高中数学选修2-2培优精品讲义
高中数学选修2-2基础精品讲义
ex ' ex
ln x ' 1
x
tan
x
'=
sin cos
x x
'=
1 cos2
x
cot
x
'=
cos sin
x x
'=
1 sin2 x
六、和、差、积、商的导数
七、复合函数的求导法则：复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数 y f (u) ， u g(x) 的导数间的关系为 yx ' yu ' ux ' 。
（1）
y
1 5 x2
+2 log3
x；
（3） f (x) (x2 1)(2x 3) ；
（2） y 5 x3 1 ； x
（4） y= 1 ln x ． 1 ln x
4
考点四：求曲线的切线方程
例
1、求曲线
y
sin(
x) 在点
A(
, 1)
处的切线方程．
2
32
例
2、曲线
y
1
e2
x
在点
(4,
1 A． m / s
44 3
1 B． m / s
43 3
1 C． m / s
23 3
1
D．
2 ，则 lim k 0
f (x0
k) 2k
f (x0 )
________。
考点三：利用公式求导函数
例 1、求下列函数的导数：
（1） y x13 ；
（2）
y
1 x3
；
（4） y log3 x ； （5） y sin x ；
（3） y 4 x ； （6） y 1 ．
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高中数学选修2----2知识点第一章导数及其应用一．导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数在处的瞬时变化率是()y f x =0x x =，000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆我们称它为函数在处的导数，记作或，()y f x =0x x =0()f x '0|x x y ='即=0()f x '000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。
容n P P PT 易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处n PP 00()()n n n f x f x k x x -=-n P P ()y f x =0x x =的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，便是x 的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有()f x '()f x ()y f x =时也记作,即y '0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若(c 为常数)，则；()f x c =()0f x '=2 若,则;()f x x α=1()f x x αα-'=3 若,则()sin f x x =()cos f x x'=4 若,则;()cos f x x =()sin f x x '=-5 若,则()x f x a =()ln xf x a a'=6 若,则()x f x e =()x f x e '=7 若,则()log xa f x =1()ln f x x a '=8 若,则()ln f x x =1()f x x '=2）导数的运算法则我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙1. [()()]()()f xg x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f xg x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3）复合函数求导和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数()y f u =()u g x =y x (())y f g x =(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间单调递增；(,)a b ()0f x '>()y f x =如果，那么函数在这个区间单调递减.()0f x '<()y f x =2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数的极值的方法是:()y f x =(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;0x ()0f x '>()0f x '<0()f x (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;0x ()0f x '<()0f x '>0()f x 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数在上的最大值与最小值的步骤()y f x =[,]a b （1）求函数在内的极值；()y f x =(,)a b （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最()y f x =()f a ()f b 小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明建议收藏下载本文，以便随时学习！知识结构1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
((完整版))高中数学选修2-2知识点总结(最全版)(2),推荐文档
16.类比推理的定义： 根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或 相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程
观察、比较
联想、类推
推测新的结论
18.演绎推理的定义： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法 则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M 是 P②小前提：S 是 M ③结论：S 是 P。 其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；
和差的导数运算
f (x) g(x)' f ' (x) g' (x)
积的导数运算
商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理 和差的积分运算 积分的区间可加性
f (x) g(x)' f ' (x)g(x) f (x)g' (x)
特别地： Cf x ' Cf 'x
f (x) '
g
(
果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根 处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求 f (x) 在 a,b上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 f (x) 在 a,b上的极值；
⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 [注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
y
f (x) 在 x
x0
处的瞬时变化率是
lim
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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数在处存在导数，则A ．B ．C ．D2．已知函数，则 A ． B ． C ．D ．3．曲线在点处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．4．已知函数，则该函数的导函数A ．B ．C ．D ．5，则切点的横坐标为A ．B ．C ．D ．或()f x 1x =011lim ()(3)x f x f x∆→+∆-=∆(1)f '31()f '113()f '3()f '22()3e x f x x =(1)f '=12e 212e 24e 224e l (n )f x x x =-(1,()1)f 0x y +=1x =20x y --=1y =-2s n )i (x xf x x +=()f 'x =22cos x x x +22cos sin x x x x x +-22cos sin x x x xx +-2cos x x -1222-32-36．已知函数，则A ．B ．C ．D ．7．曲线和曲线围成的封闭图形的面积是A ．B ．C ．D ．8．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为 A ．11 B ．16 C ．27D ．329．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．10．已知函数，则不等式的解集是AB ．CD ．11．已知函数的定义域为，为的导函数，且，则A ．B ．C ．D ．12．若函数在上存在最值，则实数的取值范围为A ．B ．21,0()cos ,0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩1()d f x x π-=⎰1-022-2y x =2y x =1323143328)1(f x x x =-+[]1,4-M m M m -21()f x x ax x =++1[,)2+∞a [1,0]-(3,)+∞[0,3][3,)+∞s (i )n f x x x =-()(122)0f x f x ++->(3),-∞(3,)+∞()f x R ()f x '()f x ()(1)()0f x x f x '+->(1)0f =()0f x <()0f x >1()0()x f x -<()e x f x kx =-(1,)+∞k (e,)+∞(,e]-∞-C ．D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________________． 14．已知直线与曲线相切，则实数________________． 15．已知球的体积为，则球的内接圆锥的体积的最大值为________________． 16．若对于任意的正实数，则实数的取值范围为________________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．求下列函数的导数：（1）；（2（318．已知函数，其中，且函数在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求曲线在点处的切线方程．(2e,)+∞(,2e]-∞-32()1x x x f ax -+--=R a 12y x b =-+3()2x f x =-+b =O 36πO x y m 1si (()n (14))f x x x =+-3223(1)(6)8f x x a x ax =-+++a ∈R ()f x 3x =()f x ()f x (1,16)A19．已知函数，．（1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性．20．已知函数，其中为自然对数的底数．（1）试判断函数的单调性；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．21．已知函数． （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数的图象从左到右先减后增，则称为“型”函数，图象的最低点的横坐标称为“点”．已知为“型”函数，求实数的取值范围，并求出此时的“点”．2()(l )14n f x a x x =+-a ∈R 12a =()y f x =(1,()1)f ()f x e ()()x f x a x a =-∈R e ()f x [1,2]x ∈()e xf x -≥a x xax x g ++=ln )()(x g 1[,)2+∞a )(x f )(x f U U x x g x f -=)()(U a U22．已知函数，． （1）试判断函数的单调性；（2）是否存在实数，使函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】C【解析】由题可得，故选C ．2．【答案】B【解析】由题可得，则，故选B ．3．【答案】D【解析】由题可得，则切线的斜率为， 又，所以切线方程为，故选D ． 4．【答案】B【解析】由题意可得，故选B ． 5．【答案】C2(2)1ln f x x ax x =-+a ∈R ()f x a ()f x 0a 00111111lim lim (1)()()()(33)3x x f 'f x f f x f x x ∆→∆→+∆-+∆-==∆∆22226e 6e )e (6(1)xx x x x x x x f '=+=+2()112e f '=11(1)x x x f 'x-=-=)0(1f '=(11)f =-1y =-2222(2cos )(sin )cos sin ()x x x x x x x x xx xf x '+-++-==6．【答案】D【解析】．故选D ．7．【答案】A【解析】画出两曲线的草图（图略），由解得或，所以所求面积为A ． 8．【答案】D【解析】由题可得，所以当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，所以，故选D ．9．【答案】D【解析】由题可得，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立．显然函数在上单调递减，所以，所以，故实数的取值范围为．故选D ．1()d f x x π-=⎰1(21)d cos d 202x x x x π--+=-+=-⎰⎰22y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩23123(2)((2))f x x x 'x =-=+-12x -<<0()f 'x <24x <<0()f 'x >()f x []1,2-[2,4]2()8f m ==-(191)f -=(24)4f =24M =32M m -=22(1)x x f a x '=+-()f x 1[,)2+∞0()f 'x ≥1[,)2+∞212a x x ≥-1[,)2+∞212y x x =-1[,)2+∞3y ≤3a ≥a [3,)+∞11．【答案】C【解析】令，则，所以函数在上单调递增，又，所以当时，当时，所以当时，．又，所以恒成立．故选C ． 12．【答案】A【解析】由题可得，当时，，函数在上单调递减，不存在最值；当时，令，可得，易得函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上存在最值，则，即，所以实数的取值范围为，故选A ． 13．【解析】因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，所以，即，即所以实数14．【答案】或【解析】设切点坐标为，由题可得，所以，解得，当时，；当时，．又点在直线上，所以或，解得或．15．【答案】1(()())g x f x x =-()()(1)()0g x f x x f x '=-'+>()g x R (1)0g =1x >()1()()0g x x f x =->1x <1(0))(()g x x f x =-<1x ≠()0f x >(1)(11)(1)(1)0f f f '+-=>()0f x >()e x f x k '=-0≤k ()e 0xf x k '=-<()f x (1,)+∞0>k ()e 0xf x k '=-=k x ln =()f x (,ln )k -∞(ln ,)k +∞()e xf x kx =-(1,)+∞ln 1k >e k >k (e,)+∞()f x R 23(0)21f x x ax '=-+-≤R 2(2)4(3)(1)0a ∆=-⨯-⨯-≤23a ≤a ≤≤a 1814-(),m n 2()3'x x f =-2312m -=-2m =±2m =6n =-2m =-10n =(),m n 12y x b =-+6122b -=-⨯+1012(2)b =-⨯-+18b =14-32π3【解析】设球的半径为，则，解得．设球的内接圆锥的底面圆的半径为，高为，则，即，所以该圆锥的体积，则，当时，当时，所以当时取得最大值，最大值为． 16．17．【答案】（1）；（2（3） ． 【解析】（1）； （2（318．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题可得，O R 34363R π=π3R =O r (0)h h >2223(3)h r =-+2(6)r h h =-2(6)33V r h h h h ππ==⋅-2(6)3h h π=-(4)V'h h =π-04h <<0V'>4h >0V'<4h =V 2324(64)33ππ⨯⨯-=4cos 4sin 4co )s (x x f 'x x x =-+--()f 'x =221ln x x x-+cos 14(1sin )(4)4cos 4()()sin 4cos x x x x x x x x f '=-++⨯-=-+--32212188()f x x x x =-++16y =266(16())x x a f x a '=-++因为函数在处取得极值， 所以， 解得，所以．（2）因为，所以点在曲线上，由（1）可知，所以，故所求切线方程为．19．【答案】（1）；（2）见解析．（2，令，①当时，，所以函数在上单调递减； ②当时，二次函数的图象开口向下，对称轴方程为，且， 所以当时，，即，所以函数在上单调递减； ③当时，二次函数的图象开口向上，对称轴方程为，且， 其图象与所以当时，，即；()f x 3x =3696(160())3f a 'a =⨯-+⨯+=3a =32212188()f x x x x =-++121218()816f =-++=A ()f x 22(8)641f x 'x x =-+1641)80(2f '=-+=16y =240x y +-=2(2)g x ax ax =+-0a =n (4)l f x x =-()f x (0)+∞，0a <()g x 12x =-2(0)0g =-<0x >()0g x <0()f 'x <()f x (0)+∞，0a >()g x 12x =-2(0)0g =-<x 02a x a-<<()0g x <0()f 'x <当时，，即，所以函数在综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在20．【答案】（1）见解析；（2（2）由题可知对任意的，不等式恒成立，即对任意的，则原问题等价于，．上单调递减， ，， 2a x a-+>()0g x >0()f 'x >()f x 0a ≤()f x (0)+∞，0a >()f x [1,2]x ∈e e x x a x --≥[1,2]x ∈max ()a g x ≥[1,2]x ∈[1,2][1,2]x ∈则当所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 所以函数在21．【答案】（1）；（2），此时的“点”为．【解析】（1）由题可得， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，即， 故实数的取值范围为．22．【答案】（1）见解析；（2）存在，实数的取值范围为．[1,2]x ∈()h x [1,2]()g x [1,2]()g x [1,2]a 3(,]4-∞(0,)+∞U a 2221()1a x x ag x x x x+-'=-+=)(x g 1[,)2+∞()0g x '≥1[,)2+∞20x x a +-≥1[,)2+∞211()022a +-≥43≤a a 3(,]4-∞a (0,2)【解析】（1）由题可得，函数的定义域为，． ①当时，，所以函数在上单调递增． ②当时，令，即，即，．当，即时，，故， 所以函数在上单调递增． 当，即时，方程的两个实根分别为，． 若，则，，此时，所以函数在上单调递增； 若，则，，此时当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．()f x (0,)+∞21(1)1ax x x a f x x'x ---+=-=0a =1()0f x 'xx+=>()f x (0,)+∞0a ≠0()f 'x =210ax x x--=210ax x --=14a ∆=+0∆≤14a ≤-210ax x --≤0()f 'x ≥()f x (0,)+∞0∆>14a >-210ax x --=1x=2x =104a -<<10x <20x <0()f 'x >()f x (0,)+∞0a >10x <20x >2()0,x x ∈0()f 'x >2(),x x ∈+∞0()f 'x <()fx 1(0,2a +12)(a+∞0a ≤()f x (0,)+∞0a >()fx)+∞一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．用数学归纳法证明等式，验证时，左边应取的项是A ．B ．C ．D ．2．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中 A ．大前提错误B ．小前提错误*()()(341233)()2n n n n +++++++=∈N 1n =112+123++1234+++C ．推理形式错误D ．结论错误3．下列推理是演绎推理的是A ．M ，N 是平面内两定点，动点P 满足|PM |＋|PN |＝2a ＞|MN |，得点P 的轨迹是椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝2n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列前n 项和S n 的表达式C ．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 4）所用的最适合的方法是A ．综合法B ．分析法C ．间接证法D ．合情推理法5．已知圆的面积为，由此推理椭圆的面积最有可能是A ．B ．C ．D ．6．用数学归纳法证明“”,则当时,应当在时对应的等式的两边加上A ．B ．C ．D ．7．若数列是等差数列,,则数列也为等差数列,类比这一性质可知,若正项数列是等比数列,且也是等比数列,则的表达式应为A ．B ．C ．D ．12<2a ≥()x y r r 222+=>0πS r 2=⋅()x y a b a b2222+=1>>0πa 2⋅πb 2⋅πab ⋅π()ab 2633*123,2n n n n +++++=∈N 1n k =+n k =333(1)(2)(1)k k k ++++++31k +3(1)k +63(1)(1)2k k +++{}n a 12nn a a a b n+++={}n b {}n c {}n d n d 12nn c c c d n+++=12·nn c c c d n=n d =n d8．实数，，满足，，则的值A．一定是正数B．一定是负数C．可能是0 D．正、负不确定9．观察式子：，，，…，可归纳出式子为A．B．C．D．10．甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则A．甲和乙不可能同时获奖B．丙和丁不可能同时获奖C．乙和丁不可能同时获奖D．丁和甲不可能同时获奖11．对于数25，规定第1次操作为，第2次操作为，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是A．25 B．250C．55 D．13312．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为A．2097 B．1553C．1517 D．2111二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．用反证法证明命题“若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”，反设的内容是a b c0a b c++=0abc>111a b c++213122+<221151233++<222111712344+++<2221111123n n++++<222111112321n n++++<+22211121123nn n-++++<222111212321nn n++++<+3325133+=3313+3355+=,,a b ab∈N,a b_____________.14．已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是_____________. 15．我们知道,在边长为,类比上述结论,在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________.16．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________________． 17．观察以下等式：，，，， ，……可以推测________________(用含有的式子表示，其中为自然数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知，且求证：中至少有一个是负数.19．已知命题：平面上一矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 、AD 所成的角分别为，（如图），则a a 11=311=123+=33129+=1236++=33312336++=123410+++=33331234100+++=1234515++++=3333312345225++++=3333123n ++++=n n αβ．用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明．20．证明下列不等式：（1）当时，求证：； （2）设，，若，求证：.21．观察下表：1， 2，3 4，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15，……问：（1）此表第行的最后一个数是多少？ （2）此表第行的各个数之和是多少？ （3）2017是第几行的第几个数？1cos cos 22=+βα2a>0>0a >0b >0a b ab +-=4a b +≥n n22．已知称为x ，y 的二维平方平均数，称为x ，y 的二维算术平均数，为x ，y 的二维几何平均数，称为x ，y 的二维调和平均数，其中x ，y 均为正数．（1）试判断与的大小，并证明你的猜想；（2）令，，试判断M 与N 的大小，并证明你的猜想；（3）令，，，试判断M 、N 、P 三者之间的大小关系，并证明你的猜想．23．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).（1）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：.2Q =22x y A +=2G =2211H x y=+2G 2H 22M A G =-22N G H =-22M A G =-22N G H =-22P Q A =-1122111512n n a b a b a b +++<+++参考答案1．【答案】D【解析】等式左边的数是从加到，当时，，故此时左边的数为从加到．故选D．2．【答案】A【解析】大前提，“菱形的对角线相等”，小前提，正方形是菱形，结论，所以正方形的对角线相等，大前提是错误的，因为菱形的对角线垂直平分，不一定相等．故推理中错误的是大前提，故选A．3．【答案】A【解析】B，C是归纳推理，D是类比推理，只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理．故选A．4．【答案】B5．【答案】C【解析】把圆看作一种特殊的圆锥曲线，它的长半轴为r，短半轴为r，，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，则．故选C．6．【答案】A【解析】由题可得,当时,左边为,所以在时，对应的等式的两边加上.故选A．7．【答案】D【解析】类比所给性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为.选D．8．【答案】B 13n+1n=34n+=14πS r2=⋅πS ab=⋅9．【答案】C【解析】观察式子：，，，…，可归纳出，分母就是求和的项数，分子就是2乘以项数减去1，则得到的表达式为．故选C ． 10．【答案】C【解析】若甲、乙、丙同时获奖，则甲、丙的话错，乙、丁的话对，符合题意； 若甲、乙、丁同时获奖，则乙的话错，甲、丙、丁的话对，不合题意； 若甲、丙、丁同时获奖，则丙、丁的话错，甲、乙的话对，符合题意； 若丙、乙、丁同时获奖，则甲、乙、丙的话错，丁的话对，不合题意. 因此乙和丁不可能同时获奖，选C ． 11．【答案】D【解析】第1次操作为，第2次操作为，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，…，∴操作结果以3为周期，循环出现．∵2017=3×672+1，∴第2017次操作后得到的数与第1次操作后得到的数相同，∴第2017次操作后得到的数是133，故选D ． 12．【答案】C【解析】根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a ，则第二层的三个数为a +7，a +8，a +9，第三层的五个数为a +14，a +15，a +16，a +17，a +18，这9个数之和为a +3a +24+5a +80=9a +104．由9a +104=1517，得a =157，是自然数．故选C ． 13．【答案】都不能被5整除【解析】反设的内容是“中至少有一个能被5整除”的反面，即中没有一个能被5整除，即都不能被5整除.14．【答案】正方形的对角线相等【解析】由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”是大前提，213122+<221151233++<222111712344+++<22211121123n n n-++++<3325133+=33313355++=,a b ,a b ,a b ,a b“正方形是平行四边形”是小前提，则结论为“正方形的对角线相等”，所以答案是：正方形的对角线相等.15．【答案】16．【答案】甲【解析】若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．故填甲．17．【答案】22 (1)4n n18．【解析】假设都是非负数，因为， 所以，又，所以，这与已知矛盾.所以中至少有一个是负数.19．【解析】命题：长方体中(如图)，对角线与棱、、所成的角分别为，则．证明：∵，，，∴．20．【解析】（1）要证，， 只要证，D CB A ABCD ''''-C A 'AB AD A A 'γβα,,1cos cos cos 222=++γβαC A AB '=αcos C A AD '=βcos C A A A ''=γcos 1cos cos cos 222222222=''=''++=++C A C A C A A A AD AB γβα0><(22<只要证，，由于，只要证，最后一个不等式显然成立，.（2）因为，，，所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以.22．【解析】（1）．证明如下：欲证， 即证，即证24a a +<a <2a >224a a -<<0a b ab +-=0a >0b >111a b+=()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++24≥+=b aa b=a b =4a b +≥22G H ≥22G H ≥2xyx y+1≥x y +≥上式显然成立，所以．（2）． 首先证明：欲证，即证， 即证， 即证， 即证，即证，上式显然成立，等号成立的条件是， 故． 再证： 欲证，当时，上式显然成立， 当时，即证， 而此式子在证明已经成功证明，所以原命题成立．22G H ≥M P N ≥≥M P ≥M P≥x y +≥222222x y x y xy xy +++≥+2()2x y +422()8()x y xy x y +≥+4()0x y -≥x y =M P ≥P N ≥P N ≥x y =x y ≠x y +≥M P ≥（2）当n ＝1时，.当n ≥2时，由（1）知， a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .所以，所以. 综上所述，对任意n ∈N *，成立.111121n n a b n n ⎛⎫<- ⎪++⎝⎭11221111111111111111622334162216n n a b a b a b n n n ⎛⎫⎛⎫+++<+-+-+⋯+-=+-< ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭15412+=1122111512n n a b a b a b +++<+++第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为虚数单位，若复数，则复数的实部是 A ． B ． C ．D ．2．设A ．B CD ．3．已知为虚数单位，若复数，则复数的虚部为 A ． B ． C ．D ．4．已知为虚数单位，则复数A ．B ．C ．D ．5．已知为虚数单位，若，则实数 A ．B ．C ．D ．6．已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为 A ． B ． C ．D ．7．已知复数，为虚数单位，则下列说法正确的是 A ．B ．的虚部为i (2i)(1i)z =-+z 311-3-i 12i 21iz =-+z 11-i -i i 2(1i)i-=22i -+22-22i -i (1i)(i)3i a +-=+a =22-33-i (1i)1i z -=+z i i -2i 2i -21iz =-+i ||2z =z i -C ．对应的点位于复平面的第三象限D ．8的共轭复数，在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限9．已知是复数的共轭复数，其中是虚数单位，则 A ．B ．C ．D ．10．已知复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，若，其中为虚数单位，则复数的虚部为 A ． B ．C ．D ．11．已知为虚数单位，现有下列四个命题：：若复数满足，则； ：复数的共轭复数为； ：已知复数，若，则； ：若表示复数的共轭复数，表示复数的模，则．其中是真命题为 A ． B ． C ．D ．12．已知，且，其中为虚数单位，若复数满足，则的z 2z z ⋅=z iz z 20181i ()1iz +=-i z z ⋅=201812201812-11-1z 2z 2320181(2i)i i i i z -⋅=++++i 2z 15-1535-1i 5-i 1p z (i)(i)5z --=6i z =2p 21iz =+1i -3p 1i z =+1ii (,)a b a b z-+=∈R 2a b +=-4p z z ||z z 2||z z z ⋅=13,p p 14,p p 23,p p 24,p p ,a b ∈R 201912i23i ib a --=+i z |(i)|z a b -+=||z最大值为 AB．C ．D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．若实数，满足，为虚数单位，则________________． 14．设为虚数单位，，若复数是纯虚数，则实数________________． 15．已知________________．16的共轭复数，为虚数单位，若，则在复平面内复数对应的点为________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知复数，，其中为虚数单位，若为实数，求实数的值．18．已知为虚数单位．（1）若复数，求； （2）若复数z 满足，求．x y 3(23)i 5i x y x y -++=+i 2x y -=i a ∈R 2i1ia +-a =i z i 2(1i)12i z -⋅=+z 132i z =-21i()z a a =+∈R i 12z z ⋅a i 12i34iz -=+||z i(4)32i z -=+z19．若复数满足，20．已知复数，，其中为虚数单位．（1）若复数在复平面内对应的点分别为，，求向量对应的复数； （2）若复数满足，求复数．z ||2z =i 1510i z =+234i z =-i 12,z z A B BA z 12111z z z =+z21．已知是复数，与均为实数，其中为虚数单位． （1）求复数；（2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围．22．已知复数，，其中，为虚数单位，且是实数． （1）求实数的值；（2）求复数及的模．参考答案1．【答案】A【解析】由题可得，则复数的实部为．故选A ．z 2i z +2iz-i z 2(i)z a +a 213(10)i z a a -=+22(25)i 1z a a=+--0a >i 12z z +a 12z z 12z z (2i)(1i)3i z =-+=+z 32．【答案】A，故选A ．（或）5．【答案】A【解析】由题可得，则，解得，故选A ．6．【答案】B的共轭复数为，故选B ．7．【答案】D的虚部为，对应的点位D ． 8．【答案】B【解析】其对应的点为，位于第二象限，故选B ． 9．【答案】C【解析】由题可得，故，．故选C ．10．【答案】A【解析】因为，所以，||1z =|1i |||1|1i |z -===+(1i)(i)1(1)i 3i a a a +-=++-=+1311a a +=⎧⎨-=⎩2a =z i -||z =z 1-z 211,(5)5-22018201820181i (1i)()[]i 11i 2z ++====--1z =-1z z ⋅=234i i i i i 1i 10+++=--+=2320182017201812i i i i i 1i i i i +++=+=+=-++所以，所以，因为复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，所以，所以复数的虚部为．故选A ．12．【答案】C【解析】因为，所以， 所以，所以，解得，所以表示的点在以所以．故选C ．13．【答案】【解析】因为实数，满足， 所以，解得，所以．14．【答案】【解析】，若复数是纯虚数，则，即． 15．【答案】1(2i)1i z -⋅=-+11i 31i 2i 55z -+==-+-1z 2z 231i 55z =--2z 15-2019450433i i i i ⨯+===-201912i23i23i ib a --=+=+12i (23i)(i)232)3(i b a a a -=++=-++231322a a b -=⎧⎨+=-⎩24a b =⎧⎨=-⎩|(i)||(24i)|z a b z -+=--=z (2,4)-||z =4x y 3(23)i 5i x y x y -++=+35231x y x y -=⎧⎨+=⎩21x y =⎧⎨=-⎩2x y -4=12i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)a a a ++=+=-+--+2i1ia +-10a -=1a =2i 556-+16．【答案】【解析】因为复数满足，所以，，故在复平面内复数对应的点为．17．【答案】． 【解析】因为复数，，所以，因为为实数，所以，解得． 18．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题可得， 所以． （2）由题可得，所以．1(1,)2--z 2(1i)12i z -⋅=+2212i 12i (12i)i 2i (1i)2i 2i 2z +++-+=====---11i 2-+11i 2z =--z 1(1,)2--23a =132i z =-21i()z a a =+∈R 212(32i)(1i)33i 2i 2i z z a a a ⋅-+=+-=-=(32)(32)i a a ++-12z z ⋅320a -=23a=563i +12i (12i)(34i)12i 34i (34i)(34i)55z ---==-=-++-||z ==32i43i 2463i iz +=+=-++=-63i z =+20．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为复数，，所以复数在复平面内对应的点分别为，，所以，所以向量对应的复数为． （2）因为复数满足，即， 所以复数．21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设， 则，， 因为与均为实数，所以，且， 解得，，所以复数．22．【答案】（1）；（2），． 【解析】（1）因为，所以，214i +55i 2-1510i z =+234i z =-12,z z (5,10)A (3,4)B -(5,10)(3,4)(2,14)BA =--=BA 214i +z 12111z z z =+121212111z zz z z z z +=+=1212(510i)(34i)55i (510i)(34i)2z z z z z +-===-+++-42i -(2,6)i(,)z x y x y =+∈R 2i (2)i z x y +=++i 22i 2i 2i 55z x y x y x y+-+==+--2i z +2i z -20y +=205x y+=4x =2y =-42i z =-3a =12i z z =-12||1zz =213(10)i z a a+-=213(10)i z a a -=+所以，因为是实数，所以，解得或． 因为，所以．（2）由（1）可知，，所以，所以．2212323()[(10)(25)]i (215)i 1(1)az z a a a a a a a a -+++-+-=++--=-12z z +22150a a +-=5a =-3a =0a >3a =11i z =+21i z =-+121i (1i)(1i)2i i 1i (1i)(1i)2z z ++---====--+-+--12|||i |1z z =-=。
高中数学优质课件精选人教版选修2-2课件章末高效整合1
• (2)利用导数研究函数的单调区间是导数的主 要应用之一，其步骤为：
• ①求导数f′(x)； • ②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； • ③确定并指出函数的单调增区间、减区间．
• 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和” 或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
改变量和函数值的改变量的一致性．
• [说明] (1)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是 一个常数，而函数y＝f(x)在一个区间上的导数 指的是这个函数在这个区间上每点处的导数构 成的一个函数，它实际上是“导函数”的简称；
• (2)函数y＝f(x)和它的导数y′＝f′(x)具有相同的 定义域，并且y′＝f′(x)在定义域上点x0处的函数 值就是函数y＝f(x)在点x0处的导数值，这样求 函数在点x0处的导数值就可以先求出这个函数 的导数，再求这个导数在点x0处的函数值； • (3)并不是所有的函数在其定义域上每一点处 都有导数，如函数y＝|x|在点0处就没有导数，
• 2．导数的几何意义
• 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是 曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率， 即k＝f′(x0)． • 利用导数的几何意义求切线方程的关键是搞 清所给的点是不是切点，常见的类型有两种， 一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定 为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可 得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种 类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1， y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切
求曲线 f(x)＝13x3＋x 在点1，43处的切线与坐标轴围
成的三角形面积．
高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章1.31.3.1单调性Word版含解析
高中数学“兀n 審料21 已知函数 y i = x , y 2= x 2, y 3=-.X问题1:试作出上述三个函数的图象. 提示：图象为问题2:试根据上述图象说明函数的单调性. 提示：函数y i = x 在R 上为增函数，y 2= x 2在(一8, 0)上为减函数，在(0,+^ )上为增函数，1 y 3= 一在(一8, 0), (0, )上为减函数. x问题3:判断它们导函数的正负.1 提示：yj = 1>0, y 2‘= 2x ,当 x>0 时，y 2‘ >0,当 x<0 时，y <0, y 3‘=— ~2<o.x问题4:试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.提示：当f ' (x)>0时，f(x)为增函数，当f ' (x)<0时，f(x)为减函数.一般地，在某区间上函数 y = f(x)的单调性与导数有如下关系：导数 函数的单调性 f ' (x)>0 f(x)为该区间上的增函数 f ' (x)<0f(x)为该区间上的减函数上述结论可以用下图来直观理解.导数在研究函数中的应用-新知无师自通[对应学生用书P13]［归纳-升华・领悟112f (x)>O(f (x)<0) f(x)()f (x)f(x)f(x) x 3( )f (x)3x 2f (0)f (x)>0.[1](1)y ax 5 1(a>0)(2)y a x xa (a>0a 1)[ ][ ](1) y5ax 4 a>0y 0 Ry ax 5 1 R(2)ya：xln a ax|n a( x)(a x a x )in aa>1In a>0 a x xa >0[ P14]y >0 Ry a x xaR0<a<1In a<0 a x a x >0y <0 Ry a x xaR[ ]X ix2X 1<X 2f(x 1) f(X 2)yO ax bx高缺爵点题组化.名师一点就通(1)f (x) f (x)f(x) (a b)(a b)高中数学1 •下列函数中，在区间(一1,1)上是减函数的有__________① y= 2—3X2；② y= In x；③:④ y= sin x.解析：显然，函数y= 2—3x2在区间(一1,1)上是不单调的；函数y= In x的定义域为(0,+^ )，不满足题目要求；1—1对于函数y=匚^,其导数y'= --p <0,且函数在区间(—1,1)上有意乂, 所以函数y 1=七在区间(一1,1)上是减函数;x —2函数y= sin x在［—n,彳上是增函数，所以函数y= sin x在区间(—1,1)上也是增函数.答案：③2•证明：函数y= In x+ x在其定义域内为增函数.证明：显然函数的定义域为{x|x>0},1又f f (x) = (In x+ x) '= 1+ 1,x当x>0 时，f' (x)>1>0 ,故y = In x+ x在其定义域内为增函数.3.判断y= ax3—1(a € R)在(— 3,+^ )上的单调性.解：因为y'= 3ax2，又x2>0.(1)当a>0时，y' > 0,函数在R上是增函数；⑵当a<0时，y' < 0,函数在R上是减函数；(3)当a = 0时，y'= 0,函数在R上不具备单调性.(1)y= x3—2x2+ x；(2)f(x) = 3x2—2In x.［思路点拨］先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f' (x)>0, f' (x)<0 ,并与定义域求交集从而得到相应的单调区间.［精解详析］(1)y'= 3x2—4x+ 1.令3/—4x+ 1>0 ,解得x>1 或x<33因此，y= x3—2x2+ x的单调递增区间为(1,+3 ), —^, .再令3/ —4x+ 1<0,解得忘<1.3高中数学(2)y x 3 2x 2f (x) 6x (03x 2 1 x (x)<0 f (x)>02吟>0x'i 3x>0x>*.f (x)<0 1 -<0x<_3 3 0<x 今 x>0f(x)(1)0<x<#专丿.(1)f(x)3)(1f(x)2x 4ln xf(x)f(x)(0(x)>0 ff (x) 2x 2x 2x2x 4f (x)>0 x>0f(x) f(x) f (x)>0 1 x> ex 2 x 2>0f(x)xln x xln x(x>0)In x 1>0x< f (x)In x> 1x>2 (2In x 11.高中数学即函数f(x)= xln x 的单调递增区间为 1,+s .答案：2，+^ /In x + k6.已知函数f(x) =-x (k 为常数，e = 2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y = f(x)在点(1，f(1))处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值； ⑵求f(x)的单调区间.卄, In x + k解：(1)由 f(x)=—,由于曲线y = f(x)在(1, f(1))处的切线与x 轴平行, 所以f '⑴=0，因此k = 1.1(2)由(1)得 f ' (x) = x-x (1 — x — xln x), x € (0,+^ ), 令 h(x) = 1 — x — xln x , x € (0,+^ ), 当 x € (0,1)时，h(x)>0;当 x € (1,+s )时，h(x)<0. 又 e x >0，所以当 x € (0,1)时，f ' (x)>0 ; 当 x € (1 ,+^ )时，f ' (x)<0. 因此f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1 , +m).［例3］已知函数f(x)= x 2 + a (x z 0,常数a € R ).若函数f(x)在x € ［2 , +^ )上是增函数,x 求a 的取值范围.［思路点拨］ 成立问题求解答本题可先对函数求导， 再将问题转化为f ' (x) > 0在x € ［2 , +8 )上恒［精解详析］ 3 a 2x — af ' (x) = 2x — 2= 2 .x x要使f(x)在[2 ,+^ )上是增函数， 则f ' (x)>0在x € [2 ,+s )上恒成立, 2x 3 — a即一7 >0在x € [2 ,+s )上恒成立. ••• x 2>0,・.2x 3 — a >0,••• a w 2x 3在 x € [2 ,+s )上恒成立.得 f (x)= 1 — kx — xln xxxex € (0,(2x)min .3x [2) y2x 33 (2x)min 16a 16・2x 3 16a 16 f (x) ------------------- 2— o (x [2X aa 16.[ ](1) f(x) (a b)f(x) (a b) f(x) (a b)))(a b) f (x) 0f (x)0 (a b)f(x) f(x )max f(x)f(x )min .f(x) x 3 mx 2 m 2 f(x) x 3 mx 2 f (x)3x 2 2mx.(0,3)f (x) 0 x 0 2 3m 3f(x)f(x)9 2.如2)2 x 3m(0,3)bln x (1f (x) (x 2)-入1] (1 (x) x(x 2) x 2 2x(x(1))f(x) 2ax x 2x (0,1] f(x) (0,1]b x(x 2) x (1 1)baf (x)2a $xf(x) (0,1] 1 f (x)0 a ix (0,1]x高中数学1而g(x )= -1在(o,i ］上单调递增，X 二 g (X )max = g(1)=— 1，二 a >— 1. 2当 a =— 1 时，f ' (x) = — 2 + x s . X对 x € (0,1］也有 f '(X )》0.••• a =— 1时，f(x)在(0,1］上为增函数. •••综上，f(x)在(0,1］上为增函数， a 的取值范围是［—1,+^ ).［方法*规律…卜结］ -----------------------------1•在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程 中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间. 3•如果函数在某个区间内恒有f ' (x)= 0,则f(x)为常数函数.丽.7.凉益 W 赞注或委萼诞 ［对应课时跟踪训练(六)］一、填空题1.函数y = x 3— x 4 5— 40x + 80的增区间为 _________ ，减区间为 _________ 解析：y '= 3x 6 7 8 9— 2x — 40= (3x + 10)(x — 4), 10由 y ' >0,得 x>4 或 x< —10;由 y ' 3解析：令 f (x)= ——<0，解得 0<x<e , ln x 又因为函数f(x)的定义域为(0,1) U (1 , +O ),所以函数f(x)=产的单调递减区间是(0,1), (1, e). ln x 答案：(0,1), (1, e) 3.函数y = 1x 2— ln x 的单调减区间为 __________ .1解析：y '= x — 一，由 y ' <0,得 x<— 1 或 0<x<1.x<0,得—10<x<4.所以函数的单调增区间为 一 OO,10和(4,+O )，单调减区间为晋，4.答案: 一OO,,+O )1 —>x. x>00<x<1.x(0,1)6(1) f(x) x 4 2x 23(2) f(x) sin x(1 cos x)(0< x<(1) f(x) R . f (x) 4x 3 4x 4x(x 21) 4x(x 1)(x1)f (x)>04x(x 1)(x 1)>01<x<0x>1f(x)(1,0) (1)f (x)<04x(x 1)(x 1)<0.x< 10<x<1.x>0 0<x<1.(0,1)y厂-1 0 1Xf(x)y f (x)y f(x)f(x) (0 )f(x)>xf (x)x 'ffj f(x)<0(X)号)(x) xf (：2 f (x)<0.(0,1)④(x) (0)x高中数学所以函数f(x)的单调递减区间为(— g,— 1)和(0,1).2(2)f ' (x) = cos x(1 + cos x) + sin x( — sin x) = 2cos x + cos x — 1 = (2cos x — 1)(cos x + 1). ■/ 0<x< n, ••• cos x + 1>0,由 f '(x )>o 得 o<x<n ；由f ' (x)<0得n <x< n ，故函数f(x)的单调增区间为［0，3单调减区间为 £ n j.7.设函数 f(x) = ax — 2 — In x(a € R ).(1)若f(x)在点(e , f(e))处的切线为x — ey — 2e = 0,求a 的值;⑵求f(x)的单调区间.解：(1) ■/ f(x) = ax — 2 — In x(x > 0),1 • f ' (x)= a — - x 又f(x)在点(e , f(e))处的切线为x — ey — 2e = 0,• f ' (e)= a - 1 — 1 e e ‘故a =- e1 ax — 1(2)由(1)知：f ' (x) = a — =厂(x > 0),当a w 0时，f ' (x) v 0在(0,+g )上恒成立,• f(x)在(0，+g )上是单调减函数.1当 a >0 时，令 f ' (x)= 0 解得：x =-, a当x 变化时，f ' 0 (0, 1 1 a £ ,+Tf ' (x) 一 0 +f(x)a 上是单调增函数.由表可知：f(x)在0, 1上是单调减函数，在综上所述：当a < 0时，f(x)的单调减区间为(0,+g );f(x) (6 ) f (x) 0 (6 )a x 1. x 1>7 a 7.a 5 a 7.2.函数f(x)=烈的单调递减区间是In x — 11 3 1 2ax —1x 当a >0时，f(x)的单调减区间为 单调增区间为 + g&若函数f(x) = 3x3—2ax1 2+ (a —1)x在区间(1,4)上单调递减，在区间(6,+g )上单调递增，试求实数a的取值范围.解：f' (x) = x2—ax+ (a—1)，因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f' (x)w 0在(1,4)上恒成立，即a(x—1)>x2—1在(1,4)上恒成立，所以a>x+ 1.因为2<x + 1<5，所以a>5.。
高二下学期学案——高中数选修2-2讲义.doc
高中数学选修 2-2 讲义第 1 讲变化率与导数的概念新知新讲1.平均速度2.平均变化率：3.瞬时速度4.瞬时变化率 (导数 )一般地，函数y=f (x)在 x =x0处的瞬时变化率是lim y lim f (x0 x) f ( x0 ) ，x 0 x △x 0 x我们称它为函数 y=f (x) 在 x =x0处的导数（ derivative ），记作 f ' ( x0 ) 或 y' | x x0 ，即f ' (x0 ) lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) .x 0 x △x 0 x金题精讲题一：已知函数 f (x)＝－ x2＋x，则 f (x) 从－ 1 到－ 0.9 的平均变化率为 ( )A． 3 B ．0.29 C． 2.09 D． 2.9题二：如果质点 A 按照规律 s＝ 3t2运动，则在t ＝3 时的瞬时速度为 ( )A． 6 B． 18 C． 54 D ．81点滴积累，循序渐进3.一物体的运动方程为s t t 2，其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在 2 秒末的瞬时速度为.4.某汽车启动阶段的位移函数为s( t) 2t 35t2，s 的单位是米，则汽车在t 5 秒时的瞬时速度为.第 2 讲导数的几何意义新知新讲我们知道平均变化率的极限值是瞬时变化率，而瞬时变化率就是导数．我们研究导数的几何意义，那就需要从平均变化率的几何意义入手：观察函数y=f (x)的图象，平均变化率y f (x2 ) f (x1)x x2x1表示什么？课后练习：1. 设函数 y f ( x) ，当自变量 x 由 x0改变到如图，当点P n(x n,f(x n))(n 1, 2, 3, 4) 沿着x0x 时，函数的改变量y 为（）A ． f (x0 x)B ． f (x0 )x曲线 f (x)趋近于点P( x0, f ( x0))时，割线PP n的C． f (x0 ) x D ． f (x0 x) f (x0 ) 变化趋势是什么？2.求y x2由 x x 到x x0 x 的平均变化率 .导数的几何意义：函数y=f (x)在 x =x0处的导数f ' ( x0 ) ，是曲线y=f ( x)在点( x0, f ( x0))处的切线的斜率，即函数y=f (x)在 x =x0处切线的斜率反映了导数的几何意义 .金题精讲题一：如果曲线 y＝ f (x)在点 (x0 0))处的切线，f (x方程为 x＋ 2y－ 3＝0，那么 ( ).A． f ′(x)＞ 0 B． f ′(x)＜ 00 0 C． f ′(x0)＝ 0 D．f ′(x0)不存在题二：已知曲线y＝ f (x)在 x＝ 5 处的切线方程是y＝－ x＋ 8，则 f (5)及 f ′ (5)分别为 (). A．3，3 B．3，－ 1 C．－ 1，3 D ．－ 1，－ 1 题三：已知函数y＝ x3－ 3x2＋ 1 的导函数为y＝ 3x2－6x，则曲线y＝ x3－ 3x2＋1 在点 (1，－ 1) 处的切线方程为_____________________.课后练习：1.曲线 y＝f (x)在点 P(2 ，－3) 处的切线方程为2x ＋ y－ 1＝ 0，则 f ′(2)＝.2.已知曲线y x3 x在点P(x0，f (x0))处的切线平行于直线 y＝ 2x，则 f ′(x0＝.) 3.曲线 y＝ 2x－ x3的导函数是 f ′(x)＝ 2－3x2，则在 x＝－ 1 处的切线方程为()A ． x＋ y＋ 2＝ 0B ．x＋ y－ 2＝ 0 C． x－ y＋ 2＝ 0 D ．x－ y－ 2＝ 04.已知曲线 y＝x4－ x 的导函数为 y ′＝ 4x3－ 1，则与直线 x ＋ 3y＋ 1＝ 0 垂直且与该曲线相切的直线的方程为 ()A ． x－ 3y－ 3＝0B． 3x－ y－3＝ 0C． 3x－ y－ 1＝0D． x－ 3y－ 1＝ 0第 3 讲常值函数与幂函数的导数新知新讲1.函数 y=f (x)=c 的导数 .2.函数 y=f (x)=x 的导数3.函数 y=f (x)=x2的导数4.函数 y=f (x)=1的导数x5.函数 y=f (x)= x 的导数幂函数的导数公式：若 f ( x) x ( 是非零实数 ) ，则 f ' ( x0 )x 1 .金题精讲题一：若函数 f (x) ＝ x，则 f ′(1)等于 ()A ． 0 B．－1C． 2 D. 12 2题二：已知 f(x)＝ xα，若 f ′(－1)＝－ 2，则α的值等于( )A ． 2 B．－ 2 C． 3 D．－ 3题三：抛物线y＝ x2在点 (2， 4)处的切线方程是.高中数学选修 2-2 讲义课后练习：1.设函数f ( x)x 2，则曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处切线的斜率为 ()A．－ 2 B． 2 C．1D．－1 2 22.曲线 y＝x3在点 P(1 ，1) 处的切线与y 轴交点的纵坐标是 ( )A． 3 B．－ 3 C．－ 2 D． 03.已知函数 f (x)＝ x α，曲线 y＝ f (x)在点 (1，f (1)) 处的切线方程为7x－ 4y－ 3 ＝ 0 ，则α的值等于( )A． 1 B．5C．3D．7 4 2 44.已知直线 y＝ kx +1 是曲线 y x 1的一个切线，则 k 的值是 ()A． 0 B． 1 C. 1D．－1 4 45.曲线 y＝ x 在点(4，2)处的切线方程为．6.已知 a 为实数，函数 f (x)＝ x 4＋ax3是偶函数，则曲线 y＝ f (x)在原点处的切线方程为() A． y＝－ 3x B ． y＝ 0C． y＝ 3x D． y＝ x第 4 讲基本初等函数的导数四则运算法则新知新讲基本初等函数的导数公式：1.若 f (x)= c（ c 为常数），则 f ′(x)=0 ；点滴积累，循序渐进－2.若 f (x)= xα（α为常数），则 f ′(x)=αx1；3.若 f (x)=sin x，则 f ′(x)= cosx；4.若 f (x)=cosx，则 f ′(x)= － sinx；5.若 f (x)= a x，则 f ′(x)= a x ln a；6.若f (x)= e x，则 f ′(x)= e x；7.若 f (x)=log x，则 f ′(x)= 1 ；a x ln a18.若 f (x)=ln x，则 f ′(x)= .x导数的四则运算法则：[ f ( x) g( x)]' = f ' ( x) g' ( x) ；[ f ( x) g( x)]' = f ' ( x) g (x) f ( x)g' ( x) ；f ( x) f ' ( x) g( x) f (x) g' (x)；' =2g xg( x) (() 0)g( x)特别地， [c f (x)] ′=cf ′(x).金题精讲题一：求函数y=2 x和 y=log 2x的导数.题二：求下列函数的导数：（1） y= x3+ log2x；（2） y=2x3－3x2－ 4；（3） y=3cosx－4sinx；（4） y=x n e x；3（ 5） y=x 1.sin x课后练习：1.求下列函数的导数：（ 1）y 3x2 x 5 ；（2）y x sin x cosx ；（ 3）y x2 2 ；（ 4）y 2 x 1 4 3 ；2 x2 x（ 5）y (x a)( x b) .（6）y x ln x .第 5 讲 简单复合函数的导数新知新讲一般地，对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x)，如果通过变量 u ， y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数为函数 y=f (u)和 u=g(x)的复合函数，记作 y=f(g(x)).复合函数 y=f(g(x)) 的导数和函数 y=f(u) 和 u=g(x) 的导数之间的关系为y x ' y u ' u x ' ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．金题精讲题一：求下列函数的导数：(1)y=(2 x+3)2 ； (2) yx 1 ；(3) y=sin( x+π )(4) y=2 xsin(2 x+5) ； －x ；(6) y=e －0.05x+1.(5)y=2e课后练习：1.求下列函数的导数： （ 1） y x sinx cos x；（ 2 ）y (1 x 2 )5 ；2 2xx（ 3） yee ； （ 4） y ln(x2 1) ；2（ 5） y2x sin x .第 6 讲 函数求导综合练习金题精讲题一：求下列函数的导数：(1)y ＝ x(x 2＋1＋ 1 )； (2) y ＝ ( x ＋ 1)(1－1)；x x 3x(3)y ＝ sin 4x＋ cos 4x ； 4 4题二：求下列函数的导数：(1) y ＝xsin 2x ； （ 2）y ＝ ln( x ＋ 1＋ x 2).课后练习：1. (1) y ＝cos x的导数是 ().1－ xcos x ＋ sin x ＋ xsin xcos x － sin x ＋ xsin xA.B.(1－ x)2(1－x) 2cos x － sin x ＋ xsin xcos x ＋ sin x －xsin xC.D.21－ x(1－ x)(2) 函数 f (x)＝( x ＋2a)(x － a)2 的导数为 ().A ． 2(x 2－ a 2)B ．2(x 2＋ a 2)C ． 3(x 2－ a 2)D ．3(x 2＋ a 2)2.求下列函数的导数：(1) y ＝e x · lnx ；(2) y ＝ (x ＋ 1)(x ＋ 2)(x ＋ 3).(3) y ＝x · tanx ；(4) y ＝ cosx · sin3x.第 7 讲 利用导数研究曲线的切线问题金题精讲 题一：已知曲线y ＝ x 2 － 3ln x 的一条切线的斜4率为 1，则切点的横坐标为 ()2A ． 3B ．2C ． 1D.12题二：已知函数 f ( x) e x (ax b) x 24x ，曲线 y = f (x)在点（ 0，f (0)）处切线方程为y = 4x+4，求 a ， b 的值 .高中数学选修 2-2 讲义点滴积累，循序渐进21 C ．－ 2D ．2题三：设 fxa x 56ln x ，其中 a R ，A ．－ 1 B.2曲线 y f x 在点（ 1， f (1)）处的切线与 y 轴7.曲线 y ＝ x(3ln x ＋ 1) 在点 (1 ， 1) 处的切线方程相交于点（ 0， 6），求 a 的值 .为 ．8.已知函数 f (x)＝ x 3－ 3x 及 y ＝f (x)上一点 P(1，题四：过点 (1，1)作曲线 yx 3 的切线，则切线－ 2)，过点 P 作曲线 y ＝f (x)的切线 . 求此切线的 方程 .方程为.课后练习：1. 曲线 y ＝ x 3＋ 11 在点 P(1 ， 12)处的切线与 y轴交点的纵坐标是 ( )A ．－ 9B ．－ 3C ．9D ． 152.已知函数 f (x)＝ 1x － 1sin x －3cos x 的图象在2 4 4点 A(x 0 ， y 0 ) 处 的 切线 斜 率 为 1 ， 则 tan x 0 ＝________.3.已知曲线 y = x 4+ax 2+1 在点 ( － 1， a+2) 处切线的斜率为 8， a = .1 与曲线 y ＝－14.直线 y ＝ x ＋ bx ＋ ln x 相切，则22b 的值为 ( )A ．－ 2B ．－ 1C ．－1D ． 125.设函数 f (x)＝ x 3＋ ax 2－ 9x － 1，当曲线 y ＝ f (x) 斜率最小的切线与直线 12x ＋ y ＝ 6 平行时，求 a 的值．π6.设曲线 y ＝1＋cos x在点 2，1处的切线与直sin x线 x －ay ＋ 1＝ 0 平行，则实数 a 等于 ()第 8 讲 利用导数研究函数的单调性新知新讲一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 (a, b)内，如果 f ' (x) 0 ，那么函数 y=f (x)在这个区间内单调递增；如果 f ' (x)0 ，那么函数 y=f (x)在这个区间内单调递减 .利用导数讨论函数y=f (x)的单调性的一般步骤：1、求定义域2、求出导数 f ' ( x) ；3、讨论导数的正负：若 f ' ( x) 0 ，则函数 y=f (x)单调递增；若 f' ( x) 0 ，则函数 y=f (x)单调递减 .金题精讲题一：判断下列函数的单调性， 并求出单调区间：(1) f (x)= x 3+3x ；(2) f (x)= x 2－ 2x －3；(3) f (x)= sinx － x ， x ∈(0 ， π)；(4) f (x) =2x 3+3 x 2－24x+1.题二：如下图，水以恒速( 即单位时间内注入水在某个区间 ( a, b)内，的体积相同 )注入下面四种底面积相同的容器如果 f ' (x) 0 ，那么函数 y=f (x)在这个区间内中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时单调递增；间 t 的函数关系图象 . 如果 f ' (x) 0 ，那么函数 y=f (x)在这个区间内单调递减 .金题精讲题一：已知函数y= f ′(x)的图象如图所示，那么函数 f (x)的图象最有可能的是 ( )课后练习：1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f (x)=x4－ 2x2 +3； (2) f (x)=2 x－ln x．2.求函数 f (x)= x2－ ln x2的单调区间．3.如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间 t 之间的关系，其中正确的有()A．1个B．2个C．3 个D．4 个第 9 讲导数与函数的单调性再研究题二：若函数 y＝ x3－ ax2＋ 4 在 (0， 2)内单调递减，则实数 a 的取值范围是 _________ ．题三：已知 y＝1x3＋ bx2＋ (b＋ 2)x＋ 3 在 R 上是3单调增函数，则 b 的范围为 _________ ．课后练习：1.已知函数 y=f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y= f ′(x) 的图象如图所示，则该函数的图象是 ()新知新讲函数的单调性与其导数的正负有如下关系：高中数学选修 2-2 讲义2.已知函数 y=f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y= f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是 ()点滴积累，循序渐进做函数 y=f (x)的极小值；点 b 叫做函数y=f (x)的极大值点， f (b)叫做函数y=f ( x)的极大值 .极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 .3.若函数 f (x)＝ x3＋ ax 在 R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 _________．4.若函数 f (x)＝ x3＋ ax 2+x－7 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 _________．5.已知f (x)＝x3－ bx2＋ 3x－ 5 在 R 上是单调增函数，则 b 的范围为 ___．6.函数f (x)＝ax3－ ax2－ x 在 R 上是单调减函数，则实数 a 的取值范围为．第 10 讲利用导数研究函数的极值新知新讲如下图，函数 y=f (x)在点 x = a 的函数值 f (a)比它在点 x = a 附近其它点的函数值都小；类似地，函数 y=f (x)在点 x = b 的函数值 f (b)比它在点 x = b 附近其它点的函数值都大 .我们把点 a 叫做函数y=f (x)的极小值点， f (a)叫求函数 y=f (x) 极值点及极值的步骤：1.求出导数 f ' (x) ；2.解方程 f ' ( x) 0 ；3.对方程的每一个解x 0，分析 f ' ( x) 在 x0左、右两侧的符号 (即 f (x) 的单调性 )确定极值点：(1)若在 x0附近的左侧 f ' (x)0 ，右侧f ' ( x) 0 ，那么 x0是极大值点， f ' ( x0 ) 是极大值；(2)若在 x0附近的左侧 f ' (x)0 ，右侧f ' ( x) 0 ，那么 x0是极小值点， f ' ( x0 ) 是极小值；(3)若在 x0两侧 f ' ( x) 的符号相同，则x0不是极值点 .金题精讲题二：若函数 f (x)＝x(a>0) 在 [1 ，＋∞)上的1 x3 x2＋ a题一：求函数 f ( x) 4x 4 的极值. 3，则 a 的值为 ________．3 最大值为3课后练习：1.求函数 f ( x) x33x29x 5 的极值．2.求函数 f (x)= x4－ 2x2 +3 的极值．第 11 讲利用导数研究函数的最值新知新讲题一：函数y＝ x3＋ x2－ x＋ 1 在区间 [ － 2,1] 上的最小值为 ()A. 22B．2C．－ 1D．－4 27一般地，在闭区间 [a， b] 上的连续函数必有最大值和最小值 .一般地，求函数 y＝ f (x)在区间 [a，b] 上的最大值与最小值的步骤如下：1.求函数 y＝ f (x)在区间（ a， b）内的极值；2.将函数 y＝ f (x)的各极值与端点处的函数值f( a) ， f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 .金题精讲题一：设函数 f (x) ＝ ln(2 x＋ 3)＋ x2. 求 f (x)在区－3，1间 4 4 上的最大值和最小值．课后练习：1.求函数 f ( x)＝-x3+3x2在区间[-2，2]上的最大值和最小值．2.求函数 f ( x)= x4－2x2+3在区间[-3，2]上的最大值和最小值．3.若函数 f (x)＝-x3+3x2+9x+a 在区间 [ - 2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．4.函数 y＝－ x2－2x＋ 3 在 [a，2] 上的最大值为3，则 a 等于 _______ ．第 12 讲利用导数研究含参函数的单调性金题精讲题一：已知函数 f ( x) ln x ax 1 a 1x(a∈ R) ，讨论f ( x)的单调性 .题二：已知 a∈R ，讨论函数 f (x) = ln( x－ 1)－ ax 的单调性．高中数学选修 2-2 讲义第 13 讲利用导数研究不等式成立问题金题精讲题一：求证x－ 1≥ln x. x题二：设函数f ( x) t x2 2t2 x t 1(x R，t 0) ．(Ⅰ )求f ( x)的最小值h(t )；(Ⅱ )若h(t) 2t m 对 t (0，2) 恒成立，求实数m的取值范围．点滴积累，循序渐进第 14 讲利用导数研究函数零点问题金题精讲题一：已知函数 f (x)= x3+2x2+x+a有三个零点，求 a 的取值范围 .题二：已知函数 f (x)= - x2+8x，g(x)=6ln x+m，是否存在实数 m，使得 y=f (x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，说明理由 .课后练习：1. 求证： e x≥x+1 ．2. 求证：当 x＞ 0 时， ln(1+ x)＞ x x2 ．23.若对任意 x∈ (1，3)，不等式 2x3+3 x2≥6(6x+a) 恒成立，求实数 a 的取值范围．4.若不等式 2xln x ≥－ x2+ax－ 3 对 x∈ (0，+∞)恒成立，求实数 a 的取值范围．课后练习：1.已知函数 f (x)=x3－ 6x2+9 x+a 在 x∈ R 上有三个零点，求实数 a 的取值范围．2.已知函数 f (x)=1x 31 (a 1)x 2 ax ，若方程 f3 2(x)=0 仅有一个零点，求实数 a 的取值范围．3.已知函数 f (x) = 2x3－ 6x 2+3 与直线 y = a 有三个交点，求 a 的取值范围．3. 已知函数 f (x) = 1 x2 3x ，g(x) = m－ 2ln x，2问是否存在实数m，使得 y = f (x)的图象与 y =g(x)的图象有且仅有三个不同的交点？若存在，求出 m 的值或范围；若不存在，说明理由．第 15 讲定积分的概念新知新讲1.曲边梯形的定义下图中，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线 y=f ( x) 的一段 . 我们把由直线 x=a，x=b(a≠ b)，y=0 和曲线 y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形 .2.求曲边梯形面积一般地，对如上图所示的曲边梯形，我们可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积 .从求曲边梯形面积以及求变速直线运动路程的过程可以发现，它们都可以通过“四部曲”：分割、近似代替、求和、取极限得到解决 . 且都可以归结为求一个特定形式和的极限：曲边梯形面 S lim n f ( i ) x lim n 1 f ( i ) .x 0 i 1 n i 1 n当 n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x)在区间 [a，b]上的定积分，记作 f ( x)dx ，即 f x x n b a fb b ( )d lim ( i )a a nni 1这里，叫做积分号， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 [ a， b] 叫做积分区间，函数f (x)叫做被积函数， x 叫做积分变量， f (x)dx 叫做被积式 .第 16 讲定积分的几何意义及性质新知新讲1.定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a，b] 上函数 f (x)连续且恒有 f (x) ≥ 0，那么定积分bf ( x)d x表示a由直线 x=a， x=b（ a≠b）， y=0 和曲线 y=f(x)所围曲边梯形的面积 .根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积 S 吗？3.定积分的概念如果函数 f (x)在区间 [a， b] 上连续，用分点 b bSf1 ( x)dx f2 (x)dxaaa=x0< x1< < x i-1 < x i< < x n =b 题一：求定积分 1 1 x 2 dx .1将区间 [a， b]等分成 n 个小区间，在每个小区间 [x i-1， x i]上任取一点i（i=1 ，2，， n）， 2 x2 dx .题二：求定积分 22n n 作和式f ( i ) xi 1i 1 b af ( i ) n高中数学选修 2-2 讲义2.定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：（ 1）bb a；1dxa（ 2）b bkf (x)dx k f ( x)dx （k为常数）；a ab b b （ 3 [ f1 ( x) f2 ( x)]dx f1 ( x)dx f2 ( x)dx ；a a a（ 4）b c bf ( x)dx f ( x)dx f (x)dx （其中a a ca<c<b） .第 17 讲微积分基本定理新知新讲微积分基本定理一般地，如果 f ( x) 是区间[a, b]上的连续函数，并且 F ( x) f ( x) ，那么bF (b) F (a) .f ( x) dxa这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿·莱布尼茨公式 .为了方便，我们常常把 F (b) F (a) 记成F ( x) b a .b b|即 a f (x) dx F(x)|a F(b)F ( a) .金题精讲题一：计算下列定积分：(1) 2 1；(2)3 1.1 xdx1 (2 xx2) dx题二：计算下列定积分：π(1) π4 cos2x dx ；6(2) 31 )2dx；( x2 xπ(3) 2 (3x sin x) dx ；点滴积累，循序渐进b(4)e x dx .a题三：|x2－ 4|dx＝ ()21 22 23 25A. B. C. D.3 3 3 3课后练习：2 14 dx1. x2 ( ).2 xA.21 5C.33 214B.8D.4 827dx2.3________.1 x3.x).（e+2x）dx 等于(A ． 1 B． e－ 1 C ．e D ．e＋ 11( x2 sin x)dx4. ____________.125.已知 f (x)＝ 2－ |x|，则1 f ( x)dx等于()．A ． 3 B． 4 C.7D.92 222 2x dx6.x .1第 18 讲 定积分的简单应用金题精讲题一：如图所示，阴影部分的面积是 ().A ．2 3B ．2－ 3 C.32D. 3533题二：一物体以速度 v ＝ (3t 2＋ 2t)m/s 做直线运动，则它在 t ＝ 0s 到 t ＝ 3s 时间段内的位移是( ).A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m题三：由曲线 y ＝ x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积 为( ).1 1 1 7A.B. C. D.12 4 3 12课后练习：1.已知二次函数y ＝ f (x) 的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为 ( ).A. 2πB.4C.3D.π 5322 2.如图，曲线y ＝ x 2和直线 x ＝ 0， x ＝ 1，y ＝ 1所4 围成的图形 (阴影部分 )的面积为 ( ). A.2B .1C.1D.133243.以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度 v ＝ 40－ 10t 2，则此物体达到最高时的高度为 ( ).A.160mB.80m C.40m D.20m33 3 34.曲线 y ＝ cosx(0 ≤x ≤ π)与两坐标轴所围成的2图形的面积为 _______.5. 由曲线 y ＝ 2x 2，直线 y ＝－ 4x － 2，直线 x ＝ 1围成的封闭图形的面积为________．第 19 讲 复数的概念及其几何意义新知新讲1. 数系的扩充与复数的概念我们把集合 C ＝ {a ＋ bi | a ， b ∈ R} 中的数，即形如 a ＋ bi （ a ，b ∈ R ）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位 . 全体复数所成的集合 C 叫做复数集 .复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋ bi （a ，b ∈ R ），这一表示形式叫做复数的代数形式 . 对于复数 z ＝ a ＋ bi ，以后不作特殊说明，都有 a ，b ∈ R ，其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部（ real part ）与虚部（ imaginary part ） .在复数集 C ＝ {a ＋ bi | a ，b ∈ R} 中任取两个数 a ＋ bi ， c ＋ di （ a ，b ， c ， d ∈R ），我们规定：a ＋ bi 与 c ＋ di 相等的充要条件是 a ＝ c 且 b ＝d. 2．复数的分类这样，复数 z ＝ a ＋ bi 可以分类如下：高中数学选修2-2 讲义实数（b＝0），复数 z 虚数（b ）（当＝时为纯虚数）0 a 0 .虚数集复数集纯虚数集实数集根据复数相等的定义，任何一个复数z＝ a＋ bi ，都可以由一个有序实数对（ a， b）唯一确定 . 由于有序实数对（ a，b）与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.3.复数的几何意义如图，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z ＝ a＋ bi 可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 .复数 z＝a＋ bi 一一对应复平面内的点Z( a，b) 复数 z＝a＋ bi 一一对应平面向量 OZ金题精讲题一：已知复数z = a2－7a＋6＋(a2－5a－6)i a2－1 (a∈ R) ．实数 a 取什么值时，z 是（1）实数？（ 2）虚数？（ 3）纯虚数？（2）题二：当2< m < 1 时，复数 z = (3m－ 2) ＋ (m 3－ 1)i 在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限点滴积累，循序渐进C．第三象限D．第四象限课后练习：1.已知复数z＝ lg( m2－ 2m－ 2)＋ (m2＋ 3m＋ 2)i ，当实数 m 为何值时，（1） z 为纯虚数；（2） z 为实数；（3） z 对应的点在复平面的第二象限．2.在复平面内，复数1＋ i3对应的点位于（）1－ iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第 20 讲复数的运算(一)新知新讲1.复数的加法和减法题一：计算 (5－6i) ＋( －2－i) － (3＋4i).2.复数的乘法题二：计算：（ 1） (3＋ 4i)(3 － 4i); （ 2） (1＋i)2.3.复数的除法题三：计算 (1 ＋2i) ÷(3－4i).金题精讲题一：已知复数z1＝3＋ 2i，z2＝ 1－ 3i ，则复数z ＝ z1－ z2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题二：i 是虚数单位，若1＋7i＝ a＋ bi (a，b∈R)，2－ i则乘积 ab 的值是（）A．－ 15 B．－ 3 C．3D． 15题三：已知z 是纯虚数，z＋2是实数，那么 z1－ i第 21 讲复数的运算(二)金题精讲题一：若复数a＋ 3i(a∈ R， i 为虚数单位 )是纯1＋ 2i虚数，则实数 a 的值为（）A．－ 2 B ． 4 C．－ 6D．6等于（）A． 2i B． i C．－ i D ．－ 2i 课后练习：题二：已知复数应的点位于（A．第一象限C．第三象限z = 1－，则 z ·i在复平面内对1＋i）B．第二象限D．第四象限1.设 z1 3 4i ， z2 2 3i ，则 z1z2＝.2.计算 (1 ＋4i) － (2＋ 6i) － (5 －3i) .3. (15 8i)( 1 2i) 的值是4.已知 a， b∈ R， i 是虚数单位．若(a＋ i)·＋(1i) ＝bi ，则 a＋ bi ＝________.5.复数2＋i的共轭复数是() 1－ 2iA．－3i B.3i C．－ iD． i 51－ i51＋ i＋6. 计算(1＋ i) 2 (1－ i) 2.i － 17.设复数＝a＋bi ( a，b∈R)，则a＋b＝________．8.已知复数z1＝m＋2i ，z2＝3－ 4i，若z1为实数，z2则实数 m＝________. 题四：若 z∈ C ，若z z 1 2i ，则43i的值z是（）A ． 2i B．－ 2i C ． 2D．－ 2 课后练习：1.已知 a 是实数，a＋i(a∈ R ， i 为虚数单位 )是1－ i纯虚数，则 a 等于 ( )A．－ 1B．1 C. 2D．－ 22.在复平面内，复数 (2 － i) 2对应的点位于第________象限．3.已知函数 f (z) ＝z2－ 2z，则 f (1－ i) ＝ ________.z－1－＝ 3 3＋ i，求复数 z.4.设复数 z 满足 4z＋ 2 z5. 设 (1 ＋ 2i)－－ 4i(i 为虚数单位 ) ，则 |z|＝z ＝ 3________．高中数学选修 2-2 讲义点滴积累，循序渐进。
【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第1章 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数(含答案)
1．2.2 函数的和、差、积、商的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )、g (x )的导数分别是什么？ 提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：若Q (x )＝x ＋1x ，则Q (x )的导数是什么？提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于1－1x 2，∴Q ′(x )＝1－1x2.问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有什么关系？ 提示：Q ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )．导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )，则 (1)[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )； (2)[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)[Cf (x )]′＝Cf (x )′(C 为常数)； (4)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (5)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f n ′(x )．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及(5)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．[对应学生用书P9]求函数的导数[例1] (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx ；(4)y ＝x tan x .[思路点拨] 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x .(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2 ＝－x ·sin x －cos xx 2＝－x sin x ＋cos x x 2.(4)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x.[一点通] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若f (x )＝13x 3＋2x ＋1，则f ′(－1)＝________.解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＋(2x )′＋1′＝x 2＋2， 所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 答案：32．函数y ＝x (x 2＋1)的导数是________．解析：y ′＝[x (x 2＋1)]′＝(x 3＋x )′＝3x 2＋1. 答案：3x 2＋13．求下列函数的导数：(1)y ＝ln xx ＋1－2x ；(2)y ＝sin x －cos x 2cos x .解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ＋1′－(2x )′ ＝1x (x ＋1)－ln x (x ＋1)2－2x ln 2 ＝1＋1x －ln x(x ＋1)2－2x ln 2 ＝x －x ln x ＋1x (x ＋1)2－2x ln 2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝⎛⎭⎫sin x 2cos x －12′ ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2cos x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x 4cos 2x＝12cos 2x.[例2] 设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．[思路点拨] 首先求f ′(x )，然后利用条件建立a ，b 的方程组求解． [精解详析] f ′(x )＝(a ·e x )′＋(b ln x )′＝a ·e x ＋bx ，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋b ＝e ，a e－b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0.[一点通] 利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．4．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∴f ′(－1)＝3a －6＝4，即a ＝103. 答案：1035．若函数f (x )＝e xx 在x ＝c (c ≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．解：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e cc，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2，依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e c(c －1)c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12.导数运算法则的综合应用[例3] 1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值．[精解详析] ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[一点通] 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.答案：－47．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得：x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使方程对任意x恒成立，则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．[对应课时跟踪训练(四)]一、填空题1．(广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝02．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1.∵f ′(x 0)＝2，∴1＋ln x 0＝2， ∴x 0＝e. 答案：e3．函数f (x )＝e x cos x ，x ∈[0,2π]，且f ′(x 0)＝0，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，由f ′(x 0)＝0，得e x 0cos x 0－e x 0sin x 0＝0， ∴cos x 0＝sin x 0，即tan x 0＝1. 又∵x 0∈[0,2π]，∴x 0＝π4或5π4.答案：π4或5π44．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.答案：25．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝－1(2x －1)2，∴当x ＝1时，y ′＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0 二、解答题6．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x ＋3x 2＋x ； (2)y ＝(1＋cos x )(2x 2＋e x )．解：(1)y ′＝(sin x ＋3x 2＋x )′＝(sin x )′＋(3x 2)′＋x ′＝cos x ＋6x ＋1. (2)y ′＝[(1＋cos x )(2x 2＋e x )]′＝(1＋cos x )′(2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(2x 2＋e x )′ ＝－sin x (2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(4x ＋e x ) ＝e x (1＋cos x －sin x )－2x 2sin x ＋4x (1＋cos x )． 7．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和基本不等式可知， f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1， 即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x >1a时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增； 当0<x <1a时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． 所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b . (2)由题设知，f ′(x )＝a －1ax 2，f ′(1)＝a －1a ＝32， 解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)． 将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32， 解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.8．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．解：∵f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3.∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1.化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2，∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23. ∴切线l 的方程为y －23＝(－1)(x －2)， 即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.2.1
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第二章 推理与证明
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分析法
1．分析法的定义 从要证明的结_论__出__发____，逐步寻求使它成立的充_分__条__件____， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分 析法．
1．综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条 件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择 相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
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第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转 化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之 间的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的 语言．
3．已知a，b，c∈ R且不全相等， 求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca. 证明： 证法一：(分析法) 要证a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca， 只需证2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ca)， 只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)＞0， 只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0，
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高中数学全套讲义 选修2-2 数学归纳法中档 教师版
目录目录 (1)考点一数学归纳法 (2)考点二用数学归纳法证明不等式 (4)课后综合巩固练习 (5)考点一 数学归纳法1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n=n 0时命题成立；（2）假设当n=k （k∈N +，且k≥n 0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．1．（2019春•诸暨市期末）用数学归纳法证明：“1+（1+2）+（1+2+3）+Λ+（1+2+3+……+n ）=n(n+1)(n+2)6”，由n ＝k 到n ＝k +1时，等式左边需要添加的项是（ ）A ．k(k+1)2 B ．k(k+1)2+1 C ．[k(k+1)2+1]+……+[(k+1)(k+2)2]D ．(k+1)(k+2)2【分析】写出n ＝k 时，左边最后一项，n ＝k +1时，左边最后一项，由此即可得到结论 【解答】解：∵n ＝k 时，左边最后一项为1+2+3+……+k =k(k+1)2， n ＝k +1时，左边最后一项为1+2+3+……+（k +1）=(k+1)(k+2)2， ∴从n ＝k 到n ＝k +1，等式左边需要添加的项为一项为(k+1)(k+2)2，故选：D ．【点评】本题考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 2．（2019春•宁德期中）用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n ＝n （2n +1）时，从n ＝k 推证n ＝k +1时，左边增加的代数式是（ ） A ．4k +3B ．4k +2C ．2k +2D ．2k +1【分析】用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n ＝n （2n +1）时，从n ＝k 推证n ＝k +1时，左边增加的代数式＝（k+1）[2（k+1）+1]﹣k（2k+1）．【解答】解：用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n＝n（2n+1）时，从n＝k推证n＝k+1时，左边增加的代数式＝（k+1）[2（k+1）+1]﹣k（2k+1）＝4k+3．故选：A．【点评】本题考查了数学归纳法、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2019春•莲都区校级月考）利用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n−1＜n(n∈N∗，n＞1)”的过程中，由假设“n＝k”成立，推导“n＝k+1”也成立时，左边应增加的项数是（）A．k B．k+1C．2k D．2k+1【分析】分别写出n＝k时的不等式，以及n＝k+1时，要证的不等式的左边与n＝k时，不等式左边的关系，可得所求结论．【解答】解：n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，即有1+12+13+⋯+12k−1＜k，当n＝k+1时，即证1+12+13+⋯+12k−1+12k+12k+1+⋯+12k+1−1＜k+1，由此可得左边与n＝k时的不等式左边增加了12k +12k+1+⋯+12k+1−1，共2k+1﹣1﹣2k+1＝2k项，故选：C．【点评】本题考查数学归纳法的运用，注意由n＝k命题成立，推得n＝k+1，命题也成立时，必须运用假设，注意区别，考查推理能力，属于基础题．4．（2019春•东安区校级期中）用数学归纳法证明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n ﹣1）2（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需增加的代数式是（）A．3k﹣1B．9k C．3k+1D．8k【分析】从n＝k到n＝k+1时，左边需增加的代数式是[2（k+1）﹣1]2﹣（2k﹣1）2，即可得出．【解答】解：用数学归纳法证明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需增加的代数式是[2（k+1）﹣1]2﹣（2k﹣1）2＝8k，故选：D ．【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．考点二 用数学归纳法证明不等式2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n 0+1，n 0+2，…，是否正确．在第二步中，n=k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少） ②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．5．（2019春•鲤城区校级期末）用数学归纳法证明不等式1+12+14+⋯+12n−1＞12764成立，起始值至少应取为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】先求左边的和1−12n1−12=2−21−n ，再进行验证，从而可解．【解答】解：左边的和为1−12n1−12=2−21−n ，当n ＝8时，和为2−2−7＞12764，故选：B ．【点评】本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解轭关键是发现左边的规律，从而解决问题．6．（2016秋•杨浦区校级期中）用数学归纳法证明：1+122+132+⋯+1(2n −1)2＜2−1n(n ≥2)（n ∈N *）时第一步需要证明（ ） A ．1＜2−12−1B ．1+122＜2−122−1C ．1+122+132＜2−122−1 D ．1+122+132+142＜2−122−1【分析】直接利用数学归纳法写出n ＝2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到1(22−1)2，不要漏掉项． 【解答】解：用数学归纳法证明1+122+132+⋯+1(2n −1)2＜2−12n −1(n ≥2)， 第一步应验证不等式为：1+122+132＜2−122−1； 故选：C ．【点评】在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证n ＝1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．课后综合巩固练习7．（2019春•慈溪市期中）用数学归纳法证明：“1+12+13+⋯+12n−1＜n(n ∈N ∗，n ＞1)”由n ＝k （k ∈N *，k ＞1）不等式成立，推理n ＝k +1时，不等式左边应增加的项数为 2k ． 【分析】分别计算当n ＝k 和n ＝k +1时左侧最后一项的分母即左侧的项数即可得出答案． 【解答】解：当n ＝k 时，不等式左侧为1+12+13+⋯+12k−1，当n ＝k +1时，不等式左侧为1+12+13+⋯+12k−1+12k +12k+1+⋯+12k+1−1不等式左边增加的项数是（2k +1﹣1）﹣（2k ﹣1）＝2k ． 故答案为：2k ．【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．8．（2019春•徐汇区校级期末）用数学归纳法证明（n +1）（n +2）（n +3）…（n +n ）＝2n •1•3•5…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从n ＝k 到n ＝k +1时左边需增乘的代数式是 4k +2 ． 【分析】从n ＝k 到n ＝k +1时左边需增乘的代数式是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1，化简即可得出．【解答】解：用数学归纳法证明（n +1）（n +2）（n +3）…（n +n ）＝2n •1•3•5…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从n ＝k 到n ＝k +1时左边需增乘的代数式是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1=2（2k +1）．故答案为：4k +2．【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．（2018春•商丘期末）用数学归纳法证明：（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n ×1×3×…×（2n ﹣1）时，从“k 到k +1”左边需增加的代数式是 （k +1）（k +2）…（k +k ）（4k +1） ． 【分析】从“k 到k +1”左边需增加的代数式是：（k +2）（k +3）•…•（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1）﹣（k +1）（k +2）•…•（k +k ）．【解答】解：从“k 到k +1”左边需增加的代数式是：（k +2）（k +3）•…•（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1）﹣（k +1）（k +2）•…•（k +k ）＝（k +2）（k +3）•…•（k +k ）[（k +1+k ）（k +1+k +1）﹣（k +1）]＝（k +1）（k +2）•…•（k +k ）（4k +1）， 故答案为：（k +1）（k +2）•…•（k +k ）（4k +1）．【点评】本题考查了数学归纳法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．（2018春•濮阳期末）用数学归纳法证明12+22+⋯+(n −1)2+n 2+(n −1)2+⋯+22+12=n(2n 2+1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k +1时，等式左边应添加的式子是 （k +1）2+k 2 ．【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n ＝k 与n ＝k +1时的结论，即可得到答案．【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减 由于n ＝k ，左边＝12+22+…+（k ﹣1）2+k 2+（k ﹣1）2+…+22+12n ＝k +1时，左边＝12+22+…+（k ﹣1）2+k 2+（k +1）2+k 2+（k ﹣1）2+…+22+12 比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k +1）2+k 2 故答案为（k +1）2+k 2【点评】本题的考点是数学归纳法，主要考查由n ＝k 的假设到证明n ＝k +1时，等式左边应添加的式子，关键是理清等式左边的特点． 11．（2017春•西城区校级期末）若不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n＞a(n ∈N ∗)恒成立，则a 的范围 （﹣∞，12） ．【分析】构造函数f （n ）=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n，判断函数的单调性，根据函数的单调性求出f （n ）的最小值，即可求出a 的范围． 【解答】解：设f （n ）=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n ， 则f （n +1）=1n+2+1n+3+⋯+12n +12n+1+12(n+1)，则f （n +1）﹣f （n ）=12n+1+12(n+1)−1n+1=12n+1−12n+2＞0， ∴数列f （n ）是关于n （n ∈N *）的递增数列， ∴f （n ）≥f （1）=12， ∵不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n＞a(n ∈N ∗)恒成立，∴a ＜12故答案为：（﹣∞，12）【点评】本题考查了数列和函数的关系，以及不等式恒成立的问题，属于中档题．。
苏教版高中数学选修2-2全套PPT课件
课堂练习：
练习： 已知 f (x) x ，求曲线 y f (x)在
即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4．
O2x
从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的 切线斜率为4．
解：设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)解，：设P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)， 则割线PQ的斜率为：
则割线PQ的斜率为：
kPQ＝
xQ 2－4 xQ－2
令xQ－2＝x，
y=f(x)
你在解本题的过程中有没有发现什么？
y
f(x2)
f
(
x2 )－f ( x2－x1
x1
)
＝
y x
＝k
你能解释为什么会出现这一现象吗？
f(x1)
O
B
△ y
A △x
x1
x2 x
一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率等 于斜率k．
例4 已知函数 f ( x)＝x2 ，分别计算f ( x) 在下
列区间上的平均变化率：
3
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]； 2.1 （4）[1，1.001]； 2 .0 0 1
函数在[1，1＋x] 的平均变化率：
y
f (1＋x)－f (1) (1＋x)－1
＝ (1＋x)2－12 x
＝ x2＋2x x
＝2＋x
多算几次，找找规律
当△x无限趋近于0时，
割线逼近切线，割线斜率 逼近切线斜率．
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数2， 从而曲线f(x)＝x2＋1 在点x＝1处的切线斜率为2．
y y = f(x)
Q 割线
切线
f (x0+x) f (x0)
高中数学选修2-2-导数的几何意义-课件.ppt
3）函数在点 x0 处的导数 f (x0) 就是导函数f (x)
在 x x0 处的函数值，这也是 求函数在点x0
处的导数的方法之一。
课堂练习: 如图（见课本P10.6）已知函数的图像，试画 出其导函数图像的大致形状。
P11.2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程 关于时间的函数图像的大致形状。 （1）汽车在笔直的公路上匀速行驶； （2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶； （3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；
0.1
0 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 t m in
图1.1 4
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 ,就是
药物浓度 f t在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
例3 如图1.1 4,它 cmg/ml 1.1
表示人体血管中药 1.0
直观本质。
例1.求曲线y=x2 -1在点（-2，3）处的切线的斜率,
并写出切线方程。
解 : y f (2 x) f (2)
[(2 x)2 1] [(2)2 1]
x2 4x
y x2 4x x 4
x
x
f (1)= lim y lim (x 4) 4
x x0
x 0
k 4
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
函数在点 x0 处的导数f (x0) 、导函数 f (x) 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点 x0 处的导数f (x0) ，就是在该点的 函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它 是一个常数，不是变数。
人教版数学高二选修2-2讲义第2章章末分层突破_1
章末分层突破[自我校对]①由部分到整体，由个别到一般②类比推理③演绎推理④由一般到特殊⑤综合法⑥执果索因⑦反证法⑧数学归纳法合情推理1.2．类比推理的特点及一般步骤观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，由此可归纳出的式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n D ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n2n ＋1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．【精彩点拨】 (1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得． (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．【规范解答】 (1)由各式特点，可得1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n .故选C. (2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－α＝2π3.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为2π4＋α＝π2＋α，第三个角为π2＋α＋2π4＝π＋α，第四个角为π＋α＋2π4＝3π2＋α，即其关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0.【答案】 (1)C (2)sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0[再练一题]1．已知函数y ＝sin 4x ＋cos 4x (x ∈R )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则(1)函数y ＝sin 6 x ＋cos 6x (x ∈R )的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y ＝sin 2n x ＋cos 2n x (n ∈N *)的值域是__________.【导学号：62952091】【解析】 (1)y ＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2 x cos 2 x ＋cos 4 x )＝sin 4x －sin 2x cos 2x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－3sin 2x cos 2x ＝1－34sin 2(2x )＝1－38(1－cos 4x ) ＝58＋38cos 4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.(2)由类比可知，y ＝sin 2n x ＋cos 2n x 的值域是[21－n,1]． 【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 (2)[21－n,1]综合法与分析法1.也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．【精彩点拨】 (1)综合法：根据a ＋b ＝1，分别求1a ＋1b 与1ab 的最小值．(2)分析法：把1ab 变形为a ＋b ab ＝1a ＋1b 求证． 【规范解答】 法一：(综合法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 法二：(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab ≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b ≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4. 即证b a ＋ab ≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时， b a ＋ab ≥2成立，所以原不等式成立． [再练一题]2．(1)已知a ，b ，c 为互不相等的非负数． 求证：a 2＋b 2＋c 2>abc (a ＋b ＋c )． (2)用分析法证明：2cos(α－β)－sin (2α－β)sin α＝sin βsin α.【解】 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ， b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“＝”，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，因为ab＋bc≥2ab2c，bc＋ac≥2abc2，ab＋ac≥2a2bc，又a，b，c为互不相等的非负数，所以ab＋bc＋ac>abc(a＋b＋c)，所以a2＋b2＋c2>abc(a＋b＋c)．(2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边，所以①成立，即原等式成立．反证法假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列．【精彩点拨】(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．【规范解答】(1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，①－②得，(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． [再练一题]3．设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n .证明：数列{c n }不是等比数列．【证明】 假设数列{c n }是等比数列，则 (a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得 2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1 ＝a n b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫p q ＋q p ，即2＝p q ＋q p ，②当p ，q 异号时，p q ＋qp <0，与②相矛盾； 当p ，q 同号时，由于p ≠q ， 所以p q ＋qp >2，与②相矛盾． 故数列{c n }不是等比数列．数学归纳法1.点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．2．关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.【规范解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，所以a 21＝1(a n >0)，所以a 1＝1，又1－0＝1， 所以n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)，所以n ＝k ＋1时，结论成立． 由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1. [再练一题]4．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a n ＋1)2(n ∈N *)，a 2＝2. (1)求{a n }的前三项a 1，a 2，a 3； (2)猜想{a n }的通项公式，并证明． 【解】 (1)由S n ＝n (a n ＋1)2，得a 1＝1，又由a 2＝2，得a 3＝3. (2)猜想：a n ＝n .证明如下：①当n ＝1时，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥2)时，猜想成立，即a k ＝k ，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(a k＋1)2＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(k＋1)2.所以a k＋1＝k2k－1－1k－1＝k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①②知，对任意n∈N*，都有a n＝n.转化与化归思想是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．【精彩点拨】假设方程f(x)＝0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾．【规范解答】假设方程f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＋c＝0，∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾．综上可知，方程f(x)＝0无整数根．[再练一题]5．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除.【导学号：62952092】【证明】设n＝2m－1，m∈N*，则x n＋y n＝x2m－1＋y2m－1.要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N*)．(1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除．(2)假设当m＝k(k∈N*)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－x2k－1y2＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－1(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2(x2k－1＋y2k－1)．因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除，所以当m＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)，知原命题成立.1．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5【解析】n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．【答案】 B2．观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，＝________.C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1【解析】观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1. 【答案】 4n －1 3．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5；…… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 【解析】 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．【答案】 43n (n ＋1)4．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【解析】 法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，高中数学-打印版精心校对完整版 则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.【答案】 1和35．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．【证明】 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1； 同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．。
2018-2019学年高二数学选修2-2讲义：第2章 2.2 2.2.2 间接证明
2．2.2 间 接 证 明1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2.求证：a ，b ，c 不可能都是奇数． 问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？ 提示：不能．问题2：a 、b 、c 不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a 2＋b 2＝c 2吗？ 提示：都是奇数．若a 、b 、c 都是奇数，则不能满足条件a 2＋b 2＝c 2.1．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．2．反证法 (1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用下面的框图表示：导致逻辑矛盾“若p 则q ”为真(2)反证法证明命题“若p 则q ”的步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．[对应学生用书P30][例1]锐角三角形．[思路点拨]本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．[精解详析]假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述．原结论成立．[一点通](1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案：④2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．解：假设直线BM与A1N共面．则A1D1⊂平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，又A1D1∥BC，所以BN∥BC.这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，所以(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．[例2]求证：两条相交直线有且只有一个交点．[思路点拨]“有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．[精解详析]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[一点通]证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．4．证明方程2x＝3有且仅有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3.两式相除得：2b1－b2＝1.如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故2x＝3有且仅有一个根．5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．解：已知P∉平面α.求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P∉平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．[例3]已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[思路点拨]本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．[精解详析] 假设a 、b 、c 、d 都不是负数， 即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴b ＝1－a ≥0，d ＝1－c ≥0.∴ac ＋bd ＝ac ＋(1－a )(1－c )＝2ac －(a ＋c )＋1 ＝(ac －a )＋(ac －c )＋1＝a (c －1)＋c (a －1)＋1. ∵a (c －1)≤0，c (a －1)≤0. ∴a (c －1)＋c (a －1)＋1≤1， 即ac ＋bd ≤1. 与ac ＋bd >1相矛盾．∴假设不成立．∴a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．[一点通] (1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：6．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a ＞0,1－b ＞0,1－c ＞0， ∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b ＞14＝12. 同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12.三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32，即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.7．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根．证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个根， 设α，β为其中的两个实根． 因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数， 所以f (α)<f (β)． 这与f (α)＝0＝f (β)矛盾．所以方程f (x )＝0在区间 [a ，b ]上至多只有一个实根．1．反证法证明的适用情形 (1)一些基本命题、基本定理； (2)易导出与已知矛盾的命题； (3)“否定性”命题； (4)“惟一性”命题； (5)“必然性”命题； (6)“至多”“至少”类命题； (7)涉及“无限”结论的命题． 2．用反证法证明问题应注意以下三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．[对应学生用书P32]一、填空题1．命题“1＋b a ，1＋ab 中至多有一个小于2”的反设为________．答案：1＋b a ，1＋ab都小于22．(山东高考改编)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．解析：至少有一个实根的否定是没有实根． 答案：方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根1． 用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为 ____________________．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”． 答案：a ，b 不全为04．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②. 答案：③①②5．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________． 解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x ≠a 且x ≠b ”的否定应为“x ＝a 或x ＝b ”． 答案：x ＝a 或x ＝b 二、解答题6．(陕西高考)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n)1－q ，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．7．设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|<12，|f (2)|<12，|f (3)|<12，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12<1＋a ＋b <12，－12<4＋2a ＋b <12，－12<9＋3a ＋b <12.于是有⎩⎪⎨⎪⎧－32<a ＋b <－12， ①－92<2a ＋b <－72， ②－192<3a ＋b <－172. ③由①、②得－4<a <－2，④ 由②、③得－6<a <－4.⑤④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．8．已知P∉直线a.求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P∉直线a，∴点P和直线a确定一个平面α.由平面几何知识知：在平面α内过点P能作出一条直线与直线a平行，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与a平行．∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与直线b、c有共点P矛盾．故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．。
高中数学全套讲义 选修2-2 数学归纳法简单 教师版
目录目录 (1)考点一数学归纳法 (2)考点二用数学归纳法证明不等式 (4)课后综合巩固练习 (5)考点一 数学归纳法1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n=n 0时命题成立；（2）假设当n=k （k∈N +，且k≥n 0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．1．（2019春•诸暨市期末）用数学归纳法证明：“(1)(2)1(12)(123)(123)6n n n n ++++++++Λ++++⋯⋯+=”，由n k =到1n k =+时，等式左边需要添加的项是( ) A ．(1)2k k + B ．(1)12k k ++ C ．(1)(1)(2)[1][]22k k k k +++++⋯⋯+ D ．(1)(2)2k k ++【分析】写出n k =时，左边最后一项，1n k =+时，左边最后一项，由此即可得到结论 解：n k =时，左边最后一项为时，左边最后一项为1k =+，等式左边需要添加的项为一项为故选：D ．【点评】本题考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 2．（2019春•嘉定区期末）已知()2462n f n =+++⋯⋯+，则()f n l +比()f n 多了几项( ) A ．1B ．nC ．1n +D ．21n -【分析】由题意()f n ，写出()f n l +，然后推出()f n l +比()f n 多了几项． 【解答】解：由题意()2462nf n =+++⋯⋯+，*()n N ∈，1(1)2462(22)2n n n f n ++=+++⋯⋯++++⋯+，那么：1(1)()(22)(24)2n n n f n f n ++-=++++⋯+．则()f n l +比()f n 多了几项2 1n -．故选：D ．【点评】本题考查了对函数()f x 的理解和带值计算问题．属于基础题． 3．（2019春•广东期末）利用数学归纳法证明不等式1111()(22321n f n n +++⋯⋯+<-，*)n N ∈的过程，由n k =到1n k =+时左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项变到1n k =+时，左边增加的项数．∴由n k =变到1n k =+时，左边增加了121(21)2k k k +---=故选：D ．【点评】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 4．（2019春•长宁区期末）用数学归纳法证明11113(2)12224n n n n ++⋯+>++的过程中，设111()122k f k k k =++⋯+++，从n k =递推到1n k =+时，不等式左边为( ) A ．11()2k f k ++ B ．111()212k k f k ++++ C ．1111()2121k k f k k +++⋯+-++ D ．111()21k f k k ++-+ 【分析】当n k =时，写出左端，并当1n k =+时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．故选：C ．【点评】本题是基础题，考查数学归纳法的证明方法，就是n k =到1n k =+时的证明方法，找出规律解答．考点二 用数学归纳法证明不等式2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n 0+1，n 0+2，…，是否正确．在第二步中，n=k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少） ②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．1．（2016秋•杨浦区校级期中）用数学归纳法证明：*222111112(2)()23(21)21n n n n N +++⋯+<-∈--时第一步需要证明( ) A ．11221<--B ．221112221+<--C ．222111122321++<--D ．222211111223421+++<-- 【分析】直接利用数学归纳法写出2n =时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到2)n ， 故选：C ．【点评】在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证1n =时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误． 2．（2019春•鲤城区校级期末）用数学归纳法证明不等式1111127124264n -+++⋯+>成立，起始值至少应取为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10故选：B ．【点评】本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解轭关键是发现左边的规律，从而解决问题．课后综合巩固练习1．（2019春•绍兴期末）用数学归纳法证明“111111111(*)234212122n N n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+∈-++”，第一步应验证的等式是 11122-= ，从“n k =”到“n k l =+”左边需增加的代数式是 【分析】直接利用数学归纳法写出1n =时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到【解答】解：用数学归纳法证明从n k =到1n k =+时， 左边需增加的代数式是：【点评】在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证1n =时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误． 2．（2019春•淮安期中）用数学归纳法证明“*1111()1231n N n n n ++⋯+>∈+++，第一步，左边是111234++ 【分析】由不等式的特点，左边第一项的分母为1n +，最后一项分母为31n +，可得1n =的左边．【点评】本题考查数学归纳法的步骤，考查分析能力，属于基础题． 3．（2019春•广陵区校级月考）用数学归纳法证明不等式1111(,2)1231n N n n n n ++⋯∈+++从n k =到1n k =+时，左边的项数增加了 2 项．【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．故从n k =到1n k =+时，左边的项数增加了2项， 故答案为：2．【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．4．（2019春•徐州期中）用数学归纳法证明1111(2321n n n N ++++⋯+<∈-，1)n >时，第一步应验证的不等式是 111223++< ． 【分析】直接利用数学归纳法写出2n =时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到【点评】在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证0n n =时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．5．（2019春•常州期中）用数学归纳法证明等式：633123(*)2n n n n N ++++⋯+=∈，则从n k =到1n k =+时左边应添加的项为 333(1)(2)..(1)k k k ++++++ ．【分析】由数学归纳法可知n k =时，左端为1232k +++⋯+，到1n k =+时，左端左端为1232(21)(22)k k k +++⋯+++++，从而可得答案．解：用数学归纳法证明等式当1n =左边所得的项是1；假设n k =时，命题成立，左端为3123k +++⋯+，则当1n k =+时，左端为333123(1)(1)k k k +++⋯++++⋯++，∴由n k =到1n k =+时需增添的项是333(1)(2)..(1)k k k ++++++故答案为：333(1)(2)..(1)k k k ++++++．【点评】本题考查数学归纳法，着重考查理解与观察能力，考查推理证明的能力，属于中档题．6．（2019春•平遥县校级月考）用数学归纳法证明某个命题时，左边为12342345(1)(2)(3)n n n n ++⋯++++，从n k =到1n k =+左边需增加的代数式为(1)(2)(3)(4)k k k k ++++ ．【分析】从n k =到1n k =+时，左边需增加的代数式是22[2(1)1](21)k k +---，即可得出． 【解答】解：用数学归纳法证明左边为12342345(1)(2)(3)n n n n ++⋯++++的过程中， 从n k =到1n k =+时，左边需增加的代数式是(1)(2)(3)(4)k k k k ++++， 故答案为：(1)(2)(3)(4)k k k k ++++．【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．（2019春•叶集区校级月考）用数学归纳法证明“2222111(1)1n n a a a a a a++-+++⋯+=≠-”，在验证1n =时，左端计算所得项为 231a a a +++ ．【分析】当1n =时，左端的a 的次数由0次依次递增，最高次数为(21)n +次，从而可知1n =时，左端计算所得项．解：等式“左端和式中a 的次数由0次依次递增，当n k =时，最高次数为(21)k +次，在验证1n =时，左端计算所得项为231a a a +++， 故答案为：231a a a +++．【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、分析与推理能力，属于基本知识的考查．。
(word完整版)高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题,推荐文档
高中数学选修2–2知识点第一章 导数及其应用一．导数概念1.导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆。
导数的物理意义：瞬时速率。
2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时，割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ，我们说直线PT 与曲线相切。
割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3．导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1．若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2. 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5. 若()xf x a =, 则()ln x f x a a '= 6. 若()x f x e =,则()x f x e '=7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a'= 8. 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'=3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x ' ; (3)求方程()f x '=0的根;(4)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰(2)定积分几何意义：①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质： ①bbaakf (x)dx=k f (x)dx ⎰⎰②b b b1212aaa[f (x)f (x)]dx=f (x)dx f (x)dx ±±⎰⎰⎰③b c baacf (x)dx=f (x)dx+f (x)dx ⎰⎰⎰(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式ab f(x)F(b)-F(a),F x f x =⎰’其中（）=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章章末小结知识整合与阶段检测Word版含解析
(1)1⑴A? B i ? B 2?? B n ? B(A?⑵)2核丿必龙石纳P52](B?B i ?B 2? ?B n ?A.V 1 3$h 1的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当 论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的.对应阶段质量检测二I L 见8开试卷、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上 ） 1.（新课标全国卷I ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A , B , C 三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 _________ .解析：由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和C 城市，乙去过 A 城市或C 城市，结合乙 的回答可得乙去过 A 城市.答案：A2•周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积. 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大. 答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3. ________________________ 下列说法正确的是 .（写出全部正确命题的序号） ①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、 小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确.大前提和小前提中， 只要有一项不正确，则结论一定也不正确•故②错误.答案：①③④4. ___________ “因为AC , BD 是菱形ABCD 的对角线，所以 AC , BD 互相垂直且平分.”以上推理 的大前提是 .答案：菱形对角线互相垂直且平分 5.在平面上，若两个正三角形的边长比为 1 : 2,则它们的面积比为 1 : 4.类似地，在 空间中，若两个正四面体的棱长比为1 : 2,则它们的体积比为 __________ .n = k +1时结V 1 3$h 1i&'h L — 1 乂 1 _ 1S 2 h 2= 4 2 =8.解析:V 2 13皈6 ()10.F V E6 6 10 26 8 12 2F V E 2.—x J ―y 2 亦—x 2 1._2 x— 22 2,小、xOyx y r (r 0)1 121 2 22k 12k 1k 1?k 1 ?k22k 11n k 11 2ABCD2n 12n 1(n N *)2xmOA nOB (m n R ) 1 m 2 n 21(a b 0)ABCDm 2 n 2 mOA n)2 1m 2 n 2m n a m n p2 2m n2A(a b) B( a b) x 2 a 2狰12P （x y ）拿沽OP mOA nOB (m n R )(m11A 1A i ACBA a 1AA 1 a 2m 2n 2ABCA 2,A 1A 2a 3A 5A 62 AA 1 a 22 A 1A 2 a3 1A n 1A n12 a n nABCx>0n n4 x -2 x x 22 2x 1 4.n)2 BC 2/2. A BCA 1CA 3a 7a 7BC 2 2A 5A 62 21 4..n亚sin4 a n 2 a n27 x 飞 4 x27 3 x T xX x 3 4 AB ACa 7a 1 2 AA 1nn_ x n 1 x13.如图，第n 个图形是由正n + 2边形“扩展”而来(n = 1,2,3，…)，则第n 个图形中 共有 个顶点.解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 贝U a i = 3 + 3X 3, a 2= 4+ 4 X 4,…， a n -2 = n + n n ,a n =(n + 2)2+ n + 2 =『+ 5n + 6. 答案：n 2+ 5n + 614 .(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n 罗1 = 扩+芜记第n 个k 边形数为N(n , k)(k >3)，以 下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：1 2 1三角形数 N(n ,3) = ?n + §n , 正方形数 N( n,4) = n 2, 五边形数 N( n,5)=为2 — *n , 六边形数N( n,6) = 2n 2— n ,可以推测N(n , k)的表达式，由此计算 N(10,24) = ____________ .解析：N(n , k) = a k n 2 + b k n(k 》3),其中数列｛a k ｝是以殳为首项，殳为公差的等差数列；数 1 1 o列｛b k ｝是以乙为首项，一1为公差的等差数列；所以N(n,24)= 11n 2— 10n ,当n = 10时，N(10,24)=11 X 102— 10 X 10= 1 ooo.答案：1 000、解答题(本大题共6个小题，共90分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)设a>0 , b>0, a + b = 1，求证: 证明：■/ a>0, b>0, a + b = 1. 1 11 = a + b >2 ab , ab <?, ab <4, •••4当a = * b = 1时等号成立，1+ £ + + > 8.a b ab2(ab)1a 4. b1ab8. 16 14a 1 1 a ng"n N *) T n a 1 a 2 5a 3 52 a n 5n 1b n 6T n 5na n{b n } T na 1a 25a 3 52a n5n 1 5T n a 123a 2 5 a 3 5a n 15n 1a n 5n6T n a 1a 2)5 (a 2 a 3)(a n 1a n ) a n12521n5na n 5na n 5n6T n 5n a n17{b n }14 b n n ・sin 210 2 “cos 40 sin 10 cos 40sin 262 ccos 36sin 6 cos 363 4.40 10 30 36 6 302sincos 2(30 )sin cos(30 3 4.sin 2 sin 2sin 22cos (30cos 2(30 )sin cos(30 sin (cos 30 cos sin 30 sin cos 2(30 ,31 2 sin cos 2sin 2cos 2(301 cos2 4 1 cos(60◎咅sin 24 1 cos 2 4兴in 2 咅sin 2 4 4+ 1),18. (本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a , b , c<2，求证：(2 — a)b , (2- b)c ,(2 - c)a 不可能同时大于 1.证明：假设(2 - a)b>1，(2 - b)c>1，(2 - c)a>1， 则三式相乘：(2 - a)b(2 - b)c(2 - c)a>1 ① 而(2 - a)a < 1—严 2= 1, 同理，(2 - b)b < 1, (2 - c)c < 1, 即(2 - a)b(2 - b)c(2 - c)a < 1, 显然与①矛盾， 所以原结论成立.19. (本小题满分16分)数列｛a n ｝满足S n = 2n - a .(n € N *). (1)计算a 1, a 2, a 3, a 4,并由此猜想通项 a n 的表达式； ⑵用数学归纳法证明(1)中的猜想.解：(1)由 Si = 2n — a n ，得，a 1 = 2— a 1 ,即卩 a 1 = 1. 3S 2= a 1 + a 2= 4 — a ?，解得 a ?=S 3= a 1 + a 2 + a 3= 6 — a 3,解得 a 3= 4. Si = a 1 + a 2 + a 3+ a 4= 8— a 4,解得 a 4=. 820. (本小题满分16分)已知函数f(x) = 3X 2-x ，数列｛a n ｝满足条件：a 1> 1, a .+&f ' (a .1n -1 *由此猜想a n =~2^(n € N ). ⑵①当n = 1时，a 1= 1,结论成立. ②假设当n = k(k € N *)时，结论成立，即那么当 n = k + 1 时，a k +1 = S k +1 — S k = 2(k + 1) — a k +1 — 2k + a k = 2 + a k — a k +1,2k - 1 2+ok —1」+1 彳 ck +1 彳2 + a k22 -1 2 -1 则 a k +1= 2 =2= 2k - = 2 k +1 —1，这就是说当n = k + 1时，结论也成立. 根据①和②，可知猜想对任何 n € N *都成立, 2k - 1 a k = g k-1 ,即a n = 2n -1 *■^Fn G N ).n*(1)证明：a n 》2 - 1(n € N ).解：(1)证明：••• f '(X )= x 2 — 1, a n +1 >(a n +1)2— 1= a *+ 2a “.① 当n = 1时，a 1 > 1 = 21 — 1，命题成立;② 假设当n = k(k > 1, k € N *)时命题成立, 即a k > 2k — 1;那么当n = k + 1时，a k +1 》a k + 2a k = a k (a k + 2) > (2^— 1)(2k — 1 + 2)即当n = k + 1时，命题成立, 综上所述，命题成立. 1 1⑵••• an 》2n - 1，二 1 +爪2一 话三十丄+亠+•••+丄 J+1+ 1 + a 1+ 1 + a 2+ + 1 + a n 2 +2 十1⑵试比较订和• ••+古与1的大小，并说明理由.=22k — 1> 2—1.1 1+ 歹=1—歹 <1.。
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学科教师辅导讲义事实上，换一种表述：曲线上一点及其附近一点经过点、作曲线的割线则有(A B AB A B y y f x k x x x -==-00(,)P x y P Q PQ 0000()()PQ y y y k x x x +∆-∆==+∆-∆考点一：求平均变化率考点四：求曲线的切线方程例1、已知直线是曲线的切线，则的值为（ ）A ． eB ．–eC ．D ． 例2、已知函数f(x)＝xlnx ，过点A 作函数y ＝f(x)图象的切线，则切线的方程为________．例3、已知曲线y=x 3+．（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程．考点五：利用导数求解析式中的参数例1、若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．例2、已知直线与曲线相切，则的值为 ．例3、已知抛物线通过点，切在点处与直线相切，求的值．y kx =ln y x =k 1e1e-21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭313432()(2)2f x a x ax x =+-+()y f x =(1,(1))f --01=+-y x a x y +=ln a 2y ax bx c =++(1,1)(2,1)-3y x =-,,a b c10．求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离．11．设函数f(x)=ax+（a,b ∈Z ），曲线y=f(x)在点（2，f （2））处的切线方程为y=3．（1）求f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．12．偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x ）的解析式．课后反击1． 设，若，则a=（）A ．2B ．－2C ．3D ．不确定2．在曲线上切线的倾斜角为的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．D ． 3．已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定bx +1()4f x ax =+'(1)2f =2y x =4π11(,)16411(,)42III，文】已知式_____________________________.切过”① 求函数的增量：；② 求平均变化率：；③ 求极限，得导数：。
也可称为三步法求导数。
三、导数几何意义函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。
要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
四、曲线的切线（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标;②求出函数在点处的导数③得切线方程（2）在点处的切线与过点（x 0，y 0）的切线的区别。
在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点（x 0，y 0）的切线，则强调切线是过点（x 0，y 0），此点可以是切点，也可以不是切点。
因此在求过点（x 0，y 0）的切线方程时，先应判断点（x 0，y 0）是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点（x 0，y 0）代入，求得切点的坐标，进而求过点（x 0，y 0）的切线方程。
五、基本初等函数的导数1．常数函数的导数为0，即=0（为常数）．其几何意义是曲线（为常数）在任意点处的切线平行于轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数与自变量的（－1）次幂的乘积，即．3．在数学中，“”表示以为底数的对数；“”表示以10为底的常用对数．4．基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．00()()y f x x f x ∆=+∆-00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆()y f x =2121()()f x f x y x x x -∆=∆-()y f x =))(,(00x f x )(x f y =0x )(0x f '))(()(00x x x f x f y -'=-00(,())x f x 00(,())x f x 00(,())x f x ()f x 11(,())x f x 111'()()y y f x x x -=-11(,())x f x 'c c ()f x c =c x n n ()1()'nn x nxn -=∈Q ln ()e e =2.71828 lg本节课我学到了学科教师辅导讲义一、函数的单调性与导数的关系在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即时，为减函数．在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即时，为增函数．导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若，则在这个区间上为增函数；（2）若，则在这个区间上为减函数；（3）若恒有，则在这一区间上为常函数．反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．要点诠释：①导函数的正负决定了原函数的增减；②在区间(,)内，（或）是在区间(，)内单调递增（或减）的充分不必要条件．注意：只有当在某区间上有有限个点使时，（或）≡在该区间内是单调递增（或减）．例如：而在R 上递增．③当在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数．二、利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法：设函数在区间（，）内可导，（1）如果恒有，则函数在（，）内为增函数；（2）如果恒有，则函数在（，）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（，）内为常数函数．利用导数求函数单调区间的基本步骤'()240f x x =<()f x '()240f x x =>()f x ()y f x =()0f x '>()f x ()0f x '<()f x ()0f x '=()f x ()f x ()0f x '≥()f x ()0f x '≤a b '()0f x >()0f x '<()f x a b '()0f x =()0f x '≥()0f x '≤()f x 32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，()f x ()0f x '=()y f x =()y f x =a b '()0f x >()f x a b '()0f x <()f x a b '()0f x =()f x a b ()f x考点一：利用导数判断不含参函数的单调性例3、当时，求证：函数是单调递减函数．考点二：利用导数判断含参函数的单调性例1、已知函数，求导函数，并确定的单调区间．例2、判断函数（a ＞0）的单调性．例3、已知函数, 讨论函数的单调性．例4、已知函数f()=－+(－1)，()， 讨论函数的单调性．考点三：利用导数求参数的取值范围例1、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．0x >21()ln 2f x x x x =--22()(1)(1)x b f x x x -=≠-'()f x ()f x 2()1ln f x x a x x=-+-323()31f x ax x a=-+-()f x x 21x 2a x a ln x 1a >()f x 232()4()3f x x ax x x R =+-∈[]1,1-a•文21】已知函数本节课我学到了学科教师辅导讲义.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.求函数极值的的基本步骤：1、确定函数的定义域；2、求导数；3、求方程的根；4、检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值函数的最大值与最小值定理：若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.易错点：1、函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得；2、函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：1、求函数在内的导数；2、求方程在内的根；3、求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；4、比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.)(0x f y =极小值)(x f '0)(='x f '()f x ()y f x =],[b a )(x f ],[b a ),(b a )(x f 1()(0)f x x x=>()y f x =],[b a (,)a b ()y f x =],[b a )(x f ),(b a )(x f '0)(='x f ),(b a ),(b a 0)(='x f )(x f )(a f )(b f ()y f x =],[b a ()y f x =],[b a利用导数解决函数的极值等问题的取值的单调区间；并确定此时如果存在，请说明理由。
例2、已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.例3、设函数求的最小值;例4、已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围。
考点三：综合应用例1、利用导数求和：（1）S n =1+2x+3x 2+…+nx n －1（x ≠0,n ∈N *）（2）S n =C +2C +3C +…+nC （n ∈N *）2()1f x ax =+0a >3()g x x bx =+()y f x =()y g x =c ,a b 24a b =()()f x g x +(,1]-∞-22()log (1)log (1)(01),f x x x x x x =+--<<)(x f 231n 2n 3n n n实战演练，若函数y＝7、某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为千元．(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的．课后反击1、函数的定义域为区间（a ，b ），导函数在（a ，b ）内的图如图所示，则函数在（a ，b ）内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值803π2l r ≥(3)c c >y y r r ()f x '()f x ()f xB．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值3、函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( )5、设变量a，b满足约束条件Error!z＝|a－3b|的最大值为m，则函数f(x)＝13x3－m16x2－2x＋2的极小值等于( )A．－43B．－16C．2 D.1966、已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围．(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤：第一步：求函数f(x)的导数•理】已知函数的取值范围是（ ），则A．B．C．D．3、【2012•全国Ⅰ卷•理】设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D．4、【2015•全国Ⅰ卷•理】设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）A．[）B．[）C．[） D．[）5、【2015•全国Ⅰ卷•理】已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当 a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{ f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．。