1 随机现象
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5
研究对象
问：下面的现象哪些是随机现象？ A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度； C. 上抛物体一定下落； D. 新生婴儿的体重.
6
研究对象
问：随机现象是不是没有规律可言?
否！
在一定条件下对随机现象进行大量观测 会发现某种规律性.
7
研究对象
例如： 一门火炮在一定条件下进行射击，个别
炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误 差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规 律性，如一定的命中率，一定的分布规律等 等.
则称之为随机试验，简称为试验
18
1.1 随机试验
寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.
19
1.1 随机试验
我们用E表示一个随机试验.
则随机试验E的基本结果称为样本点 用ω或 e
随机试验E的所有基本结果的集合称为样本空间
用Ω＝{ω} 或 用s＝{e}
20
Ω
.
样本点ω
1.1 随机试验
10
研究对象
问： “天有不测风云”和“天气可以预报” 有矛
盾吗? 无！
“天有不测风云”指的是随机现象一次 实现的偶然性. “天气可以预报”指的是研究者从大量 的气象资料来探索这些偶然现象的规律
11
总结
从表面上看，随机现象的每一次观 察结果都是随机的，但多次观察某个随机 现象，便可以发现，在大量的偶然之中存 在着必然的规律.
第一章 随机事件及概率
1
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性.
2
研究对象
确定性现象: 事先可预言其结果，或根据它过去
的状态，在相同的条件下可预言其 将来的结果。 例如： 1. 在一个标准大气压下水加热到 100C时必 沸腾 2. 同性的电荷必然互斥 货币发到过量会导致通货膨胀
在一次试Hale Waihona Puke Baidu中可能发生也可能不发生的
事件称为随机事件，简称事件
22
1.2 随机事件
例如，在掷骰子试验中，
“掷出12点”
23
1.2 随机事件
随机事件的特点： ➢ 偶然性 ➢ 规律性
24
基本事件
（相对于观察目的 事 不 可再分解的事件） 件
复合事件
如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点} i =1,2,3,4,5,6
➢ 事件的交(积) 如果事件A和事件B同时发生
➢ 事件的差 如果事件A发生而事件B不发生
29
1.4 随机事件的运算
类似于集合的运算，事件的运算具有如下 运算规律
➢ 交换律 ➢ 结合律 ➢ 分配律 ➢ 对偶律(德摩根律)
30
12
总结
随机现象有其偶然性一面，也有其 必然性一面，这种必然性表现在大量重复 试验或观察中随机现象所呈现出的固有规
律性，称为随机现象的统计规律性.
13
概率论的研究对象----
随机现象的统计规律性
14
• 随机试验 • 随机事件 • 样本空间 • 样本点
15
1.1 随机试验
为了研究和揭示随机现象的统计规律性， 我们需要对随机现象进行大量重复的观察、 测量或试验。为了方便，将它们统称为试验
3
研究对象
随机性现象: 事先不可预言其结果，或根据它过
去的状态，在相同的条件下不可预 言其将来的结果。 例如： 1. 扔硬币出现正面与反面 2. 掷骰子出现的点数
4
研究对象
随机现象的特点:
带有随机性、偶然性的现象.
当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试 验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的 某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知 其结果，即呈现出偶然性. 或者说，出现哪个 结果“凭机会而定”.
例 抛掷一枚硬币，观察正面和反面出现 的情况(将这两个基本结果依次记为ω1和 ω2)，则该试验的样本空间为： 例 抛掷一枚骰子，观察 出现的点数，将 基本结果“出现i点”记为ωi
(i=1,2,3,4,5,6)，则该试验的样本空间为：
21
1.2 随机事件
我们把随机试验E的样本空间Ω＝{ω}的子
集称为随机试验E 的随机事件，简称为 事件。用大写字母A,B,C表示
8
研究对象
又如：
在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子 的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动 量和方向. 但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定 性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定 的，呈现“无序中的规律”.
9
研究对象
再如：
测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环 境的影响，每次测量的结果可能是有差异的. 但多次 测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于 一常数，并且诸测量值大多落在此常数的附近，越 远则越少，因而其分布状况呈现“两头小，中间大， 左右基本对称”.
16
1.1 随机试验
如果试验具有如下特点： (1) 可重复性
试验可以在相同的条件下重复进行多次，甚至 进行无限多次
(2) 可观测性
每次试验的所有可能结果都是明确的、可以观 测的，并且每次试验的可能结果在两个或两个 以上
17
1.1 随机试验
如果试验具有如下特点： (3) 随机性
每次试验出现的结果是不确定的，在试验之前 无法预先确定究竟会出现哪一个结果
（两个或一些基本事件并在一 起，就 构成一个复合事件）
事件 B={掷出奇数点}
25
1.2 随机事件
两个特殊事件： 例如，在掷骰子试验中， ➢ 必然事件 “掷出点数小于7”是必然事件 在试验中必然发生的事件 ➢ 不可能事件 常用φ表示 在每次试验中都不发生的事件 而“掷出点数8”则是不可能事件
26
1.3 随机事件的关系
➢ 事件的包含 如果事件A发生时事件B一定发生
➢ 事件的相等 如果事件A和事件B相互包含
27
1.3 随机事件的关系
➢ 事件的互不相容(互斥) 如果事件A和事件B在同一次试验中不能 同时发生
➢ 事件的互逆(对立) 如果在每一次试验中，事件A和事件B有 一个且仅有一个发生
28
1.4 随机事件的运算
➢ 事件的并(和) 如果事件A和事件B至少有一个发生
研究对象
问：下面的现象哪些是随机现象？ A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度； C. 上抛物体一定下落； D. 新生婴儿的体重.
6
研究对象
问：随机现象是不是没有规律可言?
否！
在一定条件下对随机现象进行大量观测 会发现某种规律性.
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研究对象
例如： 一门火炮在一定条件下进行射击，个别
炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误 差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规 律性，如一定的命中率，一定的分布规律等 等.
则称之为随机试验，简称为试验
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1.1 随机试验
寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.
19
1.1 随机试验
我们用E表示一个随机试验.
则随机试验E的基本结果称为样本点 用ω或 e
随机试验E的所有基本结果的集合称为样本空间
用Ω＝{ω} 或 用s＝{e}
20
Ω
.
样本点ω
1.1 随机试验
10
研究对象
问： “天有不测风云”和“天气可以预报” 有矛
盾吗? 无！
“天有不测风云”指的是随机现象一次 实现的偶然性. “天气可以预报”指的是研究者从大量 的气象资料来探索这些偶然现象的规律
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总结
从表面上看，随机现象的每一次观 察结果都是随机的，但多次观察某个随机 现象，便可以发现，在大量的偶然之中存 在着必然的规律.
第一章 随机事件及概率
1
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性.
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研究对象
确定性现象: 事先可预言其结果，或根据它过去
的状态，在相同的条件下可预言其 将来的结果。 例如： 1. 在一个标准大气压下水加热到 100C时必 沸腾 2. 同性的电荷必然互斥 货币发到过量会导致通货膨胀
在一次试Hale Waihona Puke Baidu中可能发生也可能不发生的
事件称为随机事件，简称事件
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1.2 随机事件
例如，在掷骰子试验中，
“掷出12点”
23
1.2 随机事件
随机事件的特点： ➢ 偶然性 ➢ 规律性
24
基本事件
（相对于观察目的 事 不 可再分解的事件） 件
复合事件
如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点} i =1,2,3,4,5,6
➢ 事件的交(积) 如果事件A和事件B同时发生
➢ 事件的差 如果事件A发生而事件B不发生
29
1.4 随机事件的运算
类似于集合的运算，事件的运算具有如下 运算规律
➢ 交换律 ➢ 结合律 ➢ 分配律 ➢ 对偶律(德摩根律)
30
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总结
随机现象有其偶然性一面，也有其 必然性一面，这种必然性表现在大量重复 试验或观察中随机现象所呈现出的固有规
律性，称为随机现象的统计规律性.
13
概率论的研究对象----
随机现象的统计规律性
14
• 随机试验 • 随机事件 • 样本空间 • 样本点
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1.1 随机试验
为了研究和揭示随机现象的统计规律性， 我们需要对随机现象进行大量重复的观察、 测量或试验。为了方便，将它们统称为试验
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研究对象
随机性现象: 事先不可预言其结果，或根据它过
去的状态，在相同的条件下不可预 言其将来的结果。 例如： 1. 扔硬币出现正面与反面 2. 掷骰子出现的点数
4
研究对象
随机现象的特点:
带有随机性、偶然性的现象.
当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试 验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的 某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知 其结果，即呈现出偶然性. 或者说，出现哪个 结果“凭机会而定”.
例 抛掷一枚硬币，观察正面和反面出现 的情况(将这两个基本结果依次记为ω1和 ω2)，则该试验的样本空间为： 例 抛掷一枚骰子，观察 出现的点数，将 基本结果“出现i点”记为ωi
(i=1,2,3,4,5,6)，则该试验的样本空间为：
21
1.2 随机事件
我们把随机试验E的样本空间Ω＝{ω}的子
集称为随机试验E 的随机事件，简称为 事件。用大写字母A,B,C表示
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研究对象
又如：
在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子 的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动 量和方向. 但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定 性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定 的，呈现“无序中的规律”.
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研究对象
再如：
测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环 境的影响，每次测量的结果可能是有差异的. 但多次 测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于 一常数，并且诸测量值大多落在此常数的附近，越 远则越少，因而其分布状况呈现“两头小，中间大， 左右基本对称”.
16
1.1 随机试验
如果试验具有如下特点： (1) 可重复性
试验可以在相同的条件下重复进行多次，甚至 进行无限多次
(2) 可观测性
每次试验的所有可能结果都是明确的、可以观 测的，并且每次试验的可能结果在两个或两个 以上
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1.1 随机试验
如果试验具有如下特点： (3) 随机性
每次试验出现的结果是不确定的，在试验之前 无法预先确定究竟会出现哪一个结果
（两个或一些基本事件并在一 起，就 构成一个复合事件）
事件 B={掷出奇数点}
25
1.2 随机事件
两个特殊事件： 例如，在掷骰子试验中， ➢ 必然事件 “掷出点数小于7”是必然事件 在试验中必然发生的事件 ➢ 不可能事件 常用φ表示 在每次试验中都不发生的事件 而“掷出点数8”则是不可能事件
26
1.3 随机事件的关系
➢ 事件的包含 如果事件A发生时事件B一定发生
➢ 事件的相等 如果事件A和事件B相互包含
27
1.3 随机事件的关系
➢ 事件的互不相容(互斥) 如果事件A和事件B在同一次试验中不能 同时发生
➢ 事件的互逆(对立) 如果在每一次试验中，事件A和事件B有 一个且仅有一个发生
28
1.4 随机事件的运算
➢ 事件的并(和) 如果事件A和事件B至少有一个发生