电磁场与电磁波计算题解
《电磁场与电磁波》(第四版)课后习题解答(全)
第一章习题解答【习题1.1解】222222222222222222222222222222222222cos cos cos cos cos cos 1xx x y z yx y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 矢径r 与轴正向的夹角为，则同理，矢径r 与y 轴正向的夹角为，则矢径r 与z 轴正向的夹角为，则可得从而得证a a b b g g a b g =++=++=++++=++++++++++==++ 【习题1.2解】924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯（）（）－（）(9)(243)19124331514x y z x y z x y z x y ze e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+【习题1.3解】已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++ （1）要使A B ⊥，则须散度 0A B =所以从 1380A B b c =-++=可得：381b c +=即只要满足3b+8c=1就可以使向量错误！未找到引用源。
和向量错误！未找到引用源。
垂直。
（2）要使A B ，则须旋度 0A B ⨯= 所以从1(83)(8)(3)0138xy zx y z e e e A B b c b c e c e b e ⨯==--+++=-可得 b=-3，c=-8 【习题1.4解】已知129x y z A e e e =++，x y B ae be =+，因为B A ⊥，所以应有0A B ∙= 即()()1291290xy z x y ee e ae be a b ++∙+=+= ⑴又因为 1B =; 所以221=； ⑵由⑴，⑵ 解得 34,55a b =±=【习题1.5解】由矢量积运算规则123233112()()()x y zx y z x x y y z ze e e A Ca a a a z a y e a x a z e a y a x e xyzB e B e B e B =?=-+-+-=++取一线元：x y z dl e dx e dy e dz =++则有xy z xyz e e e dlB B B dx dy dzB ?=则矢量线所满足的微分方程为 x y zd x d y d z B B B == 或写成233112()dx dy dzk a z a y a x a z a y a x==---＝常数 求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法k xa a y a a z a d z a a x a a y a d y a a z a a x a d =-=-=-323132132231211)()()( （1）k x a y a z zdzz a x a y ydy y a z a x xdx =-=-=-)()()(211332 （2）由（1）（2）式可得)()(31211y a a x a a k x a d -=)()(21322z a a x a a k y a d -= （3）)()(32313x a a y a a k z a d -= )(32xy a xz a k xdx -=)(13yz a xy a k ydy -= （4）)(21xz a yz a k zdz -=对（3）（4）分别求和0)()()(321=++z a d y a d x a d 0)(321=++z a y a x a d0=++zdz ydy xdx 0)(222=++z y x d所以矢量线方程为1321k z a y a x a =++ 2222k z y x =++【习题1.6解】已知矢量场222()()(2)x y z A axz x e by xy e z z cxz xyz e =++++-+- 若 A 是一个无源场 ，则应有 div A =0即： div A =0y x zA A A A x y z∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂ 因为 2x A axz x =+ 2y A by xy =+ 22z A z z cxz xyz =-+- 所以有div A =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题1.7解】设矢径 r的方向与柱面垂直，并且矢径 r到柱面的距离相等（r ＝a ） 所以，2sssr ds rds a ds a ah πΦ===⎰⎰⎰＝22a h π=【习题1.8解】已知23x y φ=,223y z A x yze xy e =+而 A A A A rot⨯∇+⨯∇=⨯∇=φφφφ)()(2222(6)3203xy zx y ze e e A xy x y e y e xyze x y z x yz xy ∂∂∂∇⨯==--+∂∂∂ 2223[(6)32]x y z A x y xy x y e y e xyze φ∴∇⨯=--+又y x z y x e x e xy ze y e x e 236+=∂∂+∂∂+∂∂=∇φφφφ 232233222630918603xy z x y z e e e A xyx x y e x y e x y ze x yz xy φ∇⨯==-+所以222()3[(6)32]x y z rot A A A x y xy x y e y e xyze φφφ=∇⨯+∇⨯=--+ +z y x e z y x e y x e y x 2332236189+-=]49)9[(3222z y x e xz e y e x x y x+--【习题1.9解】已知 222(2)(2)(22)x y zA y x z e x y z e x z y z e =++-+-+ 所以()()1144(22)0xyzyy x x z z x y z x yzx y z A A A A A A rot A A x y z y z z x x y A A A xz xz y y e e ee e e e e e ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯==-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭-++-+-=由于场A 的旋度处处等于0，所以矢量场A 为无旋场。
工程电磁场与电磁波答案(丁君)
l1 ：y 从 1 到- 1 ，x= z = 2 2
cos q = 1 13 2 19
Þ q = π - arccos(
（4）
1 13 ) 2 19
v v v v v B - C = -3a x + 5a y - 5a z
v v B - C 的单位矢量为：
v v v - 3a x + 5a y - 5a z -3 v 5 v 5 v = ax + ay az v v B-C 59 59 59
v v v v v v m( r - a ) + n( r - b ) + p ( r - c ) = 0 所以得：
v v v v ma + nb + pc r= ， m+n+ p
m, n, p 为实数
1-5 解：设 A 点的坐标为 ( x1 , y1 ) ，B 点坐标为 ( x 2 , y )
v v 则 a ＝ ( x1 , y1 ) ， b ＝ ( x 2 , y 2 ) 有题意得
Þ
y - y1 y 2 - y1 = x - x1 x 2 - x1
则过 A ( x1 , y1 ) ，B ( x 2 , y 2 ) 点的方程为
Þy=
y 2 - y1 (x - x1 ) + y1 x 2 - x1
v v v v 1-6 解：欲使 A, B 互相垂直，则有 A · B = 0
电磁场与电磁波》(第四版 )答案二章习题解答
电磁场与电磁波》(第四版 )答案二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为$\rho=-\frac{4\epsilon U}{d}-4\times 10^{-3}x-2\times 10^{-3}$，式中阴极板位于$x=9$，阳极板位于$x=d$，极间电压为$U$。
如果$U=40V$，$d=1cm$，横截面$S=10cm^2$，求：（1）$x$和$x=d$区域内的总电荷量$Q$；（2）$x=d/2$和$x=d$区域内的总电荷量$Q'$。
解（1）$Q=\int\limits_{0}^{9}\rhoSdx+\int\limits_{d}^{9}\rho Sdx=-4.72\times 10^{-11}C(3d)$2）$Q'=\int\limits_{d/2}^{d}\rho Sdx=-0.97\times 10^{-11}C$2.2 一个体密度为$\rho=2.32\times 10^{-7}Cm^3$的质子束，通过$1000V$的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为$2mm$，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解：质子的质量$m=1.7\times 10^{-27}kg$，电量$q=1.6\times 10^{-19}C$。
由$1/2mv^2=qU$得$v=2mqU=1.37\times 10^6ms^{-1}$，故$J=\rho v=0.318Am^2$，$I=J\pi (d/2)^2=10^{-6}A$2.3 一个半径为$a$的球体内均匀分布总电荷量为$Q$的电荷，球体以匀角速度$\omega$绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解：以球心为坐标原点，转轴（一直径）为$z$轴。
设球内任一点$P$的位置矢量为$r$，且$r$与$z$轴的夹角为$\theta$，则$P$点的线速度为$v=\omega\times r=e_\phi \omegar\sin\theta$。
电磁场与电磁波 课后答案(冯恩信 著)
第一章 矢量场 1.1 z y x C z y x B z y x A ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+= 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d) B C ⨯ ； (e) () A B C ⨯⨯ (f) () A B C ⨯⋅ 解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x BB b -+== ( c) 7=⋅B A ; (d) z y xC B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯ (e) z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯ (f) 19)(-=⋅⨯C B A 1.2 A z =++2 ρπϕ; B z =-+- ρϕ32 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d) B A ⨯ ; (e) B A + 解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(141ˆz b -+-=ϕρ;(c) 43-=⋅πB A (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρπ (e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρ 1.3 A r =+-22 πθπϕ; B r =- πθ 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d) B A ⨯ ; (e) A B + 解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2θππ-+=r b ； (c) 22π-=⋅B A ；(d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯r A B ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r B A 1.4 A x y z =+- 2; B x y z =+-α 3 当 A B ⊥时，求α。
解：当 A B ⊥时， A B ⋅=0, 由此得 5-=α 1.5 将直角坐标系中的矢量场 F x y z x F x y z y 12(,,) ,(,,) ==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。
电磁场与电波计算题解
电磁场与电磁波计算题题解例1 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为：25.1/10m A r a J r c -=求：① 通过半径r=1mm 的球面的电流值。
② 在r=1mm 的球面上电荷密度的增加率。
③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率。
解：①Amm r rmm r d d d r rd J I c 97.31401sin 105.02025.1=====⋅=⎰⎰⎰πϕθθθππ② 因为 5.25.1225)10(1--==⋅∇r r r rd d r J c 由电流连续性方程，得到：38/1058.111m A mm mmr t ⨯-==∇-==∂∂ρ③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率A I td d 97.3-=-=θ例2 在无源的自由空间中，已知磁场强度m A z t a y /)10103(cos 1063.295-⨯⨯=-求位移电流密度d J 。
解：由于0=c J ，麦克斯韦第一方程成为t∂∂=⨯∇ ∴ H tJ d ⨯∇=∂∂=yy H y a ∂∂=294/)10103sin(1063.2m A z t a zH a x y x-⨯⨯-=∂∂=-例3 在无源的区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度m v z a y /)9.201028.6sin(1092-⨯=-求空间任一点的磁感强度B 。
解：由麦克斯韦第二方程E t⨯-∇=∂∂yy E y a ∂∂=z E a y x∂∂= )9.201028.6cos(109.2092z t a x -⨯⨯-=- 将上式对时间t 积分，若不考虑静态场，则有 )9.201028.6cos(109.2092z t a t d tB x -⨯⨯-=∂∂=⎰⎰- T z t a t d x )9.201028.6sin(1033.3911-⨯⨯-=- 例4 已知自由空间中，电场强度表达式为)(cos z t w a E x β-=;求磁场强度的H 表达式。
电磁场与电磁波计算题解
电磁场与电磁波计算题题解例1 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为：25.1/10m A r a J r c -=求：① 通过半径r=1mm 的球面的电流值。
② 在r=1mm 的球面上电荷密度的增加率。
③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率。
解：①Amm r rmm r d d d r rs d J I c 97.31401sin 105.02025.1=====⋅=⎰⎰⎰πϕθθθππ② 因为 5.25.1225)10(1--==⋅∇r r r rd d r J c 由电流连续性方程，得到：38/1058.111m A mm r J mmr t c ⨯-==⋅∇-==∂∂ρ③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率A I td d 97.3-=-=θ例2 在无源的自由空间中，已知磁场强度m A z t a H y /)10103(cos 1063.295-⨯⨯=-求位移电流密度d J 。
解：由于0=c J ，麦克斯韦第一方程成为tDH ∂∂=⨯∇ ∴ H tDJ d ⨯∇=∂∂=yz y x H z y x a a a ∂∂∂∂∂∂=294/)10103sin(1063.2m A z t a zH a x y x-⨯⨯-=∂∂=-例3 在无源的区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度m v z a E y /)9.201028.6sin(1092-⨯=-求空间任一点的磁感强度B 。
解：由麦克斯韦第二方程E tB⨯-∇=∂∂0yzy x E z y x a a a ∂∂∂∂∂∂-=z E a y x∂∂= )9.201028.6cos(109.2092z t a x -⨯⨯-=- 将上式对时间t 积分，若不考虑静态场，则有 )9.201028.6cos(109.2092z t a t d tBB x -⨯⨯-=∂∂=⎰⎰- T z t a t d x )9.201028.6sin(1033.3911-⨯⨯-=- 例4 已知自由空间中，电场强度表达式为)(cos z t w a E x β-=;求磁场强度的H 表达式。
电磁场和电磁波练习(有答案)
电磁场和电磁波练习一、选择题(每题4分，共60分)1.A关于电磁场和电磁波.下列说法正确的是A.电场和磁场总是相互联系，电场和磁场统称为电磁场B.电磁场从发生区域由近及远的传播称为电磁波C.电磁波是一种物质，可在真空中传播.所以平日说真空是没有实物粒子，但不等于什么都没有，可以有“场”这种特殊物质D.电磁波传播速度总是3×108m／s答案：BC2.A建立完整电磁场理论并首先预言电磁波存在的科学家是A.法拉第B.奥斯特C.赫兹D.麦克斯韦答案：D3.A第一个用实验验证电磁波客观存在的科学家是A.法拉第B.奥斯特C.赫兹D.麦克斯韦答案：C4.A任何电磁波在真空中都具有相同的A.频率B.波长C.波速D.能量答案：C5.A在磁场周围欲产生一个不随时间变化的电场区域，则该磁场应按图中的何种规律变化答案：BC6.A甲、乙两个LC振荡电路中，两电容器电容之比C1:C2=1:9，两线圈自感系数之比L1:L2=4:1，则这两个振荡电路发射电磁波的频率之比和波长之比分别为A.f1:f2=4:9，λ1:λ2=9:4B.f1:f2=9:4，λ1:λ2=4:9C.f1:f2=3:2，λ1:λ2=2:3D.f1:f2=2:3，λ1:λ2=3:2答案：C7.A关于麦克斯韦电磁场理论，下列说法正确的是A.在电场周围空间一定存在着磁场B.任何变化的电场周围一定存在着变化的磁场C.均匀变化的磁场周围一定存在着变化的电场D.振荡电场在它的周围空间一定产生同频率的振荡磁场答案：D8.A电磁波在不同介质中传播时，不变的物理量是A.频率B.波长C.振幅D.波速答案：A9.B 下列哪些现象是由于所产生的电磁波而引起的A.用室内天线接收微弱电视信号时，人走过时电视机画面发生变化B.用天线接收电视信号时，汽车开过时电视机画面发生变化C.把半导体收音机放到开着的日光灯旁听到噪声D.在边远地区用无线电话机通活，有时会发生信号中断的现象答案：BC10.B 如图所示，直线MN 周围产生了一组闭合电场线，则A.有方向从M→N迅速增强的电流B.有方向从M→N迅速减弱的电流C.有方向从M→N迅速增强的磁场D.有方向从M→N迅速减弱的磁场答案：D二、填空题(每空3分，共18分)11.A 有一振荡电路，线圈的自感系数L=8μH ，电容器的电容C=200pF ，此电路能在真空中产生电磁波的波长是________m 答案：75.412.A 电磁波在传播过程中，其电场分量和磁场分量总是相互________(填“垂直”、“平行”下同)，而且与波的传播方向________，电磁波也可以发生反射、折射、干涉和衍射.其中长波衍射要比短波衍射________(填“易”、“难”).答案：垂直、垂直、易13.B 如图中，正离子在垂直于匀强磁场的固定光滑轨道内做匀速圆周运动，当磁场均匀增大时，离子动能将________，周期将________.答案：减小、增大三、计算题(每题11分，共22分)14.B 一个LC 振荡电路，电感L 的变化范围是0.1～0.4mH ，电容C 的变化范围是4～90pF ，求此振荡电路的频率范围和产生电磁波的波长范围.答案： 2.65×105Hz~7.65×106Hz, 1130(m)~ 37.7(m)15.C 某卫星地面站向地球同步通信卫星发送无线电波，经它立即转发到另一卫星地面站，测得从发送开始到地面站接收到电磁波的时间为0.24s ，取地球半径6400km.据此条件估算地球的质量为多少千克?(结果取1位有效数字，G=6.67×1011N·m 2／kg 2) 答案：解：由s=ct 可知同步卫星距地面的高度：h=3.6×107(m)由牛顿运动定律可知()()h R T m h R Mm G +⎪⎭⎫ ⎝⎛=+222π故地球质量：M=()=+3224h R GT π()()21137623600241067.6106.3104.614.34⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=6×1024kg。
电磁场与电磁波答案(高等教育出版社)陈抗生_第2版
第一章1.1.,,/)102102cos(1026300p y v k f E m V x t y y E E 相速度相位常数度，频率波的传播方向，波的幅的方向，，求矢量设 --⨯+⨯==ππ解：m /V )x 102t 102cos(10y y E z E y E x E E 26300y 0z 0y 0x --⨯π+⨯π==++=∴ 矢量E 的方向是沿Y 轴方向，波的传播方向是-x 方向；波的幅度 m /V 10E E 3y -==。
s /m 10102102k V ;102k ;MHZ 1HZ 1021022f 826P 266=⨯π⨯π=ω=⨯π===π⨯π=πω=--―――1.2 写出下列时谐变量的复数表示（如果可能的话）)3sin()6sin()()6(sin 1)()5()21000cos(10)()4(sin 2cos 3)()3(sin 10)()2()6sin(6)()1(πωπωωππωωωπω++=-=-=-=-=+=t t t U t t D t t C t t t A tt I t t V（1）解： 3/2/6/)(πππϕ-=-=z vj j e V j 3333sin 63cos 66)3(-=-==-∴πππ（2）解：)2cos(10)(πω--=t t I2)(πϕν-=zj eI j 10102=-=-∴π（3）解：）t t t A ωωsin 132cos 133(13)(-=j eA j 2313)2(+==-πθ则（4）解：)21000cos(10)(ππ-=t t CjeC j 10102-==∴π(5)(6)两个分量频率不同，不可用复数表示―――1.3由以下复数写出相应的时谐变量)8.0exp(4)2exp(3)3()2.1exp(4)2(43)1(j jC j C jC +=-=+=π（1）解：tt j t j t t j t j e j t j ωωωωωωωsin 4cos 4sin 3cos 3)sin )(cos 43()43(-++=++=+t t Ce RE t C t j ωωωsin 4cos 3)()(-==∴（2）解：)2.1cos(4)4()()(2.1-===-t e e RE Ce RE t C t j j t j ωωω（3）解：)8.0t (j )2t (j t j 8.0j j t j e 4e3e )e 4e3(Ce 2+ωπ+ωωω+=+=π得：)sin(3)8.0cos(4)8.0cos(4)2cos(3)()(t t t t Ce RE t C tj ωωωπωω-+=+++==―――1.4 写出以下时谐矢量的复矢量表示00000)cos(5.0)3()sin (cos 8)sin 4cos 3()()2()2cos(sin 4cos 3)()1(x t kz H z t t x t t t E z t y t x t t V t ωωωωωπωωω-=-++=+++=（1）解：00043)(z i y j x r V+-=（2）解：00)43cos(28)cos(5)(z t x t t V πωϕω--+=00430)88()43(285)(54arcsinz j x j z e x e r V++-=-==-πϕϕ其中 （3）解：00)]sin()[cos(5.05.0)(x kz j kz x e r H kz-==-―――1.6 ]Re[,)22(,)21(000000**⨯⋅⨯⋅-+-=+++=B A B A B A B A z j y j x B z j y j x A ，，，求：假定解：j B A B A B A B A z z y y x x 35-=++=⋅0000000000000025)()22(12113)22()32()31()61(z y x B A RE jj j j z y x B A jB A z j y j x B z j y j x j B B B A A A z y x B A zyxz y x-+=⨯--+=⨯--=⋅+--=--++++-==⨯****得到：则：――――1．7计算下列标量场的梯度xyzu xyy x u xz yz xy u z y x u z y x u =++=++=-+==)5(2)4()3(2)2()1(22222222（1）解：u u grad ∇=)(22022022022202220222222z z y x y yz x x z xy z zz y x y y z y x x x z y x ++=∂∂+∂∂+∂∂=（2）解：u u grad ∇=)( 000224z z y y x x -+=(3) 解：u u grad ∇=)(000)()()(z x y y z x x z y+++++=(4) 解：u u grad ∇=)(00)22()22(y x y x y x+++=(5) 解：u u grad ∇=)(000z xy y xz x yz ++=第二章――2.1．市话用的平行双导线，测得其分布电路参数为： R ’=0.042Ωm -1; L ’=5×10-7Hm -1; G ’=5×10-10Sm -1; C ’=30.5PFm -1. 求传播常数k 与特征阻抗Z c . 答：))((C j G L j R jk '+''+'=ωω)()(C j G L j R Z c '+''+'=ωω代入数据可得：k =(1.385-1.453i) ×10-5； Z c= (1.52 -1.44i) ×103Ω2.2．传输线的特征阻抗Z c = 50Ω，负载阻抗Z L = 75 +75j Ω，用公式和圆图分别求：(1)与负载阻抗对应的负载导纳； （2）负载处的反射系数；（3）驻波系数与离开负载第一驻波最小点的位置Z L解：（1）Y L =Z L1=1501j -（2）ΓL=Z ZZ Z C LCL+-=j j 751257525++=171(7+6j) （3）70863.0)7/6arctan()0(==ψ rad离开负载第一驻波最小点的位置 d min =))0(1(4πψλ+=0.3064λ 2.3min1max min max min 80,50,5/,/4,/2,3/8,,I ,I L C L Z Z Z V d l V V ρλλλλ===参看图，负载电压，求驻波系数，驻波最小点位置传输线长度处的输入阻抗以及。
电磁场与电磁波计算题解
电磁场与电磁波计算题解电磁场与电磁波计算题题解例1 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为：25.1/10m A r a J r c -=求：①通过半径r=1mm 的球⾯的电流值。
②在r=1mm 的球⾯上电荷密度的增加率。
③在r=1mm 的球内总电荷的增加率。
解：①Amm r r mm r d d d r rs d J I c 97.31401sin 105.02025.1=====?=?π?θθθππ②因为 5.25.1225)10(1--==r r r rd d r J c 由电流连续性⽅程，得到：38/1058.111m A mm r J mmr t c ?-==??-==??ρ③在r=1mm 的球内总电荷的增加率A I td d 97.3-=-=θ例2 在⽆源的⾃由空间中，已知磁场强度m A z t a H y /)10103(cos 1063.295-??=-求位移电流密度d J 。
解：由于0=c J ，麦克斯韦第⼀⽅程成为tDH ??=?? ∴ H tDyz y x H z y x a a a=294/)10103sin(1063.2m A z t a zH a x y x-??-=??=-例3 在⽆源的区域中，已知调频⼴播电台辐射的电磁场的电场强度m v z a E y /)9.201028.6sin(1092-?=-求空间任⼀点的磁感强度B 。
解：由麦克斯韦第⼆⽅程E tB ?-?=??0yzy xE zy x a a a ??-=z E a y x= )9.201028.6cos(109.2092z t a x --=- 将上式对时间t 积分，若不考虑静态场，则有 )9.201028.6cos(109.209 2z t a t d tBB x -??-=??=?- T z t a t d x )9.201028.6sin(1033.3911-??-=- 例4 已知⾃由空间中，电场强度表达式为)(cos z t w a E x β-=;求磁场强度的H 表达式。
电磁场与电磁波课后习题及答案三章习题解答
(4)r cos'球坐标；
:;(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E中核对。
(1)建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点
3.8
点的电位 解 电位为
L2
(r,0)
X-24兀e0Jr2+z"2
'仝in(z、.r2z2)
4-；°
:?iodz'
_L2
，io I」2(L2)2L2in
a的圆柱体，
(r)=0
Ja-
「(r)二A(r)cos
Lr
(1)求圆柱内、外的电场强度；
(2)这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解(1)由E，可得到r::a时，E0
2
r a时，E_--e^ — [ A(^ —)cos]-e^—[A(r_rrr /'
2 2oo
-erA(1RcoseA(12)sin
「EgS= 9，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生
3.4半径为a的球中充满密度:(r)的体电荷，已知电位移分布为
Dr二亏Aa4
(r-a)
L
1
解：由
r d r
故在
r d r
54
在
r dr
3.5一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体
电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E=er（r.；：a）4，设球内介质为真空。计
解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的
小圆柱面内看作同时具有体密度分别为二订的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具
电磁场与电磁波答案
=
1 r2
∂ ∂r
(r2 sinθ cosφ) +
1 r sinθ
∂ ∂θ
(sin θ
cosθ
cosφ) +
1 r sinθ
∂ ∂φ
(− sinφ) =
2 sinθ cosφ + cosφ − 2sinθ cosφ − cosφ = 0
r
r sinθ
r
r sinθ
er reθ r sinθ eφ
∇× A= 1 ∂ ∂ r2 sinθ ∂r ∂θ
等于零。
解
（1） ∇u
= ex
∂u ∂x
+ ey
∂u ∂y
+ ez
∂u ∂z
= ex (2x + 3) + ey (4 y − 2) + ez (6z − 6) ；
（2）由 ∇u = ex (2x + 3) + ey (4 y − 2) + ez (6z − 6) = 0 ，得
x = −3 2, y =1 2,z =1
量 ex
3 50
+
ey
4 50
+
ez
5 定出；求 (2, 3,1) 点的方向导数值。 50
解
∇Ψ
= ex
∂ ∂x
(
x
2
yz)
+
e
y
∂ ∂y
(
x
2
yz
)
+
ez
∂ (x2 yz) = ∂z
ex 2xyz + ey x2 z + ez x2 y
故沿方向 el = ex
3 50
电磁场与电磁波(第4版)第1章部分习题参考解答
G G G G G G G G G G G G ( A ⋅ B) A − ( A ⋅ A) B = ( A ⋅ C ) A − ( A ⋅ A)C G G G G G G G G G G 由于 A ⋅ B = A ⋅ C ，于是得到 ( A ⋅ A) B = ( A ⋅ A)C
G ex G ey G ez
G G G G G 解： A × B = 2 3 −4 = −ex 13 + e y 22 + ez 10 −6 − 4 1
G G G G G G G G G ( A × B) ⋅ C = (−ex 13 + ey 22 + ez 10) ⋅ (ex − ey + ez ) = −25 G C = 12 + (−1) 2 + 12 = 3 G G G G G G G G ( A × B) ⋅ C 25 所以， A × B 在 C 上的分量为 ( A × B)C = =− = −14.43 G 3 C
G G G G G G G G G G G r1 = ey − ez 2 ， r2 = ex 4 + ey − ez 3 ， r3 = ex 6 + ey 2 + ez 5 G G G G G G G G G G G 则 R12 = r2 − r1 = ex 4 − ez ， R23 = r3 − r2 = ex 2 + ey + ez 8 ， G G G G G G R31 = r1 − r3 = −ex 6 − ey − ez 7 G G G G G G G 由此可得 R12 ⋅ R23 = (ex 4 − ez ) ⋅ (ex 2 + ey + ez 8) = 0
电磁场与电磁波答案(第四版)
第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C g 和()⨯A B C g ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。
解 （1）23A x y z +-===+e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e（3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由cos AB θ===A B A B g ，得1cos AB θ-=(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos ABθ==A B B g （6）⨯=A C 123502x yz-=-e e e 41310x y z ---e e e（7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x yz---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520x y z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。
电磁场与电磁波(第4版)第3章部分习题参考解答
(2) 根据对称性，可得两个对称线电荷元 ρ l 0 dz ′ 在点 P 的电场为 G G ρl 0dz ' ρ l 0 ρ dz ' G G dE = eρ dEρ = eρ cos θ = eρ 2πε 0 ( ρ 2 + z '2 )3/ 2 2πε 0 ρ 2 + z '2 故长为 L 的线电荷在点 P 的电场为
3 ∞ ρ R0 ρ R02 ρ R02 2ε r + 1 ρ 2 ρr dr + ∫ dr = + = ( ) R0 R R 0 0 3ε ε 6ε rε 0 3ε 0 2ε r 3ε 0 3ε 0 r 2 r 0 3.6 电场中有一半径为 a 、介电常数为 ε 的介质球，已知球内、外的电位函数分
3.1 长度为 L 的线电荷，电荷密度为常数 ρl 0 。(1) 计算线电荷平分面上的电位函 G G 数 ϕ ；(2) 利用直接积分法计算平分面上的 E ，并用 E = −∇ϕ 由(1)验证(2)所得结 果。
图题 3.1 解：(1) 建立如图题 3.1 所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上 任意点 P 的电位为
在 x = 0 处， ϕ = 0 ，故 B = 0 在 x = d 处， ϕ = U 0 ，故 U 0 = − 所以 ϕ = −
ρ0 d 3 U ρd + Ad ，得 A = 0 + 0 d 6ε 0 6ε 0 d
ρ0 x3 6ε 0 d
⎛U ρ d⎞ +⎜ 0 + 0 ⎟x ⎝ d 6ε 0 ⎠
G G ∂ϕ G ⎡ ρ 0 x 2 ⎛ U 0 ρ 0 d ⎞ ⎤ E = −∇ϕ = −ex = ex ⎢ −⎜ + ⎟⎥ ∂x ⎣ 2ε 0 d ⎝ d 6ε 0 ⎠ ⎦
电子科技大学_电磁场与电磁波_典型例题
r r
Q
aU aU dr r2 r
例 同轴线内导体半径为a，外导体半径为b。内外导体间 充满介电常数分别为 1 和 2的两种理想介质，分界面半径为 c。已知外导体接地，内导体电压为U。 求:(1)导体间的 E 和 D 分布； (2)同轴线单位长度的电容 2 分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可 知，在媒质两边 D连续 解：设内导体单位长度带电量为 l 由高斯定律，可以求得两边媒质中，
例 球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为b。其间充 满介电常数为 1和 2的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外 球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。 分析：电场平行于介质分界面，由边界条件 可知，介质两边 E 相等。 解：令电场强度为 E ，由高斯定律
2
a
2 r (1E 2 E) q q E e 2 r 2 (1 2 )r b q 1 1 (r ) E dr ( ) r 2 (1 2 ) r b
例 计算同轴线内外导体间单位长度电容。 解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为 l 和 l ，则内外导体间电场分布为：
l E1 er 2 0 r
b
则内外导体间电位差为：
l b ln U E dr a 2 0 a
2 0 Q C U ln b ln a
3Qer P D 0 E 3 0 E 16 r 2 1 2 ( r Pr ) 0 体极化电荷分布: P P 2 r r 面极化电荷分布: SP P er 3Q 16 a 2 在球心点电荷处： Q Q 4 a 2 3Q
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U， 求空间电位分布及电场强度分布。 解法一：导体球是等势体。
2 电磁场与电磁波第二章习题答案
第二章 习题解答2.5试求半径为a ，带电量为Q 的均匀带电球体的电场。
解：以带电球体的球心为球心，以r 为半径，作一高斯面，由高斯定理S D dS ∙⎰ =Q ，及D E ε= 得，错误！未找到引用源。
r ≤a 时， 由S D dS ∙⎰ =224433Qr a ππ⨯，得34Qr D a π= 304Qr E a πε= 错误！未找到引用源。
r>a 时，由S D dS ∙⎰ =Q ，得34Qr D r π= 304Qr E rπε= 2.5 两无限长的同轴圆柱体，半径分别为a 和b （a<b ），内外导体间为空气。
设同轴圆柱导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为1S ρ和2S ρ，求： 错误！未找到引用源。
空间各处的电场强度；错误！未找到引用源。
两导体间的电压；错误！未找到引用源。
要使ρ>b 区域内的电场强度等于零，则1S ρ和2S ρ应满足什么关系？解：错误！未找到引用源。
以圆柱的轴为轴做一个半径为r 的圆柱高斯面，由高斯定理S D dS ∙⎰ =q及D E ε= 得，当0<r<a 时，由S D dS ∙⎰ =q=0，得D =0，E =0当a ≤r ≤b 时，由S D dS ∙⎰ =q,得D r l π⨯2⨯= 1S ρa l π⨯2⨯D =1S r e r ρ ，10S r aE e rρε= 当b<r 时，由S D dS ∙⎰ =q,得D r l π⨯2⨯= 1S ρa l π⨯2⨯+2S ρb l π⨯2⨯D =12s s r a b e r ρρ+ ，E =120s s r a b e rρρε+ Equation.DSMT4 11ab 00ln b b s s a a a a a E dr dr r b ρρεε∅===⎰⎰ Equation.DSMT4 ρ>0的区域外电场强度为0，即：E =120s s r a b e rρρε+ =0，得1S ρ=2s b a ρ- 2.9 一个半径为a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q的电荷，球壳上又另充了电量为Q 的电荷，已知内部的电场为4()r r E a a= ，计算： = 2 \* GB2 ⑵球的外表面的电荷分布；布；= 4 \* GB2 ⑷球心的电位。
电磁场与电磁波习题解 谢处方 饶克谨编(第三版)
C
C
∫= 2π (−a2 cosφ sinφ + a4 cos2 φ sin2 φ )dφ = π a4
0
4
∫ ∫ S
∇×
� AidS
=
S
� ez
(
∂Ay ∂x
−
∂Ax ∂y
)ie�z dS
∫ ∫ ∫ = y2dS = a 2π r2 sin2 φrdφdr = π a4
S
00
4
∫ � � �
1.19 给定矢量函数 E = ex y + e y x ，试求从点 P1(2,1, −1) 到点 P2 (8, 2, −1) 的线积分
�� Eidl ：
� （1）沿抛物线 x = y2 ；（ 2）沿连接该两点的直线。这个 E 是保守场吗？
��
解（1） ∫ Eidl = ∫ Exdx + Eydy = ∫ ydx + xdy
C
C
C
2
2
∫ ∫ = yd(2 y2 ) + 2 y2dy = 6 y2dy = 14
1
1
（2）连接点 P1(2,1, −1) 到点 P2 (8, 2, −1) 直线方程为
−1/ 2 −1/ 2
2
−1/ 2 −1/ 2
2
=1 24
故有
�
∫ ∇iAdτ
τ
=
1 24
=
�∫
S
�� AidS
1.14
计算矢量
� r
对一个球心在原点、半径为
a
的球表面的积分，并求
∇ir�
对球体积的积分。
解
�∫
r�idS
=
�∫
电磁场与电磁波例题详解
第1章 矢量分析例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。
解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为0)(0200=-+=z y x φ。
其等值面方程为 ：0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z +=例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x++=的矢量线方程。
解： 矢量线应满足的微分方程为 ：zy dzy x dy xy dx 222== 从而有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==z y dz xydx yx dy xy dx 2222解之即得矢量方程⎩⎨⎧=-=2221c y x xc z ，c 1和c 2是积分常数。
例 求函数xyz z xy -+=22ϕ在点〔1，1，2〕处沿方向角3,4,3πγπβπα===的方向导数。
解：由于1)2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂==M M yzy x ϕ, 02)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xzxy yϕ,32)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xyz zϕ,21cos ,22cos ,21cos ===γβα 所以1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γϕβϕαϕϕzy x lM例 求函数xyz =ϕ在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。
解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l++=-+-+-=其单位矢量314731433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5,10,2)2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂xyzxzyyzxϕϕϕ所求方向导数314123cos cos cos =⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ l z y x lMϕγϕβϕαϕϕ例 已知z y x xy z y x 62332222--++++=ϕ，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。
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电磁场与电磁波计算题题解例1 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为：25.1/10m A r a J r c -=求：① 通过半径r=1mm 的球面的电流值。
② 在r=1mm 的球面上电荷密度的增加率。
③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率。
解：①Amm r r mm r d d d r rs d J I c 97.31401sin 105.02025.1=====⋅=⎰⎰⎰πϕθθθππ② 因为 5.25.1225)10(1--==⋅∇r r r rd d r J c 由电流连续性方程，得到：38/1058.111m A mm r J mmr t c ⨯-==⋅∇-==∂∂ρ③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率A I td d 97.3-=-=θ例2 在无源的自由空间中，已知磁场强度m A z t a H y /)10103(cos 1063.295-⨯⨯=-求位移电流密度d J 。
解：由于0=c J ，麦克斯韦第一方程成为tDH ∂∂=⨯∇ ∴ H tDJ d ⨯∇=∂∂=yz y x H z y x a a a ∂∂∂∂∂∂=294/)10103sin(1063.2m A z t a zH a x y x-⨯⨯-=∂∂=-例3 在无源的区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度m v z a E y /)9.201028.6sin(1092-+⨯=-求空间任一点的磁感强度B 。
解：由麦克斯韦第二方程E tB ⨯-∇=∂∂0yzy xE zy x a a a ∂∂∂∂∂∂-=z E a y x∂∂= )9.201028.6cos(109.2092z t a x -⨯⨯-=- 将上式对时间t 积分，若不考虑静态场，则有 )9.201028.6cos(109.2092z t a t d tBB x -⨯⨯-=∂∂=⎰⎰- T z t a t d x )9.201028.6sin(1033.3911-⨯⨯-=- 例4 已知自由空间中，电场强度表达式为)(cos z t w a E x β-=;求磁场强度的H 表达式。
解： E ⨯∇tB∂∂-= 第二方程 且在自由空间中 B H ⋅=μ ∴)(1100x y E za E t H ∂∂-=⨯∇-=∂∂μμ)sin(10z t w a yββμ--= ∴)cos()sin(00z t w wa t d z t w a H y yβμββμβ-=--=⎰ 上式积分的常数项对时间是恒定的量，在时变场中一般取这种与t 无关的恒定分量为0。
例5 有一个广播电台在某处的磁感应强度为m A a x t B z/)]103(1.2[cos 2.080⋅-⨯=μ 媒介为空气，求该处的位移电流密度。
解：在该处无传导电流 tDJ d ∂∂=d J tDB 00μμ=∂∂=⨯∇ ∴ B J d ⨯∇=1μ 在直角坐标系中： )]103(1.2[cos 2.080x t B z -⨯=-μzyxz y x B B B z y x a a a B ∂∂∂∂∂∂=⨯∇ =z x y y z x x yz a yB x B a x B z B a z B y B )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ ∴B J d ⨯∇=01μ=y z a x B )(10∂∂-μ=01μ)1.2)(103(1.2sin 2.080x x t --⨯-μ例6 同轴电缆的内导体外半径a=1mm ，外导体内半径b=4mm ，内外导体之间是空气介质，且电场强度为m V a az t rE r/)10(cos 1008-=① 用麦克斯韦方程求а。
② 求磁感应强度B 。
③ 求内导体表面电荷密度s ρ。
④ 求长度 0≤z ≤1 m 中总的位移电流。
解：-=∂∂tBE ⨯∇ =AzA Arz r r a a r a z r ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂-=0Arz r r a a r a z r ∂∂∂∂∂∂-ϕϕ =)1(z a rA r a z r A ⋅∂∂-⋅∂∂-ϕϕ =)10(sin 100]0)10(sin 100[88z t raz t r a αα--=--+- ∴)10(cos 1010088z a t rd B -⋅+=- ∵ 在内外中间的空气中，ρρ=⋅∇=D J c 00、又由∵ tDH ∂∂=⨯∇ t E B ∂∂=⨯∇001εμ 将B 代入，则：r r a z t ra z t r )10(sin 10100)10(sin 1010018808820αεααμ-⨯-=-- ∴ 8082010100101001⨯=-rr εαμ ∴ 0016210εμα= 9010361-⨯=πε 法拉/米 ∴ 16162109110-⨯=α m H /10470-⨯=πμ∴ 31=α ② ∴ ϕa z t r B )3110(cos 103186-⨯=- ③ 在内外导体之间作园柱形高斯面，有⎰⎰⎰=⋅=⋅vss s d V d S d E ρρε∴ ⎰⎰=z d d a z d d r E s ϕρϕε0⎰⎰⎰⎰=⋅1201020ππϕρϕεz d d a z d d r E s r∴ r E ars 0ερ=∴ r s a z t rr)10(cos 100101830αερ-⨯⨯==)3110(cos 10850z t -⨯εtDJ d ∂∂-= ④ S d tE S d t D I s sd ⋅∂∂=⋅∂∂=⎰⎰0ε=s d a z t rr ⋅⋅--⨯⎰)]10(sin [10100880αε =z d d r z t rϕαε⋅--⎰)10(sin 108100 =⎰⎰--10208100)3110(sin 10πϕαεz d d r z t r =⎰⎰-⨯-1208100)3110(sin 10πϕεz d d z t =)]3110cos(10[cos 106)3110(cos 10688010108010--⨯=-⨯-t t z t επεπ =)6110(sin 61sin 3108-⋅-t例7、在两导体平板（0=z 和d z =）之间的空气中传输的电磁波，其电场强度矢量)cos()sin(0x x k t z dE y e E -=ωπ其中x k 为常数。
试求：（1）磁场强度矢量H 。
（2）两导体表面上的面电流密度s J 。
解：（1） 由麦克斯韦方程可得：z y Ex e E ∂∂-=⨯∇x yEz e∂∂+tB ∂∂-= 对上式积分后得：)sin()cos(0x x k t z d d E x e B -=ωπωπ)cos()sin(0x x k t z dk E z e x -+ωπω 即：)sin()cos(00x x k t z d d E x e H -=ωπωμπ)cos()sin(00x x k t z dk E x e x-+ωπωμ （2） 导体表面上的电流存在于两导体板相向的一面，故在0=z 表面上，法线z e n =，面电流密度=⨯==0z z s He J )sin(00x xk t d Ey e-ωωμπ在d z =表面上，法线z e n -=，面电流密度=⨯-==dz z s He J )sin(00x xk t d Ey e-ωωμπ 例8、一段由理想导体构成的同轴线，内导体半径为a ，外导体半径为b ，长度为L ，同轴线两端用理想导体板短路。
已知在b r a ≤≤、L z ≤≤0区域内的电磁场为：kz r A r e E sin =，kz rB e H cos θ=（1） 确定A 、B 之间的关系。
（2） 确定k 。
（3） 求a r =及b r =面上的s ρ、s J 。
解：由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态。
（1）A 、B 之间的关系。
因为z r EeE ∂∂-=⨯∇θH j kz rAk e ωμθ-==cos所以=BA k j ωμ- （2）因为rH 1=⨯∇zrH r e∂∂-)([θ])(r rH z e ∂∂+θ==kz r Bk r e sin E j ωε 所以 =BA ωεj kkj ωμ-ωεj k = ， μεω=k （3）因为是理想导体构成的同轴线，所以边界条件为：s J H n =⨯ ， s D n ρ=⋅在a r =的导体面上，法线r e n =，所以 =⨯==ar sa Hn J kz r B z e cos kz a B z e a r cos ===⋅==a r sa D n ρkz r A sin εkz aAa r sin ε== 在b r =的导体面上，法线r e n -=，所以 =⨯==br sb Hn J kz r B z e cos -kz bB z e b r cos -===⋅==b r sb D n ρkz r A sin ε-kz bA b r sin ε-==例9、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为：)/(20410)()(m V zj eyje x e t E π---=试求：（1） 工作频率f 。
（2） 磁场强度矢量的复数表达式。
（3） 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。
解：由题意可得：ck ωεμωπ===0020，9106⨯=πω 所以工作频率z H f 9103⨯=（1） 磁场强度矢量的复数表达式为：=⨯=E e H z η1)(10x y je e +η)/(20410m A zj eπ--其中波阻抗Ω=πη1200。
（2） 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。
电磁波的瞬时值为： )/()20cos(410)(]Re[)(m V z t y je x e Ee t E t j πωω---==)/()20cos(410)(01]Re[)(m A z t x je y e He t H t j πωηω--+==所以，坡印廷矢量的瞬时值：=⨯=)()()(t H t E t S )20(cos 810012z t πωη--⨯-)(y je x e 2/0)(m W x je y e =+同理可得坡印廷矢量的时间平均值：2/0]21Re[m W H E av S=*⨯=例10、已知空气中一均匀平面电磁波的磁场强度复矢量为：)/()34()462(m A z x j ee ye x e H z μπ+-++-=试求：（1） 波长、传播方向单位矢量及传播方向与z 轴的夹角。
（2） 常数A 。
（3） 电场强度矢量。
解：（1） 波长、传播方向单位矢量及传播方向与z 轴的夹角分别为：πππ5)3()4(22=+=+=z x k k k ，m k4.02==πλz x z x k e e ke e e 6.08.034+=+=ππ，6.0cos =z θ)34(z x j e +-π故53=z θ（2） 因为0=⋅∇H ，所以0124=-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇j jA zz H y y Hx x HH ππ解之得3=A 。