重庆市2019届高三学业质量调研抽测4月二诊理科数学试题(有解析)
重庆2019年高考学业质量调研抽测4月二诊理科数学试题卷含答案详析
【详解】设事件 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件 为“学生丙第一个出场”
则
，
则 本题正确选项： 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.
10.已知双曲线 在圆
A. 9 【答案】B 【解析】 【分析】
的一条渐近线方程为
，左焦点为 ，当点 在双曲线右支上，点
20.已知离心率为 的椭圆 ：
的右焦点为 ，点 到直线 的距离为 1.
（1）求椭圆 的 方程；
（2）若过点
的直线与椭圆 相交于不同的 两点，设 为椭圆 上一点，且满足
（ 为坐标原点），当
时，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
【解析】
【分析】
（1）通过点 到直线 的距离、离心率和 的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利
由
，
得：
则 设 外接圆圆心为 ，则
由正弦定理可知， 外接圆半径：
设 到面 距离 为
由 为球 直径可知：
则 球的半径
球 的表面积 本题正确选项： 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面 垂直的关系构造直角三角形.
12.已知 是函数
（其中常数
值为 0，则函数 的最小值为（ ）
(2) 当
时，丙可在产品 和产品 中任选一个投资；当
时，丙应选产品 投资.
时，丙应选
（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率
，可求得 ；又
可得 ，由
此可得 的范围；（2）分别求出投资 ， 两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产
最新2019届高三4月第二次质量检测试题数学理试卷
参考公式：如果事件B A 、互斥，那么+=+P A B P A P B （）（）（）； 如果事件B A 、相互独立，那么=P AB P A P B ×（）（）（）； 如果随机变量ξ～),(p n B ，则)1()(,)(p np D np E -==ξξ第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1．已知复数z 满足1+34z i i =+（），则复数z 在复平面内表示的点所在的象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知3(0,),cos()245x x ππ∈+=，则sin x 的值为 A ．102-B ．102C ．1027 D ．1027-3．已知0sin a xdx π=⎰,则5()a x x-展开式中1x -项的系数为 A ．10 B ．10- C ．80 D ．80-4．已知双曲线191622=-y x 的左焦点为1F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于B A 、两点，则l 斜率的范围为A ．44(,)33- B ．33(,)(,)44-∞-+∞ C ．33(,)44-D ．44(,)(,)33-∞-+∞ 5．已知向量,a b 满足||2,||2a b ==，且(2)a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为A. 1B. 1-D.6．已知B x A x f ++=)sin()(ϕω）（2,0,0πϕω<>>A 部分图象如图，则)(x f 的一个对称中心是A ．），（0πB ．），（012πC ． ），（165--π D ． ），（16--π7. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑BCD A -中，⊥AB 第9题图俯视图侧视图正视图第10题图否结束输出S i ≤S=0,i=0输入a开始平面BCD ，CD BC ⊥，且AB BC CD ==M AD ，为的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A ．32 B ．43 C ．33 D ．428．设0a >且1a ≠,则“b a >”是“log 1a b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是A ．232+B ．231+C ．2132++ D ．32+10．程序框图如图，若输入的2=a ，则输出的结果为A ．22019 B ．1010 C ．22023D ．1012 11．将三颗骰子各掷一次,设事件A =“三个点数互不相同”,B =“至多出现一个奇数”,则概率()P A B 等于A ．41B ．3635 C ．185 D ．125 12．已知定义在R 上的连续可导函数)(x f 无极值，且,x R ∀∈[()2018]2019x f f x +=，若mx x x g ++=)6sin(2)(π在]2,23[ππ上与函数)(x f 的单调性相同，则实数m 的取值 范围是A ．]2,(--∞B ． ),2[+∞-C ．]2,(-∞D ． ]1,2[--第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 13. 若整数．．x y 、满足不等式组022020x x y x y ≤≤⎧⎪+->⎨⎪-+>⎩，则y z x =的最小值为 . 14．已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的焦点为12F F 、，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的⊙O 与椭圆C 交于点P ，则=∆21F PF ．C15．定义在R 上的函数)(x f 满足0)()(=-+x f x f ，若1c o s )()(+=x x f x g ，且2)2(l n -=g ，则=)21(ln g ．16．已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，A 是最大角，若m BCC B =+sin cos sin cos ，则m 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答．．．题卷的相应区域答题．．．．．．．．．.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足n a na a a n =-++-+-+-1...131211321，*N n ∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令212)1()1(12--+=+n n n a a n b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1<n T ．18．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 满足BC AD //，a BC DC AD BA ====21，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿AE 翻折成AE B 1∆，使得a D B 261=，F 为D B 1的中点． （Ⅰ）证明：//1E B 平面ACF ；（Ⅱ）求平面1ADB 与平面1ECB 所成锐二面角的余弦值．y0.020.010.00519.（本小题满分12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：（Ⅰ）若测试的同学中，分数段[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]、 、 、 内女生的人数分别为28164人、人、人、人，完成22⨯列联表，并判断：是否有90%以上的把握 认为性别与安全意识有关？（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X ，求X 的分布列及数 学期望()E X ；（Ⅲ）某评估机构以指标M （()()E X M D X =，其中()D X 表示X 的方差）来评估该校安全教 育活动的成效，若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应 调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中.20.（本小题满分12分）已知ABC ∆中，2AB =，且()sin (12cos )sin 12cos 0A B B A -+-=．以边AB 的中垂线为x 轴，以AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系. （Ⅰ）求动点C 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知定点(0,4)P ，不垂直于AB 的动直线l 与轨迹E 相交于M N 、两点,若直线MP 、NP 关于y 轴对称,求PMN ∆面积的取值范围．21.（本小题满分12分）设函数xx e xx g e x a x f =+=)(,)1()(2． （Ⅰ）求函数)(2)(x g x x F +=单调递减区间；（Ⅱ）若函数)0)(()()(≤+=a x g x f x G 的极小值不小于23e -，求实数a 的取值范围．考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程设极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α是参数），直线l 的极坐标方程为m 31cos sin 3=+-θρθρ．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设点),1(m P ，若直线l 与曲线C 相交于B A 、两点，且PBPA 8=，求m 的值﹒23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知x x x f ---=42)(.（Ⅰ）关于x 的不等式a a x f 3)(2-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若()()4f m f n +=，且n m <，求n m +的取值范围.参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.2114.1 15.4 16.)2,3[ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为n a na a a n =-++-+-+-1...131211321 ………………① 当1=n 时，21=a ， 当2≥n 时，111...1312111321-=--++-+-+--n a n a a a n …………② 由①-② 得：1+=n a n ，……………………………………………………………3分 因为21=a 适合上式，所以1+=n a n （*N n ∈） ……………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 2222212)1(11)1(12)1()1(12+-=++=--+=+n n n n n a a n b n n n ………8分2222222)1(11)1(11 (3121)2111+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n T n …………10分 0)1(12>+n ，即 1<n T .18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接ED 交AC 于点O ，连接OF ，由四边形ABCD 为菱形，F 为D B 1的中点得，E B OF 1//， ⊄E B 1平面ACF ，所以//1E B 平面ACF ………4分 （Ⅱ）由第（Ⅰ）小题可知得，以MD 、MA 、1MB 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）．则⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2,0a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,23a D ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,01a B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,,23a aC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2,0a E …6分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,2,23a a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,2,01a a EB ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,2,23a a AD ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=23,2,01a a AB ，设平面1ADB 的法向量()z y x ,,=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-02320223z a y a y ax a ，令1=y ，解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33,1,33， ……………………9分 同理平面1ECB 的法向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=33,1,33，53,cos =>=<∴，故平面1ADB 与平面1ECB 所成锐二面角的余弦值为53. ……………………………12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[20,40)的频率为0.005200.1⨯=，故抽取的学生答卷总数为6600.1=，600.212,18y x ∴=⨯==. 性别与合格情况的22⨯列联表为：2260(14201016)102.706303024369K ⨯⨯-⨯∴==<⨯⨯⨯即在犯错误概率不超过90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关. ……4分 （Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为24:362:3=，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X 可能的取值为20151050、、、、,4312266464444101010183(20),(15),(10),14217C C C C C P X P X P X C C C =========13464444101041(5),(0)35210C C C P X P X C C ======.X 的分布列为：所以1834120151050121421735210E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：2222218341()(2012)(1512)(1012)(512)(012)161421735210D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ()1230.7()164E X M D X ∴===>.故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.…………12分 20. （本小题满分12分）解： (Ⅰ)由()sin (12cos )sin 12cos 0A B B A -+-=得：sin sin 2sin A B C +=, 由正弦定理24CA CB AB AB +==> ……………………………………………2分所以点C 的轨迹是：以,A B 为焦点的椭圆(除y 轴上的点),其中2,1a c ==，则b =故轨迹E 的轨迹方程为221(0)34x y x +=≠. ……………………………………………4分 (Ⅱ) 由题(0,4)P ，由题可知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为(0)y kx m mk =+≠，1122(,),(,),M x y N x y 将直线l 的方程代入轨迹E 的方程得:222(34)63120k x kmx m +++-=.由0>∆得，2243m k >+，且 21212226312,3434km m x x x x k k -+=-=++ ………………6分 ∵直线MP NP 、关于y 轴对称,∴0MP NP k k +=，即1212440y y x x --+=. 化简得：12122(4)()0kx x m x x +-+=,22231262(4)()03434m kmk m k k -∴⋅+-⋅-=++,得1m = …………………………8分那么直线l 过点(0,1)B ,12122269,3434k x x x x k k -+=-=++,所以PMN ∆面积： 1212S BP x x =⋅⋅-== ……………10分设21,1k t t +=>则,18S =,显然，S 在(1,)t ∈+∞上单调递减， 9(0,)2S ∴∈. ………………………………………………………………………………12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知x e x x F x )2()(+=，所以22)22()(x e x x x F x-+=' …………2分由0)(<'x F ，解得031<<--x 或310+-<<x .综上所述，)(x F 的递减区间为)0,31(--和)31,0(+-． ……………………4分（Ⅱ）由题可知x e a x ax x g x f x G ++=+=2)()()(，所以xe a ax x x G )]1()[1()(----='. （1）当0=a 时，xex x G )1()(--='，则)(x G 在)1,(-∞为增函数，在),1(+∞为减函数，所以)(x G 在R 上没有极小值,故舍去；（2）当0<a 时，xe a x x a x G )]11()[1()(----='，由0)(='x G 得a x x 11,121-==，由于0<a ，所以a111-<，因此函数)(x G 在)1,(-∞为增函数，在)11,1(a -为减函数，在),11(+∞-a为增函数，所以)(x G 极小值23)11(e a G -≥-= ………………………………………………8分即2)11(23)11()11()11(e e a a a a a G a-≥+-+-=--. 令111>=-t a ，则上述不等式可化为223111e e t t t t t -≥-++-. 上述不等式01)1(331)1(3)1(1222≥-+-⇔-≥-+⇔-≥-+⇔t e t e e t e t ee t t tt t① …10分 设)1(1)1(3)(2>-+-=t t e t e t h t，则0)1(23)(22>-+='t e e t h t，故)(t h 在),1(+∞为增函数. 又0)2(=h ，所以不等式①的解为2≥t ，因此211≥=-t a ，所以01≤+aa ，解得01<≤-a .综上所述)0,1[-∈a . ………………………………………………12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4— 4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由题可得，曲线C 的普通方程为1)1(22=+-y x .直线l 的直角坐标方程为m x y 313=+-，即0313=+--m y x …………3分由于直线l 过点),1(m P ，倾斜角为 30，故直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t m y t x 21231（t 是参数） …………………………………5分（注意：直线l 的参数方程的结果不是唯一的.）（Ⅱ）设B A 、两点对应的参数分别为21t t 、，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并化简得：011)21()1231(2222=-++⇒=++-+m mt t t m t . ………………8分 所以81221=-==m t t PB PA , 解得3±=m . ………………………………10分23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧≤-=+--<<-=+--≥=-+-=)2( 242)42( 6242)4(242)(x x x x x x x x x x x f ，所以2)(min -=x f ， ………3分 a a x f 3)(2-≥ 恒成立，则2)(3min 2-=≤-x f a a ，解得21≤≤a . ………5分（Ⅱ）2)(max =x f ，2)(,2)(≤≤∴n f m f ，则4)()(≤+n f m f ， …………………………………………………………………8分又4)()(=+n f m f ，所以2)()(==n f m f ，于是4≥>m n ，故8>+n m .………………………………………………………………………10分。
重庆市(非市直属校)2018-2019学年高三第二次质量调研抽测数学理试题+Word版含解析
2018-2019学年高三学业质量调研抽测（第二次）理科数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知是虚数单位，则复数的虚部是A. B. C. D.【答案】A【解析】由题得=所以的虚部是-1.故选A.2. 已知集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得={x|}={x|x≥3或x≤-1}.所以={x|-1＜x＜3},所以=.故选B.3. 已知，，，则，，的大小关系为A. B.C. D.【答案】D【解析】由题得=所以.故选D.4. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是∴几何体的体积是.故选A.5. 在中，角所对应的边分别是，若，则角等于A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴（a﹣b）（a+b）=c（c+b），∴a2﹣c2﹣b2=bc，由余弦定理可得cosA=∵A是三角形内角，∴A=故选D.6. 利用我国古代数学名著《九章算法》中的“更相减损术”的思路,设计的程序框图如图所示．执行该程序框图，若输入的值分别为6,9,0，则输出的A. B. C. D.【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得：a=6，b=9，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=9﹣6=3，i=2,满足a＞b，a=6﹣3=3，i=3,满足a=b，输出a的值为3，i的值为3．故选B．7. 已知实数满足如果目标函数的最大值为，则实数A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得不等式组对应的可行域如图所示：由目标函数得，当直线经过点A时，直线的纵截距所以2+2-m=0,所以m=4. 故选B.8. 为培养学生分组合作能力，现将某班分成三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比丙低，在组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是A. 甲、丙、乙B. 乙、甲、丙C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲【答案】C【解析】因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组. 假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.9. 已知圆，点，两点关于轴对称．若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】由题得圆的方程为设由于，所以由于表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，此时最大，m也最大.故选C.10. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到图象．若，且，则的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到，再向上平移1个单位，得到因为，g(x)的最大值为3，所以=3，因为，所以所以所以的最大值为故选C.点睛：本题的一个关键之处是对且g(x)的最大值为3，推理出这里是解题的关键.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以为圆心的圆与双曲线在第一象限交于点，直线恰与圆相切于点，与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】设,在三角形中，在直角三角形中，故选B.点睛：本题的关键是寻找关于离心率的方程，一个方程是中的勾股定理，另外一个是直角三角形中勾股定理，把两个方程结合起来就能得到离心率的方程.12. 已知函数，在其定义域内任取两个不等实数、，不等式恒成立，则实数的取值X围为A. B. C. D.【答案】A【解析】因为不等式恒成立，所以,a>0.由题得所以由于抛物线开口向上，定义域为故选A.点睛：本题关键是对不等式恒成立的转化，注意观察变形可以转化为在上恒成立,后面的问题就迎刃而解了.二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2019年4月2019届高三第二次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(考试版)
理科数学试题 第1页（共6页） 理科数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前2019年第二次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|28}M x x x =∈-<Z ，{1,3}P =，{0,7}Q =，则()M Q P =ðA ．{0,1,7}B ．{1,0,7}-C ．{0,1,3,7}D ．{1,0,2,7}-2．已知复数z 满足i 2i z z +=-，则在复平面内与复数z 对应的点Z 在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“ln ln a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转π4后经过点(，则sin α=A B ．6C ．6D ．65．已知抛物线28y x =的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A 、B 两点，O 为点坐标原点，若OAB △的面积等于A ．3B C ．D ．46．函数3()3x f x x =-的图象是A ．B ．C ．D ．7．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，如图是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板拼成的大正方形ABCD ，若在正方形ABCD 中任取一点，则此点取自两个四边形（即阴影部分）的概率为A ．13B ．14C ．4D ．68．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由直三棱柱切掉一部分得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为○………………装………………卷只装○………………装………………A．53B．32C．3 D．29．将函数2()cos2cos1f x x x x=+-的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后，其函数图象关于y轴对称，则ϕ的最小值为A．π6B．5π6C．π3D．2π310．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，若点D在直线AB上，且DF x⊥轴，O为坐标原点，且AB ODk kλ=，若离心率11(,)32e∈，则λ的取值范围为A．11(,43B．11(,32C．(3,4)D．(2,3)11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD=，1ED=，若鳖臑P ADE-的外接球的体积为3，则阳马P ABCD-的外接球的表面积等于A．15πB．16πC．17πD．18π12．已知定义在R上的可导函数()y f x=的导函数为()y f x'=，若当0x≠时，3()()0f xf xx'+>，则函数31()()g x f xx=+的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．为了解某种新型材料的功能，产品研究所测试了2000件产品在高强度下试用一段时间后的某项指标在[20,90]内，按指标在[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]进行分组，得到指标取值的频率分布直方图如图所示．则在试用后指标值在[40,70)内的产品件数为____________．14．已知向量(2sin19,2sin109)=︒︒a，||1-=a b，,60-=︒a a b，则||=b____________．15．若二项式29()axx+的展开式中9x的系数为672-，则展开式中除常数项外其余各项系数之和为____________．16．在ABC△中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知sin6sina Cc B=，且(0,)3Cπ∈，则sin sinsinA BC+的取值范围为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知正项数列{}na中，13a=，当2n≥时，22112()n n n na a a a---=+．（1）求数列{}na的通项公式及其前n项和nS；（2）数列1{}nS的前n项和为n T，数列{}n b满足4(1)(2)n nb n n T=++，求数列{}nb的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，1AD=，2DC=，3ABCπ∠=．理科数学试题第3页（共6页）理科数学试题第4页（共6页）理科数学试题 第5页（共6页） 理科数学试题 第6页（共6页）………线………………………线………………___________（1）求证：CA ⊥平面PAD ；（2）若直线PA 与平面ABCD 所成的角为π4，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．19．（本小题满分12分）电动化是汽车工业未来发展的大趋势，在国家的节能减排、排放法规等硬性要求之下，新能源汽车乘势而起，来自中国汽车工业协会的统计数据显示，2018年新能源汽车累计销量已经超过100万辆，意味着我国的新能源汽车市场的正式兴起．某人计划购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到2018年1月到5月的实际销量如下表：（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y （辆）与月份x 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并据此预测2018年10月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程对购车补贴进行新一轮调整．下表为2018年执行的补贴政策．某企业一次采购了6辆电动汽车，已知其中有2辆最大续航里程[200,250)R ∈，其余车辆的最大续航里程[250,300)R ∈，若从这6辆车中任取3辆，求这3辆车的补贴金额之和X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程y bx a =+，其中1122ˆni i i nii x y n xx ybxn ==-=-∑∑，ˆˆab y x =-． 参考数据：5118800i ii x y==∑．20．（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆C 上，12DF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点(2,1)A ，且与椭圆C 交于不同的两点,M N ，若1||,||,||2AM OA AN （O 为坐标原点）成等比数列，判断直线l 的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x a x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若不等式2ln et xt x +≤恒成立，求实数t 的取值范围． 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为123x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于A 、B 两点，设(1,2)M ，求11||||MA MB +的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2|3||2|f x x x =--+．（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若对任意的实数x ，不等式24()0t t f x -+>恒成立，求实数t 的取值范围．。
重庆市2019届高三4月调研测试(二诊)数学理试题Word版含答案
重庆市2019届高三4月调研测试（二诊）数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,0,1,2,3}A =-，2{|30}B x x x =->，则()R AC B =（ ）A ． {1}-B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}2．若复数z 满足2(1)1z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量(,1)a x =-，(1,3)b =，若a b ⊥，则||a =（ ）A B ．2 D ． 44．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）A ．10日B ． 20日C ． 30日D ．40日5．设直线0x y a --=与圆224x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆为等边三角形，则实数a 的值为（ ）A ．．． 3± D ．9±6．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．30m -<< B ．32m -<< C ． 34m -<< D ．13m -<< 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（ ）A ．15B ．18C ． 19D ．208．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =，12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数2sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ． 3π D ．2π 10．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点,P Q ，若||2||PQ QF =，60PQF ∠=，则该双曲线的离心率为（ ） A 3．13． 23 D ．423+11．已知函数2()(3)xf x x e =-，设关于x 的方程2212()()0()f x mf x m R e --=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（ ）A ． 3B ． 1或3C ． 4或6D ．3或4或612．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ） A ．928π B ．924π C ． 23π D ．32π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在52(2)a x x+的展开式中4x -的系数为320，则实数a = ． 14．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中m 为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为 ．15．设函数22log (),12()142,1333x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-++>-⎪⎩，若()f x 在区间[,4]m 上的值域为[1,2]-，则实数m 的取值范围为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则100S = ．（用数字作答）三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-． （1）求sin cos A B 的值； （2）若33a b =，求B ． 18． 如图，矩形ABCD 中，22AB =2AD =M 为DC 的中点，将DAM ∆沿AM 折到'D AM∆的位置，'AD BM ⊥．（1）求证：平面'D AM ⊥平面ABCM ；（2）若E 为'D B 的中点，求二面角'E AM D --的余弦值．19． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，20()P K k ≥0．10 0．05 0．025 0．0100k2．706 3．841 5．024 6．635（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设||X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望．20． 已知,A B 分别为椭圆C ：22142x y +=的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于,A B 两点的任意一点，直线,PA PB 的斜率分别记为12,k k ．（1）求12,k k ；（2）过坐标原点O 作与直线,PA PB 平行的两条射线分别交椭圆C 于点,M N ，问：MON ∆的面积是否为定值？请说明理由．21． 已知曲线2ln ln ()x a x a f x x++=在点(,())e f e 处的切线与直线220x e y +=平行，a R ∈．（1）求a 的值； （2）求证：()x f x ax e>． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22244sin cos ρθθ=+．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为1(1,)2-，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||||PA PB 的取值范围． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|f x x a x a =-+-． （1）若()f x 的最小值为2，求a 的值；（2）若对x R ∀∈，[1,1]a ∃∈-，使得不等式2||()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围．重庆市2019届高三4月调研测试（二诊）数学理试题答案1～6 DCCCCD7～12 DABCAD第（11）题解析：xx x x f +-='e )3)(1()(，)(x f ∴在)3,(--∞和),1(+∞上单增，)1,3(-上单减又当-∞→x 时0)(→x f ，+∞→x 时+∞→)(x f ， 故)(x f 的图象大致为： 令t x f =)(，则方程0e 1222=--mt t 必有两根21,t t )(21t t <且221e 12-=t t ， 当e 21-=t 时恰有32e 6-=t ，此时1)(t x f =有1个根，2)(t x f =有2个根； 当e 21-<t 时必有32e 60-<<t ，此时1)(t x f =无根，2)(t x f =有3个根； 当0e 21<<-t 时必有32e 6->t ，此时1)(t x f =有2个根，2)(t x f =有1个根； 综上，对任意R m ∈，方程均有3个根.第（12）题解析：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况， 由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切， 且切点分别在线段11,,AD AC AB 上，设线段1AB 上的切点为E ，1AC 面21O BD A =，圆柱上底面的圆心为1O ，半径即为E O 1记为r ，则2262331312=⨯⨯==DF F O ，13112==AC AO ，由F O E O 21//知E O AO AO E O 11112122=⇒=，则圆柱的高为r AO 223231-=-，232329242(322)42()42()428r rS r r r r ππππ+-=-=-⋅==侧≤.二、填空题 （13）2（14）53（15）]1,8[-- （16）1306第（15）题解析：函数)(x f 的图象如图所示，结合图象易得，当]1,8[--∈m 时，]2,1[)(-∈x f .第（16）题解析：1122+=++n a a n n ，则12745032999832=+++=++++ a a a a ，31302932262550136122550100=+=+=-=+=+=-=a a a a a a a ，则1306100=S .三、解答题 （17）解：（Ⅰ）1cos sin 2)sin(1sin 1)2cos(1)sin(=⇒+-=-=--=-B A B A C C B A π，21cos sin =∴B A ；（Ⅱ）332sin sin ==b a B A ，由（Ⅰ）知212sin 33cos sin 332cos sin ===B B B B A ，232sin =∴B ， 32π=∴B 或32π，6π=∴B 或3π.（18）解：（Ⅰ）由题知，在矩形ABCD 中，︒=∠=∠45BMC AMD ，︒=∠∴90AMB ，又BM A D ⊥'，⊥∴BM 面AM D '，∴面⊥ABCM 面AM D '；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面AM D '内过M 作直线MA NM ⊥，则⊥NM 平面ABCM ， 故以M 为原点，MN MB MA ,,分别为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，则)0,0,0(M ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)1,0,1(D '，于是)21,1,21(E ，)0,0,2(=MA ，)21,1,21(=ME ，设平面EAM 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=0212102z y x x 令1=y ，得平面EAM 的一个法向量)2,1,0(-=m ，显然平面AM D '的一个法向量为)0,1,0(=n ，故51,cos >=<n m ，即二面角D AM E '--的余弦值为55.（19）解：（Ⅰ）841.3114018222020)861214(4022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，故没有95%以上的把握认为二者有关；（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为81，超过10000步的概率为41，且当0==Y X 或1==Y X 时，0=ξ，12551129888464P C =⨯+⋅=；当0,1==Y X 或1,0==Y X 时，1=ξ，6430854185811212=⋅+⋅=C C P ；当0,2==Y X 或2,0==Y X 时，2=ξ， 645)81()41(22=+=P ，即ξ的分布列为：85=ξE .（20）解：（Ⅰ）设),(00y x P ，则21242220202020000021-=-=-=-⋅+=y y x y x y x y k k ； （Ⅱ）由题知，直线x k y OM 1:=，直线x k y ON 2:=，设),(),,(2211y x N y x M ，则|)(|21||21||2121211122211221x x k k x k x x k x y x y x S -=⋅-⋅=-=，由212112221442k x x k y y x +=⇒⎩⎨⎧==+， 同理可得2222214k x +=，故有1)(24)2(16214214)(42221222121222122212212+++-+=+⋅+⋅-=k k k k k k k k k k k k S ，又2121-=k k ，故8)(22)1(164222122212=++++=k k k k S ，2=∴S . （21）解：（Ⅰ）22ln (2)ln ()x a x f x x -+-'=，由题22122(e)3e e a f a -+-'==-⇒=； 积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计221840（Ⅱ）2ln 3ln 3()x x f x x ++=，2ln (ln 1)()x x f x x -+'=，1()01ef x x '>⇒<<， 故()f x 在1(0,)e 和(1,)+∞上递减，在1(,1)e上递增， ①当(0,1)x ∈时，1()()e e ≥f x f =，而33(1)()e e x x x x -'=，故3e xx 在(0,1)上递增， 33e e e x x ∴<<，3()e xx f x ∴>即()3ex f x x >； ②当[1,)x ∈+∞时，2ln 3ln 30033≥x x ++++=，令23()ex x g x =，则23(2)()e xx x g x -'=故()g x 在[1,2)上递增，(2,)+∞上递减，212()(2)3e ≤g x g ∴=<，223ln 3ln 3e x x x x ∴++>即()3ex f x x >；综上，对任意0x >，均有()3ex f x x >. （22）解：（Ⅰ）14444cos sin 422222222=+⇒=+⇒=+y x x y θρθρ； （Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R ∈α，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程联立，得4)sin 21(4)cos 1(22=+++-ααt t ，整理得02)cos 2sin 4()sin 31(22=--++t t ααα，则]2,21[sin 312||||2∈+=⋅αPB PA . （23）解：（Ⅰ）|||3||()(3)||2|x a x a x a x a a -+----=≥，当且仅当x 取介于a 和a 3之间的数时，等号成立，故)(x f 的最小值为||2a ，1±=∴a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为||2a ，故]1,1[-∈∃a ，使||2||2a m m <-成立，即 2||2<-m m ，0)2|)(|1|(|<-+∴m m ，22<<-∴m .。
重庆市2019届高三数学学业质量调研抽测4月二诊试题理(含解析)
重庆市2019届高三数学学业质量调研抽测4月二诊试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】根据已知求解出，再计算出模长.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数的运算求得，属于基础题.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求得结果.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出两个集合，属于基础题.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数单调性可得，再利用作为临界值可得，，从而得到三者之间的关系.【详解】可知：本题正确选项：【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题，关键是能够利用函数的单调性进行判断，属于基础题.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可.【详解】解：因为，所以因为与的等差中项为，，所以，即，所以故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.5.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则【答案】B【解析】【分析】结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可.【详解】解：选项A中可能，A错误；选项C中没有说是相交直线，C错误；选项D 中若相交，且都与平面平行，则直线与平面所成角相等，但不平行，D错误. 故选：B.【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性可排除和两个选项，再根据时，的符号，可排除选项，从而得到正确结果.【详解】定义域为为定义在上的奇函数，可排除和又，当时，，可排除本题正确选项：【点睛】本题考查函数图像的判断，解决此类问题的主要方法是利用奇偶性、特殊值、单调性来进行排除，通过排除法得到正确结果.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】将的变化规律整理为数列的形式，求解出数列的通项，根据求解出输出时的取值. 【详解】将每次不同的取值看做一个数列则，，，…，则，则当时，；当时，即时，，输出结果本题正确选项：【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果，由于循环次数较多，可以根据变化规律，利用数列的知识来进行求解.8.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将化简为，根据对称轴可求得；通过平移得到；依次代入各个选项，判断其单调性，从而得到结果.【详解】将代入可得：又，可得：当时，，不单调，可知错误；当时，，单调递增，可知正确；当时，，单调递减，可知错误；当时，，不单调，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的单调性问题，主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅助角公式、对称轴方程、三角函数平移等知识准确求解出的解析式.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果.【详解】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”则，则本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（）A. 9B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解的最小值，由位置关系可知当与圆心共线时取最小值.【详解】由渐近线方程可知设双曲线右焦点为由双曲线定义可知：则则只需求的最小值即可得到的最小值设圆的圆心为，半径则本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线中的最值问题，关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化，再根据圆外点到圆上点的距离的最值的求解方法得到所求最值.11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解出面积后，利用三棱锥的体积，构造方程，求解出点到底面的距离，从而可知的长度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离由为球直径可知：则球的半径球的表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面垂直的关系构造直角三角形.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过函数解析式可判断出关于对称，可知取最小值时，与相切且；利用导数求解切线斜率，求解出，从而可得函数最小值.【详解】当时，，则由此可知，关于对称又最小值为，即，此时则此时函数图象如下图所示：此时与相切于当时，设，则又，可得则本题正确选项：【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够通过解析式判断出函数的对称性，从而借助导数的几何意义求得参数的值，进而得到函数最值.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，，根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则______．【答案】375【解析】【分析】求解出，利用求解出，进而求得结果.【详解】由题意：则：本题正确结果：【点睛】本题考查回归直线方程问题，关键是明确回归直线必过，利用此点可求解得到结果.14.若实数满足不等式组，则的最大值为_____．【答案】16【解析】【分析】先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值.【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点A处取得最大值解得点所以最大为4所以的最大值为16故答案为：16.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.15.已知点是抛物线上不同的两点，且两点到抛物线的焦点的距离之和为6，线段的中点为，则焦点到直线的距离为______．【答案】【解析】【分析】通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果. 【详解】设，由抛物线定义可知：，则又为中点，则抛物线方程为则：，两式作差得：则直线的方程为：，即点到直线的距离本题正确结果：【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和斜率之间的关系.16.已知数列，对任意，总有成立，设，则数列的前项的和为______．【答案】【解析】【分析】利用求得，从而可得，则每两项作和，通过裂项相消的方式求得结果.【详解】当且时，由……①得：……②①②得：当时，综上所述：则：则的前项和为：本题正确结果：【点睛】本题考查数列裂项相消法求和，关键是能够通过的前项和求得数列的通项公式，从而得到的通项公式，根据的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的面积；（2）若，求的值. 【答案】(1)4(2) 【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得的正余弦的值；利用向量数量积求得，从而可求面积；（2）利用余弦定理求得的正余弦值，利用两角和差公式求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，的面积为（2），，即【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题，关键是能够熟练应用正余弦定理处理边角关系式.18.有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：获利亏损产品：获利亏损注：（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.【答案】(1) (2) 当时，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，丙应选产品投资；当时，丙应选产品投资.【解析】【分析】（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率，可求得；又可得，由此可得的范围；（2）分别求出投资，两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品.【详解】（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则，，，又，且，（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，，丙应选产品投资；当时，，丙应选产品投资.【点睛】本题考查概率统计中的独立事件的概率、数学期望的应用问题.在以期望值作决策依据进行选择时，关键是分别求解出数学期望，依据大小关系来确定结果.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，已知，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）分别证得，，从而证得平面，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用法向量夹角求得结果.【详解】（1）证明：连接，取的中点为，连接在菱形中，，为正三角形在中，，，由勾股定理知为等腰直角三角形，即平面 又平面平面平面（2）解：如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系则，，，，，，设平面的法向量为，则，且即，令，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，则二面角的平面角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题，关键是能够建立起空间直角坐标系，通过法向量夹角的余弦值求得二面角平面角的正弦值，属于常规题型.20.已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】（1）通过点到直线的距离、离心率和的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用可得；再利用，根据弦长公式可求得，得到；利用表示出点坐标，代入椭圆可得，从而可求得的范围.【详解】（1）由题意得：，即又，，即，椭圆的方程为（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，由得：由，得：（*），，结合（*）得：从而，点在椭圆上整理得：即或【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中参数取值范围的求解问题，关键是能够利用直线与椭圆相交于不同两点且弦长得到的取值范围；再通过向量的坐标运算，可得到关于与的关系，进而可求得结果.21.已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点即的图像与函数的图像有交点即在有解，即在上有解设，，则当时，为减函数；当时，为增函数，即（2），在上存在两个极值点，且且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，设点，已知，求实数的值. 【答案】（1）直线: ，曲线:（2）【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数t得直线的一般方程，在曲线的极坐标方程为中先两边同乘，得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由，，列方程求出答案. 【详解】解：（1）因为直线的参数方程为消去t化简得直线的普通方程：由得，因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入得即，则，，∴，∴∴∵，∴，满足∴【点睛】本题考查了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，. （1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 试题分析：(1)将不等式零点分段可得不等式的解集为.(2)将不等式转化为，可得实数的取值范围是.试题解析：解：（1）当时，， ∴等价于或或，解得或或，即.∴不等式的解集为.（2）∵，∴， 不等式，∴，∴实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
高三4月联考数学(理)试题-Word版含答案
普通高中2019年第二学期高三年级教学质量检测卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|316,}xA x x N =<∈，2{|540}B x x x =-+<，则()R AC B 的真子集个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．72．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若2()z z z i =+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 3．若61(2)x x+展开式的常数项为（ ）A ．120B ．160C ．200D ． 2404．若101()2a =，121()5b -=，15log 10c =，则,,a b c 大小关系为（ ）A ． a b c >>B ．a c b >>C ． c b a >>D ．b a c >>5．如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．93+．97+． 105+ D ．109+6．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数），若输入的,a b 分别为675,125，则输出的a =（ ）A ． 0B ． 25C ． 50D ．757．将函数2()2sin cos f x x x x =--(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ．3π C ． 2π D ．6π 8．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为,a b ，且直线80ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于,B C 两点，且120BAC ∠=，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)2x y -++= C ． 2218(1)(1)17x y -++=D ．2212(1)(1)15x y -++= 9．已知,x y 满足约束条件204230x y ax y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，目标函数23z x y =-的最大值是2，则实数a =（ ）A ．12 B ．1 C ． 32D ．4 10．已知正三棱锥A BCD -的外接球半径2R =，,P Q 分别是,AB BC 上的点，且满足5AP CQPB QB==，DP PQ ⊥，则该正三棱锥的高为（ ） A ．C ．D．11．已知抛物线21:8(0)C y ax a =>，直线l 倾斜角是45且过抛物线1C 的焦点，直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，双曲线2C ：22221x y a b-=的一个焦点在抛物线1C 的准线上，则直线l 与y 轴的交点P到双曲线2C 的一条渐近线的距离是（ ） A ．2 BC ．D ．112．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为'()f x ，则命题:P “12,x x R ∀∈，且12x x ≠，1212()()||2017f x f x x x -<-”是命题Q ：“x R ∀∈，'|()|2017f x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也必要条件第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(1,)a m =-，(0,1)b =，若向量a 与b 的夹角为3π，则实数m 的值为 ． 14．已知1sin()33πα-=(0)2πα<<，则sin()6πα+= ． 15．在区间[0,1]上随机地取两个数,x y ，则事件“5y x ≤”发生的概率为 ． 16．已知在平面四边形ABCD中，AB =2BC =，AC CD ⊥，AC CD =，则四边形ABCD面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若*11(1)()nn n n n n a a b n N a a +++=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18． 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）． （1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．19． 如图1，四边形ABCD 中，AC BD ⊥，2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．20． 设点M 到坐标原点的距离和它到直线:(0)l x m m =->的距离之比是一个常数2． （1）求点M 的轨迹；（2）若1m =时得到的曲线是C ，将曲线C 向左平移一个单位长度后得到曲线E ，过点(2,0)P -的直线1l 与曲线E 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，过(1,0)F 的直线,AF BF 分别交曲线E 于点,D Q ，设AF FD α=，BF FQ β=，,R αβ∈，求αβ+的取值范围．21． 设函数()ln(1)(2)f x x x a x =---．（1）若2017a =，求曲线()f x 在2x =处的切线方程； （2）若当2x ≥时，()0f x ≥，求α的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos()4πρθ=+． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围．试卷答案1.B 【解析】因为316,xA x x =<∈N {}0,1,2=，2540B x x x =-+<={}14x x <<， 故{}14B x x x =≤≥R 或ð，故(){}0,1A B =R I ð，故()R A B I ð的真子集个数为3，故选B. 2.C 【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈，则z a b i =-，又()2z z z i⋅=+，()()22221a b a b i ∴+=+-+，1,1,a b ∴==故1z i =+.故选C.3.B 【解析】61(2)x x+，展开式中的第1r +项为6261661()(2)2r r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅=⋅⋅， 令260r -=可得3r =，故展开式中的常数项为160．4.D 【解析】100110()()122<<=，即01a <<，同理1b >，而0c <，因此b a c >>．5. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为3344461052S =⨯+⨯+⨯⨯= C.6. B 【解析】开始a =675, b =125;第一次循环：c =50, a =125, b =75;第二次循环：c =50, a =75,b =50;第三次循环：c =25, a =50, b =25; 第四次循环：c =0, a =25, b =0.退出循环，输出a =25. 7. D 【解析】()2sin 22cos(2)6f x x x x π=-=+图象向左平移(0)t t >个单位得到()2cos(22)6f x x t π=++为奇函数，所以2t 最小值3π,6t π=.选D.8.C 【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,24，故a=40,b=24,∴直线80ax by ++=为402480x y ++=，化简为5310x y ++=，圆心(1,1)A -到直线l 的距离为d ==R 2218(1)(1)17x y -++=.9.A 【解析】不等式组20230x y x y --⎧⎨-+⎩≤≥表示的平面区域如图中直线230x y -+=与直线20x y --=所夹的点A的左边部分，由于目标函数23z x y =-的最大值是2，作出直线232x y -=见图中虚线，可知点C 是直线20x y --=与232x y -=的交点，从而知点C 是不等式组204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域的最下方的一个点，直线4ax y +=过定点(0,4)B 又过点(4,2)C ，所以得12a =.10.A 【解析】易知正三棱锥A BCD -中对棱互相垂直，则有AC BD ⊥，因为5AP CQPB QB==，所以//PQ AC ，而DP PQ ⊥，所以DP AC ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥A BCD -的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A BCD -补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2R =. 11．D 【解析】由题意得直线l 的方程是2y x a =-，由228y x a y ax=-⎧⎪⎨=⎪⎩得221240x ax a -+=，又由直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，得812162aa +=，得1a =，从而知抛物线1C 的准线方程是2x =-，由题意可以得双曲线的一个焦点是(2,0)-，即有2c =，222413b c a =-=-=，∴双曲线2C的渐近线方程是y =.又知点(0,2)P -，从而有1d ==，故选D.12.B 【解析】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，所以不妨设12x x <，则由1212()()||2017f x f x x x -<-可得1221|()()|20172017f x f x x x -<-，于是12211212()()20172017()()20172017f x f x x x f x f x x x -<-⎧⎨->-⎩，即11221122()2017()2017()2017()2017f x x f x x f x x f x x +<+⎧⎨->-⎩.构造函数()()2017g x f x x =+，则由单调性的定义可知()g x 在R 上单调递增，所以()()20170g x f x ''=+≥在R 上恒成立，即()2017f x '≥-在R 上恒成立，同理可证()2017f x '≤在R 上恒成立，所以P 等价于“x R ∀∈|()|2017f x '≤”，显然Q 是P 的真子集，所以P 推不出Q ，而Q 可以推出P ，所以P 是Q 的必要不充分条件.【解析】由cos ,||||⋅<>=a b a b a b，得1cos 32π，从而解得m或m =.14.3【解析】因为1c o s ()c o s [()]s i n ()62333ππππααα+=--=-=，且α为锐角，所以sin()63πα+==. 15.16【解析】在区间[]0,1上随机地取两个数x 、y 构成的区域的面积为1，事件“5y x ≤”发生构成的区域的面积为15610011|66x dx x ==⎰，所以所求概率为16．16.3+【解析】设,(0,)ABC θθπ∠=∈，则在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos 6AC AB BC AB BC θθ=+-⋅=-，从而四边形ABCD 的面积1(sin )2ABC ACD S S S AB BC AC CD θ∆∆=+=⋅⋅+⋅，化简得16)2S θθ=+-32cos )θθ=-3)θϕ=+-，其中tan 2ϕ=，当sin()1θϕ-=时，S取得最大值317.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2215a a a =，即2(1)14d d +=+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-. （Ⅱ）由21n a n =-，可得11411(1)(1)(1)()(21)(21)2121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++=-=-=-+-+-+，当n 为偶数时，111111112(1)()()()13355721212121n nS n n n n =--+++--+++=-+=--+++. 当n 为奇数时，1n +为偶数，于是1111111122(1)()()()13355721212121n n S n n n n +=--+++--+-+=--=--+++. 18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，故0.005a =.(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 故填表如下根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．（III ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 故X 可视为服从二项分布，即3(4,)4X B :，4431()()()(0,1,2,3)44kk k P X k C k -===，故0044311(0)()()44256P X C ===，1134313(1)()()4464P X C === ， 22243154(2)()()44256P X C === ，331431108(3)()()44256P X C ===， 44043181(4)()()44256P X C ===，()434E X =⨯= 或（()01234325664256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形， 则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且AD CD ⊂、平面ACD ，AD CD D =，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ， 所以平面ACD ⊥平面BAD .（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向，ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：(0,0,0)E ，(2,0,0)C ，(0,1,0)B -，(0,1,0)D，)A h ，1(1,,0)2F .(1)BA h =，(2,1,0)DC =-，由于AB CD ⊥，所以2110BA DC ⋅==，解得h =A 点坐标为1(2A . 由于1(2BA =，3(1,,0)2BF =，设平面ABF 的法向量(,,)u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,230,2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令9a =，由此可得(9,u =-.由于AD AB ⊥，AD AC ⊥，则2(1,DA =-为平面ABC 的一个法向量，则·(2)cos ,251202u DA u DA u DA===，因为二面角C AB F --为锐角， 则二面角C AB F --的余弦值为5. 20.【解析】（Ⅰ）过点M 作MH l ⊥，H 为垂足， 设点M 的坐标为(,)x y，则|||||OM MHx m ==+，又||||OM MH =|x m +， 故点M 的轨迹方程为22211022x y mx m +--=. 可化为2222()12x m y m m-+=，显然点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. （Ⅱ）1m =时，得到的曲线C 的方程是22(1)12x y -+=， 故曲线E 的方程是2212x y +=.设1122(,),(,)A x y B x y ,33(,)D x y ，则1133(1,),(1,)AF x y FD x y =--=-， 由AF FD α=，得13y y α-=，即13y y α=-.当AD 与x 轴不垂直时，直线AD 的方程为11(1)1y y x x =--，即111(1)x y y x y -+=，代入曲线E 的方程并注意到221112x y +=，整理可得221111(32)2(1)0x y y x y y -+--=，则2113132y y y x =--，即11332y x y -=-，于是132x α=-.当AD 与x 轴垂直时，A 点的横坐标为11x =，1α=，显然132x α=-也成立. 同理可得232x β=-.设直线1l 的方程为(2)y k x =+，联立22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(21)8820k x k x k +++-=，由0k ≠及2222(8)4(21)(82)0k k k ∆=-+->，解得2102k <<. 又2122821k x x k +=-+，则121228323262()14(6,10)21x x x x k αβ+=-+-=-+=-∈+.故求αβ+的取值范围是(6,10).21.【解析】（Ⅰ）当2017a =时，()ln(1)2017(2)f x x x x =---， 则()ln(1)20171xf x x x '=-+--，所以(2)220172015f '=-=-， 又(2)000f =-=，所以曲线()f x 在2x =处的切线方程为02015(2)y x -=--.，即20154030x y +-=.（Ⅱ）由()0f x ≥得ln(1)(2)0x x a x ---≥，而2x ≥， 所以(2)ln(1)0a x x x ---≥，设函数(2)()ln(1)(2)a x g x x x x-=--≥， 于是问题 转化为()0g x ≥，对任意的2x ≥恒成立. 注意到(2)0g =，所以若()0g x '≥，则()g x 单调递增，从而()(2)0g x g ≥=.而2221(2)2(1)()1(1)ax a x x a x g x x x x x ----'=-=--，所以()0g x '≥等价于22(1)0x a x --≥， 分离参数得211[(1)2]2(1)21x a x x x ≤=-++--， 由均值不等式可得11[(1)2]221x x -++≥-， 当且仅当2x =时等号成立，于是2a ≤. 当2a >时，设2()2(1)h x x a x =--，因为(2)422(2)0h a a =-=->，又抛物线2()2(1)h x x a x =--开口向上， 所以函数2()2(1)h x x a x =--有两个零点，设两个零点为12,x x ，则122x x <<，于是当2(2,)x x ∈时，()0h x <，故()0g x '<，所以()g x 单调递减，故()(2)0g x g <=，这与题设矛盾，不合题意.综上，a 的取值范围是(,2]-∞.22.【解析】（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y -++=∴圆心的直角坐标为.（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为== ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值为.23.【解析】（Ⅰ）由|2|6x a a -+≤得，|2|6x a a -≤-,∴626a x a a -≤-≤-,即33a x -≤≤,∴32a -=-,∴1a =.（Ⅱ）由（1）知()|21|1f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-,则()124,211212124,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴()n ϕ的最小值为4， ∴实数m 的取值范围是[4,)+∞.。
2019年4月2019届高三第二次全国大联考(新课标Ⅰ卷)-理科数学(参考答案)
5
1 C10
C1 10
1 1 5 P( X 2) C16 C1 3 ， （10 分） C C 10 10 10
27 ， ( ) 3 3 3 5 5 5 125 36 54 27 117 ∴至少抽到一件优等品的概率为 P P( A) P(B) P(C) .（8 分） 125 125 125 125 () 125 5 () 125 5
②设从甲、乙企业的 10 件样品中各随机抽取 1 件，2 件产品中优等品的件数为随机变量 X ，则 X 的所
X 的分布列为 X P
0 1 2
1 1 X 的数学期望 E ( X ) 0 1 2 .（12 分） 10 10 2 5
理科数学 第 3 页（共 7 页）
1 5 3
1 3 2 10 11
20．（本小题满分 12 分）
（2） m 3 ，直线l 的方程为 y k(x 3) ，
又 x1 x2 6
k 0 ， k
15 . 12 （ 分） 6
21．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）
f (x)
e x ( x a) x
，
f ( x)
ex (x2 ax a) x2
，（1 分）
函数 f (x) 有两个极值点 x1 , x2 ， f (x) 0 ，即 x2 ax a 0 有两个不等的非零实根 x1 , x2 ，
2 2 5
2019届重庆市南开中学高三4月测试数学(理)试题(解析版)
2019届重庆市南开中学高三4月测试数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】先对复数进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案。
【详解】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A.【点睛】本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题。
2．若集合，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求出集合，然后与集合取交集即可。
【详解】由题意，，，则，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题。
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由双曲线的渐近线为，可得到，又点在双曲线上，可得到，联立可求出双曲线的方程。
【详解】双曲线的渐近线为，则，又点在双曲线上，则，解得，故双曲线方程为，故答案为C.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的方程的求法，考查了计算能力，属于基础题。
4．在中，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在上分别取点,使得,可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案。
【详解】如下图，，在上分别取点,使得,则为平行四边形，故,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题。
5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确．．．的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B【解析】结合表中数据，对选项逐个分析即可得到答案。
【详解】因为冰箱类电器净利润占比为负的，所以选项A正确；因为营业收入-成本=净利润，该公司2018年度小家电类电器营业收入占比和净利润占比相同，而分母不同，所以该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润不可能相同，故选项B错误；由于小家电类和其它类的净利润占比很低，冰箱类的净利润是负值，而空调类净利润占比达到，故该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，即选项C正确；因为该公司2018年度空调类电器销售净利润不变，而剔除冰箱类电器销售数据后，总利润变大，故2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，即选项D正确。
2019届重庆市高三4月(二诊)调研测试题(康德版)数学(理)试题(解析版)
一、单选题
1．复数 （i为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A．1+iB．1﹣iC．1+2iD．1﹣2i
【答案】D
【解析】根据复数的除法求解 再判定即可.
【详解】
∵ ＝ ,∴复数 （i为虚数单位）的共轭复数为1﹣2i．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算与共轭复数的概念,属于基础题型.
所以MN与CD平行，
又由对称性可得
当AB⊥CD时,四面体AOMN的高为半径，此时体积取最大值,
所以
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了立体几何中的体积运算,根据几何体的对称性可沿中轴截面分成两个全等的几何体进行求解.属于中等题型.
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝acosB+2bsin2
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了利用导数求极值点存在的问题,需要数形结合讨论在区间内的交点个数及其区间,属于中等题型.
二、填空题
13．设（1﹣x）（1+x）5＝a+a1x+a2x3+a3x3+…+a6x6，则a1的值为_____
【答案】4
【解析】根据题意求解展开式中 的系数即可.
【详解】
由（1+x）5展开式的通项得Tr+1＝ xr,则（1﹣x）（1+x）5展开式x的一次幂的系数a1＝ ＝4,
【详解】
由sin2（α+ ）+cos2（α﹣ ）＝ ,得sin2（α+ ）+cos2（α+ ）＝ ,
得sin2（α+ ）+sin2（α+ ）＝ ．得sin2（α+ ）＝ ,得sin（α+ ）＝± ,
2019届高三数学二模试卷理科附答案
2019届高三数学二模试卷理科附答案理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019•乐山调研]若与互为共轭复数，则的值为（）A．B．C．D．2．[2019•济南外国语]已知集合，，则（）A．B．C．D．3．[2019•九江一模] 的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．[2019•榆林一模]已知向量，满足，，，则（）A．2 B．C．D．5．[2019•湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．[2019•武邑中学]在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角（）A．B．C．或D．或7．[2019•新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（）A．；B．；C．；D．；8．[2019•优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．B．C．D．9．[2019•成都一诊]在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．[2019•长沙一模]已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点．设，若，则的图象对称中心可以是（）A．B．C．D．11．[2019•湖北联考]已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．[2019•宜昌调研]已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019•泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点，则______．14．[2019•湖北联考]设，满足约束条件，则的最大值为____．15．[2019•镇江期末]若，，则_______．16．[2019•遵义联考]已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019•潍坊期末]已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．18．（12分）[2019•开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．19．（12分）[2019•湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）[2019•河北联考]在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且．（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019•泉州质检]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019•九江一模]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（，），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．（1）求，的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019•湘潭一模]设函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵，，又与互为共轭复数，∴，，则．故选A．2．【答案】C【解析】∵集合，，∴，，∴．故选C．3．【答案】B【解析】，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，，排除C，故选B．4．【答案】A【解析】根据题意得，，又，∴，∴，∴．故选A．5．【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴，则该双曲线的方程为．故选D．6．【答案】A【解析】∵，，，∴由正弦定理可得，∵，由大边对大角可得，∴解得．故选A．7．【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数，∴该程序框图要算出所得到的和，①当时，，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此变成2，进入下一步；②当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成3，进入下一步；③当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成4，进入下一步；④当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成5，进入下一步；⑤当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成6，进入下一步；⑥当时，用前一个加上，得，刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的值，由以上的分析，可得图中判断框应填“”，执行框应填“”．故选C．8．【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有，，，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C．9．【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2，取中点，连结，，∴是棱的中点，∴，∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选C．10．【答案】D【解析】结合题意，绘图又，，∴周期，解得，∴，，令，得到，∴，令，，得对称中心，令，得到对称中心坐标为，故选D．11．【答案】B【解析】偶函数满足，即有，即为，，可得的最小正周期为4，故①错误；②正确；由，可得，又，即有，故为奇函数，故③正确；由，若为偶函数，即有，可得，即，可得6为的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B．12．【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点，，设，，则，，∵、是椭圆上的点，∴①，②，①﹣②得：，∴，∴，∴，∴，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】函数，可得，∴，又，∴切线方程为，切线经过，∴，解得．故答案为1．14．【答案】5【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，由可得，此时．故答案为5．15．【答案】【解析】由得，即，又，解得，∴．16．【答案】【解析】取的中点，连结、，∵平面，平面，∴，可得中，中线，由，，，可知，又∵，、是平面内的相交直线，∴平面，可得，因此中，中线，∴是三棱锥的外接球心，∵中，，，∴，可得外接球半径，因此，外接球的表面积，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，成等差数列，∴，当时，，∴，当时，，，两式相减得，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2），∴，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计150 **** ****由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）由题意得所求概率为．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，1，2，3，4，∴的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面中，，，且，∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面．（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，，∴，，设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，它背向二面角，又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．20．【答案】（1）；（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．【解析】（1）联立，得，则，，从而．∵，∴，即，解得，故的方程为．（2）设线段的中点为，由（1）知，，，则线段的中垂线方程为，即．联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或．假设存在点，设的坐标为，∵，∴，则．∵，∴．若的坐标为，则，，则的坐标不可能为．故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解法一：（1），①当时，↘极小值↗∴在上单调递减，在单调递增．②当时，的根为或．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．若，即，在上恒成立，∴在上单调递增，无减区间．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．综上：当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）∵，∴．当时，恒成立．当时，．令，，设，∵在上恒成立，即在上单调递增．又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，则，∴．综上，的取值范围为．解法二：（1）同解法一；（2）令，∴，当时，，则在上单调递增，∴，满足题意．当时，令，∵，即在上单调递增．又∵，，∴在上有唯一的解，记为，↘极小值↗，满足题意．当时，，不满足题意．综上，的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；；（2）2．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，∴曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，，，∵，∴，∴，，∴的极坐标方程为．（2）由题设知，，当时，取得最小值为2．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴的解集为．（2）∵，∴，即，则，∴．。
高三理科数学二诊试题及答案
2019届高三理科数学二诊试题及答案2019届高三理科数学二诊试题及答案一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分.1.已知集合,则等于( )A. B. C. D.2.命题所有能被2整除的整数都是偶数的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数3.(周练变式)设函数，则满足的x的取值范围是( )A. ，2]B.[0，2]C.[1，+ )D.[0，+ )4.若函数，则下列结论正确的是( )A. ，在上是增函数B. ，在上是减函数C. ，是偶函数D. ，是奇函数5. 设0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 设函数若，，则关于x的方程的解的个数为( )A.1B.2C.3D.47. 已知幂函数f(x)的图象经过点(18，24)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1A ② ; ③④ .A.①③B.①②C.②④D.②③8.(周练变式)函数的图像可能是( )9. 函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是( )A. B. C. D.10. 定义在R上的函数，如果存在函数(k,b为常数)，使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数.现有如下命题：①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个.②函数为函数的一个承托函数.③定义域和值域都是R的函数不存在承托函数.其中正确命题的序号是：( )A.①B.②C.①③D.②③二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分.11.已知函数，则零点的个数是__________.12.已知函数R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成的区域(如图阴影部分)的面积为，则=_____________.13. 已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则_______________.14. 已知函数的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A 为的保值区间.若的保值区间是，则的值为_______________.15. 设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。
重庆市2019届高三4月模拟考试数学(理)试卷 Word版含答案
数学试题 理注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足(1)1z i i -=+（i 是虚数单位），则||z =A ．0B ．12C ．1D ．322. 已知集合{}1A x y x==-，{}2230B x x x x Z =--<∈，，则()R C A B I = A ．{}1 B ．{}2 C ．{}21， D ．{}321，， 3. 若4log 3=a ，4.06.0=b ，2log 21=c ，则实数c b a ，，的大小关系为A. c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．c a b >>4. 下列说法正确的是A. 设m 是实数，若方程12122=-+-my m x 表示双曲线，则2>m ．B.“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的充分不必要条件．C. 命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”． D. 命题“若0x 为()x f y =的极值点，则()00'=x f ”的逆命题是真命题． 5. 执行右边的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是A ．5≤iB ．6≤iC ．7≤iD ．8≤i6. 在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论。
甲说：“我做错了！” 乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师 （第5题） 看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对 了，有且只有一人说对了。
重庆市2019届4月调研测试卷 理科综合(PDF版含答案)
()
月
激素类似物甲
季
插 条
12
激素类似物乙
生8 根
数4
条0 0
1
5 10 50 100
浓度(μmol/L)
B．若某基因缺失了单个碱基对，则该基因编码的肽链长度可能变长
D．b、c 的简单离子在水溶液中一定能大量共存
11．重铬酸钾（K2Cr2O7）是一种强氧化剂，可用于检测酒驾中酒 精的含量，电化学制备 K2Cr2O7 的装置如图所示，其中 a、b 均为石墨电极。下列说法正确的是
A．X 是电源的正极 B．电解过程中 K＋向 b 极移动 C．b 极上发生的电极反应为：2CrO42－＋2H＋＝Cr2O72－＋H2O D．理论上 a、b 两电极放出的气体的物质的量之比为 2∶1
C． GMm 2R
D． GMm 4R
17．如图所示，空间有匀强电场（图中未画出）和水平匀强磁场，与磁场垂直的竖直面内，
有一带电小球从 M 沿直线运动到 N，MN 与水平方向夹角为α，下列说法可能正确的是
N
A．小球一定带负电
B．小球所受电场力大小与重力大小相等 C．电场方向沿竖直方向 D．从 M 到 N 过程中，小球克服电场力做功
4 月调研测试卷（理综）第 1页 共 19 页
9． 某同学在实验室制取乙酸乙酯的装置如右图所示，下列有关说法错误的是 A．该装置有 1 处错误
乙酸、 乙醇和 浓硫酸
B．在试管 a 中先加入乙醇再加浓硫酸和乙酸 C．试管 b 的下层为无色油状液体
a
Na2CO3 饱和溶液
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，若
为 0，则函数 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过函数解析式可判断出 关于 对称，可知
取最小值时，
导数求解切线斜率，求解出 ，从而可得函数最小值 .
【详解】当 时，
，则
由此可知， 关于 对称
又
最小值为 ，即
，此时
则此时函数图象如下图所示：
D. 与 相切且
的最小值 ；利用
此时
时，丙应选产
品 投资；当
时，丙应选产品 投资.
【解析】 【分析】
（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率
，可求得 ；又
可得 ，由
此可得 的范围；（2）分别求出投资 ， 两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品. 【详解】（1）记事件 为“甲选择产品 投资且获利”，记事件 为“乙选择产品 投资且获利”，记事件 为 “一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”
19.如图，在四棱锥
中，底面 是菱形， 为 的中点，已知
，
，
.
（1）证明：平面 （2）求二面角
平面 ； 的平面角的正弦值.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）分别证得
，
分别求得平面 和平面
，从而证得 平面 ，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系， 法向量，利用法向量夹角求得结果.
则
，
则 本题正确选项： 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.
10.已知双曲线
的一条渐近线方程为
，左焦点为 ，当点 在双曲线右支上，点 在
圆
上运动时，则
的最小值为（ ）
A. 9
B. 7
C. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解
由
，
得：
则 设 外接圆圆心为 ，则
由正弦定理可知， 外接圆半径：
设 到面 距离 由 为球 直径可知：
则 球的半径
球 的表面积 本题正确选项： 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面 垂直的关系构造直角三角形.
12.已知 是函数
（其中常数 ）图像上的两个动点，点
；依次代入各个
选项，判断其单调性，从而得到结果. 【详解】
将
代入 可得：
又
，可得：
当
时，
， 不单调，可知 错误；
当
时，
， 单调递增，可知 正确；
当
时，
， 单调递减，可知 错误；
当
时，
， 不单调，可知 错误.
本题正确选项：
【点睛】本题考查
的单调性问题，主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅
【详解】（1）证明：连接 ，取 的中点为 ，连接
在菱形 中， 为正三角形
在 中， ，
， ，由勾股定理知 为等腰直角三角形
，即
平面
又
平面
平面
平面
（2）解：如图，以 为原点，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系
则
，
，
， 设平面 的法向量为
，
，
， ，则
，且
即
，令
，则
，
设平面 的法向量为
，则
，
即
，令 ，则
，
11.已知三棱锥
各顶点均在球 上， 为球 的直径，若
，
，三棱锥
的体
积为 4，则球 的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求解出 面积后，利用三棱锥
的体积，构造方程，求解出点 到底面 的距离，从而可知 的
长度；利用正弦定理得到 ，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】原题如下图所示：
15.已知点 是抛物线
上不同的两点，且 两点到抛物线 的焦点 的距离之和为 6，线段
的中点为
，则焦点 到直线 的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】
通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果.
【详解】设
，
由抛物线定义可知：
，则
又
为 中点，则
抛物线方程为
则：
【详解】当 且
时，由
……②
① ②得：
当 时，
综上所述：
成立，设 ……①得：
则： 则 的前 项和 为：
，则数 ，则每两项作和，通过
本题正确结果：
【点睛】本题考查数列裂项相消法求和，关键是能够通过 的前 项和求得数列 到 的通项公式，根据 的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式.
的通项公式，从而得
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
2.已知集合
，
A.
B.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求解出两个集合，根据交集定义求得结果.
【详解】
，则 C.
（） D.
则 本题正确选项： 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出 两个集合，属于基础题.
3.设
，
，
，则 的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
（2）
，
，即
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题，关键是能够 熟练应用正余弦定理处理边角关系式.
18.有两种理财产品 和 ，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间 相互独立）： 产品 ：
投资结果
获利
不赔不赚
亏损
概率
产品 ： 投资结果 概率
A. 127
B. 64
C. 63
D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出等比数列的首项和公比，然后计算 即可.
【详解】解：因为
，所以
因为 与 的等差中项为 ，，所以
，即
，
所以
故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.
5.已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，且 ，则 C. 若 ， ，且 ， ，则 D. 若直线 与平面 所成角相等，则 【答案】B 【解析】 【分析】 结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可. 【详解】解：选项 A 中可能 ，A 错误；选项 C 中没有说 是相交直线，C 错误；选项 D 中若 相交， 且都与平面 平行，则直线 与平面 所成角相等，但 不平行，D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.
高 2019 届高三学生学业调研抽测（第二次）
理科数学试题卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 为虚数单位，复数 满足
，则 （ ）
A.
B.
C. 1
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知求解出 ，再计算出模长.
【详解】
则 本题正确选项： 【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数的运算求得 ，属于基础题.
则
二面角
的平面角的正弦值为
【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题，关键是能够建立起空间直 角坐标系，通过法向量夹角的余弦值求得二面角平面角的正弦值，属于常规题型.
20.已知离心率为 的椭圆 ：
的右焦点为 ，点 到直线 的距离为 1.
（1）求椭圆 方程；
（2）若过点
的直线与椭圆 相交于不同的 两点，设 为椭圆 上一点，且满足
【答案】16 【解析】 【分析】 先由简单线性规划问题求出
的最大值，然后得出
的最大值.
【详解】解：由不等式组
画出可行域如图中阴影部分
然后画出目标函数
如图中过原点虚线，平移目标函数在点以 的最大值为 16 故答案为：16.
【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.
获利
不赔不赚
亏损
注：
（1）若甲、乙两人分别选择了产品 投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于 ，求实数 的取值
范围； （2）若丙要将 20 万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪 种产品投资较为理想.
【答案】(1)
(2) 当
时，丙可在产品 和产品 中任选一个投资；当
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数单调性可得 ，再利用 作为临界值可得 ， ，从而得到三者之间的关系.
【详解】
可知： 本题正确选项： 【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题，关键是能够利用函数的单调性进行判断，属于基础题.
4.设等比数列 的前 项和为 ，已知
，且 与 的等差中项为 20，则 （ ）
与
当 时，
相切于
设
，则
又
，可得
则 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够通过解析式判断出函数的对称性，从而借助导数的几 何意义求得参数的值，进而得到函数最值.
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，得到 5 组数据： ， ，
，即
又
，
，即
，
椭圆 的方程为
本题正确选项： 【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果，由于循环次数较多，可以根据变化规律，利用 数列的知识来进行求解.