2018年中考数学23题例选(含祥细解答)

2018年中考数学23题例选（含答案）
1.已知直线l ：y =kx +2k +3(k ≠0)，小明在画图时发现，无论k 取何值，直线l 总会经过一个定点A . (Ⅰ)点A 坐标为___▲____；
(Ⅱ)抛物线y =c bx x ++2
2 (c ＞0) 经过点A ，与y 轴交于点B . (ⅰ)当4＜b ＜6时，若直线l 经过点B ，求k 的取值范围．
(ⅱ)当k =1时，若抛物线与直线l 交于另一点M
，且AM ≤≤b 的取值范围.
2. 已知：如图①，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 在线段BC 上运动. (Ⅰ) 当AD ⊥BC 时（如图②），求证：四边形ADCE 为矩形； （Ⅱ）当D 为BC 的中点时（如图③），求CE 的长；
（Ⅲ）当点D 从点B 运动到点C 时，设P 为线段DE 的中点，求在点D 的运动过程中，点P 经过的路
径长（直接写出结论）.
3. 2010年8月19日第26届国际数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖，
该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖．
根据蔡勒公式可以得出2010年8月19日是星期 .
(注：蔡勒(德国数学家)公式：110)1(26424-+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d m y y c c W 其中：W ——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，c ——所求年份的前两位，y ——所求年份的后两位，m ——月份数(若是1月或2月，应视为上一年的13月或14月，即143≤≤m )，d ——日期数，[]a ——表示取数a 的整数部分.)
（第24题）
（图②） （图③）
（图①）
M
A
4. 如图，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，垂足为点D .点P 是AD 上一点，PQ ⊥AC 于点Q ，连接BP ，DQ .
(I) 求证：
AB
AD
AP AQ =； (II) 求证：⊿ABP ∽⊿QDP ;
(III) 若BD =1，点P 在线段AD 上运动(不与A ，D 重合)，设DP =t ，点P 到AB 的距离为d 1，点P 到DQ 的距离为d 2．记2
1
d d S =
，求S 与t 之间的函数关系式.
B
5. 已知二次函数)0( 2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交于A ，B 两点，顶点为为等腰直角三角形.
(I) 当A (-1，0)，B (3，0)时，求a 的值； (II) 当a b 2-=，a <0时.
(i ) 求该二次函数的解析式(用只含a 的式子表示)；
(ii ) 在31≤≤-x 范围内任取三个自变量321,,x x x ，所对应的的三个函数值分别为321,,y y y .若以
321, , y y y 为长度的三条线段能围成三角形，求a 的取值范围.
6.如图，在菱形ABCD ，∠A =60°，点E ,F 分别在边AD 和BC 上，且DE =CF ，延长BF 交AD 的延长线于点M
（1）如图1，当点E 在AD 中点时，求证：BD =MD ； （2）若菱形的边长为4，且AE =3，求BM 的长．
7. 如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，D 是BC 上一个动点，连接AD ，以AD 为边向右侧作等
腰直角△ADE ，其中∠ADE =90°．
（1）如图2，G ，H 分别是边AB ，BC 的中点，连接DG ，AH ，EH ．
求证：△AGD ∽△AHE ；
（2）如图3，连接BE ，直接写出当BD 为何值时，△ABE 是等腰三角形； （3）在点D 从点B 向点C 运动过程中，求△ABE 周长的最小值．
8. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋t －1，t ＜0， （1）当t ＝－2时，
① 若函数图象经过点（1，－4），（－1，0），求a ，b 的值； ② 若2a －b ＝1，对于任意不为零的实数a ，是否存在一条直线y ＝kx ＋p （k ≠0），始终与函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由.
（2）若点A （－1，t ），B （m ，t －n ）（m ＞0，n ＞0）是函数图象上的两点，且S △AOB ＝12n －2 t ，当－1≤x ≤m
时，点A 是该函数图象的最高点，求a 的取值范围. 答案:
1. (Ⅰ) (－2，3)；
(Ⅱ) (ⅰ) ∵抛物线y =c bx x ++2
2经过点A ，
∴3＝8-2b +c. ∴c =2b -5. ∴B (0, 2b -5). ∵直线l 经过点B ，
∴2k +3=2b -5.∴k =4-b . 当b =4时，k =0， 当b =6时，k =2,∵4＜b ＜6,∴0＜k ＜2.
(ⅱ)
k =1时，直线l 的表达式为y =x +5，直线l 交y 轴于点F (0，5)， 当点M 在点A 右侧，
过点A 作x 轴平行线交y 轴于点E ，过点M 作y 轴的平行线交AE 于点D ， ∵A (-2，3)，∴AE ＝EF ＝2.∴∠EAF ＝45°. ∴当AM ＝2时，AD ＝MD ＝1.∴M (-1，4). 把M (-1，4)代入y =c bx x ++2
2，求得b =7,c =9. 由AM ＝42，A (-2，3)，同上可得M (2，7)，
图1
A
B
C D
图2 图3 A
B C
D
A B C D G
H
把A (-2，3)，M (2，7)代入y =c bx x ++2
2，求得b =1,c =－3. 把A (-2，3) 代入y =c bx x ++2
2，得c =2b -5. 又∵c ＞0，∴2
5>b . ∴
7b 2
5
≤< 当点M 在点A 左侧时，
由AM ＝2，A (-2，3)，同上可得M (-3，2)，
把A (-2，3)，M (-3，2)代入y =c bx x ++2
2，求得b =11,c =7， 由AM ＝42，A (-2，3)，同上可得M (－6，－1)，
把A (-2，3)，M (-6，-1)代入y =c bx x ++22，求得b =17,c =29， ∴17b 11≤≤. 综上所述，7b 2
5
≤<或17b 11≤≤.
2. 证明：∵AD ⊥BC ，∠DAE ＝90°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝∠DAE ＝90°，∴AE ∥CD ， ∵△ABC ∽△ADE ，∴∠AED ＝∠ACB ∵AD ＝DA ∴△ADC ≌△DAE .∴AE ＝DC . ∴四边形ADCE 为平行四边形，∵∠ADC ＝90°，∴□ADCE 为矩形. （Ⅱ）解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8， ∴BC =10.∵D 为BC 的中点，
∴ AD =BD =BC 21＝5. ∵△ABC ∽△ADE ，∴AE
AC AD AB ＝. ∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAE .∴△ABD ∽△ACE. ∴AC AB ＝CE
BD
.
即CE 586＝.∴CE ＝320. （Ⅲ）路线为一条线段，长度为3
25. 3.星期四
4. (I)证明∵AD 平分∠BAC ，∴∠P AQ =∠BAD ∵PQ ⊥AC ，BD ⊥AD
∴∠PQA =∠BDA =90°∴△PQA ∽△BDA ∴AB
AD
AP AQ = (II)由(I)得
AB
AD
AP AQ =又∵∠P AB =∠QAD ∴△P AB ∽△QAD ∴∠APB =∠AQD ∵∠APB =∠PDB +∠DBP ，∠AQD =∠AQP +∠DQP ∴∠PDB =∠AQP =90°∴∠DBP =∠DQP
(III)解：过点P 分别作PG ⊥AB 于点G ，PH ⊥DQ 于点H .则PG =d 1，PH =d 2.
∵AD 平分∠BAC ，PQ ⊥AC.∴d 1=PG =PQ . ∴PH
PQ
d d S =
=
21. 由(II)得∠DBP =∠DQP ，∵∠BDP =∠QHP =90°.∴△DBP ∽△HQP ；
∴PD PB PH PQ =.在Rt △BDP 中，BD =1，DP =t.∴12
+=t PB ∴t
t S 12+=.
5. ∵A (-1，0)，B (3，0)，∴该二次函数图象的对称轴为1=x ，且AB =4. 过点C 作CH ⊥AB 于点H.∵△ABC 为等腰直角三角形，∴CH =
2
1
AB =2. ∴C (1，-2)或C (1，2)①如图1，当C (1，-2)时，可设2)1(2--=x a y . 把点B (3，0)代入可得：2
1
=
a . ②如图2，当C (1，2)时，可设2)1(2+-=x a y .把点B (3，0)代入可得：21-=a .综上所述，21=a 或2
1-.
(II) 解：(i ) 当a b 2-=时，c ax ax y +-=22=a c x a -+-2)1(.
∴C (1，c -a ) ∴B (1+c -a ，0).∴0)(2=-+-a c a c a .
∴0)1)((2=+--a ac a c . ∵0≠-a c ，∴a a c 1-
=.∴()a
x a y 112
--=. (ii )∵31≤≤-x ，a <0，∴当x =-1或3时，y 取得最小值a
a 1
4-，
当x =1时，y 取得最大值a
1
-. 若以321, , y y y 为长度的三条线段能围成三角形.
则a a a 1)1
4(2-
>-. 整理得：0182
<-a .∴04
2<<-a .
6. （1）DE =CF ，可得⊿ABE ≌⊿DBF ，得∠DBF =∠ABE ，当点E 在AD 中点时，∠ABE =30°，∠DBF =30°， 可得∠M =30°，∴BD =MD ；
（2）在AB 上取AH=AE ，可得⊿AEH 为等边三角形，∠BHE =120°，⊿BEH ∽⊿BDM ，又BH =1，BE ，
由对应边成比例，可得：BM =
7. （1）由题意知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴∠B =∠DAE =45°．∵G 为AB 中点，H 为BC 中点，∴AH ⊥BC ．∴∠BAH =45°=∠DAE ．∴∠GAD =∠HAE ．在等腰直角△BAH 和等腰直角△DAE 中，
AH AB ==，AE =．∴AH AE AG AD =．∴△AGD ∽△AHE ．
（2）当BD =0△ABE 是等腰三角形.
（3）当点D 与点B 重合时，点E 的位置记为点M .此时，∠ABM =∠BAC =90°，∠AMB =∠BAM =45°，BM =
∴∠BAD =∠MAE ， 在等腰直角△BAM 和等腰直角△DAE 中，
AM AE =．∴AM AE AB AD
=．∴△ABD ∽△AME ． ∴∠AM
E =∠ABD =45°∴点E 在射线MC 上．作点B 关于直线MC 的对称点N ，连接AN 交MC 于点E ′，∵BE +AE =NE +AE ≥AN =NE ′+AE ′=BE ′+AE ′， ∴△ABE ′就是所求周长最小的△ABE ． 在Rt △ABN 中，
∵AB =4，BN =2BM =2AB =8，∴AN =AN ∴△ABE 周长最小值为4AB AN +=+ 8.（1） ①a ＝1，b ＝－2．
②因为2a －b ＝1，所以二次函数为y ＝ax 2＋（2a －1）x －3．所以，当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝－3． 所以二次函数图象一定经过（－2，－1），（0，－3）．设经过这两点的直线的表达式为y ＝kx ＋p （k ≠0），把（－2，－1），（0，－3）分别代入，可求得该直线表达式为y ＝－x －3．即直线y ＝－x －3始终与二次函数图象交于（－2，－1），（0，－3）两点．
（2）把A （－1，t ）代入y ＝ax 2＋bx ＋t －1，可得b ＝a －1．因为A （－1，t ），B （m ，t －n ）（m ＞0，n ＞0），又因为S △AOB ＝12n －2t ，所以12[（－t ）＋（n －t ）]（m ＋1）－12×1×（－t ）－12×（n －t ）m ＝12n －2t ．解
得m ＝3．所以A （－1，t ），B （3，t －n ）．因为n ＞0，所以t ＞t －n ．
当a ＞0时，分别把A （－1，t ），B （3，t －n ）代入y ＝ax 2＋bx ＋t －1，得t ＝a －b ＋t －1，t －n ＝9a ＋3b ＋t －1．因为t ＞t －n ，所以a －b ＋t －1＞9a ＋3b ＋t －1．可得2a ＋b ＜0． 即2a ＋（a －1）＜0． 解得a ＜13．所以0＜a ＜13． 当a ＜0时，由t ＞t －n ，可知：－b
2a ≤－1．即－a －12a
≤－1．
解得a ≥－1．所以－1≤a ＜0．综上，0＜a ＜1
3或－1≤a ＜0．。