连续系统与离散事件系统仿真

经典数值积分
连续系统数字仿真中的最基本算法是 数值积分方法
考虑误差：计算机舍入误差、数值积分误差 经典数值积分法：单步法与多步法 单步法：在后一步的计算中仅利用前一步的
结果。 多步法利用多步信息计算下一步的值。
数值积分
对 y& = f (y ,u,t ) 已知系统变量 y 的初始条件 y ( t 0 ) = y 0
2、 服务模式 z 描述服务台为顾客服务的时间：可以
是确定性的, 也可能是随机的。
3、 排队规则 z 表示服务台完成当前的服务后, 从队列中
选择下一实体的原则, 一般有: FIFO——先到先服务; LIFO——后到先服务; z 按优先级别服务——根据队列中实体的重
要程度选择最优先服务者。
4、 服务流程
计
算
u(kT) 保 持
u(t)
连 续
y(t)
Leabharlann Baidu
器对
象
机
z 图中的离散部分用离散时间模型描述， 连续部分用连续时间模型描述。保持器 用脉冲序列函数描述。
三、模型结构变换
实现问题：将各种外部模型描述形式转换 成内部模型。由给定的传递函数或权函 数阵建立与输入输出特性等价的状态方 程，这类问题称为“实现问题”。
t=t1时 y1 = y(t1 ) ≅ y0 + ∆t ⋅ f (t0 ，y0 )
h2 对任意时刻tn+1 yn+1 = y(tn+1 ) ≅ yn + (tn+1 − tn ) ⋅ f (tn，yn )
t
步距：tn+1 － tn＝hn
截断误差正比于h2
3
z 梯形法
y n+1
=
y (t n+1 ) ≅
z 顾客到达”为一类事件 ----顾客到达----》 系统状态——服务员的 “状态”可能从闲变到忙（如果无人排队)，或 者另一系统状态——排队的顾客人数发生变 化（队列人数加1)。
z “顾客离去”为一类事件----顾客接受服务完 毕后离开系统------服务台“状态”由忙变成 闲。
系统中固有的事件：系统事件 用于控制仿真进程的事件：程序事件。
要求 y 随时间变化的过程
y (t)
f(t,y)
计算过程
f(t 0,y o) t0 t t1
计算过程
由初始点 y (t0 ) = y0
的
f
(t
，
0
y0
)
对微分方程积分，可以写作：
t
∫ y ( t ) = y 0 +
f ( t , y ) dt
t0
难以得到f(y,u,t)积分的数值表达式，采用数值积 分方法。欧拉法用矩形面积近似表示积分结果
第一篇 连续系统与离散事件系统仿真
第一章 连续系统仿真 1.1.1 连续系统模型
z 系统S=（时间基；输入集；输入段集；内 部状态集；状态转移函数；输出集；输出 函数（输出段集））
z 时间基是描述系统变化的时间坐标，T为整 数则称为离散时间系统；T为实数则称为离 散时间系统。
模型描述形式
模型描述变量的轨迹 模型时间集合 模型形式 变量范围
根据离散状态方程得到与系统模型有关的系 数：状态转移矩阵。
二、频域离散相似法基本原理
u(t)
y(t)
G(s)
Gh(s)
G(s)
u(t) u*(t)
u(t)
G(z) y*(t)
y(t)
将离散相似法用于连续传递函数从而得到 系统离散传递函数 G(z)=Z{Gh(s)G(s)}
三、虚拟采样器与信号重构器
z 离散相似模型中引入了虚拟采样开关和虚 拟信号重构器，理论上讲，重构器应无失 真地将离散信号重新恢复成连续信号,
yn
+
1 2
h[
f
(t n
,
yn
)
+
f (t n +1 , y n+1 )]
z 最简单的预报－校正方法
预报－欧拉法估计初值
校正－用梯形法校正
校正公式
y (i+1) n +1
≅
yn
+
1 2
h[
f
(t n
,
yn
)
+
f
(t n+1 ,
y (i) n +1
)]
预报公式
y (i) n+1
≅
yn
+h⋅
f
(tn , yn )
常微分方程、传递函数、权函数均只描述 了系统输入与输出的关系，没有描述系统 的内部情况，所以称为外部模型。
状态空间模型为系统内部模型。
仿真时必须将系统的外部模型转换成内部模 型，即建立状态方程。（实现问题）
1
2）离散时间模型
z 系统的输入、输出及内部状态是时间序列 {u(kT)} {y(kT)} {x(kT)}，其中T为离散 时间间隔
z 离散时间模型用差分方程、z传递函数、权 序列、离散状态空间模型描述。
3）连续离散混合模型
z 某系统中有的环节的状态量是连续的， 而有的环节的状态量是离散的。如计算 机控制一连续对象。
e(t)
e(kT) 以T为周期的
采样开关
零阶保 持器
u(t)
将脉冲序列变 为阶梯状波形
r(t)
e(t)
e(kT)
数 字
根据精度改变 z 精度取决于步长的大小及方法的阶次 z 欧拉公式可以看作时一阶龙格库塔公式
三、线性多步法
（利用多步信息计算下一步的值）
z 基本原理是利用一个多项式去匹配变量 的若干已知值和他们的倒数值。
z 预报公式和校正公式
1.1.3 离散相似法
将一个连续系统进行离散化处理，求得与 其等价的离散模型。
z 连续系统可以用状态空间模型表示，因 此可以基于状态方程离散化，得到时域离 散相似模型。
• 对传递函数作离散化处理的得到离散传递 函数，称为频域离散相似模型
4
一、时域离散相似基本原理
x(k)
u(t) u(k)
u(t)
信号重构
X=Ax+Bu
x(t)
对连续系统进行离散化处理后得到离散相似 模型（虚拟采样开关、虚拟信号重构器）
3、活动： 通常用于表示两个可以区分的事件之间的 过程。标志着系统状态的转移。
顾客的到达事件与该顾客开始接受服务事件 之间可称为一个活动
4、进程：
z 由若干个有序事件及若干有序活动组成， 描述了它所包括的事件及活动间的相互逻 辑关系及时序关系。
6
事件、活动、进程关系示意图
排队活动
进程 服务活动
顾客到达事件
空间连续变化
连续时间 偏微分方程 连续或离散
空间不连续变化
常微分方程
离散变化
离散时间 连续时间
差分方程/有限状态机 马尔可夫链 活动扫描时间调度进程交互
按系统模型特征分类
z 连续系统/ 离散事件系统 过程控制系统、调速系统等等都属于连续系
统（方程…） z 订票系统、库存系统、交通控制、计算机
系统等离散系统 (随机性，经典概率及数理统计、随机过程理
z 多个服务台, 多个队列, 如何从某一个队列中 选择某一个实体服务, 包括实体可否换队及换 队规则等
5、排队系统性能指标
稳态平均延时时间
实体通过系统的稳态平均滞留时间
稳态平均队长
系统中稳态平均实体数
服务台的利用率
ρ
=
平均服务时间 平均到达时间间隔
7
1.2.2 离散事件系统仿真研究的一般步骤 离散事件系统仿真中的一些特殊问题
快速性：仿真速度
每一步计算所需要的时间决定了仿真速度。
若第k步计算对应的系统时间间隔为hk，计算 机由y(tk)计算y(tk+1)需要的时间为Tk， 则
Tk = hk为实时仿真， Tk < hk 为超实时仿真， Tk >hk为离线仿真。
z 连续系统数字仿真的离散化方法有两类
数值积分方法：微分方程已知初值求解 离散相似方法：求连续系统的等价离散模型
一、系统建模
由观测数据确定随机变量的分布和参数。 一般可用流程图或网格图的方式描述， 反映临时实体在系统内部历经的过程、 永久实体对临时实体的作用以及它们相 互之间的逻辑关系。
二、确定仿真算法
两个方面内容：如何产生所需求的随机变 量；采用什么方法对离散事件系统仿真 （仿真策略）。
服务开始事件 服务结束事件
5、仿真钟 表示仿真时间的变化。仿真 钟的推进步长是随机的。
z 仿真钟的推进呈现跳跃性，推进速度具 有随机性。
z 时间控制部件是必不可少的, 以便按一 定规律来控制仿真钟的推进。
仿真钟推进方法有两大类： 按下一最早发生事件的发生时间推进, 亦 称为事件调度法. z 另一类是固定增量推进方法,选择适当的 时间单位T做为仿真钟推进时的增量.
理想的信号重构器
要完全恢复连续信号，理想信号重构器频 率特性如图：
T -ωs/2 0 ωs/2 ω 实际的信号重构器：零阶(一阶)信号重构器
第二章 离散事件系统仿真
1.2.1 离散事件系统仿真概述
一、离散事件系统 系统中的状态只是在离散时间点上发生变
化，而且这些离散时间点一般是不确定 的。
如理发馆系统、订票系统、库存系统、交通 控制系统等。
若原连续系统是稳定的，则离散化后得到 的仿真模型也应是稳定的。
z 准确性： 有不同的准确性评价准则，最基本的准则：
绝对误差准则： e y (t n ) = yˆ (t n ) − y (t n ) ≤ δ
相对对误差准则：
e y (tn ) =
yˆ ( t n ) − y ( t n ) ≤ δ yˆ ( t n )
二、龙格库塔法基本原理
∫ 对
y (tn+1 ) = y (tn ) +
tn+1 f ( t , y ) dt
tn
∫ 令 y n ≅
y (tn )
Qn ≅
t n + 1 f ( t , y ) dt
tn
则有 y(tn+1 ) ≅ yn+1 = yn + Qn
Qn 的数值求解
从t0跨出一步，y1=y(t0+h),对y1在t0附 近展开泰勒级数，只保留h2项，则有
z 若连续信号为e(t) ，通过采样周期为T的 采样开关，得离散信号e*(t).
z 采样频率：ωs=2π /T z 研究e(t)与e*(t)的频谱，可知 z 当ωs/2≥ ωm时离散信号频谱中的基本成
分与原连续信号基本相同，否则就出现混 迭。
为使离散相似模型与连续模型相似，首先要 求采样开关的频率大于信号最大频率的两 倍。满足shannon定理。
y(tk +1 )
≈
yk +1
=
yk
+
h 2 (k1
+ k2)
k1 = f (tk , yk ), k2 = f (tk + h, yk + k1h)
z 略去h3以上的高阶项，只取了h及h2项，称 为二阶龙格－库塔法（RK-2）
z 截断误差正比于h3
四阶龙格－库塔法（RK-4）
多种龙格－库塔法公式
z 在计算yk+1时只用到yk,单步法 z 步长h在整个计算中并不要求固定，可以
临时实体按照一定的规律不断地到达（产 生），在永久实体作用下通过系统，最后 离开系统，整个系统呈现动态过程。
2、事件： 事件是引起离散事件系统状态发生变化的
行为。 从某种意义上说，离散事件系统是由事件
驱动的。
为实现对系统中事件的管理，在仿真模型 中必须建立事件表，以记录发生的事件 或将要发生的事件以及与该事件相关联 的实体的有关属性。
最小实现：反映了具有给定传输函数阵的 假象结构的最简单形式。
工程上常采用面向结构图的形式，根据典 型环节写出系统的动态方程。
1.1.2 经典连续系统仿真建模方法
一、离散化原理及要求
连续系统数字仿真：数字计算机的数值及 时间均具有离散性、被仿系统的数值及时 间具有连续性。
z 连续系统仿真，本质上是从时间、数值 两方面对原系统离散化，并选择合适的数 值计算方法来近似积分运算，从而得到离 散模型来近似原连续模型。
论)
一、连续系统模型与离散系统模型
z 连续系统——系统状态变化在时间上是连 续的，可以用方程式（常微分方程、偏微 分方程、差分方程）描述系统模型。
z 离散系统——系统的状态只是在离散时间 点上发生变化，而这些离散时间点一般是 不确定的。
二、连续系统模型描述
连续系统仿真中的数学模型有三类：
1）连续时间模型： 通常可用以下几种方式表示：常微分方 程、传递函数、权函数和状态空间描述。
6、统计部件 连续系统仿真的目的是得到状态变量的动
态变化过程并由此分析系统的性能。
离散系统的仿真目的不是得到这些状态的 具体变化，而是得到系统中有关变量的 统计信息。 因此需要有统计计数部件。
三、排队系统
1、 实体(顾客)到达模式 z 用到达时间间隔来描述, 可分为确定性到
达及随机性到达。
z 随机性到达采用概率分布来描述
5
离散事件系统示例
例 单人理发馆系统, 设上午9:00开 门, 下午5:00关门
z 顾客到达时间一般是随机的, 为每个顾 客服务的时间长度也是随机的。
z 系统的状态：服务台的状态(忙或闲)、 顾客排队等待的队长。
z 状态量的变化也只能在离散的随机时间 点上发生。
二、离散事件系统仿真的基本概念
1、实体：离散事件系统中的实体分为临时实 体与永久实体。
z 相似原理
原连续模型 y(t) u(t)
ey(tk)
仿真模型
u(tk)
y(tk)
z eu(tk)=u(tk)-u(tk)
z ey(tk)=y(tk)-y(tk) 若上述误差近似为0，
则两模型等价。 （相似原理）
相似原理用于仿真 时，对建模方法有 三个基本要求： 稳定性、准确性 （误差）、快速性
2
z 稳定性：