寒假七年级第13讲：全等三角形的综合应用

第13讲 全等三角形的综合应用（1）

一、新知探索

证明思路：几何命题都可以表述成这种形式：A （条件） B （结论） 1、分析法：B （结论） C D …… A （条件）

2、翻译法： a

b

A （条件） c

B （结论）

……

z

二、典例剖析

考点一：基本型的应用

例1. 已知：E 是正方形ABCD 边AD 上任意一点，FG⊥BE。

求证：FG=BE 。 证明： 设FG 和BE 交于O

做FM ⊥CD 交BE 于N ∵ABCD 是正方形

∴AD=AB=FM (1)

∠BAE=∠FMG=90° (2)

∵FG ⊥BE ∴∠FON=∠FMG=90° ∵∠OFN=∠MFG

∴△OFN ∽△MFG

∴∠FGM=∠FNO

∵FM ∥AD

∴∠BEA=∠FNO=∠FGM (3)

∴△ABE ≌△MFG(AAS)

∴BE=FG

【变式】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．

求证：① AE ＝CD ； ② 若AC ＝12 cm ，求BD 的长．

（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，

∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．

∴∠D=∠AEC ．

又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA ，

∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．

∴AE=CD ；

（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ，

∴△CDB ≌△AEC （HL ），

∴BD=EC=BC=AC ，且AC=12．

∴BD=6．

例2.在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF.

(1)求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.

A B C D E F G

分析：(1) 两个直角三角形中,一组直角边和斜边对应相等,两直角三角形全等,由题, ∠ABC=90º，所以∠CBF=90º,在Rt△ABE和Rt△CBF中, AE="CF," AB=BC,所以Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2) 由题,AB="BC," ∠ABC=90°,所以∠CAB=∠ACB=45°,所以∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,由(1)知道Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),所以∠BCF=∠BAE=15°,所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

解：(1) ∵∠ABC=90º，

∴∠CBF=90º,

在Rt△ABE和Rt△CBF中,

AE="CF," AB=BC,

∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).

(2) 由题,AB="BC," ∠ABC=90°,

∴∠CAB=∠ACB=45°,

∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,

由(1)知道Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),

∴∠BCF=∠BAE=15°,

∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

变式：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，

∴∠EAD=∠EDA=45°，

∴AE=DE，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，

∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，

∴∠EAB=∠EDC，

∵D是AC的中点，

∴AD=AC，

∵AC=2AB，

∴AB=AD=DC，

∵在△EAB和△EDC中

∴△EAB≌△EDC（SAS），

∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，

∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，

∴BE⊥EC

根据AC=2AB，点D是AC的中点求出AB=CD，再根据△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE，并

求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCE 全等，根据全等三角形对

应边相等可得BE=EC

考点二：全等三角形的综合应用

例3.已知：点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于点O 。

① 求证：AN=BM

② 求: ∠AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 相交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。

例4.如图，A 、B 、C 不在一条直线上时，△ACM,△CBN 都是等边三角形。

AN=BM 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

例5.已知: 正方形ABCG 和正方形CDEF 有公共顶点C 。

试证：BF=DG

例6.已知：如图，AC∥BD，EA 、EB 分别平分∠CAB、∠DBA，CD 过点E 。 法一：证明：

解：在△ACE 和△AFE 中

AC=AF

∠1=∠2

AE=AE

∴△ACE ≌△AFE （SAS ）

∴∠5=∠6 A B C M N O P Q A C

B M

N A B C D E F G C

A E B

D