作业第四章答案

4.6 钾原子基态为 4S，钾原子主线系第一条谱线的波长 λ1 = 766.5nm ，主线系的线系限
λ∞ = 285.8nm 。试求 4S 和 4P 谱项的量子数亏损值。
解：（1）
R (4 − Δ4s )2
=
1 λ∞
⇒
Δ4s
=
4−
Rλ∞ = 4 −
1.097 ×10−2 × 285.8 = 2.23
函数为
R21 (r )
=
1 (2a1 )3/2
r 3a1
−r
e 2a1
（1）径向概率密度分布函数
R2 (r)r2 21
=
1 24a15
−r
r 4e a1
，
∫ d (R2 (r)r2 )
21
dr
= 0 ⇒ r = 4a1 ，（2）半径平均值 < r >=
∞ 0
R221r 3dr
=
5a1
4.4 钠原子的基态为 3S，不考虑能级的精细结构，问钠原子从 4P 激发态向可能的低能态跃 迁时，可产生几条谱线？ 解：四条，如图示
589.0 nm 和 589.6 nm。（1）计算 3 2 P3/ 2 和 3 2 P1/ 2 两个激发态能级的能量差；（2）上述两个能
级的能量差可以看成是由电子轨道运动在电子处产生的磁场 B 与电子的自旋磁矩 μs 向的相
互作用引起的，试计算这个磁场 B 的大小。
解：（1）能量差 ΔE = hc − hc = 1240× ( 1 − 1 ) = 0.00214eV
4.1 氢原子处在基态，试计算电子在以原子核为中心，距原子核为玻尔半径 a1 的球体内出现
的概率。
解：氢原子基态径向波函数为 R10 (r) =
2 a3/2
1
−r
e a1 ，则在核到玻尔半径
a1
的球内出现的概率
∫为
a1 0
⎛ ⎜⎜⎝
2 a3/2
1
−r
e a1
⎞2 ⎟⎟⎠ r2dr
=
32.3%
4.2 氢原子处在基态，求势能 −e2 的平均值。 4πε 0 r
=
α 2R n3l(l +1)
=
4.53×10−5 1240
= 3.65×10−8 nm−1
（2）对应的内部磁场为 B =
ΔE 2μB
=
4.53×10−5 2 × 5.788×10−5
= 0.39T
4.9 Be+ 离子光谱的主线系可用下式表示：ν = R − R ，n=2、3、4……。已
(2 −1.14)2 (n − 0.93)2
（2）
(4
−
R Δ
4
s
)
2
−
R (4 − Δ4p )2
=
1 λ1
⇒
Δ4 p
=
4−
Rλ∞λ1 λ1 − λ∞
= 4 − 1.097 ×10−2 × 285.8× 766.5 = 1.76 766.5 − 285.8
4.7 钠原子光谱著名的黄色双线是由 3 2 P3/ 2 和 3 2 P1/ 2 激发态至基态跃迁发出的，波长分别为
+
μB
dB dz
L1
L2 ]
2 mH v
mH v v
μB =2
dB dz
L1 [ 1
L1
+
L2 ]
mH v 2 v v
=
2×
6.02 ×1023 × 927.4 ×10−26 0.001
×103
0.03 103
(
1 2
0.03 103
+
0.1 103
)
=
38.6mm
λ1 λ2
589.0 589.6
（2）电子自旋轨道相互作用
Els
=
−μG
⋅
G B
=
2msμB B
，因此有
ΔE
= 2μBB ⇒
Hale Waihona Puke Baidu
B=
ΔE 2μB
=
0.00214 2 × 5.788×10−5
= 18.5T
4.8 （1）试计算氢原子束赖曼线系第一条谱线（共振线）精细结构分裂的波数差和相应的 能级差。（2）同上题一样，若上述能量差可以看成是由电子轨道—自旋相互作用引起的，试 估算这个内部磁场的大小。
解：（1）莱曼系共振线
P2 3/2,1/ 2
→
S2 1/ 2
精细结构分裂决定于
P2 3/2,1/ 2
（n=2，l=1）能级的分
裂，代入精细结构引起的能级差得
ΔE
=
hcα 2R n3l(l +1)
= 1240 ×1.097 ×10−2 1372 × 23 × 2
=
4.53×10−5 eV
相应波数差为 Δλ
4.11 在斯特恩—盖拉赫实验中，处于基态的氢原子束通过不均匀横向磁场，磁场梯度
∂B ∂Z
= 10 3T/m
，磁场纵向范围
L1
=
0.03m
，从磁极末端到屏的距离
L2
=
0.1m
，氢原子的速度
v=103m/s ，试确定氢原子束在屏上分裂为两束间的距离 d。
解： ΔZ
=
2[ 1
μB
dB dz
( L1 )2
∫ 解：势能平均值 < V >= −e2 < r −1 >= −e2
4πε 0
4πε 0
∞ 0
1 r
⎛ ⎜⎜⎝
2 a3/2
1
−r
e a1
⎞2 ⎟⎟⎠ r2dr
=
−e2 4πε 0 a1
4.3 氢原子处在量子态 u210 (r,θ ,ϕ ) ，求：（1）电子径向概率密度分布最大值的位置；（2）电
子径向坐标的平均值。 解：问题是关于径向波函数的，因为球谐函数是归一化的，所以不用考虑角向函数。径向波
知 Be+ 离子电离成 Be4+ 离子需要外界提供 389.6 eV 的能量，问如果把离子 Be2+ 电离成离子 Be3+ 需要提供多少 eV 的能量？（计算时可将铍离子的里德伯常量 R 近似地等于 R∞ ）。
解： Be+ → Be2+ 的能量 E1 = hcR / (2 −1.14)2 = 13.6 / 0.862 = 18.39eV Be3+ → Be4+ 可视为类氢离子，能量为 E2 = Z 2hcR = 13.6×16 = 217.6eV Be2+ → Be3+ 所需能量为 389.6—18.39—217.6=153.6eV
4.5 锂原子光谱主线系第一条谱线（共振线）的波长 λ = 670.8nm ，辅线系线系限波长 λ∞ = 350.0nm ，试求：（1） 由基态到第一激发态的激发能。（2）锂原子基态的电离能。
解：（1）激发能 hc / λ = 1240 / 670.8 = 1.85eV （2）电离能 hc / λ + hc / λ∞ = 1240 / 670.8 +1240 / 350 = 5.39eV