久期和凸度
《久期与凸度》课件
用风险等。
3
影响因素的分析
我们将分析各个因素对市场利率和债 券价格的影响，以帮助我们更好地理 解债券市场。
Байду номын сангаас
久期概念
基本定义
久期是指债券价格对利率变动的敏感性。
久期的特点
久期越高，债券价格对利率变动的敏感性越大，反之亦然。
关键影响因素
债券期限、票面利率、市场利率和债券价格的关系等因素都会对久期产生影响。
久期的计算方法
公式方法
表格方法
通过数学公式计算债券的久期。
利用Excel等软件进行计算，提 高计算效率。
在线计算器
利用互联网上的在线计算器， 快速准确地计算债券久期。
久期的应用
1
债券投资方面
利用久期来评估债券价格的风险和回报，帮助投资者合理配置投资组合。
2
债务管理方面
使用久期来管理公司负债结构，优化债务组合，降低融资成本。
价值投资
通过寻找久期和凸度不匹 配的债券，并对其进行价 值投资，在波动性较大的 债券市场上实现超额收益。
传统投资组合的风险控制方法
风险多样化
将不同行业、不同股票、不同 债券组合在一起，降低整个投 资组合的风险。
市值平衡
通过平衡不同股票和债券的市 值，降低整个投资组合的波动 性。
目标收益
通过预设目标收益，明确投资 组合的风险收益特征，制定相 应投资策略。
3
情景模拟
利用久期和凸度，对债券价格波动的不同情景进行模拟，制定应变措施，提高投 资组合的回报率。
久期和凸度的投资组合
动态平衡
在投资组合构建中，根据 不同债券的久期和凸度， 动态调整投资组合的持仓 比例，以保持投资组合的 风险回报平衡。
久期凸度的定义、表达式以及背后的数学原理
久期、凸度的定义及数学推导目录1久期D (1)1.1久期定义 (1)1.2久期表达式 (2)1.3久期作用 (2)1.3.1 衡量加权平均期限 (2)1.3.2 测度利率敏感性 (3)2 凸度C (5)2.1凸度定义 (5)2.2表达式 (5)2.3数学原理 (5)1久期D1.1久期定义久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性（一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏感度。
（二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。
比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。
（三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。
1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2）美元久期： D ** =D *P 公式（3）【CFt ：债券每期现金流】；【r ：到期收益率或市场利率】；【t ：债券期数】。
1.3久期作用1.3.1 衡量加权平均期限麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；1.3.1.1 数学原理从公式（1）t P r t ∑==+=nt 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +；求证：权重加总求和∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1t t =+∑==t r ） =P p1 =11.3.2 测度利率敏感性当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。
金融工程学-第六章久期与凸度
三、久期值的计算方法
1.列表法，这便是上文所有计算久期的方法。 2.封闭式久期计算法 3.有效久期计算法 计算公式
四、久期的性质及应用
1.久期的性质 久期的性质或特点有如下几条： （1）久期值与债券期限长度成正比。具体又有： ①债券期限越长，麦考莱久期和修正久期就越长； ②附息债券的麦考莱久期和修正久期均小于其到期时间，三者的关系是： D修＜D麦＜n ③零息债券的麦考莱久期等于债券本身的期限，修正久期小于债券期限。
四、资产组合的凸度
在利用凸度进行风险管理时，首先遇到的是计算资产组合的凸度，资产 组合的凸度定义为：资产组合的凸度等于资产组合中的各个证券凸度的 加权平均，权重是各个证券的价值。有时还用到资产的价值凸度，价值 凸度的定义为： 价值凸度=价格×凸度 资产组合的价值凸度定义为： 资产组合的价值凸度=资产组合的价格×资产组合的凸度
一、久期概述
（3）久期的一般表达式 由上所述，可得久期的一般表达式为：
一、久期概述
（4）久期概念的用途：久期可用来表示不可提前赎回债券面临的利率风 险。它考察债券价格对利率变动的敏感性的衡量指标，具体说，久期是 债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。
一、久期概述
3.修正（Modified）久期 这是实际应用中经常使用的一种久期形式。它是由麦考莱久期衍生出来 的， 修正久期的定义为：
四、久期的性质及应用
（3）预测利率上涨，买入久期较短息票利率较高的债券，因为债券价格 下跌较少（因为快要到期时，价格向价值回归，没有下跌空间）。 （4）一个债券组合的久期为组合中各个债券久期的加权平均值，具体含 义看下一个内容。
五、资产组合的久期
1.一个资产组合的久期的标准定义是：资产组合的久期等于组成资产组合 的各个资产的久期的加权平均（这里的久期是指修正久期），权重是各 个资产的现值。与资产组合久期的定义相对应的是资产组合的收益率， 资产组合的收益率定义为：资产组合的收益率是资产组合的现金流的到 期收益率。
久期和凸性——精选推荐
四、利率的久期与凸性（一）久期久期有许多不同的形式和解释。
几种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。
1．麦考莱久期“久期”又叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。
当被运用于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表示的可用于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。
久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接方法，久期越长，利率风险越大。
麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；用于所有未来现金流的贴现率是固定的。
其中：D——久期Ct——t时的现金流R——到期收益率(每期)P——债券的现价N——到期前的时期数；t——收到现金流的时期。
上述公式给出了理解麦考莱久期的方法。
它表明时间的权重是每期收到的现金流的现值。
每一贴现的现金流都代表了债券现金流现值的一部分。
如果加总债券所有的贴现现金流，就得到了债券的价格。
麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：2．修正久期债券价格等于与债券相关的现金流的现值：我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：上述公式表示了当债券收益率发生很小变动时以美元表示的债券价值发生的变动。
将公式两边同时除以债券价格便得到了每一单位利率百分比变动时债券价格的百分比变动：上述公式是修正久期的表达式。
括号中的项是麦考莱久期公式的分子。
因而修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：修正久期显示了与债券到期收益率的小变动相关的价格百分比变化。
注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率水平的运动方向相反是一致的。
实际上，久期的负号常常被忽略。
3．封闭式久期这一方法的优点在于计算简便，这也是为什么大多数计算久期的软件程序都使用封闭形式的公式。
债券的久期和债券的凸度
一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
P
T t 1
Ct (1 y)t
（4-1）
债券久期为
Ct
D T t[ (1 y)t ]
t 1Biblioteka P（4-2）例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表4-2给出了这两种债券久期的计算。结果 表明，零息票债券的久期就等于它的到期期 限，而息票债券的久期比它的到期期限短。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
久期法则5：无限期债券的久期为
1 y y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1 y y
(1
T y)T
1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于
1 y
y
1 y c[(1
T y)T
表5-1 美国主要债券指数的资产组合
项目
莱曼兄弟指数
美林指数 所罗门指数
债券种数
6500种以上
5000种以上 5000种以上
上述债券的期限 不包括的债券
≥ 1年
垃圾债券、可转 换债券、鲜花债
券、浮息债券
≥ 1年
≥ 1年
垃圾债券、 垃圾债券、
可转换债券、 可转换债券、
鲜花债券
浮息债券
权重
市值
市值
市值
40 40 40 1040
38.095 36.281 34.553 855.611
4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
dP
久期与凸度
，为YearConvexity的4倍。
例10：三种债券到期收益率分别为5%，5.5%和6%，票 息率都为5.5%，结算日为1999年8月2日，到期日为 2004年6月15日，每年付2次息，应计天数法则为 ACT/ACT。求凸度。 解：
21.1839 PerConvexity = 20.8885 84.7357
例4：一项投资各期现金流如上表，贴现率为 0.025，问该项投资的久期是多少？
解： >> cashflow= [2000 2000 3000 4000 5000]; >> [Durartion,
ModDuration]=cfdur(cashflow,0.025) Durartion = 3.4533
• 这是重要的风险管理方法。在 同等要素条件下,修正久期小 的债券较修正久期大的债券抗 利率上升风险能力强,但抗利 率下降风险能力较弱。
王鑫
07级王鑫说：利率 上升风险是债券价 格下降的风险，这 时,修正久期小的债 券下降就小所以 修正久期小的债券 较修正久期大的债 券抗利率上升风险 能力强。
例2：已知某种债券当前的市场价格为125美元， 当前的市场年利率为5%，债券的久期为4.6年， 求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价 格将发生怎样的市场变化？
>> Yield=[0.05, 0.05, 0.06];>> CouponRate = 0.055;
>> Settle = '02-Aug-1999';>> Maturity='15-Jun-2004';
第17章 固定收益证券的久期与凸度计算
对于一年付息一次的债券来说，按复利贴现的价格决定公式为
式中：P为债券的价格；C为每年支付的利息；M为票面价值；n为所余年数；r为 必要收益率；t为第t次。
17.2.1
计算公式
3. 到期收益率 一般地讲，债券收益率有多种形式，以下仅简要介绍债券的内部到期收益率
的计算。内部到期收益率在投资学中被定义为把未来的投资收益折算成现值使之
17.2.2
债券定价计算
2. prdisc函数 MATLAB的Financial Toolbox提供计算折价债券价格的prdisc函数。 函数语法： Price=prdisc(Settle,Maturity,Face,Discount,Basis) 输入参数 Settle：作为序列时间号或日期串进入，必须早于或等于到期日； Maturity：作为日期串进入； Face：票面价值； Discount：债券的银行折现率，是分数； Basis：计算日期的基础。 输出参数： Price：价格（净价）。
《金融数量分析——基于MATLAB编程 》
17.1 基本概念
固定收益证券也称为债务证券，是指持券人可以在特定的时间内取得固定的收 益并预先知道取得收益的数量和时间，如固定利率债券、优先股股票等。
固定收益证券能提供固定数额或根据固定公式计算出的现金流。
按照我国现在已有的固定收益证券的品种，可以把他们简单地分为4 类： ① 信用风险可以忽略的债券，包括国债、央行票据、金融债和有担保企业债；
StartDate: (可选项)债权实际起始日（现金流起始日）。当预计未来的工具时，用
它标明未来的日期，如果没有特别说明StartDate，起始日是settlement date。 Face: (面值)默认值是100元。 输出参数：
债券久期与凸度的Matlab实现
案例分析：债券久期与凸度的Matlab实现一、计算公式（一）债券久期麦考利久期（Macaulay duration）是利用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的jia全平均，其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
普通债券的久期如下式所示：D=∑PV(c t)×t Tt=1P式中，D是麦考利久期；P是债券的当前市场价格；PV(c t)是债券未来第t期现金流（利息或面值）的现值；T是债券的到期时间。
（二）债券凸度由于债券价格与收益率之间的关系曲线存在凸向原点的非线性特征，当收益率大幅波动时，久期不能准确地描述债券价格对利率变动的敏感性。
为纠正久期的这种不足，引入凸度或凸性的概念。
与久期一样，凸度也是度量债券价格波动性的方法。
凸度越大，债券价格曲线弯曲程度越大，用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。
凸度的计算公式如下：d2p dy2=∑t(t+1)c t(1+y)t+2凸度的性质如下：第一，凸度随久期的增加而增加。
若收益率、久期不变，则票面利率越大，凸度越大。
利率下降时，凸度增加。
第二，对于没有隐含期权的债券来说，凸度总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。
第三，含有隐含期权的债券的凸度一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。
二、Matlab实现（一）债券久期1、根据价格计算久期Matlab的Financial Toolbox提供了给定债券期限与价格计算久期的函数为bnddurp。
常用调用格式如下：[ModDuration, YearDuration] = bnddurp(Price, CouponRate, Settle, Maturity, Period, Basis)主要输入参数：➢Price：债券净价➢CouponRate：票面利率➢Settle：结算日➢Maturity：到期日➢Period：年付息次数，默认值为2，可选0、1、2、3、4、6、12。
久期及凸度
A、久期公式及其推导
P0 1 2CF3 TCFT 1 1 1CF1 (1 y) (1 y)2 (1 y)T P y P0 1 y 0
1CF1 2CF3 TCFT 1 1 T CFt 令 D 2 T (1 y) (1 y) (1 y) P0 P0 t 1 (1 y)t 我们称之为Macualay久期。从而我们有， P0 1 1 D y P0 1 y
显然，对贴现债券而言，其持续期就等于其到期 期限。因为贴现债券只有到期时才会发生现金流。 即，
CF1 CF2 CFT 1 0
B、是什么决定了久期？——久期定理
T CFt CFT P0 PV t (1 y) (1 y)T t 1 t 1 T
CFT 1 T 1 0 D t (1 y )t T (1 y)T T P t 1 0
步骤一：计算各期现金流的现值
步骤二：计算债券的内在价值或价值
步骤三：计算各期现金流现值占内在价值的比重；
步骤四：以比重为权重，以时间为乘数，计算全部 付款作为现值收回的加权平均时间。
例2-8
银行有一期限为两年的贷款，每年产生100元的 现金流量，贴现率为10%，求该贷款的持续期。
先求贷款的内在价值或现值：
如下例：假定收益率上升了200个基点，譬如 从9%上升到11%，那么利用公式我们得到债 券价格变动百分比近似值为：
P0 MDy 10.62*2% 21.24% P0
这显然与表1-2所列出的的结果-18.03相差甚 远。这样，我们就不得不寻找更为精确的刻画 债券价格波动的方法——凸度了。
P c c c .... 2 3 1 y (1 y ) (1 y )
固定收益债券久期和凸度[解说]
![固定收益债券久期和凸度[解说]](https://img.taocdn.com/s3/m/f6fc4f10773231126edb6f1aff00bed5b9f3731b.png)
固定收益债券久期和凸度久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
久期收益率变化1％所引起的债券全价变化的百分比。
久期用来衡量债券价格对利率变化的敏感性。
债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此风险也越大。
在降息时，久期大的债券上升幅度较大；在升息时，久期大的债券下跌的幅度也较大。
因此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
具体地说,有公式其中,dy表示收益率的变化,dP表示价格的变化,D*表示修正久期,C表示凸性。
修正久期的具体计算公式为修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
在同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
凸性利用久期衡量债券的利率风险具有一定的误差,债券价格随利率变化的波动性越大,这种误差越大。
凸性可以衡量这种误差。
凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。
凸性越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。
严格地定义,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
凸性的具体计算公式为当两个债券的久期相同时，它们的风险不一定相同，因为它们的凸性可能是不同的。
如图所示，两个债券的收益率与价格的关系为红线与绿线，内侧的曲线（绿线）为凸性大的曲线，外侧的曲线为凸性小的曲线(红线)。
在收益率增加相同单位时，凸性大的债券价格减少幅度较小；在收益率减少相同单位时，凸性大的债券价格增加幅度较大。
久期与凸性
假定采用贴现的方式借用资金
+$2,000,000
0
1
2
3
4
5
－$1,241,843
有宽限期的“久期”计算过程
(1) 收到现金流入 所需要的时间 1年 2年 (2) 现金 流动额 $20 0,000 $20 0,000 (3) 现值系数 ( 折现率为 10% ) 0.90909 091 0.8264 4628 (4) = (2) × (3) (5) = (4) × (1) 现金流的现值与 所需时间的乘积 181,818.18 330,578.51
“修正后的久期”
市场参与者为了更直观地表现债券收益 D 率变化与价格波动之间的联系，将 (1 r ) 称作“修正后的久期”(modified duration)，并以MD来代表。 经过这样处理之后，人们就可将债券收 益率的变动直接与“修正后的久期”相 乘，从而得到预期中的债券价格百分率 dP MD dr 的变动，即： 。 P
“修正后久期”的应用案例
某债券的现行市价为$ 1,000，到期收益率为 8%，债券的久期为10年。如果收益率增至9%， 这款债券的价格预计将出现大多大的变化？ 收益率变动1%，即：dr=9%－8%=1%； “修正后的久期”为9.25926，即； MD D 10 9.25926
1 r 1 0.08 dP MD dr = ―9.25926×1%=－9.26%。 P
n
(3) 现值系数 (折现率为 10%) 0.9091 0.8264 0.7513 -------
(4) = (2)× (3) 现金流的现值 $72.73 $66.12 $811.40 $950.25
(5) = (4)× (1) 现金流的现值与 所需时间的乘积 72.73 132.23 2 434.21 2 639.17
债券久期与凸度的Matlab实现
案例分析：债券久期与凸度的Matlab实现一、计算公式（一）债券久期麦考利久期（Macaulay duration）是利用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的jia全平均，其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
普通债券的久期如下式所示：D=∑PV(c t)×t Tt=1P式中，D是麦考利久期；P是债券的当前市场价格；PV(c t)是债券未来第t期现金流（利息或面值）的现值；T是债券的到期时间。
（二）债券凸度由于债券价格与收益率之间的关系曲线存在凸向原点的非线性特征，当收益率大幅波动时，久期不能准确地描述债券价格对利率变动的敏感性。
为纠正久期的这种不足，引入凸度或凸性的概念。
与久期一样，凸度也是度量债券价格波动性的方法。
凸度越大，债券价格曲线弯曲程度越大，用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。
凸度的计算公式如下：d2p dy2=∑t(t+1)c t(1+y)t+2凸度的性质如下：第一，凸度随久期的增加而增加。
若收益率、久期不变，则票面利率越大，凸度越大。
利率下降时，凸度增加。
第二，对于没有隐含期权的债券来说，凸度总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。
第三，含有隐含期权的债券的凸度一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。
二、Matlab实现（一）债券久期1、根据价格计算久期Matlab的Financial Toolbox提供了给定债券期限与价格计算久期的函数为bnddurp。
常用调用格式如下：[ModDuration, YearDuration] = bnddurp(Price, CouponRate, Settle, Maturity, Period, Basis)主要输入参数：➢Price：债券净价➢CouponRate：票面利率➢Settle：结算日➢Maturity：到期日➢Period：年付息次数，默认值为2，可选0、1、2、3、4、6、12。
利率风险度量 久期和凸度
∑ ∑ ∑ D =
( ) T
t =1
ct 1+ y
t
×t
=
T
[ct / (1+ y)t × t] =
T
[ PV (ct ) ×t]
(6)
P
t =1
P
t =1
P
其中，D是麦考利久期，是债券当前的市场价格，ct是债券未来第t次 支付的现金流 (利息或本金)，T是债券在存续期内支付现金流的次 数，t是第t次现金流支付的时间，y是债券的到期收益率，PV(ct) 代表 债券第t期现金流用债券到期收益率贴现的现值。
• 债券期限越长，利率风险越大
Price
$250 $200 $150
10 Year 20 Year 5 Year
$ 14% 16% Rate
鱼和熊掌？？
债券 A B C
期限 5 10 15
票面利率 8% 10% 13%
面值 100 100 100
• 决定久期的大小三个因素：
各期现金流、到期收益率及其到期时间
债券组合的麦考利久期
• 计算公式：
k
∑ Dp = WiDi i=1
其中，Dp表示债券组合的麦考利久期，Wi表示债券i的市 场价值占该债券组合市场价值的比重，Di表示债券i的麦考 利久期，k表示债券组合中债券的个数。
麦考利久期与债券价格的关系
• 考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系：
dP = −D*dy + 1 C (dy)2
P
2
• 当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动 率之间的关系就可以近似表示为 ：
∆P = −D*∆y + 1 C(∆y)2
P
久期与凸度的计算与应用实训心得
久期与凸度的计算与应用实训心得在进行久期与凸度的计算与应用的实训过程中，我学到了很多关于债券定价和风险管理的重要概念和技巧。
久期计算：
久期是衡量债券价格对利率变动敏感性的重要指标。
它的计算涉及到债券的现金流量、到期时间和当前市场利率。
在实训中，我学会了使用久期的公式和计算方法，包括修正久期的概念。
这使我能够准确地评估债券价格在利率变动下的变化情况，并更好地理解债券投资的风险特征。
凸度计算：
凸度是对债券价格波动性的度量，它衡量债券价格对利率变动的敏感性变化率。
凸度的计算需要债券的久期和现金流量的信息。
在实训中，我学会了凸度的计算公式和方法，并了解了凸度与久期之间的关系。
凸度的计算帮助我更好地理解债券价格的非线性变化，并能够更准确地估计价格变动。
应用实践：
久期和凸度的计算对于债券投资组合管理和风险控制非常重要。
通过对久期和凸度的计算，我能够评估不同债券的价格敏感性和风险水平。
在实训中，我学会了使用久期和凸度来优化债券投资组合，以达到预期的风险收益平衡。
我可以根据久期和凸度的信息来调整持有的债券种类和权重，以实现对利率变动的更好抵御能力。
此外，我还学会了利用久期和凸度来评估利率敏感性和价格波动性对冲策略的有效性。
通过对久期和凸度的计算和分析，我能够确定哪些对冲策略可以最大程度地降低债券组合的风险。
通过这次久期与凸度的计算与应用实训，我深入了解了这两个重要的概念以及它们在债券投资和风险管理中的作用。
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文久期是衡量债券价格对利率变动的敏感性的指标。
它表示债券的平均回收期，即投资者从持有债券获得的现金流量的平均到期时间。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。
久期的计算方法有两种：修正久期和加权久期。
修正久期是用来衡量债券特定到期收益率的变动对债券价格的影响。
加权久期是用来衡量整个收益率曲线上的利率变动对债券价格的影响。
久期计算公式如下：修正久期=Σ(CFt*t)/P加权久期=Σ(CFt*t*DFt)/P其中，CFt表示在第t期获得的现金流量，t表示现金流量获得的时间，DFt表示第t期的贴现因子，P表示债券价格。
凸性是衡量债券价格对利率变动的曲率的指标。
它表示债券价格变动与利率变动之间的关系。
凸性为正表示当利率上升时，债券价格下降的幅度大于利率下降时债券价格上升的幅度。
凸性为负则相反。
凸性的计算方法如下：C=(P--2P+P+)/(P*Δy^2)其中，P-表示利率下降时的债券价格，P+表示利率上升时的债券价格，Δy表示利率变动的大小。
久期和凸性的分析有助于投资者理解债券投资的风险和回报特征。
首先，久期可以帮助投资者评估债券价格对利率变动的敏感性。
当投资者预计利率上升时，可以选择久期较短的债券，降低利率上升对债券价格的影响。
其次，凸性可以帮助投资者评估利率变动对债券价格变动的曲线形状。
当投资者预计利率波动较大时，可以选择凸性较高的债券，以获得更高的回报。
此外，久期和凸性分析对债券组合管理也具有重要意义。
投资者可以通过调整久期和凸性来优化债券组合的风险和回报特征。
例如，投资者可以通过组合久期较短和久期较长的债券，实现对利率变动的敏感性的平衡。
同时，投资者还可以通过组合凸性为正和凸性为负的债券，实现对利率变动的曲线形状的平衡。
综上所述，久期和凸性分析是债券投资领域重要的工具。
久期帮助投资者理解债券价格对利率变动的敏感性，凸性帮助投资者理解债券价格对利率变动的曲线形状。
通过久期和凸性分析，投资者可以评估债券的风险和回报特征，并优化债券组合的风险和回报特征。
金融工程学——利率期限结构、久期及凸度
第一节 利率期限结构理论
一、利率期限结构的含义
• 利率期限结构是在某个时点上不同期限的利率所组成的一条 曲线，由于在某个时点上，零息票债券的到期收益率等于该 时期的利率，因此利率期限结构也可以表示为某个时点零息 票债券的收益率曲线。
第一节 利率期限结构理论
二、即期利率与远期利率
• 即期利率（Spot Rate）是某一给定时点上零息债券的到期收 益率。可以把即期利率想象为即期贷款合约的利率。
ft
-1,t
(1rt )t (1rt-1) )t
-1
-1
第一节 利率期限结构理论
三、传统的利率期限结构理论 （一）预期理论 （二）市场分割理论 （三）流动性偏好理论 （四）优先偏好理论
第一节 利率期限结构理论
四、现代利率期限结构理论 1．均衡模型
2．无套利模型
第一第节二节金久融期衍及生其产应品用市场
C
1 (1 y)2
T
(t2 t) Wt
t 1
其中：
Wt
ct (1 y)t
P
t表示现金流的时间；
ct 代表第t时期的现金流；
y表示债券的到期收益率；
T表示距离到期的期数；
P表示债券的市场价格。
第一节 第金三融节衍凸生度产品市场
三、凸度与债券价格波动的关系
修正久期以及凸度与债券价格变动的关系式为：
固定利率
A公司
4.0%
B公司
5.2%
浮动利率 6个月LIBOR+0.3% 6个月LIBOR+1.0%
表2.2 市场向A、B两公司提供的固定利率
第一第节二节金久融期衍及生其产应品用市场
三、久期的规律
1．只有零息债券的麦考利久期与它们的到期时间相等。 2．固定利息债券的麦考利久期小于它们的到期时间。 3．永久债券的麦考利久期等于[1+1/r]。 4．在到期时间相同的条件下，票面利率越高的债券，久期越 小。 5．在票面利率一样的条件下，到期时间越长的债券，其久期 一般也就越长。 6．在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，其久 期越长。
第五章 久期和凸度 《金融工程学》PPT课件
D麦 1 r
=
1 r
（5—14）
r
5.1久期
➢ 5.1.3久期值的计算方法
1）列表法，这便是上文所有计算久期的方法。
2）封闭式久期计算法
D麦=
C
(1
r)n 1 (1 r) r2(1 r)n
rn
F n (1 r)n
P
（5—15）
C表示息票额，F表示面值，r表示到期收益率，n表示债券剩余期限
付息次数，P表示债券价格
5.1久期
➢ 3）有效久期计算法
（1）有效久期是1996年弗兰克法波齐（Frank Fabovi）提出的。
（2）有效久期≈D修（条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平
滑）。 （3）计算公式D有效=
P _ P P0(R R _)
（5—17）
其中，P指收益率下降x个基点债券价格，P+ 指收益率上升x个基点时
5.1久期
➢ 5.1.6风险免疫（risk immunization） ➢ 3）风险免疫策略
（1）有特定目标期限的风险免疫。 （2）资产负债管理的风险免疫。
➢ 4）风险免疫的本质
使资产组合的久期与负债组合的久期期限相等，从而使净资产值不 受利率变化的影响。
5.1久期
➢ 5.1.7基于久期的套期保值策略
D2
（5—21）
其中，W1表示第一份债券价值所占总价值的比例，W2表示第二份债券价值
所占总价值的比例
【例5—7】一个资产组合由B1和B2组成，它们的价格、收益率、久期分别 是：
P1=90，D1=0.58；P2=110，D2=1.76 DM=W1 D1＋W2 D2= ×0.58＋ ×1.76=0.261＋0.968=1.229
第6讲第4章 久期与凸度(2)
然而，从图4-1以及关于债券价格的利 率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变 化的百分比与收益变化之间的关系并不是 线性的，这使得对于债券收益的较大变化， 利用久期对利率敏感性的测度将产生明显 的误差。图4-3表明了这一点。债券A和债 券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲 线在这一点相切，同时也与久期法则预期 的价格变化百分比的直线相切于该点。这 说明，对于债券收益的微小变化，久期可 以给出利率敏感性的精确测度。但随着收 益变化程度的增加，对应于债券A和债券B 的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔” 不断扩大，表明久期法则越来越不准确。
4.4 久期的衍生课题
• 4.4.1 修正的久期与美元久期
D ∂P D mac = = − P y ∂y 1+ m
mod
Ddol
∂P = = − Dmod × P ∂y
例 4.5 有1张3年期的零息债券，一年记一次利息，到期收益率为6 ％，面额100万元。现今市场由于银根宽松，所以到期收益率下降 10个基本点，则此债券的价格波动性比例为何？波动的金额又是 多少？
债券类别 票面利率％ 票面利率％ 到期日 面额 价格
A B C
7 7.5 6
1998.12.31 1999.12.31 1998.6.30
100000 100000 100000
99.561 100.562 98.815
4.4.3 浮动利率债券的久期
C1 + P 1 P= + = y y y 1+ 1+ 1+ 2 2 2 C1 P 1
4.5.5 凸度的近似计算
P+ − P0 P0 − P− − P+ − P0 − 2 P0 ∆y ∆y = ∆y (∆y ) 2
久期及凸度讲解
A、久期公式及其推导
P0 1 2CF3 TCFT 1 1 1CF1 2 y P0 1 y (1 y) (1 y) (1 y)T P0
1CF1 2CF3 TCFT 1 1 T CFt 令 D 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) P P (1 y ) 0 0 t 1 我们称之为Macualay久期。从而我们有， P0 1 1 D y P0 1 y
A、久期公式及其推导
CFt t T 1 (1 y )t D P P t 1 0 0 CFt t t (1 y ) t 1
T
t:债券产生现金流的各个时期； T：债券到期期限； y:债券的到期收益率，也即利率； CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
Maklkiel定理
随着期限的增加，债券价格对收益率或利率的 变动的敏感程度以一个下降的速率增加。换言 之，利率风险和债券的期限不成比例，而是滞 后于这个比例的变化（如，尽管债券“9%/25” 是”9%/5”到期时间的5倍，但是前者的利率敏 感性与后者的比值小于5）。
P0 V
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2CF3 TCFT 1 1CF1 2 T 1 y (1 y) (1 y) (1 y)
A、久期公式及其推导
上式右边方括号内的部分表示了截止到期日时 债券现金流量的加权平均时间，权重是各期现 金流的现值占债券价格的比重。 该式也同样给了债券到期收益率变动所引起的 债券价格变化的近似值。将该式两边除以债券 价格，我们能够得到因到期收益率所引起的债 券价格变化的百分比的近似值。