重庆市2019届高三学业质量调研抽测4月二诊理科数学试题(有解析)

A. 127
B. 64
C. 63
D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出等比数列的首项和公比，然后计算 即可.
【详解】解：因为
，所以
因为 与 的等差中项为 ，，所以
，即
，
所以
故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.
5.已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，且 ，则 C. 若 ， ，且 ， ，则 D. 若直线 与平面 所成角相等，则 【答案】B 【解析】 【分析】 结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可. 【详解】解：选项 A 中可能 ，A 错误；选项 C 中没有说 是相交直线，C 错误；选项 D 中若 相交， 且都与平面 平行，则直线 与平面 所成角相等，但 不平行，D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.
15.已知点 是抛物线
上不同的两点，且 两点到抛物线 的焦点 的距离之和为 6，线段
的中点为
，则焦点 到直线 的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】
通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果.
【详解】设
，
由抛物线定义可知：
，则
又
为 中点，则
抛物线方程为
则：
，
，
，根据收集到的数据可知
，由最小二乘法求得回归直线
方程为
，则
______．
【答案】375
【解析】
【分析】
求解出 ，利用
求解出 ，进而求得结果.
【详解】由题意：
则：
本题正确结果： 【点睛】本题考查回归直线方程问题，关键是明确回归直线必过
，利用此点可求解得到结果.
14.若实数 满足不等式组
，则 的最大值为_____．
本题正确选项： 【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果，由于循环次数较多，可以根据变化规律，利用 数列的知识来进行求解.
8.设函数
的一条对称轴为直线
到曲线 ，则在下列区间中，函数 为增函数的是（ ）
，将曲线 向右平移 个单位后得
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
将 化简为
，根据对称轴可求得 ；通过平移得到
，若
为 0，则函数 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过函数解析式可判断出 关于 对称，可知
取最小值时，
导数求解切线斜率，求解出 ，从而可得函数最小值 .
【详解】当 时，
，则
由此可知， 关于 对称
又
最小值为 ，即
，此时
则此时函数图象如下图所示：
D. 与 相切且
的最小值 ；利用
此时
时，丙应选产
品 投资；当
时，丙应选产品 投资.
【解析】 【分析】
（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率
，可求得 ；又
可得 ，由
此可得 的范围；（2）分别求出投资 ， 两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品. 【详解】（1）记事件 为“甲选择产品 投资且获利”，记事件 为“乙选择产品 投资且获利”，记事件 为 “一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”
2.已知集合
，
A.
B.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求解出两个集合，根据交集定义求得结果.
【详解】
，则 C.
（） D.
则 本题正确选项： 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出 两个集合，属于基础题.
3.设
，
，
，则 的大小关系为（ ）
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A.
B.
C.
与
当 时，
相切于
设
，则
又
，可得
则 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够通过解析式判断出函数的对称性，从而借助导数的几 何意义求得参数的值，进而得到函数最值.
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，得到 5 组数据： ， ，
19.如图，在四棱锥
中，底面 是菱形， 为 的中点，已知
，
，
.
（1）证明：平面 （2）求二面角
平面 ； 的平面角的正弦值.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）分别证得
，
分别求得平面 和平面
，从而证得 平面 ，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系， 法向量，利用法向量夹角求得结果.
则
，
，
，
又
，且 ，
（2）假设丙选择 产品投资，且记 为获利金额（单位：万元），则 的分布列为 投资结果 概率
假设丙选择 产品投资，且记 为获利金额（单位：万元），则 的分布列为 投资结果 概率
当
时，
，丙可在产品 和产品 中任选一个投资；
当
时，
，丙应选产品 投资；
当
时，
，丙应选产品 投资.
【点睛】本题考查概率统计中的独立事件的概率、数学期望的应用问题.在以期望值作决策依据进行选择时， 关键是分别求解出数学期望，依据大小关系来确定结果.
，两式作差得：
则 直线 的方程为： 点 到直线 的距离
，即
本题正确结果： 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和 斜率之间的关系.
16.已知数列 ，对任意
，总有
列 的前 项的和为______．
【答案】
【解析】 【分析】
利用
求得
，从而可得
裂项相消的方式求得结果.
则
二面角
的平面角的正弦值为
【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题，关键是能够建立起空间直 角坐标系，通过法向量夹角的余弦值求得二面角平面角的正弦值，属于常规题型.
20.已知离心率为 的椭圆 ：
的右焦点为 ，点 到直线 的距离为 1.
（1）求椭圆 方程；
（2）若过点
的直线与椭圆 相交于不同的 两点，设 为椭圆 上一点，且满足
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数单调性可得 ，再利用 作为临界值可得 ， ，从而得到三者之间的关系.
【详解】
可知： 本题正确选项： 【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题，关键是能够利用函数的单调性进行判断，属于基础题.
4.设等比数列 的前 项和为 ，已知
，且 与 的等差中项为 20，则 （ ）
则
，
则 本题正确选项： 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.
10.已知双曲线
的一条渐近线方程为
，左焦点为 ，当点 在双曲线右支上，点 在
圆
上运动时，则
的最小值为（ ）
A. 9
B. 7
C. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解
高 2019 届高三学生学业调研抽测（第二次）
理科数学试题卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 为虚数单位，复数 满足
，则 （ ）
A.
B.
C. 1
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知求解出 ，再计算出模长.
【详解】
则 本题正确选项： 【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数的运算求得 ，属于基础题.
（2）
，
，即
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题，关键是能够 熟练应用正余弦定理处理边角关系式.
18.有两种理财产品 和 ，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间 相互独立）： 产品 ：
投资结果
获利
不赔不赚
亏损
概率
产品 ： 投资结果 概率
【答案】16 【解析】 【分析】 先由简单线性规划问题求出
的最大值，然后得出
的最大值.
【详解】解：由不等式组
画出可行域如图中阴影部分
然后画出目标函数
如图中过原点虚线，平移目标函数在点 A 处取得最大值
解
得点
所以 最大为 4 所以 的最大值为 16 故答案为：16.
【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.
助角公式、对称轴方程、三角函数平移等知识准确求解出 的解析式.
9.某班组织由甲、乙、丙等 5 名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个
出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件 为“学生丙第一个出场”
获利
不赔不赚
亏损
注：
（1）若甲、乙两人分别选择了产品 投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于 ，求实数 的取值
范围； （2）若丙要将 20 万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪 种产品投资较为理想.
【答案】(1)
(2) 当
时，丙可在产品 和产品 中任选一个投资；当
11.已知三棱锥
各顶点均在球 上， 为球 的直径，若
，
，三棱锥
的体
积为 4，则球 的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求解出 面积后，利用三棱锥
的体积，构造方程，求解出点 到底面 的距离，从而可知 的
长度；利用正弦定理得到 ，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】原题如下图所示：
【详解】当 且
时，由
……②
① ②得：
当 时，
综上所述：
成立，设 ……①得：
则： 则 的前 项和 为：
，则数 ，则每两项作和，通过
本题正确结果：
【点睛】本题考查数列裂项相消法求和，关键是能够通过 的前 项和求得数列 到 的通项公式，根据 的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式.
的通项公式，从而得
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
，即
又
，
，即
，
椭圆 的方程为
【详解】（1）证明：连接 ，取 的中点为 ，连接
在菱形 中， 为正三角形
在 中， ，
， ，由勾股定理知 为等腰直角三角形
，即
平面
又
平面
平面
平面
（2）解：如图，以 为原点，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系
则
，
，
， 设平面 的法向量为
，
，
， ，则
，且
即
，令
，则
，
设平面 的法向量为
，则
，
即
，令 ，则
，
；依次代入各个
选项，判断其单调性，从而得到结果. 【详解】
将
代入 可得：
又
，可得：
当
时，
， 不单调，可知 错误；
当
时，
， 单调递增，可知 正确；
当
时，
， 单调递减，可知 错误；
当
时，
， 不单调，可知 错误.
本题正确选项：
【点睛】本题考查
的单调性问题，主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅
17.在 中，角 的对边分别为 （1）求 的面积；
，已知
（2）若 ，求
值.
，
.
的 【答案】(1)4(2)
【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理求得 的正余弦的值；利用向量数量积求得 ，从而可求面积；（2）利用余弦定理求得 的正余弦值，利用两角和差公式求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：
，
的面积为
（为
的 坐标原点），当
时，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 【解析】 【分析】 （1）通过点 到直线
(2)
或
的距离、离心率和 的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用
可得 ；再利用
，根据弦长公式可求得 ，得到
；利用
表示
出 点坐标，代入椭圆可得
，从而可求得 的范围.
【详解】（1）由题意得：
由
，
得：
则 设 外接圆圆心为 ，则
由正弦定理可知， 外接圆半径：
设 到面 距离 由 为球 直径可知：
则 球的半径
球 的表面积 本题正确选项： 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面 垂直的关系构造直角三角形.
12.已知 是函数
（其中常数 ）图像上的两个动点，点
与圆心共线时取最小值.
D. 5 的最小值，由位置关系可知当
【详解】由渐近线方程可知
设双曲线右焦点为
由双曲线定义可知：
则
则只需求
的最小值即可得到
设圆
的圆心为 ，半径
的最小值
则
本题正确选项： 【点睛】本题考查双曲线中的最值问题，关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化，再根据圆外点到 圆上点的距离的最值的求解方法得到所求最值.
通过排除法得到正确结果.
7.运行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）
A. 9
B. 10
C. 11
【答案】C
【解析】
【分析】
将 的变化规律整理为数列的形式，求解出数列的通项，根据
【详解】将 每次不同的取值看做一个数列
则
，
，
，…，
则
，则
当
时，
；当
时，
即
时， ，输出结果
D. 12 求解出输出时 的取值.
6.函数
的图像大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 根据奇偶性可排除 和 两个选项，再根据
时，
的符号，可排除 选项，从而得到正确结果.
【详解】 定义域为
为定义在 上的奇函数，可排除 和
又
，
当 时，
，可排除
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数图像的判断，解决此类问题的主要方法是利用奇偶性、特殊值、单调性来进行排除，