平面向量极化恒等式专题培训课件
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新高考数学二轮复习极化恒等式培优课件
－28，则N→P·Q→P＝
A.64
B.42
√C.36
D.28
由M→N·M→Q＝M→O2－O→N2＝36－O→N2＝－28， 解得O→N2＝64，所以O→Q2＝64， 所以N→P·Q→P＝P→Q·P→N＝P→O2－O→Q2＝100－64＝36.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.已知正方形 ABCD 的面积为 2，点 P 在边 AB 上，则P→D·P→C的最大值是
由于 P 为正方体表面上的动点，故|OP|∈[1， 3]，
所以P→M·P→N∈[0，2].
(2)如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，A，D 分别在 x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则O→C·O→B的最大值是 ____2____.
如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 则O→C·O→B＝O→M2－14＝|O→M|2－41. 因为 OM≤ON＋NM＝12AD＋AB＝23， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号. 所以O→C·O→B的最大值为 2.
(2)如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，点 E， F，G，H 分别是 AB，BC，CD，AD 边上的中点，则E→F·F→G
3 ＋G→H·H→E＝____2____.
连接EG，FH交于点O， 则E→F·F→G＝E→O2－O→H2＝1－122＝34， G→H·H→E＝G→O2－O→H2＝1－122＝34， 因此E→F·F→G＋G→H·H→E＝23.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
训练2
(1)(2023·金华质检)如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦 MN 的长度最大时，P→M·P→N的取值范围是 __[_0_，__2_] _.
极化恒等式课件-2025届高三数学一轮复习
极化恒等式
磨尖点一 求向量数量积的定值
磨尖点二 求向量数量积的最值（范围）
磨尖点三 求参数及其他问题
磨尖课04 极化恒等式
1
4
1. 极化恒等式： ⋅ = [ +
2
2
− − 2 ].
（1）公式推导：
+
2
+ ሻ2 −
=
2
+ 2 ⋅ +
2 ,
−
2
=
2
− 2 ⋅
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差.
磨尖课04 极化恒等式
4
磨尖点一 求向量数量积的定值
磨尖课04 极化恒等式
6
典例1 （2023 ·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则 ⋅ =
( B ) .
A. 5
B.3
C.2 5
解析 设的中点为，由极化恒等式可得 ⋅ =
为△ 所在平面内的动点，且 = 1，则 ⋅ 的取值范围是( D ) .
A.[−5,3]
B.[−3,5]
C.[−6,4]
D.[−4,6]
磨尖课04 极化恒等式
11
解析 （法一）依题意建立如图所示的平面直角坐标系，则 0,0 ， 3,0 ， 0,4 ，
磨尖课04 极化恒等式
4sin +
sin2
= 1 − 3cos − 4sin = 1 − 5sin + ，其中tan =
因为−1 ≤ sin + ≤ 1，所以−4 ≤ 1 − 5sin + ≤ 6，
3
，
4
磨尖课04 极化恒等式
13
磨尖点一 求向量数量积的定值
磨尖点二 求向量数量积的最值（范围）
磨尖点三 求参数及其他问题
磨尖课04 极化恒等式
1
4
1. 极化恒等式： ⋅ = [ +
2
2
− − 2 ].
（1）公式推导：
+
2
+ ሻ2 −
=
2
+ 2 ⋅ +
2 ,
−
2
=
2
− 2 ⋅
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差.
磨尖课04 极化恒等式
4
磨尖点一 求向量数量积的定值
磨尖课04 极化恒等式
6
典例1 （2023 ·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则 ⋅ =
( B ) .
A. 5
B.3
C.2 5
解析 设的中点为，由极化恒等式可得 ⋅ =
为△ 所在平面内的动点，且 = 1，则 ⋅ 的取值范围是( D ) .
A.[−5,3]
B.[−3,5]
C.[−6,4]
D.[−4,6]
磨尖课04 极化恒等式
11
解析 （法一）依题意建立如图所示的平面直角坐标系，则 0,0 ， 3,0 ， 0,4 ，
磨尖课04 极化恒等式
4sin +
sin2
= 1 − 3cos − 4sin = 1 − 5sin + ，其中tan =
因为−1 ≤ sin + ≤ 1，所以−4 ≤ 1 − 5sin + ≤ 6，
3
，
4
磨尖课04 极化恒等式
13
高中数学《极化恒等式》教学课件
形等。
边长关系
利用极化恒等式，可以推导出三角 形边长之间的关系，从而解决一些 与三角形边长相关的问题。
角度关系
通过极化恒等式，可以推导出三角 形角度之间的关系，有助于解决与 角度相关的问题。
在向量中的应用
向量模的平方
向量线性关系
利用极化恒等式，可以表示向量的模 的平方，从而简化向量的运算。
利用极化恒等式，可以推导出向量线 性关系，有助于解决向量线性相关的 问题。
谢谢聆听
极化恒等式的定义
极化恒等式的定义
极化恒等式是高中数学中一个重要的恒等式 ，它表示的是向量内积的运算性质。具体定 义为：对于任意两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$之间的夹角。
mathbf{b} cdot mathbf{b}$。将这两个等 式代入点积的性质中，即可得到极化恒等式
。
极化恒等式的性质
01
极化恒等式的性质1
极化恒等式揭示了向量内积和向量模长之间的关系，它 表明两个向量的内积等于它们模长的乘积乘以它们之间 的夹角的余弦值。
02
极化恒等式的性质2
极化恒等式具有对称性，即交换两个明
极化恒等式的证明方法
01
02
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换 ，逐步推导极化恒等式的 成立。
几何证明法
利用几何图形和空间向量 的性质，通过直观的方式 证明极化恒等式。
归纳法
通过对特殊情况的证明， 逐步归纳出一般情况的证 明方法。
边长关系
利用极化恒等式，可以推导出三角 形边长之间的关系，从而解决一些 与三角形边长相关的问题。
角度关系
通过极化恒等式，可以推导出三角 形角度之间的关系，有助于解决与 角度相关的问题。
在向量中的应用
向量模的平方
向量线性关系
利用极化恒等式，可以表示向量的模 的平方，从而简化向量的运算。
利用极化恒等式，可以推导出向量线 性关系，有助于解决向量线性相关的 问题。
谢谢聆听
极化恒等式的定义
极化恒等式的定义
极化恒等式是高中数学中一个重要的恒等式 ，它表示的是向量内积的运算性质。具体定 义为：对于任意两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$之间的夹角。
mathbf{b} cdot mathbf{b}$。将这两个等 式代入点积的性质中，即可得到极化恒等式
。
极化恒等式的性质
01
极化恒等式的性质1
极化恒等式揭示了向量内积和向量模长之间的关系，它 表明两个向量的内积等于它们模长的乘积乘以它们之间 的夹角的余弦值。
02
极化恒等式的性质2
极化恒等式具有对称性，即交换两个明
极化恒等式的证明方法
01
02
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换 ，逐步推导极化恒等式的 成立。
几何证明法
利用几何图形和空间向量 的性质，通过直观的方式 证明极化恒等式。
归纳法
通过对特殊情况的证明， 逐步归纳出一般情况的证 明方法。
高中数学《极化恒等式》PPT教学课件
【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单 变量的范围、最值即可。
已知RTABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心， 1为半径的圆上任意一点，求PA PB的取值范围。
解：PA
PB＝(
PA
P B ) 2 －(
P A－P B ) 2＝P M
在正三角形 ABC中， D 是 BC上点， AB 3, BD 1，
则 AB AD
。
解：取
BD的中点
E
，
AB
AD
2
AE
1
2
BD
(3
3 )2 1 1 15
4
2
42
如图，在半径为1的扇形AOB 中，AOB ＝60 ，C为弧上的动点， AB与OC相交于点P，则OP BP的最小值是 1
巧用极化恒等式，妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别 在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高 考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
极化恒等式的几何意义：
4a b (a b)2 (a b)2 a b (a b)2 (a b)2 4
| BC |
| BC |
| BC |
从而原式 |
PD |2
3 4
|
BC |2
|
4 BC |2
3 4
|
BC |2
2
3
当且仅当PD BC，| BC |＝4 4时等号成立。 3
A. ABC 90o B. BAC 90o
C. AB AC
D. AC BC
已知RTABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心， 1为半径的圆上任意一点，求PA PB的取值范围。
解：PA
PB＝(
PA
P B ) 2 －(
P A－P B ) 2＝P M
在正三角形 ABC中， D 是 BC上点， AB 3, BD 1，
则 AB AD
。
解：取
BD的中点
E
，
AB
AD
2
AE
1
2
BD
(3
3 )2 1 1 15
4
2
42
如图，在半径为1的扇形AOB 中，AOB ＝60 ，C为弧上的动点， AB与OC相交于点P，则OP BP的最小值是 1
巧用极化恒等式，妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别 在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高 考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
极化恒等式的几何意义：
4a b (a b)2 (a b)2 a b (a b)2 (a b)2 4
| BC |
| BC |
| BC |
从而原式 |
PD |2
3 4
|
BC |2
|
4 BC |2
3 4
|
BC |2
2
3
当且仅当PD BC，| BC |＝4 4时等号成立。 3
A. ABC 90o B. BAC 90o
C. AB AC
D. AC BC
平面向量的极化恒等式及其应用
平面向量的极化恒等式及其应用2AB22AC2BC2则动点P的轨迹一定通过ABC的------A.外心B.内心C.重心D.垂心平面向量的极化恒等式及其应用一、极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。
证法1（向量法）：设 $AB=a,AD=b$，则$AC=a+b,DB=a-b$，$AC+DB=2(a+b)=2(AB+AD)$。
证法2（解析法）：证法3（余弦定理）：推论1：由 $AC+DB=2(AB+AD)$ 知，$2AO+2OB=2(AB+AD)$，即 $AB+AD=2(AO+OB)$。
推论2：$a\cdot b=\dfrac{1}{4}(a+b)^2-\dfrac{1}{4}(a-b)^2$，即 $AB\cdot AD=AO-OB$。
推论3：在 $\triangle ABC$ 中，$O$ 是边 $BC$ 的中点，则 $AB\cdot AC=AO-OB$，即极化恒等式的几何意义。
二、平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。
AC+DB=2(AB+AD)$。
三、三角形中线的一个性质AB+AC=2(AO+OB)$。
推论1：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-OB$。
推论2：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-BC$。
应用】已知点 $P$ 是直角三角形 $ABC$ 斜边 $AB$ 上中线 $CD$ 的中点，则 $\dfrac{PA+PB}{PC^2}=-\dfrac{1}{2}$。
四、三角形“四心”的向量形态1.$O$ 是平面上一定点，$A,B,C$ 是平面上不同的三点，动点 $P$ 满足 $\dfrac{AP}{AB}+\dfrac{AP}{AC}=\infty$，则动点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的外心 $O$，即$OP=OA+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}+\mu\cdot\overrighta rrow{AC}$，$\lambda,\mu\in\mathbb{R}$。
平面向量共线定理和等和线----极化恒等式全版.全版.ppt
巧用极化恒等式，妙解一类向量题
一、平面向量共线定理
已知OA xOB yOC,若x y 1,则A, B,C三点 共 线; 反 之 亦 然
二、平面向量等和线
若OC OD,那 么OC xOA yOB ( x OA y OB) OD,
则 有 x y 1,即x y
1、4 2、2 3、2
2
DB
2
2
a
b 2 2
2
AB
AD 2
（1）—（2）得：
a
b
＝
1 4
a
b
2
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
2
————极化恒等式
应用一：求值
例1.(2012浙江15)在ABC中，M是BC的中点， AM 3, BC 10,则AB AC
A
B
M
C
应用二：求范围
例2.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P 是圆O上的一个动点，则PA PB的取值范围是____;
3
3
1、4 2、2 3、2
3
3
巧用极化恒等式 妙解一类向量题
如图，AB a, AD b，
试证明平行四边形四边 和对角线性质。
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b （1）
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b （2）
（1）+（2）得：
2
AC
3
OC OA (1 )OB (0 1) ,则 CM CN 的最小值为
A．-2
B．-1
C．-3
D．-4
4
5（. 2013浙江）设ABC,
一、平面向量共线定理
已知OA xOB yOC,若x y 1,则A, B,C三点 共 线; 反 之 亦 然
二、平面向量等和线
若OC OD,那 么OC xOA yOB ( x OA y OB) OD,
则 有 x y 1,即x y
1、4 2、2 3、2
2
DB
2
2
a
b 2 2
2
AB
AD 2
（1）—（2）得：
a
b
＝
1 4
a
b
2
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
2
————极化恒等式
应用一：求值
例1.(2012浙江15)在ABC中，M是BC的中点， AM 3, BC 10,则AB AC
A
B
M
C
应用二：求范围
例2.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P 是圆O上的一个动点，则PA PB的取值范围是____;
3
3
1、4 2、2 3、2
3
3
巧用极化恒等式 妙解一类向量题
如图，AB a, AD b，
试证明平行四边形四边 和对角线性质。
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b （1）
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b （2）
（1）+（2）得：
2
AC
3
OC OA (1 )OB (0 1) ,则 CM CN 的最小值为
A．-2
B．-1
C．-3
D．-4
4
5（. 2013浙江）设ABC,
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(三大题型)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
．
4
9
）
= 7，
2
1
16 2 − 2
4
= 2，
2
− 3 ⋅ − 2 − 3
2
=
⋅ =
1
2
4 2 − 2
4
4×1−8
4
=
故选：B．
1
− ⋅ − 2 − =
= −1.
典型例题
题型一：定值问题
【变式1-1】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形 中， = 1, = 2，点
, , , 分别是 , , , 边上的中点，则 ⋅ + ⋅ = （
3
3
A． 2
3
B．− 2
C． 4
【答案】A
【解析】取HF中点O，
则 ⋅ = ⋅ = 2 − 2
1
= 1 − ( 2) 2 =
3
4
，
⋅ = ⋅
重难点专题03
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
03
题型归纳
方法技巧
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
02
方法技巧
方法技巧
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
| + | + | − | = (|| + || )
证明：不妨设 = , = ，则 = + ， = −
【答案】 2−2
10
2 2
，
3
9
2023高考数学基础知识综合复习专题2平面向量的几何意义极化恒等式等和线 课件(共12张PPT)
2
4
a·b=
考点三
等和线
例 6 已知△AOB,点
解 由已知 =
P 在直线
||
AB 上,且满足=2t+t(t∈R),求 .
||
2
+
,点
1+2
1+2
P 在直线 AB 上,
2
+
=1,t=1.
1+2 1+2
得
2
3
1
3
可得 = + ,2 = ,
π
2
易得 sin(θ+4)∈[- 2 ,1],
故 ·∈[0,1+ 2].
例2已知单位向量e,平面向量a,b满足a·e=2,b·e=3,a·b=0,求|a-b|的
最小值.
解 由题意得,a在e上的投影数量为2,b在e上的投影数量为3,
建系如图:
设 A(2,m),B(3,n),a=(2,m),b=(3,n),m>0,n<0,
例 1 在平面直角坐标系中,已知
A(1,0),B(0,-1),P 是曲线 y= 1- 2 上一
个动点,求 ·的取值范围.
解 设 P(cos θ,sin θ),0≤θ≤π,=(1,1),=(cos θ,1+sin θ),
π
∴ ·=cos θ+1+sin θ= 2sin(θ+4)+1,θ∈[中线来表示,即 a·b=||2-|| .它揭
4
示了三角形的中线与边长的关系.
三、等和线
如图,平面内一组基底, 及任一向量 , =x+y .连接
AB,OP 相交于点 Q,则 x+y= ,过 P 作 AB 的平行线分别交
4
a·b=
考点三
等和线
例 6 已知△AOB,点
解 由已知 =
P 在直线
||
AB 上,且满足=2t+t(t∈R),求 .
||
2
+
,点
1+2
1+2
P 在直线 AB 上,
2
+
=1,t=1.
1+2 1+2
得
2
3
1
3
可得 = + ,2 = ,
π
2
易得 sin(θ+4)∈[- 2 ,1],
故 ·∈[0,1+ 2].
例2已知单位向量e,平面向量a,b满足a·e=2,b·e=3,a·b=0,求|a-b|的
最小值.
解 由题意得,a在e上的投影数量为2,b在e上的投影数量为3,
建系如图:
设 A(2,m),B(3,n),a=(2,m),b=(3,n),m>0,n<0,
例 1 在平面直角坐标系中,已知
A(1,0),B(0,-1),P 是曲线 y= 1- 2 上一
个动点,求 ·的取值范围.
解 设 P(cos θ,sin θ),0≤θ≤π,=(1,1),=(cos θ,1+sin θ),
π
∴ ·=cos θ+1+sin θ= 2sin(θ+4)+1,θ∈[中线来表示,即 a·b=||2-|| .它揭
4
示了三角形的中线与边长的关系.
三、等和线
如图,平面内一组基底, 及任一向量 , =x+y .连接
AB,OP 相交于点 Q,则 x+y= ,过 P 作 AB 的平行线分别交
极化恒等式课件-2025届高三数学一轮复习
O→A〉＋16 ＝2－8cos〈O→P，O→A〉∈[－6,10]， 故P→M·P→N的取值范围为[－6,10].
方法二(极化恒等式法) 圆心 O 到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ a2|c＋| b2＝1，如图③，
设 MN 的中点为 A，P→M·P→N＝|P→A|2－|A→M|2＝|P→A|2－15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.已知直线 l：x＋y－1＝0 与圆 C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1 交于 A，B 两 点，O 为坐标原点，则O→A·O→B的最小值为
√A.－12
B.
2 2
C. 2
D.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圆心C的坐标
如图所示，在 Rt△ABC 上，妨取 AB 的中点 M， 则P→A·P→B＝P→M2－A→M2＝P→M2－4.
设圆C的半径为r，则r＝1， 而(PM)max＝CM＋r＝2＋1＝3，则(P→A·P→B)max＝32－ 4＝5； (PM)min＝CM－r＝2－1＝1， (P→A·P→B)min＝12－4＝－3. 因此P→A·P→B的取值范围是[－3,5].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B ＋P→C)的最小值是
A.－2
√B.－32
C.－43
D.－1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP， PM， 则P→A·(P→B＋P→C)＝2P→A·P→D＝2|P→M|2－12|A→D|2＝2|P→M|2 －32≥－32， 当且仅当M与P重合时取等号.
方法二(极化恒等式法) 圆心 O 到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ a2|c＋| b2＝1，如图③，
设 MN 的中点为 A，P→M·P→N＝|P→A|2－|A→M|2＝|P→A|2－15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.已知直线 l：x＋y－1＝0 与圆 C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1 交于 A，B 两 点，O 为坐标原点，则O→A·O→B的最小值为
√A.－12
B.
2 2
C. 2
D.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圆心C的坐标
如图所示，在 Rt△ABC 上，妨取 AB 的中点 M， 则P→A·P→B＝P→M2－A→M2＝P→M2－4.
设圆C的半径为r，则r＝1， 而(PM)max＝CM＋r＝2＋1＝3，则(P→A·P→B)max＝32－ 4＝5； (PM)min＝CM－r＝2－1＝1， (P→A·P→B)min＝12－4＝－3. 因此P→A·P→B的取值范围是[－3,5].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B ＋P→C)的最小值是
A.－2
√B.－32
C.－43
D.－1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP， PM， 则P→A·(P→B＋P→C)＝2P→A·P→D＝2|P→M|2－12|A→D|2＝2|P→M|2 －32≥－32， 当且仅当M与P重合时取等号.
高中数学课件-向量极化恒等式
以·的最大值为 2.
答案:(2)2
→
→
→
→
(3)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点.·=4,·=-1,
→
→
则·的值为
.
→
→
→
解析:(3)设 BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则 AD=3n.根据向量的极化恒等式,有·=||2→
→
答案:(1)C
C.
(2)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1,A,D 分别在 x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑
→
→
动,则·的最大值是
.
解析:(2)如图,取 BC 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MN,ON,
→
→
→
→
→
2
则·=|| -.因为 OM≤ON+NM=AD+AB=,当且仅当 O,N,M 三点共线时取等号,所
2
2
2
→
→
→
→
|| =9n -m =4,·=|| -|| =n2-m2=-1.联立解得 n2= ,m2= ,
→
→
→
→
2
2
→
→
因此·=|| -|| =4n -m =,即·=.
答案:(3)
→
→
→
cos ∠BAD=-||=-,得||=1,因此λ=
→
→
依题意得 AD∥BC,∠BAD=120°,由 · =| || |·
→
→
→
→
→
答案:(2)2
→
→
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(3)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点.·=4,·=-1,
→
→
则·的值为
.
→
→
→
解析:(3)设 BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则 AD=3n.根据向量的极化恒等式,有·=||2→
→
答案:(1)C
C.
(2)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1,A,D 分别在 x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑
→
→
动,则·的最大值是
.
解析:(2)如图,取 BC 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MN,ON,
→
→
→
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→
2
则·=|| -.因为 OM≤ON+NM=AD+AB=,当且仅当 O,N,M 三点共线时取等号,所
2
2
2
→
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|| =9n -m =4,·=|| -|| =n2-m2=-1.联立解得 n2= ,m2= ,
→
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2
2
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因此·=|| -|| =4n -m =,即·=.
答案:(3)
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cos ∠BAD=-||=-,得||=1,因此λ=
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依题意得 AD∥BC,∠BAD=120°,由 · =| || |·
→
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平面向量极化恒等式课件
利用向量减法的三角形法则证明
• 总结词：通过利用向量减法的三角形法则证明平面向量极化恒等式。 • 详细描述：首先，我们利用向量减法的三角形法则得到
$\overset{\longrightarrow}{a} - \overset{\longrightarrow}{b}$可以 表示为从起点到终点的有向线段。然后，将有向线段延长至原来的两倍 ，得到新的有向线段$(\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b}) + (\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})$。根据向量的数乘分配律和向量的加 法法则，我们可以得到$\lbrack(\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b}) + (\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})\rbrack\mathbf{\cdot}(\overset{\lon grightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) = (\overset{\longrightarrow}{a})^{2} (\overset{\longrightarrow}{b})^{2}$。最后，利用平面向量极化恒等 式的等价形式，我们可以证明平面向量极化恒等式成立。
05
平面向量极化恒等式的练习与 巩固
基础练习题
向量概念
掌握向量的基本概念、 向量的表示方法以及向
量在几何中的应用。
向量的加法
理解向量加法的定义和 性质，掌握向量加法的
平面向量微专题 极化恒等式 - 学生版
平面向量微专题 极化恒等式
基础知识回顾 极化恒等式：()()
2214a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣
⎦ 如图，当计算AB AC ⋅时，根据计划恒等式可得22AB AC AD BD ⋅=-，这一表达式将数量积与和中点有关
的线段相联系，将相对抽象的向量数量积问题转化为较为直观的
两个向量模长的关系，在解决一些与中点、长度密切相关的向量
数量积问题时，往往能化繁为简，大大减少计算量。
例1．设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足01=
4P B AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00
PB PC P B PC ⋅≥⋅则（ ） A ．=90ABC ∠︒ B ．=90BAC ∠︒
C ．AB AC =
D ．AC BC =
例2．如图，在平面四边形ABCD 中，,AB BC ⊥AD CD ⊥,120,BAD ∠=︒ 1AB AD ==，若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（ ）
A ．2116
B ．32
C ．2516
D ．3
例3．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）
A ．2-
B ．32-
C ．43
- D ．1-
例4．如图，在ABC ∆中，D 是边BC 的中点，,E F 是AD 上的两个三等分点，4,1BA CA BF CF ⋅=⋅=-，则BE CE ⋅= 。
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C
P
A
DB
跟踪练习： 1.正 ABC 边长为 4， P为 AC 上一点，则 ( BP CP ) min
2.AB 4, AC 2, BAC 60 o , AP 2, 则 ( PB PC ) max _______
3.在 Rt ABC 中， AC 2, BC 2, 已知点 P是 ABC 内一点，则 PC ( PA PB )的最小值是 _______
1平面向量 极化恒等
式
如图， AB a, AD b， 试证明平行四边形四边 和对角线性质。
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b
（1） （2）
（1）+（2）得：
2
AC
4
已知向a量 ,b,c满足|a|4,|b|2 2,a与b 的夹角为 ，（ ca)(cb) 1,则|ca|
4 的最大值__为___|_c_|的范围_是____
Байду номын сангаас
2
DB
2
a
2
b
2
2
2
AB
2
AD
（1）—（2）得：
a b＝ 1 4
ab
2
ab
2
————极化恒等式
应用一：求值
例 1.(20浙 121江 )5在 AB中 CM ， 是 B的 C 中 AM 3,BC 1,0则 AB AC
A
B
M
C
应用一：求值
跟踪练习： 1.已知正方A形BCD的边长为 1，点E是AB边上的 动点,则DEDA ________;
2.在四边形 ABCD中，AB BC, AD DC,| AB| a, | AD|b,则ACDB
应用二：求范围
例 2.已知正A 三B内 角 C接 形于2半 的O 径 圆 ，为 P 点 是O 圆 上的一个P动 A P点 的 B， 取则 值_范 __ 围
变4. 3 ．（浙江省五校联盟 2013 第二次联考）已知圆 O 的半径为 2, A、B 是圆上两点且 AOB 2 , MN 是一条直径,点 C 在
3
圆内且满足 OC OA (1 )OB (0 1) ,则 CM CN 的
最小值为 A．-2
B．-1
C．-3
D．-4
P
A
DB
跟踪练习： 1.正 ABC 边长为 4， P为 AC 上一点，则 ( BP CP ) min
2.AB 4, AC 2, BAC 60 o , AP 2, 则 ( PB PC ) max _______
3.在 Rt ABC 中， AC 2, BC 2, 已知点 P是 ABC 内一点，则 PC ( PA PB )的最小值是 _______
1平面向量 极化恒等
式
如图， AB a, AD b， 试证明平行四边形四边 和对角线性质。
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b
（1） （2）
（1）+（2）得：
2
AC
4
已知向a量 ,b,c满足|a|4,|b|2 2,a与b 的夹角为 ，（ ca)(cb) 1,则|ca|
4 的最大值__为___|_c_|的范围_是____
Байду номын сангаас
2
DB
2
a
2
b
2
2
2
AB
2
AD
（1）—（2）得：
a b＝ 1 4
ab
2
ab
2
————极化恒等式
应用一：求值
例 1.(20浙 121江 )5在 AB中 CM ， 是 B的 C 中 AM 3,BC 1,0则 AB AC
A
B
M
C
应用一：求值
跟踪练习： 1.已知正方A形BCD的边长为 1，点E是AB边上的 动点,则DEDA ________;
2.在四边形 ABCD中，AB BC, AD DC,| AB| a, | AD|b,则ACDB
应用二：求范围
例 2.已知正A 三B内 角 C接 形于2半 的O 径 圆 ，为 P 点 是O 圆 上的一个P动 A P点 的 B， 取则 值_范 __ 围
变4. 3 ．（浙江省五校联盟 2013 第二次联考）已知圆 O 的半径为 2, A、B 是圆上两点且 AOB 2 , MN 是一条直径,点 C 在
3
圆内且满足 OC OA (1 )OB (0 1) ,则 CM CN 的
最小值为 A．-2
B．-1
C．-3
D．-4