分式函数求最值

分式函数的图象及性质和值域（4，13班） 耿

在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！ 【知识要点】

1．函数(0,)ax b

y c ad bc cx d

+=≠≠+

（1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d

c c

-∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a

c c

-

（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b

y

ax a b x

=+

>>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4

）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b

y ax a b x

=+

><的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 4．函数(0)b

y ax a x

=+

<

类型一：(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+（

“一次比一次”型） 备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。 例1。函数1

1

+-

=x y 的图象是 （ ）

A B C D

例2、画出函数21

1

x y x -=

-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+=

==+---，

即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1

y x

=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

12

111211

y y y x x x =

−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数21

1

x y x -=

-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)

(2,)-∞+∞；

x

O

y

x

O

y

1

2

x

O

y 1

对称中心：(1,2)。

例3.不等式1

4x x

>

的解集为 （ ）

1111111. (,0)(,) . (-,)(,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,)

2222222A B C D -+∞∞-+∞-∞-

类型二：22,bx c dx ex f

y or y dx ex f bx c

+++==+++，（“一次比二次”或“二次比一次”型）

备注：处理这种分式函数时主要用换元法，即“照着低次配高次”，然后在分离变形。

例4、设1x >，求函数221

1

x x y x -+=-的最小值．

例5、 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。

例6：1

43442122+-=⋅=∆k k PQ d S OPQ

，求面积函数的取值范围

例7、求函数22

54

x y x +=

+的值域。

例8.已知函数2

()ax b

f x x c

+=+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为

（ ）

. . . .A a b c B a c b C b a c Db c a >>>>>>>>

类型三：22

ax bx c y dx ex f

++=++，（“二次比二次”型） 备注：处理这种分式函数时主要是先分离，再用类型二的方法去处理。

例9：函数221

x x

y x x -=-+的值域是

例10、求函数22

45

(),[0,2]43

x x f x x x x ++=∈++的值域．

类型四：“二次比四次型”

备注：处理这种分式函数时，若二次仅有二次项，则直接将其换元后分离，若二次项比较复杂时，则先将二次转化为完全平方因式，再用换元法拆分后变形

例11．求

42

21

x x

y

x

-

=

+

的值域

例12．

求

24

2

2

2

e e

e

λ

-

=

-

．的值域，

类型五：“四次比四次型”：

例13

：2

()1)

ABC

S f k k

∆

==>，求面积函数的取值范围

例14求四边形PMQN面积S=

)2

()

1(2 4

2

2

2

2 +

+

k k k

的取值范围