圆锥曲线中的热点问题
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所以 kBM＝1＝kDE，所以 BM∥DE. 综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行．
栏目 导引
专题五 解析几何
方法归纳 与圆锥曲线有关的两类证明问题
一类是直接给出证明结论，其思路为将待证问题转化为与 点、线、向量等几何元素或斜率、长度等与数量有关的计算 问题求解．另一类是先判断后证明．
栏目 导引
的乘积为定值．
解：(1)由题意有
a2－b2＝ a
22，a42＋b22＝1，
解得 a2＝8，b2＝4.所以 C 的方程为x82＋y42＝1. 栏目 导引
专题五 解析几何
(2)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1，得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故 xM＝x1＋2 x2＝2－k22＋kb1，yM＝k·xM＋b＝2k2b＋1. 于是直线 OM 的斜率 kO M＝xyMM＝－21k， 即 kO M·k＝－12. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
点．
(1)求 E 的方程；
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面 积最大时，求 l 的方程．
栏目 导引
专题五 解析几何
[思路点拨] (1)用待定系数法求出 a、b，进而求出椭圆的方程． (2)设出直线方程，代入椭圆方程，从而建立面积的目标函数． [解] (1)设 F(c，0)，由条件知，2c＝2 33，得 c＝ 3. 又ac＝ 23，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故 E 的方程为x42＋y2＝1.
考点一 圆锥曲线中的判断与证明问题 [命题角度] 1．判断直线与曲线位置，再给出证明． 2．证明线线平行或垂直、多点共线问题． 3．证明线段相等问题．
栏目 导引
专题五 解析几何
(2015·高考北京卷改编)已知椭圆 C：x2＋3y2＝3，过点 D(1， 0)且不过点 E(2，1)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x＝3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)若直线 AB 的斜率存在，试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关 系，并说明理由． [思路点拨] (1)利用 e＝ac求离心率． (2)将直线 AB 的方程与椭圆方程联立，通过根与系数的关系可 求得直线 BM 的斜率等于直线 DE 的斜率，从而得到两直线平 行．
专题五 解析几何
1．活用公式与结论 (1)圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 ①几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意 义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关 系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值． (2)求定值问题常见的方法有两种 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而 得到定值．
专题五 解析几何
第3讲 圆锥曲线中的热点问题
专题五 解析几何
2016考向导航——适用于全国卷Ⅱ 圆锥曲线的综合问题包括：轨迹问题、探索性问题、定点与 定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问 题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核 心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知 识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解， 对考生的代数恒等变换能力、计算能力等有较高的要求．
2)．令 x＝3，得点 M3，y1＋x1－x1－2 3，
由xy＝2＋k3（y2x＝－31，），得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
栏目 导引
专题五 解析几何
所以 x1＋x2＝1＋6k32k2，x1x2＝31k＋2－3k32.
直线 BM 的斜率 kBM＝y1＋x1－3x1－－2x32－y2.
因为 kBM－1＝
k（x1－1）＋x1－3－k（x2－1）（x1－2）－（3－x2）（x1－2） （3－x2）（x1－2）
＝（k－
1）[－x1x2＋2（x1＋x2）－3] （3－x2）（x1－2）
栏目 导引
专题五 解析几何
＝（k－1（）3－－1x＋32k）32＋k（23x＋1－11＋22）k32k2－3＝0，
栏目 导引
专题五 解析几何
(2)当 l⊥x 轴时不合题意，
故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 y＝kx－2 代入x42＋y2＝1 得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>34时，
栏目 导引
专题五 解析几何
考点二 圆锥曲线中的最值、范围问题
[命题角度] 1．求参数的范围． 2．求弦长或图形面积的取值范围(或最值)等． 3．求所给式子的取值范围．
已知点 A(0，－2)，椭圆 E：ax22＋yb22＝1(a>b>0)的离心率为
23，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 3 3，O 为坐标原
专题五 解析几何
(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
22，点(2， 2)在 C 上．
(1)求 C 的方程；
(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，
B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率
栏目 导引
专题五 解析几何
2．辨明易错易混点 (1)解最值和范围问题要注意选取的变元一定要完全表达求解目 标所需的各个量，同时不应忽视变元的范围． (2)求解定点、定值 问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系 等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
栏目 导引Байду номын сангаас
专题五 解析几何
栏目 导引
专题五 解析几何
[解] (1)椭圆 C 的标准方程为x32＋y2＝1，
所以 a＝
3，b＝1，c＝
2.所以椭圆
C
的离心率
e＝ac＝
6 3.
(2)直线 BM 与直线 DE 平行．理由如下：
因为直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y＝k(x－1)(k≠1)．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AE 的方程为 y－1＝xy11－－12(x－
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专题五 解析几何
方法归纳 与圆锥曲线有关的两类证明问题
一类是直接给出证明结论，其思路为将待证问题转化为与 点、线、向量等几何元素或斜率、长度等与数量有关的计算 问题求解．另一类是先判断后证明．
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的乘积为定值．
解：(1)由题意有
a2－b2＝ a
22，a42＋b22＝1，
解得 a2＝8，b2＝4.所以 C 的方程为x82＋y42＝1. 栏目 导引
专题五 解析几何
(2)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1，得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故 xM＝x1＋2 x2＝2－k22＋kb1，yM＝k·xM＋b＝2k2b＋1. 于是直线 OM 的斜率 kO M＝xyMM＝－21k， 即 kO M·k＝－12. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
点．
(1)求 E 的方程；
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面 积最大时，求 l 的方程．
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专题五 解析几何
[思路点拨] (1)用待定系数法求出 a、b，进而求出椭圆的方程． (2)设出直线方程，代入椭圆方程，从而建立面积的目标函数． [解] (1)设 F(c，0)，由条件知，2c＝2 33，得 c＝ 3. 又ac＝ 23，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故 E 的方程为x42＋y2＝1.
考点一 圆锥曲线中的判断与证明问题 [命题角度] 1．判断直线与曲线位置，再给出证明． 2．证明线线平行或垂直、多点共线问题． 3．证明线段相等问题．
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专题五 解析几何
(2015·高考北京卷改编)已知椭圆 C：x2＋3y2＝3，过点 D(1， 0)且不过点 E(2，1)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x＝3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)若直线 AB 的斜率存在，试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关 系，并说明理由． [思路点拨] (1)利用 e＝ac求离心率． (2)将直线 AB 的方程与椭圆方程联立，通过根与系数的关系可 求得直线 BM 的斜率等于直线 DE 的斜率，从而得到两直线平 行．
专题五 解析几何
1．活用公式与结论 (1)圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 ①几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意 义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关 系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值． (2)求定值问题常见的方法有两种 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而 得到定值．
专题五 解析几何
第3讲 圆锥曲线中的热点问题
专题五 解析几何
2016考向导航——适用于全国卷Ⅱ 圆锥曲线的综合问题包括：轨迹问题、探索性问题、定点与 定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问 题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核 心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知 识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解， 对考生的代数恒等变换能力、计算能力等有较高的要求．
2)．令 x＝3，得点 M3，y1＋x1－x1－2 3，
由xy＝2＋k3（y2x＝－31，），得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
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专题五 解析几何
所以 x1＋x2＝1＋6k32k2，x1x2＝31k＋2－3k32.
直线 BM 的斜率 kBM＝y1＋x1－3x1－－2x32－y2.
因为 kBM－1＝
k（x1－1）＋x1－3－k（x2－1）（x1－2）－（3－x2）（x1－2） （3－x2）（x1－2）
＝（k－
1）[－x1x2＋2（x1＋x2）－3] （3－x2）（x1－2）
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专题五 解析几何
＝（k－1（）3－－1x＋32k）32＋k（23x＋1－11＋22）k32k2－3＝0，
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专题五 解析几何
(2)当 l⊥x 轴时不合题意，
故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 y＝kx－2 代入x42＋y2＝1 得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>34时，
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专题五 解析几何
考点二 圆锥曲线中的最值、范围问题
[命题角度] 1．求参数的范围． 2．求弦长或图形面积的取值范围(或最值)等． 3．求所给式子的取值范围．
已知点 A(0，－2)，椭圆 E：ax22＋yb22＝1(a>b>0)的离心率为
23，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 3 3，O 为坐标原
专题五 解析几何
(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
22，点(2， 2)在 C 上．
(1)求 C 的方程；
(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，
B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率
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专题五 解析几何
2．辨明易错易混点 (1)解最值和范围问题要注意选取的变元一定要完全表达求解目 标所需的各个量，同时不应忽视变元的范围． (2)求解定点、定值 问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系 等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
栏目 导引Байду номын сангаас
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专题五 解析几何
[解] (1)椭圆 C 的标准方程为x32＋y2＝1，
所以 a＝
3，b＝1，c＝
2.所以椭圆
C
的离心率
e＝ac＝
6 3.
(2)直线 BM 与直线 DE 平行．理由如下：
因为直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y＝k(x－1)(k≠1)．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AE 的方程为 y－1＝xy11－－12(x－