和、差、积、商的求导法则

注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则
是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解

x

sin
y在
I
y

(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3

y

1 2
1 x2 12x
先看一个例子
例8 y (1 x2 )2，求y
y (1 x2 )2 1 2x2 x4 y 4x 4x3 4x(1 x2 ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x2 )1000 求导数，展开就不是办法，再像 y 5 1 x2 求导数，根本无法展开，又该怎么办？
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
ln(1

0)

1,
f (0) 1.

f
( x)


1, 1
1 x
,
x0 x0.
三、反函数的导数
定理 如果函数x ( y)在某区间I y内单调、可导
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内
x
也可导
,
且有
f ( x) 1 . ( x)
仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构 我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。
y (1 x2 )2 是由y u2和u 1 x2复合而成的 yu 2u ux 2 x
yu ux 2u (2x) 4x(1 x2 ) yx
再如 y sin 2x

1 3( x
2)

x x2 1
1 3( x 2)
1
例12
求函数
y

sin
ex
的导数.
解
y

e
sin
ex
cos
1

(
1 )
x
xx


1 x2
1 sin
ex

cos
1 x
.
例13 求 y sinh x 的导数 .
解 y (sinh x) [1 (e x e x )] 1 (e x e x ) cosh x.
初等函数微分法
求导数的方法称为微分法。用定义只能求出 一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、 正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于 比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来 建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这 些公式和法则就能比较方便地求出常见的函 数——初等函数的导数，从而是初等函数的求 导问题系统化，简单化。
——说明求导是一线性运算
⑤作为（3）的一种特殊情况，
若u

1,则(1) v


v v2
二、例题分析
例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 .
解 y 3x 2 4x cos x.
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 . 解 y 2sin x cos x ln x


(cos x) cos2 x

sin x cos x

1 cos
x

sec
x tan
x
同理可得 (csc x) csc x cot x
例5
设
f (x)
x, ln(1
x),
x0 ,
求f ( x).
x0
解 当x 0时, f ( x) 1,
当x 0时,
dy dy du dv . dx du dv dx 例9 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dy du dx du dx
1 cos x u
cos x sin x
cot x
例10 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解 dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
例5 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
解
y ( x
a2

x2
)

a2 (
arcsin
x )
a (a 0)
y (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)]
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
注意到 y sin 2x y sin u,u 2x
yu cos u ux 2 yu ux 2cos u 2cos 2x yx
(3)
[u( x)] v( x)

u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
证(1)、(2)略.
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x)
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
u( x h) u( x)
(loga
x)

1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (ln x) 1 .
x
四、复合函数的求导法则
前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经 有限次四则运算的结果——的导数，但是像
ln
tan
x,e
x2
,sin
2 x2
x
1
等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求 它们的导数
f ( x) lim ln(1 x h) ln(1 x)
h0
h
1
h
lim ln(1 )
h0 h
1 x
1, 1 x
当x 0时,
f
(0)

lim
h0
(0

h)
ln(1 h

0)
1,
f(0)

lim
h0
ln[1

(0

h)] h
nn
fi( x) fk ( x);
i1 k1 ki
④ 作为（2）的特殊情况
若v c，则(cu) cu 或 [Cf ( x)] Cf ( x); 即常数因子可以提到导数符号的外面
n
n
[ ki fi ( x)] ki fi( x)
i 1
i 1
即线性组合的导数等于导数的线性组合
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
在I上可导，且有dy dy du dx du dx
证
由y
f (u)在点u0可导 ,
lim y u0 u
f (u0 )
故 y u
f (u0 )
( lim 0) u0
则 y f (u0 )u u
lim x 0
y x
② （1）可推广到任意有限个可导函数的情形
n
n
[ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
③ （2）也可推广到任意有限个函数的情形
(uvw) uvw uvw uvw
n
[ fi ( x)] f1( x) f2( x) fn( x)
i 1
f1( x) f2( x) fn( x)

lim [
x0
f
(
u0
)
u x

u] x

f
(u0
)
lim
x 0
u x

lim
x 0

lim
x 0
u x
f (u0 ) ( x0 ).
注 1.链式法则——“由外向里，逐层求导”
2.注意中间变量
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
2
2
同理可得
(cosh x) sinh x
(tanh
x)

1 cosh 2
x
例14 求幂函数的导数
y ( x ) e ln x
e ln x ( ln x)
x 1 x1
x
例15 求函数 y f n[n (sin x n )]的导数.
由以上两例可见：由 y f (u),u ( x) 复合 而成的函数 y f [ ( x)] 的导数 yx 恰好等于 y
对中间变量 u 的导数 yu 与中间变量 u 对自变量 x 的导数 ux 的乘积
yx yu ux ——这就是链式法则
定理 如果函数u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u)
解 y nf n1[n (sin xn )] f [n (sin x n )] nn1 (sin x n ) (sin x n ) cos x n nx n1
n3 x n1 cos x n f n1[n (sin x n )] n1 (sin x n ) f [n (sin x n )] (sin x n ).
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
1 x2
(arctan
x
)

1
1 x
2
;
(
arccot
x)


1
1 x2
.
例7 求函数 y loga x 的导数.
解 x a y在I y (,)内单调、可导 ,
且 (a y ) a y ln a 0, 在I x (0,)内有,
u( x h) u( x) v( x) u( x) v( x h) v( x)
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)

u(
x)v( x) u( [v( x)]2
x)v(
x)
f ( x)在x处可导.
注
① （1）即是和、差的导数等于导数的和、差 （2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数 （3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
x0可导, 且其导数为
dy dx
x x0

f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
若u ( x)在I上可导，y f (u)在I1上可导 x I ,u ( x) I1,则复合函数y f [ ( x)]
cos x

(sin
x
)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)

cos2 x cos2
sin2 x
x

1 cos2
x

sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
例4 y sec x 求y
解
y


1 cos
x


lim v( x h) v( x)
h0
h
lim u( x h)v( x) u( x)v( x h)
h0
v( x h)v( x)h
lim [u( x h) u( x)]v( x) u( x)[v( x h) v( x)]
h0
v( x h)v( x)h