分式函数求最值

合集下载

分式型函数的最值求法及简单应用

分式型函数的雏形是反比例函数），＝（ｋ ≠
０），通过对函数图像的平移，可得到形式为“ Ｙ＝口＋
时，－等号成立．１
所以函数的最小值为２ √ ＋３，此时＝ √ ＋２．
由于函数形式符合了基本不等式的“ 一正数，
二定值，三相等” 的要求，于是顺理成章的借助基本不等式完成了本题（２）仍然可整理孥化为（１）中的函数形式，但由于ｔ的范围限制，故基本不等式在本题中不能使用了，并目该函数不是初等函数，故必厮Ｕ用导数说明单调性
处不展开说明．
（＞２）；（３ ≤ ≤５）．
６Ｏ・
＜数学之友）
２０１５年第２Ｏ期
解法二： ‘ ． ‘ ∈Ｒ，． ‘ ．分子分母Ｉ
＝
时，要注恿
０的情况分开讨论：
② ｔ ∈ 【一丢，。）ｕ（。，】时，，，＋＿＝＝＿
．
．
．＞０时，＋ ≥２（当且仅当：１时，等号
一
ｔ＝一
成立） ’ ．．．＋．＝１－
ｌ ≥１，ｙＥ（０，１］．
．
‘
１
・
．
・菇＜０时，＋ ≤一２（当且仅当＝一１时，
一
所以，综上，函数的最小值为一１，此时＝３；
这类函数与“ ” 型的处理方式有一定相同之处，第一步也是“ 分离常数” ，然后转化为 “ ” 型
＝，一耥（２一一１）２＝一（２一一１＜）２、ｏｕ ’

分式型函数求极限的方法总结

黑龙江科学HEILONGJIANG SCIENCE第12卷第7期2021年4月Vol. 12Apr. 2021分式型函数求极限的方法总结孔敏，王娟，梁登星(北京科技大学天津学院，天津301811)摘要：对分式型函数求极限的方法进行总结，以％T%和为例进行说明。

对分式型函数而言，要先判断分母的极限，再判断分子的极限,要选择正确简单的做题方法，注意洛必达法则的使用条件。

关键词：分式型函数;极限；方法总结中图分类号：0171 -4 文献标志码：B 文章编号：1674-8646(2021 )07 -0128 -02Summary of Fraction Function Ultimate MethodKong Min , Wang Juan , Liang Dengxing(Tianjin College , University of Science and Technology Beijing, Tianjin 301811 , China)Abstract : The research summarizes the fraction function ultimate method , and explains through the example of x —%0 and . For fraction function , it is necessary to judge the extremity of the denominator first , and then judge theextremity of numerator. It is suggested to conectly select simple problem solving method , and pay attention to the service conditions of L' Hospital's rule.Key words : Fraction function ； Extremity ； Method summaiy0引言为0时,根据无穷大和无穷小的关系，取分式函数的倒数求极限。

函数详解之分式函数

函数详解之分式函数30.函数xa x x f -=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）．⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；⑶求函数)(x f y =在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．解：（1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立，即0)2)((2121>+-xx ax x 只要212x x a -<即可，由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ，故a 的取值范围是]2,(--∞；（3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调增，无最小值，当1=x 时取得最大值a -2；由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a-上单调减，在]1,[22a -上单调增，无最大值，当22a x-=时取得最小值a22-．31.已知函数21()(0,0,)ax f x a b c R bx c+=>>∈+是奇函数，当0x >时，有()f x 最小值2，其中b N ∈，且5(1)2f =．(Ⅰ)试求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)问函数()f x 的图像上是否存在关于点（1,0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解 (Ⅰ)由2211()()ax ax f x f x bx cbx c++-=-⇒=--++，即bx c bx c -+=--，0c ∴= ……………………………………………2分0,0,0a b c >>= ，21()ax f x bx+∴=b a∴= ……………………4分又515(1)22a f b+<∴<，即221525202b b b b+<⇒-+<12()1,2b b N b⇒<<∈⇒=∴11abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………6分(Ⅱ)设00(,)M x y关于点(1,0)的对称点为N，则00(2,)N x y--，………………8分00020000121122y xxx xy xx⎧=+⎪⎪∴⇒--⎨⎪-=-+⎪-⎩⇒01222xy⎧=+⎪⎨=⎪⎩或01222xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………11分∴存在两点(12,22)M+与(12,22)N--关于点(1,0)对称.………12分32.已知函数2211()af xa a x+=-，常数0>a．（1）设0m n⋅>，证明：函数()f x在[]m n，上单调递增；（2）设0m n<<且()f x的定义域和值域都是[]m n，，求常数a的取值范围．解:（1）任取1x，],[2nmx∈，且12x x<，12122121()()x xf x f xa x x--=⋅，因为12x x<，1x，],[2nmx∈，所以12x x>，即12()()f x f x<，故)(xf在],[nm上单调递增．或求导方法．（2）因为)(xf在],[nm上单调递增，)(xf的定义域、值域都是⇔],[nm(),()f m m f n n==，即nm,是方程2211aa a xx+=-的两个不等的正根1)2(222=++-⇔xaaxa有两个不等的正根．所以04)2(222>-+=∆aaa，222a aa+>⇒12a>33.已知定义域为R的函数abxfxx++-=+122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt∈，不等式0)2()2(22<-+-ktfttf恒成立，求k的取值范围.解（1）因为)(xf是R上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=babf解得即从而有.212)(1axfxx++-=+又由aaff++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+xx xx f由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x xx f又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t kt t t tt即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-kt t t tt k t整理得12232>--kt t，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得34.已知函数()a f x x x =-.(1)若13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,求实数a 的取值范围;(2)设1,a x y k =+=,若不等式22()()()2k f x f y k≥-对一切,(0,)x y k ∈恒成立,求实数k的取值范围.解: (1)令8a t x x=-+,则要使13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,则/21080a t xa t x x ⎧=-≥⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎩在[1,)+∞上恒成立,则21180a x a ⎧≥-≥-⎨-+>⎩所以, 19a -≤< (7)分 (2) 2222111()()()()()x y x yf x f y x y x y xy-++=--=222221212(0)4k xy x yk kxy xy xyxy-++-==++<≤. (10)分令u xy=,则221()()2,(0,]4k kf x f y u u u-=++∈当2214kk -≥即0252k <≤-时,21()()2k f x f y u u -=++在2(0,]4ku ∈上为减函数,所以 2222min22142[()()]22()4424kk kk f x f y kkk-=++=+-=-即当0252k <≤-时,22()()()2k f x f y k≥-……………………………12分当2214kk -<,222min 242[()()]2122()42kk f x f y k kk=-+<+-=-与题意不合.所以,所求的k 的取值范围为 : 0252k <≤-. ………………………14分35.（本小题满分14分）设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β（α＜β），函数14)(2+-=x a x x f ．（Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；（Ⅱ）证明f (x )是[α，β]上的增函数；（Ⅲ）当a 为何值时，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝2a ，α·β＝－1，∴α2＋β2＝242+a，∴f (α)·f (β)＝1)(41614142222222+++++-=+-⋅+-ββαβααβββααa aa a a41241216222－=++++--=aa a ．……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：当α≤x ≤β时，22\22\\)1()1)(4()1()4()(++--+-=xx a x xa x x f222222)1()22(2)1(2)4()1(4+---=+⋅--+=x ax x x xa x x ………… 6分∵α、β是方程2x 2－ax －2=0的两根， ∴当α≤x ≤β时，恒有2x 2－ax －2≤0， ∴)(\x f ≥0，又)(x f 不是常函数，∴)(x f 是[α，β]上的增函数．……………………………………………… 9分（Ⅲ）f (x )在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，又∵| f (α)·f (β) |＝4， ……………………………………………………… 10分 ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥4)()(2=⋅βαf f当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2 …… 11分∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-)2(022)1(21422 ββββa a……………………………………… 13分由（1）、（2）得0)16(2=+a a ，∴a ＝0为所求．…………………………………………………… 14分 36.已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，21)(xt x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-，又切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………（2）由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴1111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ．∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ．依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分)64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+nn ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴nn ，3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件．因此，m 的最大值为6． ……………………………14分解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．1664≥+nn ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ．37.已知函数xa x y +=有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2xc（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋xa 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝nx x )1(2+＋nx x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．（理）解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b2，则226b=，∴2log 9b =（2）设120x x <<，222221212122222112()(1)c c c y y x x x x xxx x-=+--=--⋅.当412c x x <<时，21y y >，函数22c y x x=+在[4c ,+∞)上是增函数；当4120x x c <<<时，21y y <，函数22c y x x=+在(0,4c ]上是减函数.又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；（3）可以把函数推广为(0)n na y x a x=+>，其中n 是正整数.当n 是奇数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,在(－∞,－na 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数；当n 是偶数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－na 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；21()()nF x x x=++nx x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nnn n rn rn r n n n n nnn xx C xx C xxC xxC ++++++++----因此()F x 在 [21,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数.所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924nn⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +.38已知函数()()2211xf x x R x x-=∈++.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若()2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有2222a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥22a b λμλμ+-+.【解】（Ⅰ）()()()()()()()()22222223232121111x x x x xx x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⋅----++-+-⎣⎦⎣⎦'==++++∴()f x 的增区间为()23,23---+，()f x 减区间为(),23-∞--和()23,-++∞.极大值为()23233f -+=，极小值为()23233f --=-.…………4′（Ⅱ）原不等式可化为()22211t x e x x-++≥由（Ⅰ）知，1x ≤时，)(x f 的最大值为332.∴()22211xx x-++的最大值为433，由恒成立的意义知道433t e ≥，从而433t ln≥…8′（Ⅲ）设()()()22101xg x f x x x x x x-=-=->++则()()()()()243222224124621111x x x x x x g x f x x x x x -++++++''=-=-=-++++.∴当0x >时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，又当a 、b 、λ、μ是正实数时，()()222220a b a b a bλμλμλμλμλμλμ-⎛⎫++-=- ⎪+++⎝⎭≤ ∴222a b a bλμλμλμλμ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭≤. 由()g x 的单调性有：222222a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥，即222222a b a b a b a bf f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥.…………12′ 39.(本题12分) 已知函数()1bx c f x x +=+的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若数列{}n a (*)n N ∈满足：()2110,1,()n n n a a a f a +>==，求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论．解 (Ⅰ) 因为函数()1bx c f x x +=+ 的图象过原点，所以c =0，即()1bx f x x =+.又函数()11bx bf x b x x ==-++的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以1,()1xb f x x ==+。

圆锥曲线解题中几种分式型函数最值的求法

圆锥曲线解题中几种分式型函数最值的求法在圆锥曲线解题中，我们常常会遇到各种分式型函数，并需要求出函数的最值。

本文将介绍几种常见的分式型函数最值求解方法，帮助读者更好地解决相关问题。

一、分式函数求极值的常见方法在解析几何中，我们常常遇到形如f(x) = P(x) / Q(x) 的分式函数，其中P(x)和Q(x)分别是x的多项式函数。

要求解该分式函数的最值，可以使用以下几种方法：1. 利用导数法求解导数法是最常用的方法之一。

通过求解函数的导数，再通过导数的性质来确定函数的最值点。

具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导数f'(x)；（2）求解f'(x)=0的解，即为函数f(x)的驻点；（3）将驻点和函数的定义域的端点进行比较，找出函数的最值。

2. 利用等价变形法求解有时，我们可以通过等价变形将分式函数转化为新的形式，从而更容易求解最值。

常见的等价变形方法有：（1）分子分母同乘以相同的因式，从而将分式函数简化成更简单的形式；（2）将分式函数展开为多项式，然后通过求解多项式的最值来求解分式函数的最值；（3）将分式函数分解成若干个部分，然后通过分别求解每个部分的最值，再综合得出总的最值。

二、若干种分式型函数的最值求法1. 高斯型函数高斯型函数是一种形如f(x) = e^(-ax^2 + bx + c)的分式函数。

其中a, b, c为常数。

对于这种类型的函数，我们可以通过以下步骤来求解最值：（1）求出函数的导数f'(x)；（2）求解f'(x) = 0的解，即为函数的驻点；（3）将驻点与函数定义域的端点进行比较，找出函数的最值。

2. 有理分式型函数有理分式型函数是指分子和分母都是多项式函数的函数。

对于这种类型的函数，我们可以使用以下方法来求解最值：（1）对函数进行等价变形，将分子分母简化为最简形式；（2）找出函数的定义域以及分母为零的点，剔除无定义的点；（3）求解导数f'(x)=0的解，即为函数的驻点；（4）将驻点与函数定义域的端点进行比较，找出函数的最值。

分式函数最值求解方略

６
口２
６
项，设该等差数列的公差为ｔ，则
ａｚ
一
ｙ－一ｉ十— １Ｅ — ＣＣ一— ＣＯＳ — ２０十— ｓｉｎ — ｚ０一
（１＋ｔａｎ）＆＋（１＋ｃｏｔ。）ｂ一
ｙ
ｂ２
一
￡，
－
＋
的最小值．
解法５设＝＝＝（４７，ｊｉ－ｘ），一（，．＝二），
解法１因为Ｏ＜ｘ＜ｌ，ａ，ｂ为正数，可令Ｙ一１一
ｘ＞Ｏ，有ｚ＋一１，所以
＿厂（ｚ）一Ｅ＋Ｅ
则ｌｍｌ：（）＋（￣／
１一Ｚ得ｙｌ一一２《Ｃ＋Ｌ１一Ｚ．
，
令一０得唯一极值点ｚ —
Ｙ，一（ｎ＋６）．
，所以当ｚ—
时，
１问题的提出
函数最值问题是高中数学的重点内容，也是高考考查的重点内容，而近年来的高考试题中出现了一些
当
．
又 ≠ ０，所以 △一（６。～ａ～）一４ｙａ ≥０，整
理得Ｙ一２（日。＋６）ｊ，＋（ａ～６。） ≥Ｏ．
Ｚ
一 Leabharlann １一时，等号成立，此时 — ａ
ｏ．＿＿
故
故 ≤ （ｎ－ｂ），或 ≥ （口＋６）．
（１－ｘ）ａ＋ｘｂ，即ｙｘ＋ｌｚ（６－ａ－ｙ）＋口一０．

高考高频考点2二次型分式函数求最值

第2讲二次型分式函数求最值知识与方法我们把y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数统称为“二次型分式函数”，这些函数求最值的方法是类似的，通常有均值不等式法、判别式法、求导法等，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.典型例题【例题】函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()2211111113t t t t y t tt t +−++++===++≥+=，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法2（判别式法）：将211x x y x −+=−变形为()211y x x x −=−+，整理得：()2110x y x y −+++=①，将式①看出关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y ∆=+−+≥，解得：1y ≤−或3y ≥，因为1x >，所以10x −>，210x x −+>，从而0y >，故3y ≥，注意到当2x =时，3y =，所以函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法3（求导法）：设()211x x f x x −+=−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 23f x f ==.【答案】3 变式1 函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()22111131111t t y t t t t t t ===≤=+++−++++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13.解法2（判别式法）：将211x y x x −=−+变形成()211y x x x −+=−，整理得：()2110yx y x y −+++=①，当0y ≠时，把①看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y y ∆=−+−+≥⎡⎤⎣⎦，解得：113y −≤≤，注意到当2x =时，13y =，所以函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13. 解法3（求导法）：设()211x f x x x −=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()012f x x '>⇔<<，()02f x x '<⇔>，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()max 123f x f ==.【答案】13变式2 函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()()22222112211111x x x x x x y x x x x x x −+−−−+−===−−+−+−+，令1t x =−，则0t >，1x t =+，且()()221211111131111t t y t t t t t t =−=−=−≥=+++−++++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法2（判别式法）：将22221x x y x x −+=−+变形为()22122y x x x x −+=−+，整理得：()()21220y x y x y −+−+−=，当1y ≠时，将该方程看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()()224120y y y ∆=−−−−≥，解得：223y ≤≤()1y ≠，注意到当2x =时，23y =，所以函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法3（求导法）：设()22221x x f x x x −+=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 223f x f ==. 【答案】23【反思】从上面的几个例子可以看到，y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数这三种“二次型分式函数”求最值的方法是类似的，在三种方法的选择上，一般首选均值不等式法，判别式法和求导法作为备选方案. 变式3函数y =的最大值为________.【解析】设t ，则1t ≥，221x t =−，且211444t y t t t ===≤=++，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时x =，所以函数y =14.【答案】14变式4函数y =________.【解析】设t ，则2t ≥，224x t =−，且222115411t y x x t t t====+++++，易得函数()1t t tϕ=+在[)2,+∞上，所以()()min522t ϕϕ==，故函数25y x =+的最大值为25. 【答案】25强化训练1.（★★）函数21x y x =−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =−，则0t >，1x t =+，且()22212112241t x t t y t x t t t +++====++≥=−，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法2（判别式法）：将21x y x =−变形成()21y x x −=，整理得：20x yx y −+=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式240y y ∆=−≥，所以0y ≤或4y ≥，因为1x >，所以0y >，从而4y ≥，注意到当2x =时，4y =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法3（求导法）：设()21x f x x =−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x >⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 24f x f ==.【答案】42.（★★）函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =+，则1x t =−，因为04x ≤≤，所以15t ≤≤，且()()22211223443311t t x x t t y t x t t t −−−+−+−+====+−≥=+，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时1x =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法2（判别式法）：将221x x y x −+=+变形成()212y x x x +=−+，整理得：()2120x y x y −++−=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()21420y y ∆=+−−≥，解得：7y ≤−或1y ≥，因为04x ≤≤，所以10x +>，220x x −+>，从而0y >，故1y ≥，注意到当1x =时，1y =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法3（求导法）：设()221x x f x x −+=+()04x ≤≤，则()()()()2311x x f x x +−'=+，所以()014f x x '>⇔<≤，()001f x x '<⇔≤<，从而()f x 在[)0,1上，在(]1,4上，故()()min 11f x f ==.【答案】13.（★★★）函数2211x x y x x ++=−+的值域为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()2222212121111x x x x x xy x x x x x x −++++===+−+−+−+，当0x =时，1y =；当0x ≠时，2111y x x=++−，易求得12x x +≤−或12x x +≥，所以113x x +−≤−或111x x +−≥，从而220131x x−≤<+−或20211x x <≤+−，所以113y ≤<或13y <≤，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.解法2（判别式法）：()22221111x x y y x x x x x x ++=⇒−+=++−+，整理得：()()21110y x y x y −−++−=①，当1y =时，0x =；当1y ≠时，方程①可以看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()221410y y ∆=+−−≥，解得：133y ≤≤()1y ≠，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★）函数2sin 12sin x y x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为________.【解析】设sin t x =，则212t y t =+，因为02x π≤≤，所以01t ≤≤，当0t =时，0y =；当01t <≤时，1142y t t=≤=+，当且仅当12t t =，即2t =时等等号，此时4x π=，所以函数2sin 12sin xy x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为4. 【答案】45.（★★★）函数22y x =+的最大值为________.【解析】设t =，则1t ≥，且211112t y t t t ====≤=++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时0x =，所以函数y =12.【答案】1 26.（★★★）函数y=的最小值为________.【解析】设1t=+，则1t≥，()211x t=−+，所以()22211124332444t t ty tt t t⎡⎤−+−−+⎣⎦====+−≥−=−，当且仅当32tt=，即t=y=的最小值为4.【答案】−4。

均值不等式的应用——分式二次型函数求最值

均值不等式的应用——分式二次型函数求最值
段军长
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2012(000)005
【摘要】算术平均数与几何平均数之间的不等关系式称为均值不等式.它是几个正数和与积转化的依据,不但可以直接解决和与积的不等问题,而且通过结合不等式的性质、函数的单调性等还可以解决其他形式的不等式问题．
【总页数】2页(P8-9)
【作者】段军长
【作者单位】甘肃省会宁县第一中学，730700
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.二次函数在闭区间上的最值问题两类轴对称问题的辨析小议辅助角公式的求解策略抽象函数问题分类例析均值不等式的应用与分析对称问题中参数范围的一种求解策略关于解不等式问题的若干策略简化解析几何计算的若干策略“定”，“动”相宜——二次函数在闭区间上的最值问题 [J], 蔡永强
2.用均值不等式和单调性求二次分式的值域 [J], 文明云
3.求分式型函数最值的方法 [J], 吕谦
4.浅议巧用均值不等式求条件分式最值 [J], 赵省淳;
5.谈求分式型函数最值(或值域)的解法 [J], 何红星
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

圆锥曲线解题中几种分式型函数最值的求法

圆锥曲线是数学中的重要概念，涉及到解题中几种分式型函数最值的求解方法。

在本文中，我将深入探讨这些方法，以帮助您更好地理解和应用这些概念。

我们需要了解什么是圆锥曲线以及其相关的分式型函数。

圆锥曲线包括抛物线、椭圆和双曲线，它们在数学和物理问题中具有广泛的应用。

而分式型函数则是指函数中含有分式的表达式，常见的形式为f(x) =p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式函数。

在解题中，我们经常需要求解这些函数的最值，即最大值或最小值。

接下来，我将逐一介绍几种分式型函数最值的求法。

1. 使用导数法求解最值：对于给定的分式型函数f(x) = p(x)/q(x)，我们可以通过求解导数f'(x) = 0来找出函数的极值点。

通过判断导数的符号和函数的凹凸性，我们可以确定函数的最值所在的区间。

2. 利用特殊点求解最值：对于特定的分式型函数，我们可以寻找其在定义域内的特殊点，如端点、奇点或者函数值为0的点。

通过研究这些特殊点的性质，我们可以找到函数的最值。

3. 运用参数法求解最值：对于含有参数的分式型函数，我们可以引入参数来化简函数，然后再对参数进行讨论，以求解函数的最值。

这种方法在一些特殊的问题中具有较好的适用性。

通过以上三种方法，我们可以有效地求解分式型函数的最值，从而更好地理解和应用圆锥曲线的相关概念。

在解题过程中，我们还需要注意一些常见的问题和技巧。

在讨论函数的极值点时，需要考虑导数不存在的情况，这通常对应着函数的奇点；在使用参数法求解最值时，需要注意参数的取值范围，以避免出现无解或者重复解的情况。

通过对圆锥曲线解题中几种分式型函数最值的求法进行全面的介绍和讨论，希望能够帮助您更好地掌握这些概念，并在解题中灵活运用这些方法。

我个人认为，掌握这些方法不仅可以帮助我们解决数学问题，更重要的是培养了我们的逻辑思维能力和数学建模能力，这对我们的综合素质提升有着积极的作用。

圆锥曲线解题中几种分式型函数最值的求解方法是数学学习中的重要内容，通过深入理解和掌握这些方法，我们可以更好地应对数学问题，提升数学解题的能力。

“二元转一元”经典完美例题

第二讲多元函数最值和分式函数最值最值问题是高考中出现最广泛，也是最有难度的一类问题，我们解题的基本思路是将要讨论的某个问题的最值用几个变量先表示出来，然后利用题目所给已知条件，将目标函数转化为单（主）变量函数，从而利用导数，均值不等式，三角换元等工具解决函数最值。

函数题目中经常有多变量函数，一般都是转化为单变量，一定注意其主元变化范围，而解析几何中的最值基本都是单变量，主变量范围一般是：直线与圆锥曲线的位置关系中∆的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；下面的例子精选出来，希望同学们认真练习，熟悉各种情况下最值问题的处理能力。

题型一：二元转化为一元的经典考题例1.已知,,0a b R x ∈>时，不等式ln ax b x +≥恒成立，则a b +的最小值？变形：已知,,0a b R x ∈>时，不等式xax b e +≤恒成立，则a b +的最大值？例2.已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+；（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()(1)2f x x a x b ≥+-+，求ab 的最大值。

例3.设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()21224In f x ->例4.已知函数(1)()ln .1a x f x x x -=-+ （Ⅰ）若函数()(0,)f x +∞在上为单调增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）设.,n m ，n m >且为正实数求证：2ln ln nm n m n m +<--.例5.直线y a =分别与曲线()21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则||AB 的最小值例6.已知函数．（1）求函数的最大值；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；()ln f x x =()()1g x f x x =+-0x ∀>()21f x ax x ≤≤+a（3）若，求证：．例7.已知函数21()ln,()22x x f x g x e -=+=，对于,(0,)a R b ∀∈∃∈+∞使得()()g a f b =成立，则b a -的最小值为（）例8.已知函数f (x )＝22,0,ln ,0,x x a x x x ⎧++<⎨>⎩其中a 是实数．设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2.(1)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2＜0，求x 2－x 1的最小值； (2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．120x x >>()()1222212122f x f x x x x x x ->-+例9.已知函数,曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）若,求的最大值．题型二：解析几何中分式函数的最值分式函数求最值的主要过程是：先分离，或者换元后凑配分离，一般遵循“照着简单配复杂的”，即低次换元，高次表示。

3.求函数最值问题常用的10种方法

【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验
证g(y)＝0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内的值，若是，则使g(y)＝0的y的值在函数的值域内，否则相反．
八、平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．
一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．
【例8】已知函数y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为
m
M ，最小值为m ，则的值为
M
A.14
B.12
C.
2 2
()
D.
3 2
分析本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义
域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进
而可以利用二次函数的最值解决．
1－x≥0，解析由题意，得
x＋3≥0，

分式函数最值求解方略

分式函数最值求解方略
分式函数是一种数学中普遍存在的函数，它把一般函数分解为几部分的组合。

对分式函数的最值求解一直是数学学习者的重要内容。

求解分式函数最值的方法有各种各样，用哪种方法要看分式表达式的特点，根据题目的要求按照不同的情况来进行求解。

首先，要求解分式函数最值，需要了解分式函数的特点。

分式函数就是把一般函数分解为若干不同部分，从因数分解到偏导数、极值点，都属于分式函数的求解范畴。

其次，要求解分式函数最值，还要依赖数学分析方法。

比如，我们要求解分式函数的极值点，先根据分式函数的特点、性质求出其偏导数形式，然后再构造相应的偏导数函数，为求极值点求解。

接下来，要求解分式函数最值，需要利用平均值定理和牛顿迭代法。

比如，如果我们要求解分式函数极值点，我们可以使用平均值定理计算其偏导数，并利用牛顿迭代法求出其极值点。

最后，要求解分式函数最值，也可以借助于数值计算的方法。

比如，如果要求分式函数的极值点，我们可以建立一组网格，运用插值法、三点一次拟合精确求出目标的函数值，最后可以求出该函数的极值点。

总而言之，求解分式函数最值的方法很多，根据具体的分式函数特点及问题要求，采用不同的数学分析方法和数值计算方法，都可以求出分式函数的最值，从而解决复杂问题。

求函数最值的方法总结

求函数最值的常用以下方法：1．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．例1 设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.【思路】先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a 的值．【解析】 ∵a >1，∴函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴函数在区间[a,2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ，log a a ＝1.∴log a 2＝12，a ＝4.故填4.【讲评】解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m ，n ]上的最值：若函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．例2 (1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________．【解析】方法一：设1－x＝t(t≥0)，∴x＝1－t2，∴y＝x＋21－x＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，∴当t＝1即x＝0时，y max＝2.方法二：f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－11－x，由f′(x)＝0得x＝0.0＜x≤1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．x＜0时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．∴当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝2.(2)求函数y＝x＋4－x2的值域．【解析】换元法：由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴设x＝2cosθ(θ∈[0，π])，则y＝2cosθ＋4－4cos2θ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin(θ＋π4)，∵θ＋π4∈[π4，5π4]∴sin(θ＋π4)∈[－22，1]，∴y ∈[－2,22]．3.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法．例3 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值．【思路】将函数表达式按e x ＋e －x 配方，转化为关于变量e x ＋e －x 的二次函数．【解析】 y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2 ＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2. 令t ＝e x ＋e －x ，f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2.∵t ≥2，∴f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y ＝f (t )的对称轴为t ＝a ，∴当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2；当a <0时，y min ＝f (a )＝a 2－2.【讲评】利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．4．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)；a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)；ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．例4 设x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．【思路】先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．【解析】因为x －2y ＋3z ＝0，所以y ＝x ＋3z2，所以y 2xz＝x 2＋9z 2＋6xz4xz.又x ，z 为正实数，所以由基本不等式，得y 2xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．故y 2xz的最小值为3.故填3.【讲评】本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．5．平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例5 已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.32【思路】本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．【解析】由题意，得⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}．又两边平方，得y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋21－xx ＋3.所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，∴选C【讲评】对于形如y ＝a －cx ＋cx ＋b 的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y 2＝(a ＋b )＋2a －cx cx ＋b 的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．6．数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．例6对a ，b ∈R ，记max |a ，b |＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max ||x ＋1|，|x －2||(x ∈R )的最小值是________．【思路】本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解．【解析】由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，所以x ≥12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图像如图所示．由图形易知，当x ＝12时，函数有最小值，所以f (x )min ＝f (12)＝|12＋1|＝32. 7．导数法设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．例7 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．【思路】先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值．【解析】因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝1(舍去)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.【讲评】(1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．8．线性规划法线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法．线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：(1)由条件写出约束条件；(2)画出可行域，并求最优解；(3)根据目标函数及最优解，求出最值．例8 已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点O为坐标原点，那么|OP|的最小值等于________，最大值等于________．【思路】本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值．【解析】由题意，得点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1.画出可行域，如图所示．由条件，得A (2,2)，|OA |＝22； B (1,3)，|OB |＝10；C (1,1)，|OC |＝ 2.故|OP |的最大值为10，最小值为 2.。

分式函数求最值

在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！【知识要点】1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+的图象和性质：（1）定义域：{|}dx x c ≠-（2）值域：{|}a y y c ≠（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c=-=，对称中心为点(,)d a c c- （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。

（6）图象：如图所示。

2．函数(0,0)b y ax a b x=+>>的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥≤-或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(,∞-∞上是增函数；在区间上是减函数（5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。

3．函数(0,0)b y ax a b x=+><的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。

（5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。

4．函数(0)b y ax a x=+<的图象（如图所示）和性质（略）： 0b >0b <类型一：(,,,)ax b y a b c d R cx d+=∈+（“一次比一次”型）备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。

例1。

函数11+-=x y 的图象是（）A B C D例2、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。

分式最大值

分式最大值
摘要：
1.分式的基本概念
2.分式的最大值问题
3.求分式最大值的方法
4.分式最大值问题的应用
正文：
一、分式的基本概念
分式是数学中一种表达式，它由分子和分母组成，通常用斜杠“/”表示。

分式可以用来表示两个量的比值，比如速度、密度等。

在代数学、微积分等数学领域中，分式有着广泛的应用。

二、分式的最大值问题
在分式的运用过程中，我们常常会遇到求分式最大值的问题。

求分式最大值的方法有很多，但需要注意的是，在求解过程中要保证分式有意义，即分母不能为零。

三、求分式最大值的方法
1.求导法：对于一元分式函数，我们可以通过求导数的方法来求解最大值。

首先对分式函数进行求导，然后令导数等于零，求解出使导数为零的自变量值，最后将这些值代入原函数，得到最大值。

2.配方法：对于一些特殊的分式函数，我们可以通过配方法来求解最大值。

具体来说，就是将分式函数化为一个完全平方的形式，从而求得最大值。

3.利用基本不等式：在一些特殊情况下，我们可以利用基本不等式（均值不等式）来求解分式的最大值。

四、分式最大值问题的应用
求分式最大值的问题在实际应用中有很多，比如在经济学中的最大利润问题、物理学中的最优化问题等。

掌握求分式最大值的方法，有助于解决实际问题，提高数学运用能力。

例谈简单分式型正、余切三角函数最值（值域）的求法

案例分析新课程NEW CURRICULUM函数最值和值域的求法是高中数学函数的一个重点，也是难点，更是每年高考的热点.而三角函数最值和值域的求法比一般函数最值和值域的求法，其解题过程要更复杂，解题方法要更灵活，解题技巧要更多样.本文就以简单分式型正、余切三角函数为例，对其最值和值域的求法加以归类并指出解题方法.例1.求函数y =tan x +1tan x -1的值域.解法1：（“1”的代换与公式法的结合）原函数等价于y =tan π4+tan x1-tan π4tan x =-tan （x +π4），因为x ≠k π+π2且x ≠k π+π4，所以x +π4≠k π+3π4且x +π4≠k π+π2，从而-tan （x +π4）≠-tan （k π+3π4）=-tan 3π4=1，即y ≠1.所以原函数的值域为y ∈｛y|y ≠1｝.点评：上面的解题过程，要注意“1”代换的内容和两角和与差正切公式的正确运用。

解法2：（分离常数法）原函数可化为：y =tan x -1+2tan x -1=1+2tan x -1，因为2tan x -1≠0，所以1+2tan x -1≠1，即y ≠1，从而原函数的值域为y ∈｛y |y ≠1｝.现在的高中生物教学情况仍不乐观，虽然高中生物也是高考的重要学科，但是很多学生对其不感兴趣。

生物学科没有得到很好的重视。

为了改变这样的情况，我们生物老师要及时发现问题，了解学生学习心理，改变教学模式和方法，提高学生生物学习能力。

一、高中生物教学中存在的问题1.忽略了学生的主体地位很多课堂上都是老师在讲台上唱“独角戏”，老师通常在课堂上花费很多的时间和精力讲课，但学生的收获甚微，久而久之，学生就会逐渐地听不懂课，随后就会失去学习兴趣，甚至产生厌学心理。

2.只注重知识的讲授，忽略了学生的创新思维在生物教学中，很多老师只看重高考教学重点的讲授，忽略了学生思维能力的培养。

受我国应试教育的影响，老师会对知识点尽可能详细地讲，让学生反复练习，使学生在规定时间内掌握更多的考点。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

分式函数的图象及性质和值域（4，13班）耿
在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！【知识要点】
1．函数(0,)ax b
y c ad bc cx d
+=≠≠+
（1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d
c c
-∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a
c c
-
（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。

（62．函数(0,0)b
y
ax a b x
=+
>>的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4
）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。

3．函数(0,0)b
y ax a b x
=+
><的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。

（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。

4．函数(0)b
y ax a x
=+
<
类型一：(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+（
“一次比一次”型）备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。

例1。

函数1
1
+-
=x y 的图象是（）
A B C D
例2、画出函数21
1
x y x -=
-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+=
==+---，
即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1
y x
=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。

如下表所示：
12
111211
y y y x x x =
−−→=−−→=+--右上由此可以画出函数21
1
x y x -=
-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)
(2,)-∞+∞；
x
O
y
x
O
y
1
2
x
O
y 1
对称中心：(1,2)。

例3.不等式1
4x x
>
的解集为（）
1111111. (,0)(,) . (-,)(,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,)
2222222A B C D -+∞∞-+∞-∞-
类型二：22,bx c dx ex f
y or y dx ex f bx c
+++==+++，（“一次比二次”或“二次比一次”型）
备注：处理这种分式函数时主要用换元法，即“照着低次配高次”，然后在分离变形。

例4、设1x >，求函数221
1
x x y x -+=-的最小值．
例5、求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。

例6：1
43442122+-=⋅=∆k k PQ d S OPQ
，求面积函数的取值范围
例7、求函数22
54
x y x +=
+的值域。

例8.已知函数2
()ax b
f x x c
+=+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为
（）
. . . .A a b c B a c b C b a c Db c a >>>>>>>>
类型三：22
ax bx c y dx ex f
++=++，（“二次比二次”型）备注：处理这种分式函数时主要是先分离，再用类型二的方法去处理。

例9：函数221
x x
y x x -=-+的值域是
例10、求函数22
45
(),[0,2]43
x x f x x x x ++=∈++的值域．
类型四：“二次比四次型”
备注：处理这种分式函数时，若二次仅有二次项，则直接将其换元后分离，若二次项比较复杂时，则先将二次转化为完全平方因式，再用换元法拆分后变形
例11．求
42
21
x x
y
x
-
=
+
的值域
例12．
求
24
2
2
2
e e
e
λ
-
=
-
．的值域，
类型五：“四次比四次型”：
例13
：2
()1)
ABC
S f k k
∆
==>，求面积函数的取值范围
例14求四边形PMQN面积S=
)2
()
1(2 4
2
2
2
2 +
+
k k k
的取值范围。