张老师(近代平差理论简介)

二、近代平差理论简介
1. 经典平差
1.1最小二乘原理 最小二乘原理 测量平差：求含有随机误差的观测值及其 函数的平差值即求定未知参数的最佳估值. 最小二乘原理：观测值改正数的平方和等 于最小,如下所示 :
V PV = min,(∑V = min)
T 2
1.2 测量平差数学模型
平差数学模型
函数模型是描述观测量与待求参数间的数学函 函数模型 数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的 模型。 随机模型是描述平差问题中的随机量（如观测 随机模型 量）及其相互间统计相关性质的模型。
高斯——马尔柯夫模型： 马尔柯夫模型： 高斯 马尔柯夫模型 马尔柯夫（1912） 测量平差模型： L 函数模型： = AX + ∆ E [L ] = AX
随机模型：
E [∆ ] = 0 （观测值应满足的随机性质） 2 2 −1 D0 = σ 0 P = σ 0 Q
Q，D，P是 ∆或L的对角阵. 由于绝大多数情况真值不知所以∆不知，用改正数V代替∆: V=AX-L （间接平差函数） R（A）=m （列满秩）
最小二乘平差：X未知参数是非随机的量，不具有随机 的性质 1969年克拉鲁普（Krarup），随后莫里兹（Moritz）提出了 带随机性的未知参数的平差； 根据所含未知参数的性质的不同分为： ① 滤波：L = BY + ∆ 未知参数信号Y与观测值建立了函数模型的滤波信号； ② 滤波推估: L = BY 。+ ∆ '' 除了含有滤波信号（未知参数）还含有：推估信号Y ；未 知参数与观测值没有建立函数模型。
(
( )
)(
)
有偏估计： E 偏差：Bias
(Xˆ ) ≠
X
准确度：（精度好，准确度差）
(Xˆ ) = β = E (Xˆ ) − X ˆ ˆ 有偏估计： MSE (X ) = t ( D ( X )) + β
r
T
β
基本思想：方差和偏差都要小，或适当增大，换取的减小 岭估计：广义岭估计、主成分估计、特征根估计。
BV
+ A Xˆ = C Xˆ = W
E [∆ ] = 0
f
当B=-E,C=0时,间接平差（参数平差） ˆ ˆ ( V = BX − l ) V = AX − f 当A=0,C=0时,条件平差： BV = f ( AV + W = 0 ) 当B=-E时,带约束的间接平差：
ˆ V = AX − f
随机模型的验后估计的方法有: 随机模型的验后估计的方法有 ① 赫尔默特估计法： 2 T 建立各类观测值 Vi PV 与对应的 δ i 的关系式，通过平差 i 求得的 ViT PV ,求δ i 2, δ i2 → δ i i ②MINQUE估计法（Rao 1970）： 最小范数：根据估计应具有的性质：无偏性，不变性， 最小范数。把满足这些性质的条件变成一个求最小迹的 极值问题，求极值的解。 BIQUE法（Koch 1980） ③库贝克（Kubik ）最大似然法： 假设随机变量服从正态分布，然法函数可表示为方差— 协方差的数学期望的函数，然后使该函数为最大。
∆ = ∆g + ∆s + ∆h
平差模型为：
L = AX + BS + ∆
S为附加参数向量 ②剔除粗差的平差方法； 测量中除了有偶然误差，还有粗差，导致平差结果失 真、不可靠。传统中采用在测量工作中剔除粗差。例 如，增加多余观测，闭合差检验。检验方法，统计检 验粗差，仅说明有无粗差。无法剔除粗差。 1968年，巴尔达提出“数据探测”法和可靠性理论。 可靠性（理论上研究）外可靠性：平差系统发现观测值 最小粗差的能力。
⇒
1964年高德曼（Goldmen）蔡勒(Zelen)： Q，P满秩 Q ， P奇异（奇异权逆阵的最小二乘）
V T Q −V = min
1971年劳（Rao）广义高斯——马尔柯夫
ˆ V = AX − L
R ( A) ≤ t
D =σ0 Q
2
det(Q ) ≥ 0
2.4 最小二乘滤波、推估和配置 最小二乘滤波、
A列满秩⇒奇异阵 经典平差要求：必要的起算数据（基准）； 使平差结果强制附加在起算数据上（A列满秩) ⇒(最小二 乘）唯一解； 系数A奇异阵⇒ 最小二乘，无唯一解； 增加新的求解条件唯一解；
① 普通秩亏自由网平差：
V T PV = min 在 X T X = min 最小二乘，最小范数条件下 ˆ ˆ
L = AX + ∆
E (∆) = 0 2 2 −1 D = σ 0 Q = σ 0 P
( 无偏估计）
X—非随机，L—随机独立，A—列满秩，P—对角方阵；
近代平差：使观测值概念广义化。 ①L随机独立随机相关，P—对称方阵（相关平差）。 ②A列满秩A秩亏，秩亏自由网平差； ③X非随机参数具有各态经历性的平稳随机函数（拟合推 估）最小二乘配置； ④仅考虑研究函数模型（各种平差方法）考虑研究随机 模型（方差分量估计）； ⑤不考虑模型误差（系统差，粗差）顾及模型误差（附 加系统参数的平差，可靠靠性理论，数据探测，稳 健估计）
2.6 随机模型的验后估计 经典平差研究：平差函数模型的建立——研究平差方法，方程 式的建立； 近代平差研究：随机模型——观测值的权（观测值之间的精度 比例） 近代： 不同类多种观测值，不同精度的观测值； 验前方差：平差前根据一些条件确定的可能不能如实反映测量 精度，各观测量之间的权比不合理。 验后方差：通过平差估计方差——方差分量估计——达到提高 平差结果精度，比较可靠地确定各观测量之间的权。
2.8 有偏估计： 有偏估计： 经典平差——最小二乘原理——最优无偏估计。 ˆ E X =X
ˆ lim( E X − X ) = 0
( )
E X − X T X − X = min ˆ Tr ˆ 当平差中含有较多未知参数的大型线性模型，未知参数 可能近似线性相关，法方程性态不好（病态）—接近奇 异，按最小二乘平差将导致虽满足最小二乘最优条件。 方差最小，但值都很大，精度差，相当不稳定。
通常，将大地网最优化设计按其过程分为四类： 零类设计（ZOD）——选择大地网基准 一类设计（FOD）——大地网图形设计 二类设计（SOD）——观测权的设计 三类设计（THOD）——改进已有大地网的图形和观测权 此分类并不合理 优化准则：精度标准，可靠性标准，费用标准。
总结： 总结：
经典平差：高斯——马尔柯夫模型：
ˆ CX = W
当C=0时，带未知数的条件平差： ˆ ˆ BV + AX = f ( AV + BX + W = 0) 当P，Q对角阵则对应经典平差； 当P，Q满秩阵则对应相关平差； 相关平差使最小二乘原理平差概念广义化，是测量平差 理论的一大进展。
2.3 秩亏平差：（1962年）迈塞尔（Meissl） 秩亏平差：
内可靠性：不可发现的最大粗差对平差结果的影响（优 化设计中用）定网形态，观测量多少。 测量实用上，研究在平差过程中自动剔除粗差方法,即粗 差定位 粗差定位分为两种： ①粗差归入函数模型的数据探测法（识别法） ②粗差归入随机模型的稳健估计法（调节法）（Robust） 优缺点： ①识别法：可以剔除粗差。依靠V最小二乘将大改正数分 配到许多观测值上。 ②调节法：不能剔除粗差，改正数、权合理分配。
测量平差理论：从以代数为主→概率统计为主+近代数学； 形成：概率统计学、近代数学与测量数据处理融合为一体 数据采集方法：以现代手段为主，信息+干扰（偶然误差、粗差、 系统误差），扩展了系统误差和粗差理论 平差的最优化准则：从最小二乘 → 极大似然估计、极大验后 估计、最小方差估计、贝叶斯估计； 产生了不少新平差方法：非线性平差、半参数法 静态→动态：数据采集的自动化
③最小二成配置（拟合推估）： 即包含最小二乘中的非随机未知数，又包含随机未知参数（信 号） L = AX + BY + ∆
2.5整体大地测量： 整体大地测量： 整体大地测量
传统数据处理：平面与高程位置分开处理，没有充分发挥不同类 观测数据对平差结果的效益。 沃尔夫1963导出了符合三维大地测量的误差方程式。 海兹1973提出了联合水准数据的平差方法。 霍丁的（Mathematical Geodesy）是三维大地测量的基本文献。 水平方向，天顶距，斜距，天文经纬度，方位角，水准数据→ GPS测量 重力数据，物理量和几何量的相互——整体平差 时间——动态平差。
2.7考虑系统误差、粗差的平差方法； 考虑系统误差、粗差的平差方法； 考虑系统误差 观测误差：按性质分： 粗差 ∆ g、系统误差∆ s、偶然误差∆ K ∆ g , ∆ s 在平差前，不可能完全被剔除、消除，因此不 符合正态分布的要求，仍用最小二乘，将使平差结果失 真（航测、GPS）则须考虑 ①考虑系统的平差方法： 在仅含有偶然误差模型中加入一些附加参数（系统参 数）以补偿观测数据中存在的系统误差对结果的影响。
经典平差模型
n1
L = AX+∆
nu u 1
2 0 2 0
n1
−1
D =σ Q =σ P
R（A）=U
T
R（Q）=n
X为非随机参数
ˆ − L) T P ( AX − L) = min ˆ V PV = ( AX
经典平差公式
ˆ X = ( AT PA)−1 AT Pℓ = N −1 AT Pℓ ˆ − ℓ (ℓ = L - AXo ) V = AX ˆ L = L+V −1 QXX = N ˆˆ V T PV 2 ˆ σ0 = n −u 2 DX = σ 0 QXX ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ⑥ E[∆ ] = 0 E X = X 无偏估计→ E [∆] ≠ 0 E X ≠ X有偏估计 ⑦仅处理几何数据，物理数据联合（整体大地网平差） ⑧二维平差向三维平差发展； ⑨静态平差动态平差，考虑时间参数t (参数随时间的变化)； ⑩按经验设计大地网最优设计大地网（大地网优化设计）线性 代数，泛函分析，近代回归分析，多元统计分析，随机数学， 计算机理论。
近代数据处理理论与方法
长安大学地质工程与测绘工程学院 张 勤
一、数据处理内涵
1、现实世界的模型化 、
用正确的数字化方法描述现实世界
2、模型的解算方法、准则 、模型的解算方法、
数据处理方法 、平差准则
3、质量评价 、
精度、 精度、可靠性
4、数据的挖掘 、
从数据中提取隐含、 从数据中提取隐含、潜在的信息
我们根据高斯的最小二乘原理可以得出最优无偏估计量: 无偏性： E L = L ˆ 最优性： t r (Qτ ) = min
[]
1.3 经典平差主要研究内容： 经典平差主要研究内容：
对于未知参数独立 独立（列满）解算法方程组。 独立 简化方法主要有: 填表（高斯改化法） 史赖伯法则 克里格尔分区法 赫尔默特平差法 克拉索夫斯基平差法
②加权秩亏自由网平差： 在 V T PV = min 最小二乘，加权最小范数条件下
ˆ ˆ X T PX X = min
③拟稳平差：将网中的未知数分为两类:
ˆ XI Z = ˆ X II ˆ ˆ X Ι 是非稳定点， ∐是稳定点； X
V T PV = min 在 ˆ T ˆ 部分参数最小范数 X II X II = min
2 近代测量平差进展
2.1 前言
数据采源自文库手段—现代化、自动化、高精度 随着电子计算机，矩阵代数，泛函分析，最优化理论以 及概率统计的发展和完善,经典平差逐渐发展到近代平差. 2.2 相关平差：（1947年）田斯特拉（Tienstla） 相关平差： 高斯—马尔柯夫模型,Q，D，P是满秩的. 观测独立 ⇒ 相关, 直接观测值 ⇒ 导出量 相关平差对测量平差理论研究有重大促进作用，推动 了测量平差的发展,它有着强的概括性，和统一的形式。
参数估计准则：最小二乘估计； 参数估计准则：最小二乘估计；
参数估计理论发展：极大似然估计、极大验后估计、最有无偏估计、 参数估计理论发展：极大似然估计、极大验后估计、最有无偏估计、贝叶 斯估计、 范估计 信息扩展估计、 范估计、 斯估计、P-范估计、信息扩展估计、半参数估计等
( )
( )
近代测量平差的特点
2.9大地网优化设计 大地网优化设计 传统大地网设计，仅凭经验进行，只要满足要求，并不最优 科学。 随着电子计算机、数理统计、矩阵代数、优化方法在测量中 的应用，现在已经可能采用科学的方法，设计出满足精度要 求、成本低、可靠性强的最优大网，此过程称为—大地网优 化设计 大地网优化设计与最小二乘平差紧密相关，统一起来。 平差——测量成果的后处理。 设计——测量前的计划。