和、差、积、商的求导法则
函数的和、差、积、商的求导法则
即
(tan x ) sec 2 x .
同理可得 (cot x ) csc 2 x .
例5 求 y sec x 的导数 .
解
1 y (sec x ) ( ) cos x (cos x ) sin x sec x tan x . 2 2 cos x cos x
机动 目录
1
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
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例4 求 y tan x 的导数 . 解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x 1 cos 2 x sin2 x sec2 x cos 2 x cos 2 x
( 3) [
i 1
n
f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n( x )
f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i
n
n
二、高阶导数的概念
问题: 变速直线运动的加速度.
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x ) ln x 1 2 sin x cos x x 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
1 例3. y (1 x ) (3 ) , x3
2
解:
x x0
x x0
二阶导函数记作
d 2 y d 2 f ( x) f ( x ), y , 2 或 . 2 dx dx
函数的求导法则
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
函数导数四则运算法则
函数导数四则运算法则
函数导数的四则运算法则是指当对函数的四则运算时，其导数的运算规则。
函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在进行函数的计算时，以及在实际应用中，都有着重要的作用。
函数导数四则运算法则一共有四条，分别是：
1、加法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
和的导数是：f'(x)+g'(x)。
2、减法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
差的导数是：f'(x)-g'(x)。
3、乘法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
积的导数是：f(x)g'(x)+g(x)f'(x)。
4、除法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
商的导数是：[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^
2。
这四条函数导数四则运算法则也就是所谓的求导法则，是在函数求导中常用到的，它们分别表示了当函数进行加减乘除运算时，其导数的计算方法。
这些法则可以帮助我们更加简便、快速地求出函数的导数，从而解决函数求导中的问题。
函数导数的四则运算法则在实际应用中也有着重要的作用，比如在机器研究中，梯度下降法就使用了这些法则，它可以用来求解机器研究的复杂优化问题；此外，它还可以应用于统计学中的概率论，例如统计推断中的梯度下降法也使用了函数导数四则运算法则。
总之，函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在数学计算、实际应用等方面都有着重要的作用，因此，研究这些法则也是十分重要的。
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
第二节函数的和、差、积、商的求导法则
(loga
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
10/21
三、常数和基本初等函数的导数公式
(1) (C ) 0;
(2) ( x ) x 1 ( 0);
(3) (sinx) cos x;
(4) (cos x) sin x;
(5) (tan x) sec2 x;
v( x0 x) v( x0 ) x
lim
u( x0
x) x
u( x0 )
v( x0 )
u( x0 )
v( x0
x) x
v( x0 )
x 0
v( x0 x) v( x0 )
u( x0 )
v( x0 ) u( x0 ) [v( x0 )]2
v( x0 )
f ( x) 在 x0 处可导且(3)成立.
(1) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 );
(2) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 );
(
3)
[
u( v(
x) x)
]
/
x
x
0
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) v2( x0 )
8/21
例5 求 y arcsin x 的导数.
解
y sin x 在
Ix
(
2
,
2
)
内单调、可导
,
且 (sin x) cos x 0, 在 I y (1,1) 内有
(arcsin y) 1 (sin x)
函数的求导法则
导数与微分
14
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
y
y 0 (x 0),
f ( x)连续,
又知 ( y) 0
f ( x) lim y lim 1 1
x0 x y0 x ( y)
导数与微分
11
例5 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
导数与微分
12
例 求 y sinh x 的导数 .
解 y (sinh x) [1 (e x e x )] 1 (e x e x ) cosh x.
导数与微分
6
例2 f (x) x3 4 cos x sin ,求f '(x)及f '
2
2
导数与微分
7
例3 y ex (sin x cos x), 求y'
导数与微分
8
例 求 y x3 2 x2 sin x 的导数 .
导数与微分
9
例 求 y sin 2x ln x 的导数 .
即 f ( x) 1 .
y
( y)
导数与微分
15
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
第二章 导数与微分 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则
证明略证明略二例题分析的导数tan的导数cossincossincoscossincosseccossec的导数tanseccossincotcsc内容小结1和差积商的求导法则2重要结论cotcsctansec
函数的和、 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则
一、和、差பைடு நூலகம்积、商的求导法则
定理2.1 如 函 u(x), v(x)在 x处 导 则 定理 果 数 点 可 , 它
u u′v − uv′ (3) ( )′ = . 2 v v
证明（略）
二、例题分析
求y = x 4 − cos x + 3 x + ln 5的导数 例1:
解:
y′ = ( x 4 )′ − (cos x)′ + (3 x )′ + (ln 5)′
= 4 x + sin x + 3 ln 3
3 x
例2: 求 y = 2 x sin x 的导数 . 解:
即 (tan x)′ = sec2 x.
同理可得
(cot x)′ = − csc2 x.
例4：求 y = sec x 的导数 . 解
1 y ′ = (sec x )′ = ( )′ cos x − (cos x )′ sin x = sec x tan x . = = 2 2 cos x cos x
(1) (u ± v)′ = u′ ± v′
证明（略） 此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(2)
(uv)′ = u′v + u v′
证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有
u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x) f (x + h) − f (x) = lim f ′(x) = lim h→0 h→0 h h
二节基本的导数公式与运算法则-精选
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
应用高等数学-2.2 导数的运算(2)
练习册第二章 练习三
1
3
(1 x2 )2
.
6. 设 y = sin(xln x)， 求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
§2-2 导数的运算(二）
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
3、 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
4、 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2
1
2xΒιβλιοθήκη 3(1 x2)
x x2 1
1 3( x
2)
5.
设 y x ,求 y .
1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
ex 2y y' y x y'， 解方程得
y' e x y . x 2y
例2 设 y y(x)由 sin y xe y 0 确定 ，求 y' . 解 对方程 sin y xe y 0两边同时关于x求导，得
(sin y) (xey ) 0
即 cos y y ey xey y 0
§2.2 导数的运算法则与基本公式
§2.2 导数的运算法则与基本公式一、导数的和、差、积、商运算法则如果函数()u x 、()v x 在x 处都可导，则它们的和、差、积、商在x 处也可导；(1) [()()]()()u x v x u x v x '''±=±；(2) [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''⋅=+；(3) 2()()()()()()[()]u x u x v x u x v x v x v x '''⎛⎫-= ⎪⎝⎭(()0)v x ≠；推广到多个函数情形：设有n 个函数1()u x 、2()u x 、…、()n u x 都可导，则：(1)1212[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ''''±±±=±±±(2)12121212[()()()]()()()()()()()()()n n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++(3)[()]()ku x ku x ''=（k 为常数）定理2.3 设函数1()x f y -=在某个开区间内单调可导，且1[()]0f y -'≠，则反函数()y f x =在对应区间内可导，且11()[()]f x f y -'='.证明：0001011()lim lim lim 11[()]lim x x x y y f x x xx y yx f y y∆→∆→∆→-∆→∆'===∆∆∆∆∆==∆'∆二、基本初等函数的求导公式1.常数的导数：()0c '= （c 为常数）证明：()f x c =00()()()limlim 0x x f x x f x f x xc c x∆→∆→+∆-'=∆-==∆2.幂函数的导数：1()n n x nx -'= （n 为常数）证明：()nf x x =，0()()lim nnx x x xf x x∆→+∆-'=∆110()lim nn n n nnn nx C x C x x C x xx-∆→+∆++∆-=∆ 112210lim[()]n n n n nnnx C xC xx C x ---∆→=+∆++∆ 1n nx -=例1 求4sin y x x =+的导数.解：4(sin )y x x ''=+4()(sin )x x ''=+.34cos x x =+.例2 求5cos y x x =的导数.解：5(cos )y x x ''=55()cos (cos )x x x x ''=+.455cos sin x x x x =-.例3 求2sin xy x =的导数.解：2sin ()xy x''=2222(sin )sin ()()x x x x x ''-=. 24cos 2sin x x x x x-=. 3cos 2sin x x x x-=.例4 求23313y x x=--的导数.解：2333y xx -=--233(3)y x x -''=--.233()()(3)x x -'''=--.134233x x --=--.例5 求232x y x -=的导数.解：312223232x y x x x--==- 3122(32)y x x -''=-.3122(3)(2)x x -''=-.31223()2()x x -''=-.312292x x -=+.例6 求21xy x=+的导数. 解：2()1xy x''=+2222()(1)(1)(1)x x x x x ''+-+=+. 22212(1)x x x x +-⋅=+. 2221(1)x x -=+.3.指数函数x y a =(0,1a a >≠)的导数：()ln x x a a a '=()x xe e '= 001lim lim x x x x y a y a x x∆∆→∆→∆-'==∆∆. 证明：(1)x x x x x y a a a a +∆∆∆=-=-令1xt a ∆=-，有log (1)a x t ∆=+ 当0x ∆→时，有0t →1001lim lim log (1)log (1)x x t t a a t t y a a t t →→'==++. 1011lim ln log log (1)t x x x t a a a a a a e t →===+.4.对数函数log a y x =(0,1a a >≠)的导数：1(log )ln a x x a '= 1(ln )x x'= 证明：log a y x =的反函数为y x a =(0,1a a >≠)，由定理2.3可得111()ln ln y y y a a a x a'==='.例7 求33x xy x e =-+的导数. 解：3(3)x xy x e ''=-+3()(3)()x x x e '''=-+. 233ln3x xx e =-+.例8 求2x y x e =的导数. 解：2()x y xe ''= 22()()x x x e x e ''=+.22x x xe x e=+. (2)x xe x =+.例9 求ln x y x=的导数. 解：2ln (ln )ln ()x x x x x y x x''-⋅''== 122ln 1ln xx x x x x ⋅--==.例10 求22log y x x =的导数. 解：22(log )y x x ''= 2222()log (log )x x x x ''=+. 2212log ln 2x x x x =+. 22log ln 2x x x =+.5.三角函数的导数： 1.(sin )cos x x '=2.(cos )sin x x '=-3.221(tan )sec cos x x x '== 4.221(cot )csc sin x x x '=-=-5.(sec )sec tan x x x '=⋅6.(csc )csc cot x x x '=-⋅证明：1.(sin)cosx x'=2.(cos)sinx x'=-参考前面例题.3.sin(tan)()cosxxx''=2(sin)cos sin(cos)cosx x x xx''-=22222cos sin1seccos cosx xxx x+===.同理可证(请同学自己证明) 4.21(cot )csc sin x x x'=-=- 5.(sec )sec tan x x x '=⋅ 6.(csc )csc cot x x x '=-⋅例11 求sin cos y x x x =+的导数. 解：(sin cos )y x x x ''=+(sin )(cos )x x x ''=+. sin (sin )sin x x x x x ''=+-. sin cos sin x x x x =+-. cos x x =.6.反三角函数的导数： 1.21(sin )1arc x x '=-(11x -<<)2.21(cos )1arc x x '=--( 11x -<<) 3.21(tan )1arc x x'=+ 4.21(cot )1arc x x '=-+证明：sin y arc x =的反函数是sin x y =由定理2.3 1(sin )(sin )y arc x y ''==' (sin )cos ()22y y y ππ'=-<<. 而22cos 1sin 1y y x =-=- 所以21(sin )1arc x x '=-.其余反三角函数求导公式同理可证(请同学自己证明).例12 求2arctan 1x y x =+的导数. 解：22221(1)arctan 21(1)x x x x y x +-⋅+'=+ 2212arctan (1)x x x -=+.。
第二节 求导法则
f
(
x)
1 ( y)
.
三、复合函数的求导法则
定理 如果函数 u ( x) 在点 x0 可导 , 而 y f (u) 在点 u0 ( x0 ) 可导 , 则复合函数 y f [ ( x)] 在点
x0 可导 , 且其导数为
dy dx
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
三、复合函数的求导法则
由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
y
y 0 (x 0),
f ( x)连续,
又知 ( y) 0
f ( x) lim y lim 1 1
x0 x y0 x ( y)
即 f ( x) 1 .
y
( y)
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.
复合函数求导的链式法则（chain rule）.
推广 此法则可推广到多个中间变量的情形.
设 y f (u), u (v), v ( x),
yu vx
则复合函数 y f {[ ( x)]} 的导数为
dy dy d u dv dx d u dv dx
类似可求 y ln( x x2 1) 的导数 .
1. y sin(2x 1) .
解 令u 2x - 1,
则 y sin(2x 1)可 以 看作 是y sinu, u 2x 1复 合 而成.
因此
dy dy du cos u 2 cos(2x 1) 2 dx du dx
基本导数公式
1) (C ) 0 ,
2) ( x ) x1 ,
函数的求导法则
类似可得 ( c s c x ) c s c x c o t x
§2.2
函数的求导法则
s i n x c o sx ) 例5 求 f(x 在x 处的导数. s i n x c o sx 4 s i nc x o s x 2 c o s x 解 f ( x ) 1 s i nc x o s x s i nc x o s x o sx c f(x ) 2 s i n x c o s x ( c o s x ) ( s i nc x o s x )c o s x ( s i nc x o s x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) s i n x ( s i nc x o s x )c o s x ( c o s x s i n x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) 2 f ( ) 1. x 2 代入得 将 (sinx cos x) 4 4
推论
( 1 )[ C u () x ] Cu( x) ( C为常数 )
( 2 ) ( u u u ) u u u u u u u u u 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 ln x ( 3 )( l o g x ) a l n a x ln a .
u x ) v ( x ) ] 证 [( [( u x h ) v ( x h ) ] [( u x ) v ( x ) ] l i m h 0 h [ u ( x hu ) () x ][ v ( x hv ) () x ] l i m h 0 h h u ( x h ) u ( x ) v ( x h ) v ( x ) l i m l i m h 0 h 0 h h u () x vx () .
导数的运算公式和法则_OK
(1) y sin 2x
解 10 逐层分解） 令y sinu, u 2x, 则
20 链式求导） dy dy du cos u 2 dx du dx
30 回代）
dy 2cos 2x dx
完了吗？
20
(2) y (2x 1)3 解 令y u3, u 2x＋1, 则 dy dy du 3u2 2 6（2x 1)2
层次（包括四则,复合）, 再按照相应法则求解
23
练习
求下列函数的导数
sin 1
1) y e x 2) y arcsin
x 3) y arctan 1 4) y e2x tan 3 x
x
5) y x2 a2 arccos a（其中x 0,a 0） x
答案：
1) y
sin 1
ex
(sin 1 )
例2 求函数y x sin x sin 的导数
2
解
y
x
sin
x
sin
2
1 sin x x cos x 2x
6
例3 求函数y sin 2x的导数 cos 2x ? 解 y' (2sin xcos x)'
2[(sin x)'cos x sin x(cos x)']
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
sin 1
ex
cos 1 ( 1 )
sin 1
ex
cos 1
(
1
)
x
xx
x x2
2) y
1 ( 1 ( x)2
x)
1
sin 1
ex
cos
1
x2
x
1 1
函数的求导法则2-3
( 2 ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x );
(3 )[u v ( (x x ) )]u (x )v (x v )2 (x u )(x )v (x ) (v (x ) 0 ).
解 y ln u ,u six .n
dy dy dx du
du dx
1 u
cos
x
cos sin
x x
coxt
可推广到多个中间变量
设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
dydydudv. dx dudvdx
h 0
v (x h ) v (x ) h
u (xh )u (x)v(x)u (x)v(xh )v(x)
lim h
h
h 0
v(xh )v(x)
u(x)v([xv)( x)u2 (]x)v(x)
f(x)在x处可. 导
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上面的法则可分别简写为：
(1 )(uv)u v;
2co2xsln x1si2n x. x
四、基本求导法则与导数公式
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C) 0
(x) x1
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
(sinx) cos x
(e x ) e x (ln x ) 1
x (cosx) s inx
1
1 x
商的求导法则
例10 设 f ( x) =
x,
x<0
ln(1 + x), x ≥ 0
, 求f ′( x).
解 当x < 0时, f ′( x ) = 1, 时
当x > 0时, 时
1 1 ′ = f ′( x ) = 1 + x (1 + x ) 1 + x ,
当x = 0时,
(0 + h) ln(1 + 0) f ′ (0) = lim =1 h→ 0 h
(sec x )′ = sec x tan x ; ( 8 )
( a x )′ = a x ln a ; 1 (11 ) (log a x )′ = ; x ln a 1 (13 ) (arcsin x )′ = 1 x2 1 (15 ) (arctan x )′ = ; 2 1+ x
(10 ) ( e x )′ = e x ; 1 (12 ) (ln x )′ = ; x ; (14 ) (arccos x )′ =
h→ 0
f +′ (0) = lim+ ∴ f ′( 0 ) = 1 .
ln[1 + (0 + h)] ln(1 + 0) 1, = h
1, ∴ f ′( x ) = 1 1 + x , x≤0 x>0 .
例11
求函数 y = e
e
ex
的导数 .
例12 求函数 y = ln(ln(ln x )) 的导数 .
i =1 i =1
n
n
(2) [Cf ( x)]′ = Cf ′( x);
′ = f1′ ( x) f2( x) fn( x) + f1( x) f2( x) fn( x) ′ (3) [∏ fi ( x)]
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注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则
是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 12x
先看一个例子
例8 y (1 x2 )2，求y
y (1 x2 )2 1 2x2 x4 y 4x 4x3 4x(1 x2 ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x2 )1000 求导数，展开就不是办法，再像 y 5 1 x2 求导数，根本无法展开，又该怎么办？
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
ln(1
0)
1,
f (0) 1.
f
( x)
1, 1
1 x
,
x0 x0.
三、反函数的导数
定理 如果函数x ( y)在某区间I y内单调、可导
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内
x
也可导
,
且有
f ( x) 1 . ( x)
仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构 我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。
y (1 x2 )2 是由y u2和u 1 x2复合而成的 yu 2u ux 2 x
yu ux 2u (2x) 4x(1 x2 ) yx
再如 y sin 2x
1 3( x
2)
x x2 1
1 3( x 2)
1
例12
求函数
y
sin
ex
的导数.
解
y
e
sin
ex
cos
1
(
1 )
x
xx
1 x2
1 sin
ex
cos
1 x
.
例13 求 y sinh x 的导数 .
解 y (sinh x) [1 (e x e x )] 1 (e x e x ) cosh x.
初等函数微分法
求导数的方法称为微分法。用定义只能求出 一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、 正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于 比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来 建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这 些公式和法则就能比较方便地求出常见的函 数——初等函数的导数，从而是初等函数的求 导问题系统化，简单化。
——说明求导是一线性运算
⑤作为（3）的一种特殊情况，
若u
1,则(1) v
v v2
二、例题分析
例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 .
解 y 3x 2 4x cos x.
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 . 解 y 2sin x cos x ln x
(cos x) cos2 x
sin x cos x
1 cos
x
sec
x tan
x
同理可得 (csc x) csc x cot x
例5
设
f (x)
x, ln(1
x),
x0 ,
求f ( x).
x0
解 当x 0时, f ( x) 1,
当x 0时,
dy dy du dv . dx du dv dx 例9 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dy du dx du dx
1 cos x u
cos x sin x
cot x
例10 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解 dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
例5 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
解
y ( x
a2
x2
)
a2 (
arcsin
x )
a (a 0)
y (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)]
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
注意到 y sin 2x y sin u,u 2x
yu cos u ux 2 yu ux 2cos u 2cos 2x yx
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
证(1)、(2)略.
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x)
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
u( x h) u( x)
(loga
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (ln x) 1 .
x
四、复合函数的求导法则
前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经 有限次四则运算的结果——的导数，但是像
ln
tan
x,e
x2
,sin
2 x2
x
1
等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求 它们的导数
f ( x) lim ln(1 x h) ln(1 x)
h0
h
1
h
lim ln(1 )
h0 h
1 x
1, 1 x
当x 0时,
f
(0)
lim
h0
(0
h)
ln(1 h
0)
1,
f(0)
lim
h0
ln[1
(0
h)] h
nn
fi( x) fk ( x);
i1 k1 ki
④ 作为（2）的特殊情况
若v c，则(cu) cu 或 [Cf ( x)] Cf ( x); 即常数因子可以提到导数符号的外面
n
n
[ ki fi ( x)] ki fi( x)
i 1
i 1
即线性组合的导数等于导数的线性组合
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
在I上可导，且有dy dy du dx du dx
证
由y
f (u)在点u0可导 ,
lim y u0 u
f (u0 )
故 y u
f (u0 )
( lim 0) u0
则 y f (u0 )u u
lim x 0
y x
② （1）可推广到任意有限个可导函数的情形
n
n
[ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
③ （2）也可推广到任意有限个函数的情形
(uvw) uvw uvw uvw
n
[ fi ( x)] f1( x) f2( x) fn( x)
i 1
f1( x) f2( x) fn( x)
lim [
x0
f
(
u0
)
u x
u] x
f
(u0
)
lim
x 0
u x
lim
x 0
lim
x 0
u x
f (u0 ) ( x0 ).
注 1.链式法则——“由外向里，逐层求导”
2.注意中间变量
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为