组解△ =0解决问题，由此再确定b的取值范围.【解答】解：如图，当直线y=-x+b经过点A （- 2，0）时，b=1, 当直线y=Lχ+b 经过点0（0，0）时，b=0，∙0v bv 1时，直线y=]x+b与新图形有两个交点.翻折后的抛物线为y=W+2x，9y=x +2x•••△ =0,方程组有一组解，消去y 得到：2X2+3X- 2b=0,∙9+16b=0,第32页（共32页）第33页（共32页） 30.若 y= (m+2) X +3x - 2是二次函数，则m 的值是—空.由图象可知，bv-丄时，直线yJ-x+b 与新图形有两个交点•16 2综上所述OV b V1或bv-一丄时，直线y=x+b 与新图形有两个交点.【点评】本题考查一次函数、根的判别式等知识，解题的关键是正确画出图象， 找关键点解决问题，把只有一个交点问题转化为方程组只有一组解解决，是数形结合的好题目，属于中考常考题型. 29.二次函数y=ax 2- 3x - 1与X 轴交于A 、B 两点，且A 、B 两点在C （- 1，0） 与原点之间（不包括端点），则a 的取值范围是 一V av- 2 【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案.【解答】解：由题意可知：△ =9+4a > 0,当a > 0时，抛物线开口向上，且与y 轴交于点（0,- 1），此时该二次函数与X 轴的两个交点不可能在 C （- 1，0）与原点之间（不包括端 点）， 故 av0，且当 x=- 1 时，yv0,∙°∙ av - 2• 丁V av- 2故答案为：【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系 数之间的关系，本题属于中等题型.【分析】根据二次函数的定义求解即可.3 (-3,- 1) 7第34页(共32页)【解答】解：由题意，得m 2- 2=2,且 m+2≠ 0，解得m=2,故答案为：2.【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键• 三、解答题(共2小题)(选答题，不自动判卷)31.已知函数 y= (m 2- m ) x 2+ (m - 1) x+m+1.(1) 若这个函数是一次函数，求 m 的值；(2) 若这个函数是二次函数，贝U m 的值应怎样？【分析】(1)根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组, 根据解方程组，可得答案；(2)根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案.r 2 【解答】解：依题意得 m F 二OL ln-I^O.PFO ≡S∏F1t∏ι≠l.m=O ;(2)依题意得m 2- m ≠0,.m ≠0 且 m ≠ 1.【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题 关键. 32.在平面直角坐标系Xoy 中，已知点A (- 3，1)，B (- 1,1 )，C (m ，n )， 其中n > 1,以点A , B , C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为D 1, D 2, D 3,如图所示.(1)若 m=- 1, n=3,则点 D 1, D 2, D 3 的坐标分别是 (- 3，3) , (1，(2)是否存在点C ,使得点A , B , D i , D 2, D 3在同一条抛物线上？若存在，求 出点C。
2021年金典新思维数学九年级全一册参考答案
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人教版九年级数学配套练习册答案
第21章21.1一元二次方程答案21.2.1配方法第1课时答案21.2.1配方法第2课时答案21.2.2公式法答案21.2.3因式分解法答案21.2.4一元二次方程的根与系数的关系答案21.3实际问题与一元二次方程第1课时答案21.3实际问题与一元二次方程第2课时答案第二十一章综合练习答案第22章22.1.1二次函数答案22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质答案22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质第1课时答案22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质第2课时答案22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质第3课时答案22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 的图像和性质第1课时答案22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质第2课时答案22.1.2二次函数与一元二次方程答案22.3实际问题与二次函数第1课时答案22.3实际问题与二次函数第2课时答案22.3实际问题与二次函数第3课时答案人教版九年级上册数学配套练习册21.1一元二次方程答案8、29、210、≠1；= 111、012、- 113、题目略（1）当k = 1时，原方程为一元一次方程，2x – 2 = 0 x = 1（2）当k≠1且k≠-1时，原方程为一元二次方程，此时这个方程的二次项系数为k² -1，一次项系数为k+1，常数项为-2。
14、题目略（1）a（x –1）² + b（x –1）+ c= 0可化为：ax²-（2a – b）x + （a – b + c）= 0与x²-3x –1=0对照，要为一元二次方程，a²必须等于1，a可以等于1或-1，所以不能肯定a = 1（2）当a = 1，2 – b = 3，b = -1，2 + c = -1，c = -3，所以a ：b ：c = 1 ：（-1）：（-3）15、原方程化为4x² + 7x - 1 = 0，则二次项系数：4，一次项系数：7，常数项：-1探索研究16、道路面积（32 × 20）– 570 = 70m²，设道路宽度为x m，则32x + 3x （20 - x）= 70人教版九年级上册数学配套练习册21.2.1配方法第2课时答案基础知识1、（1）16；4（2）25；5（3）6.25；2.5（4）20.25；4.5（5）9/16；3/4（6）9/25 ；3/52、±4/34、设较短的直角边长是x cm，较长的就是（x+7）cm，1/2x•（x + 7）= 30，整理得：x2+7x–60=0，解得x=5或x=-12（舍去），5+7=12 cm，探索探究5、（1）16、正方形纸板的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-2×2）厘米，高为2厘米，根据题意列方程得：（x-2×2）（x-2×2）×2 = 32，化为一般形式为：x2 - 8x = 0人教版九年级上册数学配套练习册21.2.3因式分解法答案基础知识1、2、3、4、5、C CD B B6、2或67、48、1210、±15能力提升11、（1）±10 （2）1或1/3 （3）4或0 （4）1/2或-3/212、设时间为x秒，x秒后PB的长度为：PB = AB – AP = 6 – 2x，x秒后PB的长度为：BQ = 3x，则S△PBQ = PB ×BQ ×（1/2）= （6 – 2x）3x ×（1/2）= 6解得x = 2或1，经过1秒或2秒，△PBQ正好等于6 cm²13、设每个月减少x由题意可得：（1 - x）² = （1 - 36%），解得x = 20%探索研究14、（1）换元法转化（2）（x2 + x）²- 2（x²+ x）+ 1=0，人教版九年级上册数学配套练习册21.3实际问题与一元二次方程第1课时答案基础知识1-6：B；C；C；B；B；D7、28、-20139、72（1-x）²= 5610、12 cm和4 cm能力提升12、设每年的增长率为x，根据题意，得，30%（1 + x）² = 60%，即（1 + x）² = 2，解得x₁ ≈ 0.41 = 41%，x₂≈ -2.41（舍去，不合题意）答：每年的增长率约为41%。
湘教版数学九年级上册 全册复习练习题 含答案-精选教学文档
湘教版数学九年级上册 全册复习练习题1. 已知直角三角形一锐角是60°，斜边长是1，那么这个三角形的周长是( D )A.52 B ．3 C.3＋22 D.3＋322．一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( D )A ．－1 B. 2 C ．1和 2 D ．－1和 23．cos60°－sin30°＋tan45°的值为( C )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．在反比例函数y ＝k x (k<0)的图象上有两点(－1，y 1)，(－14，y 2)，则y 1－y 2的值是( A )A ．负数B ．非正数C ．正数D ．不能确定5. A ，B 两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x ＋a ，y ＋b)，B(x ，y)，下列结论正确的是( B )A ．a ＞0B ．a ＜0C ．b ＝0D ．ab ＜06．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3.其中正确的有( C )个．A ．1B ．2C ．3D ．47．某校为了解八年级学生每周课外阅读情况，随机调查了50名八年级学生，得到他们在某一周里课外阅读所用时间的数据，并绘制成频数分布直方图，如图所示，根据统计图，可以估计在这一周该校八年级学生平均课外阅读的时间约为( B )A ．2.8小时B ．2.3小时C ．1.7小时D ．0.8小时8．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是( B )A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，c ＝10，则下列不正确的是( D )A ．∠B ＝60° B ．a ＝5C ．b ＝5 3D ．tanB ＝3310．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD ＝12OD ′，则A ′B ′∶AB 为( D ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．1∶2 D ．2∶111．如图，AB ∥CD ，AC ，BD ，EF 相交于点O ，则图中相似三角形共有( C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对12．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或213．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( C )A ．AD ＝BC ′B ．∠EBD ＝∠EDBC ．△ABE ∽△CBD D ．sin ∠ABE ＝AE ED14．若代数式(x －4)2与代数式9(4－x)的值相等，则x ＝__4或－5__．15．若a a －b ＝12，则a b＝__－1__． 16．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件__∠ACD ＝∠ABC 或∠ADC ＝∠ACB 或AC ∶AB ＝AD ∶AC 等__，使△ABC ∽△ACD.(只填一个即可)17．某学校为了解学生课间体育活动情况，随机抽取本校100名学生进行调查，整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．若该校共有800名学生，估计喜欢“踢毽子”的学生有__200__人．18．如图，以O 为位似中心，把五边形ABCDE 的面积扩大为原来的4倍，得五边形A 1B 1C 1D 1E 1，则OD ∶OD 1＝__1∶2__．19．如图，点A 是反比例函数y ＝6x的图象上一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，线段AB 交反比例函数y ＝2x的图象于点C ，则△OAC 的面积为__2__．20．如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB 的距离CD 等于海里．21．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE ∽△ECF ；③AE ⊥EF ；④△ADF ∽△ECF.其中正确结论是__②③__．(填序号)22. 如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点(－1，－2)，“馬”位于点(2，－2)，则“兵”位于点_(－3，1)__.23. 如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过此正方形的顶点B ，D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__13__．24．解方程或计算：(1)x 2－2x ＝5;(2)|－1|－128－(5－π)0＋4cos45°. 解：(1)x 1＝1＋6，x 2＝1－ 6(2) 225．已知：关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是－1，求另一个根及k 的值．解：(1)∵b 2－4ac ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，无论k 取何值，k 2≥0，∴k 2＋8>0，即b 2－4ac>0.∴方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根(2)令原方程的另一个根为x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1·x 2＝－12，－1＋x 2＝－k 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，k ＝1.即另一个根为12，k 的值是1 1=26．游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2019名学生中作了抽样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：(1)这次抽样调查中，共调查了__400__名学生；(2)补全两个统计图；(3)根据抽样调查的结果，估算该校2019名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？解：(2)“一定不会”的人数为400×25%＝100(名)，“家长陪同时会”的百分率为1－25%－12.5%－5%＝57.5%，图略(3)根据题意得：2019×5%＝100(人)．答：该校2019名学生中大约有100人“一定会下河游泳”27．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．(结果保留根号)解：过A 作AG ⊥CD 交CD 于点G ，在Rt △ACG 中，tan30°＝CG AG，∴CG ＝AG ·tan30°＝6×33＝23米，CD ＝CG ＋DG ＝(23＋1.5)米，在Rt △CDE中，sin60°＝CD CE ，∴CE ＝CD sin60°＝23＋1.532＝(4＋3)米，即拉线CE 的长为(4＋3)米28．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点，AE ＝ED ，DF ＝14DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G. (1)求证：△ABE ∽△DEF ； (2)若正方形的边长为4，求BG 的长．解：(1)∵DF DE ＝AE AB ＝12，即AB DE ＝AE DF，又∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DEF (2)∵∠D ＝∠FCG ＝90°，∠DFE ＝∠CFG ，∴△DEF ∽△CGF ，∴DE CG ＝DF CF ＝13，∴CG ＝3DE ＝3×42＝6，∴BG ＝BC ＋CG ＝4＋6＝10 29．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队在绿化了22019平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？解：(1)设原计划每天完成x 米2，则有46000－22000x －46000－220001.5x ＝4，解得x ＝2019，经检验x ＝2019是原方程的解，即：原计划每天完成2019平方米(2)设人行通道宽度是y 米，则有(20－3y)(8－2y)＝56，解得y 1＝2，y 2＝263.当y ＝263时，8－2y<0，所以舍去，∴y ＝2，即人行通道的宽度是2米30．如图，一次函数y ＝－x ＋2的图象与反比例函数y ＝－3x的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于D 点，且C ，D 两点关于y 轴对称．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求△ABC 的面积．解：(1)把y ＝－x ＋2与y ＝－3x 联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝－3x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，∴A(－1，3)，B(3，－1)(2)D(2，0)，∴C(－2，0)，S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ＝12×4×3＋12×4×1＝8。
新教材全练答案九上
新教材全练答案九上【篇一：最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)】xt>21．1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－__．列方程，化简整理，得2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__437＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共场．列方程28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？．(2)它们最高次数分别是几次？．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程． 1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0； (2)x2＝1；13(3)5x2－2x－x2－2x＋； 45(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x －10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋10，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；12(3)2x2－3x－1＝0; (4)＝0； xx(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，3 解得a＝－. 43．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2 解一元二次方程21．2.1 配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：2＝1500__，由此可得__x2＝25__，即x1＝__5__，x2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm. 探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝x2＝．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝p或mx＋n＝p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y2＝8； (2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4， (x－8)2＝25，∴y1＝2，y2＝－2； x－8＝5或x－8＝－5，∴x1＝13，x2＝3；(3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝－40，(2x－1)2＝0，∴原方程无解；2x－1＝0，1 ∴x1＝x2＝. 2点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.【篇二：新人教版九年级圆测试题及答案全】、选择题（每题3分，共30分）2．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（） a 1∶2∶3b 1∶2∶ c ∶∶1d 3∶2∶13．在直角坐标系中,以o(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点a(?3,4)的位置在（） a⊙o内b⊙o上 c ⊙o外d 不能确定7．已知两圆的圆心距d= 3 cm，两圆的半径分别为方程x?5x?3?0的两根，则两圆的位置2关系是（） a 相交 b相离 c 相切 d 内含8．四边形中，有内切圆的是（） a 平行四边形b 菱形 c 矩形 d 以上答案都不对9．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于d，连结ad，那么（）a?∠cadcb.10．下面命题中，是真命题的有（）①平分弦的直径垂直于弦；②如果两个三角形的周长之比为3∶2，则其面积之比为3∶4；③圆的半径垂直于这个圆的切线；④在同一圆中，等弧所对的圆心角相等；⑤过三点有且只有一个圆。
初三数学人教版九年级上册第23章旋转全章练习题含答案
2018-2019 初三数学人教版九年级上册第23章旋转全章练习题1．下列运动形式属于旋转的是( C )A．在空中上升的氢气球 B．飞驰的火车C．钟表上钟摆的摆动 D．运动员掷出的标枪2. 如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( B )A．点M B．点N C．点P D．点Q3. 将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，那么将两位数“69”旋转180°，得到的数字是( A )A．69 B．96 C．66 D．994. 如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点的个数是( C )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5. 已知点P(－1，m2＋1)与点Q关于原点对称，则点Q一定在( D )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6. 下列图形中是中心对称图形的有( B )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7. 将如图所示的正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是( C )8. 如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处( B )9. 如图所示的两个三角形是经过什么变换得到的( D )A．旋转 B．旋转和平移 C．轴对称 D．平移和轴对称10. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，0)，B(－2, 3)，C(－3，1)．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为( A )A．(2，1) B．(2，3) C．(4，1) D．(0, 2)11. 如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC 上的点P的坐标为(a，b)，那么它的对应点P′的坐标为( C )A．(a－2，b) B．(a＋2，b) C．(－a－2，－b) D．(a＋2，－b) 12．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝__30__度．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm，若以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°后，点B落在B′处，则BB′＝__45__cm.14．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__12__．15．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C＝__105__度．16．如图，已知抛物线C1，抛物线C2关于原点对称．若抛物线C1的解析式为y＝34(x＋2)2－1，那么抛物线C2的解析式为__y＝－34(x－2)2＋1__．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝__5__．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC>AC，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD.将△BDE绕点E顺时针旋转180°得到△CFE，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G.小明得出了以下猜想：①DF＝AC；②四边形ADFC是菱形；③线段DF与BC互相垂直平分；④△ABC≌△GCD.其中一定成立的是__①③__．(请填上所有正确结论的序号)19. 如图，已知△ACE，△ABF都是等腰直角三角形，且∠BAF＝∠CAE＝90°.那么你能利用旋转的知识说明FC＝BE吗？解：∵AE，AB绕A点顺时针旋转90°分别与AC，AF重合，∴△AFC可看作是△ABE绕A点顺时针旋转90°得到的，∴FC＝BE20. 如图，已知AC⊥BC，垂足为点C，AC＝4，BC＝33，将线段AC绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．解：(1)由题意，知AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4.故答案是：4.(2)作DE⊥BC于点E，图略. ∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，∴Rt△CDE中，DE＝12DC＝2, CE＝3DE＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝3.∴Rt△BDE中，BD＝DE2＋BE2＝22＋（3）2＝7.21. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)图中哪两个三角形可以通过旋转得到？怎样进行旋转？(3)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝DC，∠B＝∠CDF＝90°.在△CBE和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF，BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.(2)∵△CBE≌△CDF，∠BCD ＝90°， ∴△CBE 可以通过△CDF 绕点C 逆时针旋转90°得到，△CDF 可以通过△CBE 绕点C 顺时针旋转90°得到．(3)GE ＝BE ＋GD 成立. 理由如下：由(1)知△CBE≌△CDF, ∴∠BCE ＝∠DCF ，∴∠BCE ＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.在△ECG 和△FCG中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF，GC ＝GC ，∴△ECG≌△FCG(SAS ). ∴GE＝GF.∴GE＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(－2，0)，等边△AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.(1)△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是__2__个单位长度；△AOC 与△BOD 关于直线对称，则对称轴是__y 轴__；△AOC 绕原点O 顺时针旋转得到△DOB ，则旋转角度可以是__120__度；(2)连接AD ，交OC 于点E ，求∠AEO 的度数．解：(2)∵等边△AOC 绕原点O 顺时针旋转120°得到△DOB，∴OA ＝OD ，∵∠AOC ＝∠BOD ＝60°，∴∠DOC ＝60°，即OE 为等腰△AOD 的顶角的平分线，∴OE 垂直平分AD ，∴∠AEO ＝90°。
部编数学九年级上册专题19旋转模型之奔驰型(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题19 旋转模型之奔驰型1．如图，P 是等边三角形ABC 外一点，3PA =，4PB =，5PC =，求BPA Ð的度数．【解答】解：ABC D Q 为等边三角形，BA BC \=，60ACB Ð=°，可将APC D 绕点C 顺时针旋转60°得BCD D ，连PD ，如图，4BD AP \==，5CD PC ==，60PCD Ð=°，DBC PAC Ð=Ð，PCD \D 为等边三角形，5PD PC \==，在PBD D 中，5PC =，3BD =，4PB =，222PD PB PA \=+，PBD \D 为直角三角形，且90PBD Ð=°，360270PBC CBD PBC PAC PBD \Ð+Ð=Ð+Ð=°-Ð=°，3602706030APB \Ð=°-°-°=°．2．已知，如图，P 为等边三角形ABC 内一点，3PA =，4PB =，5PC =，求ABC D 的面积．【解答】解：ABC D Q 为等边三角形，BA BC \=，可将BPC D 绕点B 逆时针旋转60°得BEA D ，连EP ，且延长BP ，作AF BP ^于点F ．如图，4BE BP \==，5AE PC ==，60PBE Ð=°，BPE \D 为等边三角形，4PE PB \==，60BPE Ð=°，在AEP D 中，5AE =，3AP =，4PE =，222AE PE PA \=+，APE \D 为直角三角形，且90APE Ð=°，9060150APB \Ð=°+°=°．30APF \Ð=°，\在直角APF D 中，1322AF AP ==，PF AP ==\在直角ABF D 中，222223(4(252AB BF AF =+=++=+．则ABC D ==．3．P 是等边ABC D 内一点，3PA =，4PB =，150APB Ð=°，求PC 的长．【解答】解：ABC D Q 为等边三角形，CA CB \=，60ACB Ð=°，\把CBP D 绕点C 逆时针旋转60°得到CAE D ，如图，连接EP ，CE CP \=，4AE BP ==，60ECP Ð=°，CME \D 为等边三角形，EP CP \=，60CPE Ð=°，150APB Ð=°Q ，1506090APE \Ð=°-°=°，在Rt APE D 中，3AP =，5AE =，4PE \==，4PC \=．4．如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且3PA =，4PB =，5PC =，若将APB D 绕着点B 逆时针旋转后得到CQB D ．（1）求点P 与点Q 之间的距离．（2）求APB Ð的度数．【解答】解：（1）连接PQ ，由题意可知ABP CBQD @D 则4QB PB ==，ABP CBQ Ð=Ð，ABC D Q 是等边三角形，60ABC ABP PBC \Ð=Ð+Ð=°，60PBQ CBQ PBC \Ð=Ð+Ð=°，故BPQ D 为等边三角形，所以4PQ QB PB ===；（2）ABP CBQ D @D Q ，3QC PA \==，APB BQC Ð=Ð，又4PQ =Q ，5PC =，利用勾股定理的逆定理可知：222PQ QC PC \+=，则PQC D 为直角三角形，且90PQC Ð=°，BPQ D Q 为等边三角形，60BQP \Ð=°，150BQC BQP PQC \Ð=Ð+Ð=°150APB BQC \Ð=Ð=°5．如图①，在等腰Rt AOB D 中，90AOB Ð=°，OA OB =，点M ，N 分别是边AO ，BC 上的点，且OM ON =，连接MN ，如图②，将MON D 绕点O 顺时针旋转一定角度，使//AM ON ，连接AM ，BN ．（1）求证：MOA NOB D @D ；（2）若30AON Ð=°，3BN =，求AOB D 的面积．【解答】（1）证明：在等腰Rt AOB D 中，90AOB Ð=°，OA OB =，M ，N 分别是边AO ，BC 上的点，且OM ON =，90AOB MON Ð=Ð=°，AOM BON \Ð=Ð，在MOA D 和NOB D 中，,,,OM ON AOM BON OA OB =ìïÐ=Ðíï=î()MOA NOB SAS \D @D ；（2）解：//AM ON Q ，30AON Ð=°，30MAO AON \Ð==°，903060AOM Ð=°-°=°，90MAO AOM \Ð+Ð=°，90AMO \Ð=°，根据（1）可知3BN AM ==，AO \=，BO \=162AOB S AO BO D \=´´=．6．已知ABC D 为等边三角形，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且AD AE =，将ADE D 绕点A 旋转至如图所示的位置，连接BD ，CE 交于点Q ．（1）求证：ABD ACE D @D ；（2）连接AQ ，求证：QA 是BQE Ð的平分线．【解答】证明：（1）ABC D Q 为等边三角形，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且AD AE =，AB AC \=，ADE D 为等边三角形，60BAC DAE \Ð=Ð=°，BAD CAE \Ð=Ð，()BAD CAE SAS \D @D ；（2）如图，过A 分别作AM CE ^于点M ，AN BD ^于点N ，BAD CAE D @D Q ，BD CE \=，BAD CAE S S D D =，AM AN \=，A \在BQE ÐÐ的平分线上，即QA 是BQE Ð的平分线．7．如图①，ABC D 和ADE D 中，90BAC DAE Ð=Ð=°，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，45ABC ADE Ð=Ð=°．（1）如图②，将ADE D 绕点A 逆时针旋转到如图位置，若30BAD Ð=°，求BAE Ð的度数；（2）如图②，将ADE D 绕点A 逆时针旋转过程中，当旋转角度a = 45°或225° 时，直线AC 与DE 垂直(0360)a °<°…；（3）如图③，ADE D 绕点A 在平面内自由旋转，连接BD ，且4AD =，10AB =，求BD 的最大值和最小值．【解答】解：（1）30BAD Ð=°Q ，90DAE Ð=°，3090120BAE BAD DAE \Ð=Ð+Ð=°+°=°．（2）①垂足在线段AC 上时，AC DE ^Q ，45ADE Ð=°，45DAC \Ð=°，90BAC Ð=°Q ，45BAD \Ð=°，即旋转角度45a =°；②垂足在线段AC 延长线上时，AC DE ^Q ，45ADE Ð=°，45DAH \Ð=°，90BAC Ð=°Q ，\旋转角度9018045225a =°+°-°=°；故答案为：45°或225°．（3）当AD 旋转到射线BA 的延长线上时，BD 最大，此时10414BD AB AD =+=+=．当AD 旋转到线段AB 上时，BD 最小，此时1046BD AB AD =-=-=．BD \的最大值是14，最小值是6．8．（1）如图1，点P 是等边ABC D 内一点，已知3PA =，4PB =，5PC =，求APB Ð的度数．要直接求A Ð的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作60PAD Ð=°使AD AP =，连接PD ，CD ，则PAD D 是等边三角形．\ PD 3AD AP ===，60ADP PAD Ð=Ð=°ABC D Q 是等边三角形AC AB \=，60BAC Ð=°BAP \Ð= ABP ACD\D @D 4BP CD \==， ADC=ÐQ 在PCD D 中，3PD =，5PC =，4CD =，222PD CD PC +=PDC \Ð= °6090150APB ADC ADP PDC \Ð=Ð=Ð+Ð=°+°=°（2）如图3，在ABC D 中，AB BC =，90ABC Ð=°，点P 是ABC D 内一点，1PA =，2PB =，3PC =，求APB Ð的度数．【解答】解：（1）如图2，作60PAD Ð=°使AD AP =，连接PD ，CD ，则PAD D 是等边三角形．3PD AD AP \===，60ADP PAD Ð=Ð=°，ABC D Q 是等边三角形，AC AB \=，60BAC Ð=°，BAP CAD \Ð=Ð，()ABP ACD SAS \D @D ，4BP CD \==，APB ADCÐ=ÐQ 在PCD D 中，3PD =，5PC =，4CD =，222PD CD PC +=90PDC \Ð=°6090150APB ADC ADP PDC \Ð=Ð=Ð+Ð=°+°=°故答案为：PD ，CAD Ð，APB Ð，90．（2）解：90ABC Ð=°Q ，BC AB =，\把PAC D 绕A 点逆时针旋转90°得到DBA D ，如图，3BD PC \==，2AD AP ==，90PAD Ð=°，PAD \D 为等腰直角三角形，DP \==，45DPA Ð=°，在BPD D 中，2PB =，PD =，3DB =，22213+=Q ，222AP PD BD \+=，BPD \D 为直角三角形，90BPD \Ð=°，9045135APB APD DPB \Ð=Ð+Ð=°+°=°．9．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，以BP 为边作60PBQ Ð=°，且BP BQ =，连接CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并说明理由．（2）若3PA =，4PB =，5PC =，连接PQ ，判断PQC D 的形状并说明理由．【解答】解：（1）AP CQ =．理由如下：60PBQ Ð=°Q ，且BQ BP =，BPQ \D 为等边三角形，60ABP CBP Ð+Ð=°Q ，60CBQ CBP Ð+Ð=°，CBQ ABP \Ð=Ð，在ABP D 和CBQ D 中，AB CB ABP CBQ BP BQ =ìïÐ=Ðíï=î，()ABP CBQ SAS \D @D ，AP CQ \=；（2）Q 等边ABC D 和等边BPQ D 中，4PB PQ ==，3PA QC ==，2225PQ CQ +=Q ，225PC =，222PQ CQ PC \+=PQC \D 为直角三角形（勾股定理逆定理）．10．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求APB Ð度数．小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP C ¢，连接PP ¢，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2)．请回答：图1中APB Ð的度数等于 150° ，图2中PP C Т的度数等于 ．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(1)，连接AO ．如果点B 是x 轴上的一动点，以AB 为边作等边三角形ABC ．当(,)C x y 在第一象限内时，求y 与x 之间的函数表达式．【解答】解：阅读材料：把APB D 绕点A 逆时针旋转60°得到ACP D ¢，由旋转的性质，3P A PA ¢==，4P D PB ¢==，60PAP Т=°，APP \D ¢是等边三角形，3PP PA \¢==，60AP P Т=°，22223425PP P C ¢+¢=+=Q ，22525PC ==，222PP P C PC \¢+¢=，90PP C \Т=°，6090150AP C AP P PP C \Т=Т+Т=°+°=°；故150APB AP C Ð=Т=°；故答案为：150°；90°；如图3，在y 轴上截取2OD =，作CF y ^轴于F ，AE x ^轴于E ，连接AD 和CD ，Q 点A 的坐标为(1)，，2AO OD \==，30AOE Ð=°，60AOD \Ð=°．AOD \D 是等边三角形，又ABC D Q 是等边三角形，AB AC \=，60CAB OAD Ð=Ð=°，CAD OAB \Ð=Ð，ADC AOB \D @D ．150ADC AOB \Ð=Ð=°，又120ADF Ð=°Q ，30CDF \Ð=°．DF \=．(,)C x y Q 且点C 在第一象限内，2y \-=，2(0)y x \=+>．11．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．（1）探究发现如图（1），P 是等边ABC D 内一点，3PA =，4PB =，5PC =．求APB Ð的度数．解：将APC D 绕点A 旋转到APB D ¢的位置，连接PP ¢，则APP D ¢是 等边 三角形．3PP PA ¢==Q ，4PB =，5PB PC ¢==，222P P PB P B BPP ¢¢\+=\D ¢为 三角形．APB \Ð的度数为 ．（2）类比延伸在正方形ABCD 内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，若2PA =，4PB =，135APB Ð=°，求PC 的长；（3）拓展迁移如图（3），在四边形ABCD 中，线段AD 与BC 不平行，AC BD a ==，AC 与BD 交于点O ，且60AOD Ð=°，比较AD BC +与a 的大小关系，并说明理由．【解答】解：将APC D 绕点A 旋转到APB D ¢的位置，连接PP ¢，则APP D ¢是等边三角形．3PP PA ¢==Q ，4PB =，5PB PC ¢==，222P P PB P B ¢¢\+=，BPP \D ¢为直角三角形，APB \Ð的度数为9060150°+°=°故答案为：等边；直角；150°（2）如图1，把ABP D 绕点B 顺时针旋转90°得到BCP D ¢，则4P B PB ¢==，2P C PA ¢==，Q 旋转角是90°，90PBP \Т=°，BPP \D ¢是等腰直角三角形，PP \¢==45PP B Т=°，135APB Ð=°Q ，135CP B APB \Т=Ð=°，1354590PP C \Т=°-°=°，在Rt △PP C ¢中，由勾股定理得，6PC ===；（3）AD BC a +>，理由如下：如图2所示，以AC 为边向左做等边三角形PAC ，连接PB ，则PA PC AC BD a ====，60PAC Ð=°，60AOD Ð=°Q ，//PA BD \，\四边形APBD 是平行四边形，AD PB \=，在PBC D 中，可得：PB BC PC +>，即AD BC a +>．12．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，P 是ABC D 内的一点，且3PA =，1PB =，2PC =，求BPC Ð的度数．小强在解决此题时，是将APC D 绕C 旋转到CBE D 的位置（即过C 作CE CP ^，且使CE CP =，连接EP 、)EB ．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P 是等边ABC D 内一点，3PA =，4PB =，5PC =，求APB Ð的度数．【解答】解：（1）如图1，由题意得：90PCE Ð=°2PC EC ==；3BE PA ==；由勾股定理得：222228PE =+=；21PB =Q ，29BE =，222BE PE PB \=+，90BPE \Ð=°，45CPE Ð=°Q ，135BPC \Ð=°．（2）如图2，将ABP D 绕点A 逆时针旋转60°到ACQ D 的位置，连接PQ ；则AP AQ =，60PAQ Ð=°，4QC PB ==；APQ \D 为等边三角形，60AQP Ð=°，3PQ PA ==；22223425PQ CQ +=+=Q ，22525PC ==，222PQ CQ PC \+=，90PQC \Ð=°，6090150AQC Ð=°+°=°，150APB AQC \Ð=Ð=°．13．如图，P 是等腰ABC D 内一点，AB BC =，连接PA ，PB ，PC ．（1）如图1，当90ABC Ð=°时，将PAB D 绕B 点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；（2）在（1）中，若2PA =，4PB =，6PC =，求APB Ð的大小；（3）当60ABC Ð=°时，且3PA =，4PB =，5PC =，则APC D 3+ （直接填答案）【解答】解：（1）如图1所示，△P CB ¢即为所求；（2）如图2，连接PP ¢．Q 将PAB D 绕B 点顺时针旋转90°，与△P CB ¢重合，PAB \D @△P CB ¢，90PBP Т=°，BP BP \=¢，APB CP B Ð=Т，2AP CP =¢=，PBP \D ¢是等腰直角三角形，PP \¢==45BP P Т=°．在CPP D ¢中，PP ¢=Q ，2CP ¢=，6PC =，222PP CP PC \¢+¢=，\△CP P ¢是直角三角形，90CP P Т=°，4590135CP B BP P CP P \Т=Т+Т=°+°=°；（3）如图3①，将PAB D 绕A 点逆时针旋转60°得到△1P AC ，连接1PP ，APB \D @△1APC ，1AP AP \=，160PAP Ð=°，14CP BP ==，1PAP \D 是等边三角形，13PP AP \==，5CP =Q ，14CP =，13PP =，22211PP CP CP \+=，\△1CPP 是直角三角形，190CPP Ð=°，1132APP S D \=´=，113462PP C S =´´=V ，1116APP PP C APCP S S S D \=+=+V 四边形；APB D @Q △1APC ，16ABP APC APCP S S S D D \+==+四边形；如图3②，同理可求：ABP D 和BPC D 的面积的和11434622=´´´=+，APC D 和BPC D 的面积的和11534622=´´´=+，ABC \D 的面积1666)92=+++++=+，APC \D 的面积ABC =D 的面积APB -D 与BPC D 的面积的和9)6)3=-+=+．3+．14．（1）如图①，P 是正方形ABCD 内一点，连接PA ，PB ，PC ．①画出将PAB D 绕点B 顺时针旋转90°得到的△P CB ¢；②若2PA =，4PB =，135APB Ð=°，求PC 的长．（2）如图②，设P 是等边三角形ABC 内的一点，3PA =，4PB =，5PC =，则APB Ð的度数是 150° ．【解答】解：（1）①如图，△P CB¢为所作；②连接PP¢，如图，DQ绕点B顺时针旋转90°得到的△P CBPAB¢，\=¢=，2BP BP4BP C APBТ=Ð=°，Т=°，135P C PAPBP¢==，90\D¢为等腰直角三角形，BPP\Т=°，PP¢==，BP P45PP C\Т=°-°=°，1354590PC===．在Rt△PP C¢中，6（2）ABCQ为等边三角形，DBA BC\=，D，可将BPCD绕点B逆时针旋转60°得BEA如图②，连接EP，4\==，5BE BPPBEÐ=°，==，60AE PC\D为等边三角形，BPE\==，604PE PBÐ=°，BPE在AEP D 中，5AE =，3AP =，4PE =，222AE PE PA \=+，APE \D 为直角三角形，且90APE Ð=°，9060150APB \Ð=°+°=°．故答案为150°．15．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P 是正方形ABCD 内一点，连结PA ，PB ，PC 现将PAB D 绕点B 顺时针旋转90°得到的△P CB ¢，连接PP ¢．若PA =3PB =，135APB Ð=°，则PC 的长为 ABCD 的边长为 ．（变式猜想）（2）如图2，若点P 是等边ABC D 内的一点，且3PA =，4PB =，5PC =，请猜想APB Ð的度数，并说明理由．（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形ABCD 中，3AD =，2CD =，45ABC ACB ADC Ð=Ð=Ð=°，则BD 的长度为 ．【解答】解：（1）PAB D Q 绕点B 顺时针旋转90°得到的△P CB ¢，3BP BP \=¢=，P C PA ¢==，90PBP Т=°，135BP C APB Т=Ð=°，BPP \D ¢为等腰直角三角形，45BP P \Т=°，PP ¢==1354590PP C \Т=°-°=°，在Rt △PP C ¢中，由勾股定理得：PC ===，过点A 作AE BP ^交BP 的延长线于E ，如图1所示：135APB Ð=°Q ，18013545APE \Ð=°-°=°，AEP \D 是等腰直角三角形，1AE PE \====，314BE PB PE \=+=+=，在Rt AEB D 中，由勾股定理得：AB ===，故答案为：（2）APB Ð的度数为150°，理由如下：ABC D Q 是等边三角形，AB BC \=，60ABC Ð=°，将BPC D 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BP A ¢，连接PP ¢，如图2所示：则BPP D ¢是等边三角形，4PP BP \¢==，60BPP Т=°，3AP =Q ，5AP PC ¢==，222P P AP AP ¢¢\+=，APP \D ¢为直角三角形，90APP \Т=°，9060150APB APP BPP \Ð=Т+Т=°+°=°；（3）45ABC ACB ADC Ð=Ð=Ð=°Q ，BAC \D 是等腰直角三角形，90BAC \Ð=°，AB AC =，将ABD D 绕点A 顺时针旋转90°，得到ACK D ，连接DK ，如图3所示：由旋转的性质得：3AK AD ==，CK BD =，90KAD Ð=°，DAK \D 是等腰直角三角形，DK \==，45ADK Ð=°，454590CDK ADC ADK \Ð=Ð+Ð=°+°=°，CDK \D 是直角三角形，CK \===BD \=，16．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．（1）如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA =，4PB =，5PC =，求APB Ð的度数．解：将APC D 绕点A 逆时针旋转60°，得到△AP B ¢，连接PP ¢，则APP D ¢为等边三角形．3PP PA ¢==Q ，4PB =，5P B PC ¢==，222P P PB P B \¢+=¢．BPP \D ¢为 直角 三角形．APB \Ð的度数为 ．（2）类比延伸如图2，在正方形ABCD 内部有一点P ，若135APD Ð=°，试判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，将APC D 绕点A 逆时针旋转60°，得到△AP B ¢，连接PP ¢，则APP D ¢为等边三角形．3PP PA ¢==Q ，4PB =，5P B PC ¢==，222P P PB P B \¢+=¢．BPP \D ¢为直角三角形．APB \Ð的度数为9060150°+°=°．故答案为：直角；150°；（2）2222PA PD PB +=．理由如下：如图2，把ADP D 绕点A 顺时针旋转90°得到ABP D ¢，连接PP ¢．则P B PD ¢=，P A PA ¢=，90PAP Т=°，APP \D ¢是等腰直角三角形，22222PP PA P A PA \¢=+¢=，45PP A Т=°，135APD Ð=°Q ，135AP B APD \Т=Ð=°，1354590PP B \Т=°-°=°，在Rt △PP B ¢中，由勾股定理得，222PP P B PB ¢+¢=，2222PA PD PB \+=．17．问题提出（1）如图，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK NK +最小．问题探究（2）在等边三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求APB Ð度数的大小．问题解决（3）如图，矩形ABCD 是某公园的平面图，AB =60BC =米，现需要在对角线BD 上修一凉亭E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．问：是否存在这样的点E ？若存在，请画出点E 的位置，并求出EA EB EC ++的和的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，连接点M 、N ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求．（2）如图2，把APB D 绕点A 逆时针旋转60°得到△AP C ¢，由旋转的性质，3P A PA ¢==，4P C PB ¢==，60PAP Т=°，APP \D ¢是等边三角形，3PP PA \¢==，60AP P Т=°，22223425PP P C ¢+¢=+=Q ，22525PC ==，222PP P C PC \¢+¢=，90PP C \Т=°，6090150AP C AP P PP C \Т=Т+Т=°+°=°；故150APB AP C Ð=Т=°；（3）如图连接AC ，设在ABC D 内一点M ，把ABM D 绕点B 逆时针旋转60°得到GBM ¢D ，由旋转的性质，GB AB ==，BM BM ¢=，GM AM =，GB AB =，60M BM Т=°，60GBA Ð=°，\△M BM ¢、GAB D 是等边三角形，BM MM ¢\=，MA MB MC GM MM MC ¢\++=¢++，根据两点间线段距离最短，可知当MA MB MC GC ++=时最短，GAB D Q 是等边三角形，\以AC 为一边作等边三角形ACF ，MA MB MC \++最小值为BF 的长，此时点M 在线段BF 上，\点M 为CG 、BF 的交点．若点M 与点E 重合，即M 在对角线BD 上，则点M 为BF 与BD 的交点，此时点M （E ）与点B 重合，显然不符合题意，故点M 不在对角线BD 上，即对角线BD 上不存在这样的点E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．18．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求APB Ð的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP C ¢，连接PP ¢，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．（1）请你回答：图1中APB Ð的度数等于 150° ．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA =，1PB =，PD =APB Ð的度数和正方形的边长．【解答】解：（1）如图2，把APB D 绕点A 逆时针旋转60°得到ACP D ¢，由旋转的性质，3P A PA ¢==，4P D PB ¢==，60PAP Т=°，APP \D ¢是等边三角形，3PP PA \¢==，60AP P Т=°，22223425PP P C ¢+¢=+=Q ，22525PC ==，222PP P C PC \¢+¢=，90PP C \Т=°，6090150AP C AP P PP C \Т=Т+Т=°+°=°；故150APB AP C Ð=Т=°；故答案为150°．（2）如图3，把APB D 绕点A 逆时针旋转90°得到ADP D ¢，由旋转的性质，P A PA ¢==，1P D PB ¢==，90PAP Т=°，APP \D ¢是等腰直角三角形，4PP \¢===，45AP P Т=°，22224117PP P D ¢+¢=+=Q ，217PD ==，222PP P D PD \¢+¢=，90PP D \Т=°，4590135AP D AP P PP D \Т=Т+Т=°+°=°，故135APB AP D Ð=Т=°，13545180APB APP Ð+Т=°+°=°Q ，\点P ¢、P 、B 三点共线，过点A 作AE PP ^¢于E ，则114222AE PE PP ==¢=´=，213BE PE PB \=+=+=，在Rt ABE D 中，AB ===。
数学九年级下学期新思路电子版
数学九年级下学期新思路电子版1、12．如图，数轴上的两个点分别表示数a和﹣2，则a可以是（）[单选题] * A．﹣3(正确答案)B．﹣1C．1D．22、12．下列说法正确的是（）[单选题] *A．一个数前面加上“–”号这个数就是负数B．非负数就是正数C．0既不是正数，也不是负数(正确答案)D．正数和负数统称为有理数3、7人小组选出2名同学作正副组长，共有选法（）种。
[单选题] *A、14B、15(正确答案)C、49D、1284、8．修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是（）[单选题] *A．线段可以比较大小B．线段有两个端点C．两点之间，线段最短(正确答案)D．过两点有且只有一条直线5、17、已知点P，且是方程的解，那么点P在（）[单选题] *A. 第一象限B. 第二象限(正确答案)C. 第三象限D. 第四象限6、7．已知点A(－2，y1)，B(3，y2)在一次函数y＝－x＋b的图象上，则( ) [单选题]*A．y1 > y2(正确答案)B．y1 < y2C．y1 ≤y2D．y1 ≥y27、44、如图，AC、BD相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（）[单选题] *A．1对B．2对C．3对(正确答案)D．4对8、若10?＝3,10?＝2，则10的值为( ) [单选题] *A. 5B. 6(正确答案)C. 8D. 99、椭圆的离心率一定（）[单选题] *A、等于1B、等于2(正确答案)C、大于1D、等于010、2．在+3，﹣4，﹣8，﹣，0，90中，分数共有（）[单选题] * A．1个B．2个C．3个(正确答案)D．4个11、5．将△ABC的三个顶点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，则所得图形与原图的关系是( ) [单选题] *A．关于x轴对称B．关于y轴对称(正确答案)C．关于原点对称D．将原图向x轴的负方向平移了1个单位长度12、-120°用弧度制表示为（）[单选题] *-2π/3(正确答案)2π/3-π/3-2π/513、在0°~360°范围中，与-940°终边相同的角是（）[单选题] *140°(正确答案)500°-220°320°14、21．已知集合A={x|－2m}，B={x|m＋1≤x≤2m－1}≠?，若A∩B=B，则实数m的取值范围为___. [单选题] *A 2≤x≤3(正确答案)B 2<x≤3C 2≤x<3D 2<x<315、10．如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用表示左眼，用表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（）．[单选题] *A．（1，0）B（-1，0）(正确答案)C（-1，1）D（1，-1）16、第三象限的角的集合可以表示为（）[单选题] *A. {α|180°<α<270°}B. {α|180°+k·360°<α<270°+k·360°}(正确答案)C. {α|90°<α<180°}D. {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°}17、x3可以表示为（）[单选题] *A. 3xB. x+x+xC. x·x·x(正确答案)D. x+318、46．若a+b＝7，ab＝10，则a2+b2的值为（）[单选题] *A．17B．29(正确答案)C．25D．4919、18．已知条件p:x≤1,条件q;1/x<1 ,则p 是非q成立的（）[单选题] *A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件(正确答案)D．既非充分也非必要条件20、4.小亮用天平称得牛奶和玻璃杯的总质量为0.3546㎏，用四舍五入法将0.3546精确到0.01的近似值为（）[单选题] *A.0.35(正确答案)B.0.36C.0.354D.0.35521、260°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限第三象限(正确答案)第四象限22、7．把点平移到点，平移方式正确的为（）[单选题] *A．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度(正确答案)23、为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的( ) [单选题] *A．中位数B．平均数C．众数(正确答案)D．方差24、10. 如图所示，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清哪条路通往外婆家，那么他一次选对路的概率是(? ? ?)．[单选题] *A．1/2B．1/3(正确答案)C．1/4D．125、10.若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长[单选题] *A. 12(正确答案)B. 13C. 15D. 1426、15.下列数中，是无理数的为（）[单选题] *A.-3.14B.6/11C.√3(正确答案)D.027、1、方程x2?-X=0 是（? ? ）? ? ? ? ? ? 。
新思路辅导与训练数学
新思路辅导与训练数学数学是一门既抽象又具体的学科，对于很多学生来说，数学是一个难以逾越的障碍。
然而，通过新思路的辅导与训练，我们可以帮助学生更好地理解数学，提高他们的数学能力。
新思路辅导与训练数学强调实际应用。
我们相信数学不仅仅是一堆公式和符号的堆砌，而是可以应用到日常生活和实际问题中的工具。
因此，在辅导学生时，我们注重将数学与实际生活相结合，帮助学生理解数学的实际应用场景。
例如，在教授代数时，我们会使用实际问题来引导学生理解未知数的概念，以及如何通过方程式来解决实际问题。
新思路辅导与训练数学注重培养学生的思维能力。
我们认为数学不仅仅是记忆和运用公式的过程，更是培养学生逻辑思维和问题解决能力的途径。
因此，在辅导学生时，我们会通过引导学生思考和解决问题的方式来训练他们的思维能力。
例如，在教授几何时，我们会引导学生通过观察、推理和证明来解决几何问题，从而培养他们的逻辑思维和推理能力。
新思路辅导与训练数学也强调探索和发现的过程。
我们认为数学不仅仅是老师向学生灌输知识，更是学生通过探索和发现来构建自己的数学知识体系的过程。
因此，在辅导学生时，我们会鼓励学生提出问题、思考解决方法，并帮助他们发现问题的规律和解题的思路。
例如，在教授数列时，我们会引导学生通过观察数列的特点和变化规律，来推导出数列的通项公式，从而培养他们的探索和发现能力。
新思路辅导与训练数学还注重启发学生的兴趣。
我们相信学生只有对数学产生浓厚的兴趣，才能更好地投入学习，并取得更好的成绩。
因此，在辅导学生时，我们会通过丰富多样的教学方法和实例，激发学生对数学的兴趣。
例如，我们会通过生动有趣的数学游戏和挑战，让学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高他们的学习积极性和主动性。
以新思路辅导与训练数学，不仅可以帮助学生更好地理解数学，提高他们的数学能力，还可以培养学生的思维能力、探索和发现能力，以及对数学的兴趣。
通过这样的辅导与训练方式，我们相信学生可以在数学学习中取得更好的成绩，并在未来的学习和工作中运用数学解决问题。
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参考答案第二十四章 相似三角形 24.1放缩与相似形1.形状相同的两个2.长度成比例相等3.不一定4.略5.有一组角对应相等6.207.C8.B9.B 10.2(102)210(05)S x x x x x =-=-+<< 11.（1）不相似.A B = 30，28A B ''=BC = 20，18B C ''=而28183020≠ （2）由题意，得3022023020x --=. 解方程，得x = 1.5，或30220x-. 解方程，得x = 9 12.不一定相似。
因为多边形相似不仅要对应边成比例，还要对应角相等。
梯形可能，但是如果按照题中的顺序则不可能24.2（1）比例的性质22173511.2. 7.53.4.135. 3 i.636.27.8.9.15146x a b y a b +=--1310.15 11.12:1312.±厘米14.D 15.1207厘米 16.11 17.（1）5:4:1(2)17 18. 891719三、四 20 x = 2，24.2（2）面积比与线段比的相互转化、黄金分割1.0.52. 22333.24.215.12.36厘米69-7.3:21008.C 9.B 10.C 1.D12.∵AD∥B∥CF ,,,DMEWDDHFCHDQE FBE CHBS SSSS S S∆∆===∴,2FHE DEFBEFS SS∆=∴=13. 1111,,,,222AB AC x BD ED AD x ====∴=+在Rt △ABD 中，由勾股定理，得2222211111,1,12244x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+∴++=+∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221(1),x x AC AB BC∴=⋅-∴=⋅AC BCAB AC=，即点C 是线段AB 的一个黄金分割点。
在21x x =-中，整理，得2110,2x x x -±+-=∴=AC 为线段长，只能取正，AC 10.618,0.6182ACx AB-+=≈∴≈黄金比约为0.618 24.3（1）三角形一边的平行线（性质定理）1.32.53.4米∴..25.2厘米 6.5:17.A 8.0.5，解略9.∴EF ∥DC →AEBC =AF :DF ,DE ∥BC →AD :BD = AE :BC ，∴AF :FD = AD :DB 10.提示：PQ PR PS PI ==PBPD 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AO :OC = OD :O B.又CE ∥AB ，则BO :OEAO :OC ，∴BO :OE = AO :CC = OD :OB ，即OD :OB = BO :O .又OB = 6，OD = 4，即4：6 = 6：OE ，解得OE = 9.又OD = 4，∴DE24.3（2）三角形一边的平行线（性质定理的推论、重心性质） 1.重心 2.这个顶点对边中点距离 3.404.45.4.56(1)1411（2）207.88.3:59.1:210.211.①③④12.C 13.B 14.（1）∵AD ∥BC ，∴DE FDBC FC=FD = 2，112,. 6.624(2)//,33ED DE FEFC DC AD BC BC FC BC FB=∴=∴=∴=-=∴=AE EGBC GB∴=E 是AD 中点，∴AE = DE FE EGFB GB=EF ·GB = C ·BF 15.EF mnm n=+16.略17.（1）延长BE 交AD 的延长线于点M ,AD ∥BC ，,DE DM AF AMEC BC FC BC∴==∵点E 为边DC 的中点，DM = B C.∵BC = 2AD ，∴DM =2AD，∴AM=AD +DM=3AD333(2)///,, 1.222AF AD FM AM EM DE BMAD BC FC AD BF BC BE EC BF∴==∴====∴=5251,,,2144BM BE EF BE BF BF =∴=∴= 24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论 1.平行AD AEBD CE= 2.1:43.5:34.不一定平行5.2:36.67.A 8.B 9.略10.略11.略12.（1）∵AB ⊥AC ,EE ⊥AC ,PD ⊥AB ，∴PE ∥AB ,PD ∥AC ，ENBN∴=,.,,//(2)EP EM EC EN EMPE EC DB DP NM BC PNM BD PM DPBN PM===∴=∴∠=PMM ，∴PN = PM = 213.（1）如图（a ），延长AC 至点E ，使CE = CA ，连接BE .∵C 为OB 中点，∴△BCE ≌△OC A.∴E = OA ，∠E = ∠OA C.∴B ∥OAAP ADEP EB∴=又D 为OA 中点，OA =OB 12AP AD EP AO ∴==1.222AP AP APEP PC AP PC∴==∴=+（2）如图（b ）延长AC 至点H ，使CH = CA ，连接BH .∵∴C 为OB 中点，∴△BCH ≌△CCA ，∠CBH = ∠O = 90°，BH = OA AD AO =14，设AD = t ,OD = 3t ，则BH = OA = OB = 4t .在Rt △BOD中，5BD t=4//,4BP BH tOA BH DP AD t∴===1.:1:15PD BP AD DP ∴=∴=(3) :BC BP n =24.3（4）平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理 1.48112.真3.5:34.51020335. (1) 83(2)1636.D7.A8.B9.（1）AB = 4，BC = 10（2）BE = 910.（1）略（2）∵AD ∥BC ，DG ADBG BE∴=四边形ACED 是平行四边形，CF ∥DE ,AD = CE DF CE DG DFBD BE BG BD∴=⋅∴=11.过A 作FK ∥BC 交CE ,BD 的延长线于点F ,K ，,DA AK EA AFCD BC EB BC∴==两式相加，得到AD AE FK CD BE BC +=，再证KF = 2MN = ,1AD AEBC CD BE +=12.（1）略(2) 233(04)4y x x x =-<<阶段训练11.10:111:102.478620553. 4.235. 1) 26. 8137. 23a 8. 8 9. 110.211.6:112.D 13.B 14.A 15.B 16.略17.略18.略19.（1）证明略(2)221155510210(2)1022222PEFSEF DH t t t t t ⎛⎫=⋅=-⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭∴当t = 2秒时，PEFS存在最大值，最大值为10，此时BP = 3 = 6厘米（3）存在理由如下：①若点E 为直角顶点，如图（a ）所示，此时FE ∥AD ,PE = DH = 2，BP = 3.…∴FE ∥AD PF BP AD BD ∴=2385t t=此比例式不成立，故此种情形不存在②若点F 为直角顶点，如图（b ）所示，此时PE ∥AD ,PF = DH = 2t ,BP = 3，CP 10-3t .∵FF ∥AD PF CP AD CD ∴=210385t t-=③若点P 为直角顶点，如图（c ）所示。
过点E 作EM ⊥BC 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N 则EM = FN = DH = 2，EM ∥FN ∥AD∵EM∥AD，EM BM AD BD ∴=285t BM =557.3444BM t PM BP BM t t t =∴=-=-=在Rt △EMP中，由勾股定理得2222227113(2)416PE EM PM t t t⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭//,FN FN AD AD ∴CN CD =285t CN=5517.10310444CN t PN BC BP CN t t t =∴=--=--=-中，由勾股定理得22222217353(2)1085100416PF FN PN t t t t ⎛⎫==+=+-=-+ ⎪⎝⎭在Rt △PEF 中，由勾股定理得222,EF PE PF =+ hil 2225113353108510021616t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得21833508t t -=，解得 = 0（舍去）280183t ∴=综上所述，当4017t =秒或280183t =秒时，△PEF 为直角三角形24.4（1）相似三角形的判定（相似的传递性、预备定理、判定定理1）1.22.3:23.3625 4. 16255. ACE6.27. 8.9. D 10 .B11.（1）略（2）AE = 612.BM =厘米，解略13.提示：连接CP 证明P = （P ，△FE ∽△PFC 24.4（2）相似三角形的判定定理（2）11.52.33.4.5.86.7.8.9.2B C D A B 10.提示：延长MN ,BC交于点E11.（1）∵∠ADC = ∠B +∠BAD ，∠AC = ∠ADE +∠（DE ，∴∠B +∠BAD = ∠ADE +∠ODE .又∠EDC = ∠BAD ，∴∠B = ∠ADE .∵BA = BC ,DA = DE ，$\therefore \quad \frac {B A }{D A } = \frac {B C }{D E }$又B ∠ADE ，∴△ABC △ADE （2）∵△ABC ∽△ADE AB ACAD AE∴=∠BAC = ∠DAE .又∠BAD +∠DAC = ∠BAC ，∠CAE +∠DAC = ∠DAE ，∴∠BAD = ∠CAE .又AB ACAD AE=△ABD ∽△ACE .∴∠B = ∠ACE .又∵∠B = ∠ADE ，∴∠ADE = ∠ACE .∵∠AE ∠ACE ，∠AOD = ∠BC ，∴△AOD ∽△FOC DA ODCE OC ∴=∴DA ·CC = OD ·CE 12.（1）（M = 26（2）在Rt △AEP 与Rt △ABC中，∠EAP=∠BAC，∴Rt △AEP∽Rt △AB C.EP AP∴BC AC =303404EP EP x x =⋅∴=31254,,516xEP MP x PN BN AB AP MP MP ==∴===---5215050(032)1616PN x x x x =--=-<<（3）①当E 在线段AC 上时，由（2）知1312EM EP =334EMx 1313511.?12161616EM x EN XAM AP MP x x x =⇒===-=-=由题设△AME ∽△ENB ，AM EN ∴111316161321501616x xME NB x x =⇒=-，解得x = 22 = AP .②当E 在线段BC 上时，由题设△AME ∽△ENB ，∴∠AEM = ∠EBN .由外角定理，∠AEC =∠EAB +∠EBN=∠EAB +∠AEM=∠EMP，Rt Rt AC EP ACE EPM CE PM ∴︒⇒=3405045316x CE CE x =⇒=设AP = z , PB= 50由505Rt Rt (50),30303BE BA BEP BAC BE z CE BC BE PB BC ω⇒=⋅=⇒=-∴=-=-5(50).3z - H 503530(50)3CE CE z ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解50530(50)33z =--，得z = 42 = AP 24.4（3）相似三角形的判定定理（3）7.不一定8.略9.15412510.90°，解略11.（1）略（2）∵∴△AEC ∽△BED ，,DE BE DE CEDEC BEA DECOCE AE BE AE ∴=∴=∠=∠∴,DE BE DE CEDEC BEA DECOCE AE BE AE∴=∴=⋅∠=∠∴.DC DEBEA AB BE∴=BE ·DC = AB ·DE 12.（1）△AOD ∽△ODE ，△AOD △BEO ，△ODEC △BEO (2) 2(12)y x x=1或2 24.4（4）直角三角形相似的判断 8.作FG ⊥BD 于G ，证明2BGFG=9.（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADB = ∠DB C.∴∠ADC +∠C = 180°，∠AEB +∠AED = 180°，又∵∠AEB = ∠ADC ，∴∠C = ∠AE D.∴△ADE ∽△DBC （2）∵△ADE ∽△DBC ，22,,AD DBAD BC DB DE CD AD BC CD DB DE CDBDE BC∴=⋅∴⋅=⋅=⋅∴=⋅⋅∠ = ∠CDE ，∴△CDE ∽△BD C.∴∠DCE = ∠DB C.∵∠ADB = ∠DBC ，∴∠DCE ADB24.4（5）相似三角形的判定（5）1.C2.C3.B4.B5.△ACD △ABC 46.86.47.68.29.7210.111.C D = 8厘米，解略12.提示：证明△BPN ∽△CPD ，△BPC ∽△MBC阶段训练2 1.4厘米 2.410.2或2311.2,6或24712.813.C 14D 15.（1）略（2）略16.2aBD b=b 时两三角形相似17.（1）DE = 4厘米，CD =（2）略18.（1）2,AE ECAE EF EC EF AE=⋅∴=∴∠AEF = ∠CEA ，∴△AEF ∽△CE A.∴∠EAF = ∠EC A.∵AD = AC ，∴∠ADC = ∠AC D.∴∠ADC = ∠ACD = ∠DCE +∠ECA = ∠DCE +∠EAF （2）：△AEF ∽△CEA ，AFE = ∠CA B.∵∴DA = DB，∴∠EAF=∠B.∴△EAF∽△CBA AF EFBA AC∴=,,AF EFAC AD AF AD AB EF BA AD=∴=∴⋅=⋅∴DN = AB = 8，BN = AD = 4.∴CN = 6，CD = 10，DM = 4，CM = 6.B C = CD = 10.∴∠ADB = ∠DBC = ∠BD C.∴△ADB ≌△MDB ∴∠DMB = ∠A = 90°，BM = AB = 8.∴BM⊥DC（2）∠C=90,90,MBA MBC CMF BME FMB CMF BME︒︒∠=-∠∠=∠=-∠∴︒CF CM BE BM ∴=1063,4(08)884y y x x x -=∴=+-（3）AE = 0或16或 24.5（1）相似三角形的性质（性质定理1） 1.2:32.63.24厘米 4.125.①③④6.127或27.略8.（1）∴AB = AC ,AD = 11,22AC AE AB =∴AD = AE .∵∠BAD = ∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE .∴∠ABD = ∠ACE .∵DF ⊥AC ,AD = CD ，∴AF = CF .∴∠GAD = ∠ACE .∴∠GAD = ∠ABD ∠GDA=∠ADB，∴△GDA∽△ADB 2(2)AD DGADAD DG BD DB AD DB∴=∴=⋅∴∠CDG = ∠BDC ，∴△DC △DB C.∴∠DBC = ∠DCG ∵AB = AC ，∴∠ABC = ∠AC B.∵∠ABD = ∠ACE ，∴∠ECB = ∠DBC = ∠DCG 9.（1）△AMF ∽△BGM ，△DMGo △DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可）。