正弦定理练习题(经典)
正弦定理练习--含答案
课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°，由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】102【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】 B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝()A．1:2:3 B．1:2: 3C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2【答案】 D【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝323【答案】 C【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin Bsin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( ) A.π3 B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa ， ∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π. 5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．32 3B ．16C ．326或16D ．323或16 3【答案】 D【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】 D【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 B【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0， 得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6， ∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】 B【解析】 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得 a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2C 的值为________．【答案】 0【解析】 可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab 的取值范围是________．【答案】 (2，3)【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4.∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝12.又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC中，已知sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，判断△ABC的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.π∴cos A＝0，∴∠A＝2，∴△ABC为直角三角形．。
正弦定理练习题典型题（含答案）
正弦定理练习题典型题（含答案）正弦定理⼀1、在ABC ?中，060A ∠=，6a =，3b =，则ABC ?解的情况（）A ．⽆解B ．有⼀解C ．有两解D ．不能确定2、在△ABC 中，若b=2，A=120°，三⾓形的⾯积S=，则三⾓形外接圆的半径为( ) A ．B ．2C ．2D ．43、在ABC △中，,,a b c 分别是⾓A,B,C 的对边,已知1,2a b ==，3cos 2A =，求⾓C ．4、在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA ．（1）求⾓A 的值；（2）求sinB ＋sinC 的取值范围．5、在锐⾓△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2csinA ．（1）求⾓C 的值；（2）若c=，且S △ABC =，求a+b 的值．参考答案1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】解：在ABC △中，3cos 2A =，得6A π=，⼜1,2a b ==，由正弦定理得sin sin a b A B=，∴sin 2sin 2b A B a ==，⼜b a >，得4B π=或4B 3π=，当4B π=时，6412C ππ7π=π--=；当4B 3π=时，6412C π3ππ=π--=，∴⾓C 为127π或12π． 4、【答案】（1）A ＝；（2）(，]．试题分析：（1）要求解，已知条件中有⾓有边，⼀般情况下我们可以利⽤正弦定理把边化为⾓的关系，本题acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，由正弦定理可化为sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，于是有sin()2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A =，⽽sin 0B ≠，于是1cos 2A =，3A π=；（2）由（1）23CB π=-，且203B π<<，2sin sin sin sin()3B C B B π+=+-，由两⾓和与差的正弦公式可转化为3sin()6B π+，再由正弦函数的性质可得取值范围. 试题解析：（1）因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosA ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB ．从⽽sinB ＝2sinBcosA ．因为sinB ≠0，所以cosA ＝．因为0＜A ＜π，所以A ＝．（2）sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(－B)＝sinB ＋sincosB －cos sinB ＝sinB ＋cosB ＝sin(B ＋)．因为0＜B ＜，所以＜B ＋＜．所以sinB ＋sinC 的取值范围为(，]．考点：正弦定理，两⾓和与差的正（余）弦公式，正弦函数的性质.5、【答案】试题分析：（1）由a=2csinA 及正弦定理得sinA=2sinCsinA ，⼜sinA≠0，可sinC=．⼜△ABC 是锐⾓三⾓形，即可求C ．（2）由⾯积公式，可解得ab=6，由余弦定理，可解得a 2+b 2﹣ab=7，联⽴⽅程即可解得a+b 的值的值．试题解析：解：（1）由a=2csinA 及正弦定理，得sinA=2sinCsinA ，∵sinA≠0，∴sinC=．⼜∵△ABC 是锐⾓三⾓形，∴C=．（2）∵c=，C=，∴由⾯积公式，得absin =，即ab=6.①由余弦定理，得a 2+b 2﹣2abcos=7，即a 2+b 2﹣ab=7.②由②变形得（a+b ）2=3ab+7.③将①代⼊③得（a+b ）2=25，故a+b=5.考点：正弦定理．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三⾓形⾯积公式的应⽤，考查了转化思想和计算能⼒，属于中档题．正弦定理⼆1、在ABC ?中，o 60A =，3a =2b =B 等于 ( )A. o 45B.o 135C. o 45或o 135D. 以上答案都不对2、在ABC ?中，若ab c b a 2222+=+，则C =（）A ．030B ．0150C ．045D ．01353、在△ABC 中，若30A =o ，8a =，b =ABC S ?等于（）A ．．．．4、设ABC ?的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ?的形状为（）A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．不确定5、已知,,a b c 是ABC ?的三边长，且222a b c ab +-=（1）求⾓C（2）若3a c ==，求⾓A 的⼤⼩。
正弦定理试题及答案
正弦定理练习题一 一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ）A.26B.36C.22D.32 2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（ ） A.3π B. 32π C. 3π或32π D. 65π或6π3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（ ） A.3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D.2：3：二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = 5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = . 三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b .正弦定理练习题二一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）A.a>b sin AB.a=b sin AC.a<b sin AD.a ≥b sin A 2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（ ） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（ ） A.75° B.60° C.45° D.30° 4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( )A.a =7,b =14,A =30°,有两解B.a =30,b =25,A =150°,有一解C.a =6,b =9,A =45°,无解D.b =9,c =10,B =60°,有两解 5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（ ） A. 3π B. 4π C. 4π或43π D. 3π或32π6·在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（ ） A.-322 B. 322 C.- 36 D. 367.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( )A.10+3B.10（3-1）C.10（3+1）D.1038.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . 11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = . 12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4 ,cos 2B =552， 求△ABC 的面积.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状；（2）求△ABC 的面积.正弦定理练习题一 答案 一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ）A.26B.36C.22D.32 ［答案］C ［解析］设所求边长为x,由正弦定理得，︒30sin x =︒45sin 4,∴x =22,故选C. 2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（ ） A.3π B. 32π C. 3π或32π D. 65π或6π［答案］ C ［解析］ 由A a sin ＝B b sin ,得sin B =a A b sin ,∴sin B =130sin ·3︒ =23 ,∴B =3π或32π.3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（ ） A.3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D.2：3：1［答案］ D ∴A =90°,B =60°,C =30°∴a ：b ：c =sin A ：sin B ：sin C =1：23 ：21=2：3：1. 二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = ［答案］1由正弦定理，得32sin3π=B sin 1,∴sin B =21.∵∠C 为钝角∴∠B 必为锐角，∴∠B =6π,∴∠A =6π,∴a=b =1. 5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = .［答案 2［解析］由已知，得∠C =180°-105°-45°=30°，∵B b sin =Ccsin ∴c =B C b sin sin =︒︒45sin 30sin 22=222122⨯=2.三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b . ［解析］ ∵A+B+C =180°,∴C =105°. ∵B b sin =C c sin ,∴b =C B c sin sin =︒︒105sin 30sin 10, 又∵sin105°=sin(60°＋45°)＝23×22+21×22=426+,∴b=5(26-).正弦定理练习题二 答案一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）A.a>b sin AB.a=b sin AC.a<b sin AD.a ≥b sin A ［答案］ D［解析］ 由正弦定理，得A a sin ＝B b sin ,∴a =B A b sin sin ,在△ABC 中，0<sin B ≤1,故Bsin 1≥1,∴a ≥b sin A .2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（ ） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 ［答案］ B ［解析］ 设b+c =4x ,c+a =5x ,a+b =6x (x >0), 从而解出a =27x ,b =25x ,c =23x . ∴a ：b ：c =7：5：3.∴sin A ：sin B ：sin C =7：5：3.3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（ ） A.75° B.60° C.45° D.30° ［答案］ B ［解析］ 由题意，得21×4×3sin C ＝33,∴sin C =23,又0°<C <90°，∴C =60°.4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( )A.a =7,b =14,A =30°,有两解B.a =30,b =25,A =150°,有一解C.a =6,b =9,A =45°,无解D.b =9,c =10,B =60°,有两解［答案］ A ［解析］ 对于A ，由于a=b sin A ,故应有一解；对于B ，a>b ,A =150°,故应有一解；对于C,a<b sin A ,故无解；对于D ，c sin B<b<c ,故有两解.5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（ ） A. 3π B. 4π C. 4π或43π D. 3π或32π［解析］ ∵A a sin =B b sin ,∴sin A =22,∴A =4π或A =43π,又∵a ＞b ,∴A ＞B ,∴A =4π或43π,∴选C.6·在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（ ） A.-322 B. 322 C.- 36 D. 36 ［答案］ D ［解析］ 由正弦定理，得︒60sin 15=B sin 10∴sin B =1560sin 10︒=152310⨯=33. ∵a>b,A =60°,∴B 为锐角.∴cos B =B sin -12 =2331）（-=36.7.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( )A.10+3B.10（3-1）C.10（3+1）D.103［答案］ B ［解析］ 由已知得A =75°,sin A =sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=426+, c=A C a sin sin =︒︒⨯75sin 45sin 10=10(3-1) 8.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23 ［答案］ C 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .［答案］2［解析由正弦定理得sin B =a b ·sin A =31-×23=21, 又∵b =1<a =3,∴B<A =3π,而0<B <π,∴B =6π,C =2π, 由勾股定理得c =22b a +=31+=2.10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . ［解析］ ∵A =60°，C =45°，∴B =75°, ∴最小边为c ,由正弦定理，得B b sin ＝Ccsin , ∴︒75sin 2=︒45sin c ],又∵sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30=22×23+22×21＝426+,∴c =︒︒⨯75sin 45sin 2＝426222+⨯＝23-2. 11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = . ［解析］由正弦定理，得b a =B A sin sin , ∴a =25b 可转化为B A sin sin =25.又∵A =2B ，∴B B s i n s i n 2=25,∴cos B =45. 12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .［答案］62+83［解析］设在△ABC 中AB 、BC 、CA 的边长分别为c 、a 、b . 由tan B =3,得B ＝60°，∴sin B =23，cos B =21.又cos C =31,∴sin C =C 2cos 1-＝222.由正弦定理，得c =BC b sin sin =2332263⨯=8.又∵sin A =sin(B+C )=sin B cos C +cos B sin C =63+32,∴S △ABC =21bc sin A =21×36×8×(63+32)=62+83.三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .［解析］由正弦定理得，sin A =b B a sin =245sin 3︒⨯＝2223⨯=23，∵a ＞b ,∴A ＞B=45∴A 为锐角或钝角（或a sin B ＜b ＜a ），∴A =60°或A =120°当A =60°时，C =180°-45°-60°=75°， sin75°=sin(45°+30°)=22×23+22×21=426+,c=B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=224262 +⨯=226+， 当A =120°时，C =180°-45°-120°=15°， sin15°=sin(45°-30°)= 426-,c =B C b sin sin ＝︒︒45sin 15sin 2=224262 -⨯ =226-∴A =60°,C =75°,c ＝226+，或A =120°，C =15°，c =226-.14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4π,cos 2B =552， 求△ABC 的面积. ［解析］由题意知cos2B =552,则cos B =2cos 22B-1=53，∴B 为锐角,∴sin B =54,sin A =sin(π-B-C )=sin(53π-B )= 1027由正弦定理，得c ＝A C a sin sin =1027222 ⨯=710.∴S △ABC =21ac sin B =21×2×710×54=78.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.［解析］设方程的两根为x 1、x 2,由韦达定理得x 1+x 2=b cos A ,x 1x 2=a cos B ,由题意得b cos A =a cos B , 由正弦定理得2R sin B cos A =2R sin A cos B , sin A cos B -cos A sin B =0. 即sin （A-B ）=0.在△ABC 中，∵A 、B 为其内角，∴0＜A ＜π,0＜B ＜π,-π＜A-B ＜π.∴A-B =0，即A=B .∴△ABC 为等腰三角形.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状；（2）求△ABC 的面积.［解析］（1）因为b=a cos C ,所以由正弦定理得： sin B =sin A cos C ,从而sin(A+C )=sin A cos C ,所以sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C[；所以cos A sin C =0.由于sin C ≠0.所以cos A =0 所以∠A =3π,所以△ABC 为直角三角形. (2)∵斜边a =12.不妨设∠C 最小，则C c sin =12,且sin C =31,∴c =4,从而b =22c a -=82,∴S △ABC=21bc =162.。
(完整word版)正弦定理练习含答案
课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°，由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】102【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】 B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝()A．1:2:3 B．1:2: 3C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2【答案】 D【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝323【答案】 C【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin Bsin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( ) A.π3 B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa ， ∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π.5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．32 3B ．16C ．326或16D ．323或16 3【答案】 D【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】 D【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 B【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0，得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6， ∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】 B【解析】 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得 a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2C 的值为________．【答案】 0【解析】 可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab 的取值范围是________．【答案】 (2，3)【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4.∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝12. 又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC 中，已知sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，判断△ABC 的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.∴cos A＝0，∴∠A＝π2，∴△ABC为直角三角形．。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
正弦定理练习题(含答案)资料
正弦定理练习题(含答案)正弦定理 复习1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C， ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得 b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4. (2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22. 由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.。
正弦定理练习题(最新整理)
正弦定理练习题1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C. D ．262362．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4B ．4C ．4 D.2363233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角B 为( )32A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，则c ＝( )2A ．1 B. C ．2 D.12146．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos A cos B b aA ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )3A. B. C.或 D.或323432334328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝，B ＝120°，则a 等于( )26A. B ．2 C. D.6329．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则A ＝________.3π310．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.43311．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则＝________，c ＝33a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则＝________.a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C15．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.213316．在△ABC 中，b ＝4，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．317．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为15，求边b 的长．33正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C. D ．26236解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b ＝＝.a sin A b sin B a sin B sin A62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 B ．4 C ．4 D.236323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝＝4.a sin B sin A63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角B 为( )32A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理＝得：sin B ＝＝，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.a sin A b sin B b sin A a 224．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，则c ＝( )2A ．1 B. C ．2 D.1214解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c ＝＝1.b sin B c sin C 2×sin 30°sin45°6．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos A cos B b a A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，b a sin B sin A cos A cos B sin B sin Asin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝.π27．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )3A. B.3234C.或 D.或3233432解析：选D.＝，求出sin C ＝，∵AB ＞AC ，AB sin C AC sin B 32∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝AB ·AC sin A 可求面积．128．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝，B ＝120°，则a 等于( )26A. B ．26C. D.32解析：选D.由正弦定理得＝，6sin120°2sin C ∴sin C ＝.12又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝.29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则A ＝________.3π3解析：由正弦定理得：＝，a sin A c sin C 所以sin A ＝＝.a ·sin C c 12又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝，∴A ＝.π3π6答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.433解析：由正弦定理得＝a sin A b sin B ⇒sin B ＝＝＝.b sin A a 4×1243332答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由＝得，a ＝＝4，a sin A b sin B 12×sin30°sin120°3∴a ＋c ＝8.3答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则＝________，c ＝33a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ________.解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S △ABC ＝bc sin A ，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C a sin A 63sin60°1212×12×sin60°×c ＝18，3∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则＝________.a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝＝＝2，a sin A 1sin30°又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴＝＝2R ＝2.a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C 2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C答案：215．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：依题意，sin C ＝，S △ABC ＝ab sin C ＝4，223123解得b ＝2.3答案：2316．在△ABC 中，b ＝4，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．3解析：∵b sin C ＝4×＝2且c ＝2，3123∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×＝20，12∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝＝10(km)．20sin30°sin45°2即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 km.218．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin B sin 3C 2C 214C ＝cos 2，求A 、B 及b 、c .A 2解：由sin cos ＝，得sin C ＝，C 2C 21412又C ∈(0，π)，所以C ＝或C ＝.π65π6由sin B sin C ＝cos 2，得A 2sin B sin C ＝[1－cos(B ＋C )]，12即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝，B ＝C ＝(舍去)，π65π6A ＝π－(B ＋C )＝.2π3由正弦定理＝＝，得a sin A b sin B c sin C b ＝c ＝a ＝2×＝2.sin B sin A 31232故A ＝，B ＝，b ＝c ＝2.2π3π619．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝，sin B ＝.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝－1，求a ，b ，c 的值．3510102解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝，1010∴cos B ＝＝.1－sin 2B 31010又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝，∴sin A ＝，cos A ＝，3555255∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝×－×＝.2553101055101022又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝.π4(2)由(1)知，C ＝，∴sin C ＝.3π422由正弦定理：＝＝得a sin A b sin B c sin C a ＝b ＝c ，即a ＝b ，c ＝b .510225∵a －b ＝－1，∴b －b ＝－1，∴b ＝1.222∴a ＝，c ＝.2520．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为15，求边b 的长．33解：由S ＝ab sin C 得，15＝×60×sin C ，123123∴sin C ＝，∴∠C ＝30°或150°.12又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝60，＝，∴b ＝2.3a sin A b sin B15当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．。
(完整版)正弦练习题
正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. 6B. 2C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sinB ∶sinC 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5D ．不确定 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝35，sin B＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．正弦定理1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )A. 6B. 2C. 3 D．2 6解析：选A.应用正弦定理得：asin A＝bsin B，求得b＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )A．4 2 B．4 3 C．4 6 D.32 3解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝4 6.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对解析：选 C.由正弦定理asin A＝bsin B得：sin B＝b sin Aa＝22，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )A．1 B.12C．2 D.14解析：选 A.C＝180°－105°－45°＝30°，由bsin B＝csin C得c＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是( )A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B 即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32解析：选D.AB sin C＝AC sin B，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°. 再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3D. 2 解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A＝c sin C，所以sin A＝a·sin Cc＝12.又∵a＜c，∴A＜C＝π3，∴A＝π6.答案：π610．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.解析：由正弦定理得asin A＝bsin B⇒sin B＝b sin Aa＝4×12433＝32.答案：3 211．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由asin A＝bsin B得，a＝12×sin30°sin120°＝43，∴a＋c＝8 3.答案：8 312．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，代入式子a＝2b cos C，得2R sin A＝2·2R·sin B·cos C，所以sin A＝2sin B·cos C，即sin B·cos C＋cos B·sin C＝2sin B·cos C，化简，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________，c＝________.解析：由正弦定理得a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝63sin60°＝12，又S△ABC＝12bc sin A，∴12×12×sin60°×c＝183，∴c＝6.答案：12 614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝asin A＝1sin30°＝2，又∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝2R sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.解析：依题意，sin C＝223，S△ABC＝12ab sin C＝43，解得b＝2 3.答案：2 316．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C＝43×12＝23且c＝2，∴c<b sin C，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin∠ABCsin A＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C＋sin B sin C＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝π6，B＝C＝5π6(舍去)，A＝π－(B＋C)＝2π3.由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得b＝c＝a sin Bsin A＝23×1232＝2.故A＝2π3，B＝π6，b＝c＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝35，sin B＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝10 10，∴cos B＝1－sin2B＝310 10.又cos 2A＝1－2sin2A＝35，∴sin A＝55，cos A＝255，∴cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝π4.(2)由(1)知，C＝3π4，∴sin C＝22.由正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C得5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.∴a＝2，c＝ 5.20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．解：由S＝12ab sin C得，153＝12×603×sin C，∴sin C＝12，∴∠C＝30°或150°.又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.又∵ab＝603，asin A＝bsin B，∴b＝215.当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．故边b的长为215.。
(1)正弦定理练习题(答案)
正弦定理练习（参考答案）一、选择题. 1. C 【解析】21bc sin A = 163，∴ sin A =21，A = 30° ，或 150° . 2. D 【解析】b a =3sin 2A ，∴ 3sin 2sin sin A B A =，∴ sin B =23，∴ B =3π，或32π. 3. C 【解析】 ①sin (A + B )+ sin C = 2sin C ，不一定为常数. ②cos (B + C )+ cos A = - cos A + cos A = 0，③tan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2B A tan 2C = tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒290C tan 2C = cot 2C tan 2C = 1. ∴ ②和③为常数.4. C 【解析】 A = B ⇒sin A = sin B ，若sin A = sin B ，又∵ A + B ＜π，∴ A = B.5. C 【解析】 原式可化为 a 2+ ab + b 2- c 2= 0，∴ cos C =ab c b a 2222-+= -21，∴ C ＝120°.6. C 【解析】 ①∵ b sin A = 10×sin 30° = 5，且4＜5，∴ △ABC 不存在. ②∵ b sin A = 10×sin 30° = 5，且5＜6＜10，∴ △ABC 有两解. 错误！未找到引用源。
∵ ∠A = 150° 且a ＜b ， ∴ △ABC 不存在. ④∵ ∠A = 150° 且a ＞b ，∴ △ABC 有一解.⑤ 由已知，得∠C = 105°，当⎪⎩⎪⎨⎧b c a c ＞,＞时，各边有正数解，∴ △ABC 有一解，∴ ④⑤符合题条件.7. B 【解析】 sin (A + B )sin (A - B )= sin 2 C ，∴ sin C sin (A - B )= sin 2 C . ∵ C ∈(0，π)，∴ sin (A - B )= sin C = sin (A + B ). ∴ sin A cos B - cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B ， ∴ cos A sin B = 0，∴ A =2π，∴ △ABC 为直角三角形.8. A 【解析】 ∵ 2b = a + c ，∴ 4b 2= a 2+ c 2+ 2ac ，∴ cos B =ac b c a 2222-+= 1 +acb 232.∴ 2b = a + c ≥2ac ，∴ ac ≤b 2，∴ cos B ≥23- 1=21，∴ B ∈ ⎝⎛⎥⎦⎤3π 0，.9. A 【解析】 cos A cos B = cos (120º- B )cos B =(-21cos B +23sin B )cos B= -41(1 + cos 2B )+43sin 2B =21sin (2B - 30º)-41，∵ B ∈(0º，120º)，∴ -30°＜2B - 30°＜210°，∴ 由图象知cos A cos B ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41 21，.10. C 【解析】 由题知21ab sin C =41(a 2 + b 2 - c 2)，∴ sin C =ab c b a 2222-+= cos C ，∴ C =4π.二、填空题. 1. -41.【解析】 因为sin A : sin B : sin C = a : b : c = 2 : 3 : 4，所以设 a = 2k ，b = 3k ，c = 4k . cos C =ab c b a 2222-+=3221694⨯⨯-+= -41.2. 等腰.【解析】 ∵ sin A = sin (B + C )= 2sin C cos B ，∴ sin B cos C + cos B sin C = 2 sin C cos B ， ∴tan B = tan C ，∵ B ，C ∈(0，π)，∴ B = C ，即为等腰三角形.3. 46；26.【解析】 ∵ cos α =542495422⨯⨯-+= -51，∴ sin α =526，∴ S =21×4×5×526= 46.∵ 642)754(=⨯++r ，∴ 26=r . 4.21.【解析】 ∵ C + A = 2B ，∴ B =3π。
正弦定理训练测试题（含答案）
正弦定理训练测试题（含答案）正弦定理⼀、单选题（共15题；共30分）1.（2020⾼⼀下·⼤庆期末）已知的三个内⾓的对边分别为，且满⾜，则等于（）A. B. C. D.2.（2020⾼⼀下·六安期末）设的内⾓所对的边分别为，若，则的形状为（）A. 锐⾓三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 钝⾓三⾓形D. 等腰三⾓形3.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆⾯积为（）A. B. π C. 2π D. 4π4.在中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，为使此三⾓形有两个，则a满⾜的条件是（）A. B. C. D.5.（2020⾼⼀下·抚顺期末）在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2 ，C＝30°，则B等于（）A. 30°B. 60°C. 30°或60°D. 60°或120°6.（2020⾼⼀下·南昌期末）在中，，，，则（）A. B. C. D.7.（2020⾼⼀下·牡丹江期末）已知的内⾓的对边分别为，若，则等于（）A. B. C. D.8.（2020⾼⼀下·哈尔滨期末）在中，，那么（）A. B. C. 或 D.9.（2020⾼⼀下·台州期末）在中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. 2 D.10.（2020⾼⼀下·⾦华⽉考）在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（）A. B. C. D.11.（2020·南昌模拟）已知中⾓所对的边分别为，若，则⾓A等于( )A. B. C. D.12.（2020·漯河模拟）设锐⾓的三内⾓A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为( )A. B. C. D.13.（2020⾼⼀下·太原期中）在锐⾓三⾓形中，已知，则的范围是( )A. B. C. D.14.（2020⾼⼀下·怀仁期中）在△ABC中，，则三⾓形解的情况是（）A. ⼀解B. 两解C. ⼀解或两解D. ⽆解15.（2020⾼⼀下·沈阳期中）的内⾓的对边分别为,且, ，，则⾓C=( )A. B. C. 或 D. 或⼆、填空题（共4题；共5分）16.（2020⾼⼆下·嘉兴期末）已知中，，是的中点，且，则________.17.（2020⾼⼀下·哈尔滨期末）已知中，，则⾓A等于________.18.（2020⾼⼀下·温州期末）在中，，，点M在上，且，则________，________．19.（2020⾼⼀下·六安期末）在中，⾓所对的边分别是，若，则⾓C的⼤⼩为________.三、解答题（共5题；共35分）20.（2020⾼⼀下·深圳⽉考）在中，已知，，，求的值．21.（2019⾼三上·杭州期中）在中，a，b，c分别为⾓A，B，C所对边的长，且.（Ⅰ）求⾓B的值；（Ⅱ）若，求的⾯积.22.（2019⾼⼆上·榆林⽉考）在中，，，分别是⾓，，的对边，且，，．求：（1）的值．（2）的⾯积．23.（2019·贵州模拟）在中，内⾓的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知，的⾯积为，求的周长.24.（2018·天津）在中，内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.（Ⅰ）求⾓B的⼤⼩；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和的值.答案解析部分⼀、单选题1.【答案】D【解析】【解答】由题,根据正弦定理可得,所以,因为在中, ,所以,因为,所以,故答案为：D【分析】利⽤正弦定理化边为⾓可得,则,进⽽求解.2.【答案】B【解析】【解答】∵，由正弦定理得：，∵，∴，，故三⾓形为直⾓三⾓形，故答案为：B.【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为⾓的正弦，利⽤两⾓和公式化简求得的值进⽽求得A，判断出三⾓形的形状.3.【答案】B【解析】【解答】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆⾯积S＝πR2＝π.故答案为：B.【分析】根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆⾯积S＝πR2＝π.4.【答案】C【解析】【解答】为使此三⾓形有两个，即bsinA＜a＜b，∴2 × ＜a＜2 ，解得：3＜a＜2 ，故答案为：C．【分析】为使此三⾓形有两个，只需满⾜bsinA＜a＜b，即可求a范围．5.【答案】D【解析】【解答】由c＝2，b＝2 ，C＝30°，由正弦定理可得：，，由⼤边对⼤⾓可得：，解得60°或120°．故答案为：D.【分析】由正弦定理可解得，利⽤⼤边对⼤⾓可得范围，从⽽解得A的值．6.【答案】C【解析】【解答】∵，，，∴由正弦定理，可得，∵，B为锐⾓，∴．故答案为：C【分析】由已知利⽤正弦定理可得，结合，可得B为锐⾓，可求．7.【答案】D【解析】【解答】因为，故.故答案为：D.【分析】利⽤正弦定理可求的值.8.【答案】D【解析】【解答】由正弦定理得，因为，∴，所以，从⽽．故答案为：D．【分析】由正弦定理求C，然后再得A⾓．9.【答案】B【解析】【解答】根据正弦定理可得，即，解得，故答案为：B.【分析】直接利⽤正弦定理，结合题中所给的条件即可得结果.10.【答案】D【解析】【解答】解：在中，⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，利⽤正弦定理：，整理得：．故答案为：D．【分析】直接利⽤正弦定理的应⽤和三⾓函数值的应⽤求出结果．11.【答案】B【解析】【解答】由及正弦定理可得，⼜，所以，解得或（舍），⼜，所以.故答案为：B【分析】由正弦定理可得，结合解⽅程组即可得到答案.12.【答案】A【解析】【解答】且为锐⾓三⾓形，，，⼜，，，，，由正弦定理得：，.故答案为：A.【分析】根据锐⾓三⾓形的特点和可确定的取值范围，进⽽求得的取值范围；利⽤正弦定理可得到，进⽽求得结果.13.【答案】C【解析】【解答】，⼜，，锐⾓三⾓形，∴，故，故.故答案为：C.【分析】根据正弦定理得到，计算，得到答案.14.【答案】D【解析】【解答】过点A作AD⊥BD．点D在∠B的⼀条边上，∵h＝csinB＝6 3 3＝b＝AC，因此此三⾓形⽆解．故答案为：D．【分析】由csinB＞b，即可得出解的情况．15.【答案】B【解析】【解答】由正弦定理，，所以，⼜，则，所以，故答案为：B。
正弦定理练习题(经典)
正弦定理演习题 【1 】1．在△ABC 中,A ＝45°,B ＝60°,a ＝2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 62．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C ＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中,a ,b ,c 分离是角A ,B ,C 所对的边,若A ＝105°,B ＝45°,b ＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.144．在△ABC 中,角A .B .C 的对边分离为a .b .c ,A ＝60°,a ＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不合错误5．△ABC 的内角A .B .C 的对边分离为a .b .c .若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( ) A.6B ．2C.3D. 26．在△ABC 中,a ∶b ∶c ＝1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定7．在△ABC 中,若cos A cos B ＝b a,则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形8．在△ABC 中,角A .B .C 所对的边分离为a .b .c ,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A ＝________.9．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sin B ＝________.10．在△ABC 中,已知∠A ＝30°,∠B ＝120°,b ＝12,则a ＋c ＝________.11．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c ＝2,则此三角形有________组解．12 . 断定知足下列前提的三角形个数（1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解 正弦定理1．在△ABC 中,∠A ＝45°,∠B ＝60°,a ＝2,则b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.运用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ,求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C ＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°,由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中,a ,b ,c 分离是角A ,B ,C 所对的边,若A ＝105°,B ＝45°,b ＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°,由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.4．在△ABC 中,角A .B .C 的对边分离为a .b .c ,A ＝60°,a ＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不合错误a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22,又∵a >b ,∴B <60°,∴B ＝45°. 5．△ABC 的内角A .B .C 的对边分离为a .b .c .若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( )A.6B ．2 C.3D. 26sin120°＝2sin C, ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角,则C ＝30°,∴A ＝30°,△ABC 为等腰三角形,a ＝c ＝ 2.6．在△ABC 中,a ∶b ∶c ＝1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.7．在△ABC 中,若cos A cos B ＝b a,则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ,∴cos A cos B ＝sin B sin A, sin A cos A ＝sin B cos B ,∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B ,或A ＋B ＝π2. 8．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B ＝30°,则△ABC 的面积为( ) A.32B.34 C.32或3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ,求出sin C ＝32,∵AB ＞AC , ∴∠C 有两解,即∠C ＝60°或120°,∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 9．在△ABC 中,角A .B .C 所对的边分离为a .b .c ,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C, 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ,∴A ＜C ＝π3,∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中,已知∠A ＝30°,∠B ＝120°,b ＝12,则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°,∴a ＝c ,由a sin A ＝b sin B 得,a ＝12×sin30°sin120°＝43,∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c ＝2,则此三角形有________组解． 解析：∵Bb Cc sin sin =,有B sin 3430sin 2=︒,得sinB=13＞ ∴此三角形无解．答案：0一,二,二,无。
正弦定理练习题
正弦定理练习题1.在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，a=2，则b等于（B）2.2.在三角形ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（C）43.3.在三角形ABC中，已知∠A=60°，a=43，b=42，则∠B等于（A）45°或135°。
4.在三角形ABC中，已知a:b:c=1:5:6，则.5.在三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，若∠A=105°，∠B=45°，b=2，则c等于（C）2.6.在三角形ABC中，若cosA=cosB，则三角形ABC是（D）等腰三角形或直角三角形。
7.已知三角形ABC中，AB=3，AC=1，∠B=30°，则三角形ABC的面积为（A）3.8.三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。
若c=2，b=6，∠B=120°，则a等于（B）2.9.在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a=1，c=3，∠C=43°，则∠A=（C）63°。
10.在三角形ABC中，已知a=√3，b=4，∠A=30°，则sinB=（B）1/2.11.在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=120°，b=12，则a+c=（D）24.12.在三角形ABC中，若a=2bcosC，则三角形ABC的形状为（A）等腰三角形。
13.在三角形ABC中，∠A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则sinA+sinB+sinC=（C）2.14.已知三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，a=1，则sinA-2sinB+sinC=（B）-1.15.在三角形ABC中，a=32，cosC=1/3，S△ABC=43，则b=（A）24.16.在三角形ABC中，b=43，C=30°，c=2，则此三角形有（B）两组解。
正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)
正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）第一篇：正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则A.85sinB的值为sinC5335（）B.458C.D.（）6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBb=-.cosC2a+c（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.2213.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇：正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题：1.在∆ABC中，a=23，b=22，B=45︒，则A为（）A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中，若=，则∠B=（）abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1，|BC|=2，(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23，4.在∆ABC中，则边|AC|等于（）A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则∆ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.213C.16 D.4二.填空题：9.在∆ABC中，a+b=12，A=60︒，B=45︒，则a=_______，b=________10.在∆ABC中，化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中，已知sinA:sinB:sinC=654::，则cosA=___________12.在∆ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，则∆ABC是_________三.解答题：13.已知在∆ABC中，∠A=45︒，a=2，c=6，解此三角形。
正弦定理练习题
正弦定理练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，若a=8，b=10，A=45°，则B的度数可能是（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 75°2. 已知三角形ABC中，a=5，b=7，A=30°，则三角形ABC的面积S可能是（）A. 8.75B. 10.5C. 12.25D. 143. 在三角形ABC中，若a=6，b=8，sinA=3/5，则sinB的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/3二、填空题1. 在三角形ABC中，若a=9，b=12，A=60°，则B的度数为______。
2. 已知三角形ABC中，a=4，b=6，sinB=2/3，则sinA的值为______。
3. 在三角形ABC中，若a=5，b=7，c=8，则cosA的值为______。
三、解答题1. 在三角形ABC中，已知a=5，b=7，A=45°，求B的度数。
2. 已知三角形ABC中，a=8，b=10，c=12，求sinA、sinB、sinC的值。
3. 在三角形ABC中，已知a=6，b=8，sinB=3/5，求三角形ABC的面积。
4. 在三角形ABC中，已知a=9，b=12，c=15，求cosA、cosB、cosC的值。
5. 已知三角形ABC中，a=5，b=7，sinA=2/5，求c的长度。
6. 在三角形ABC中，已知a=4，b=6，c=8，求三角形ABC的面积。
7. 已知三角形ABC中，a=3，b=4，A=30°，求B的度数及c的长度。
8. 在三角形ABC中，已知a=5，b=5，A=60°，求三角形ABC的周长。
9. 已知三角形ABC中，a=7，b=9，sinB=4/5，求sinA的值及三角形ABC的面积。
10. 在三角形ABC中，已知a=8，b=10，c=12，求cosA、cosB、cosC的值。
四、应用题1. 一个观测者在山顶A处测得山脚B的俯角为30°，在向前水平移动100米到达C点后，测得山脚B的俯角为45°。
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…
正弦定理练习题
1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )
D ．26
2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6
3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
A ．1 C ．2
?
4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )
B ．2
6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定
.
7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a
，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3
，则A ＝________.
9．在△ABC 中，已知a ＝433
，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.
!
10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.
11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
12 . 判断满足下列条件的三角形个数
（1）b=39,c=54,︒
=120C 有________组解
（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解
（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解
,
（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解 正弦定理
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )
D ．26 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A
＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6
…
解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A
＝4 6.
A ．1 C ．2
解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°
＝1.
4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
解析：选 C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22
，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.
-
5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )
B ．2
解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C
， ∴sin C ＝12
. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，
△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
：
6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.
7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a
，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A
， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ￥
即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2
. 8．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )
或 3 或32
解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝
32
，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.
再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3
，则A ＝________. <
解析：由正弦定理得：a sin A ＝c
sin C ，
所以sin A ＝a ·sin C c ＝12
. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6
. 答案：π6
10．在△ABC 中，已知a ＝433
，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B
⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32
. 答案：
32 —
11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，
由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°si n120°
＝43， ∴a ＋c ＝8 3.
答案：83
12．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
解析：∵B b C c sin sin =，有B sin 3430sin 2=︒，得sinB=13＞ ∴此三角形无解．
答案：0
一，二，二，无。