计算固体计算力学 - 第四章 几何非线性问题

变关系。
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计算固体计算力学
在几何非线性问题的有限元法中，通常采用增量分析方法。 增量分析方法一般采用两种表达格式 完全的Lagrange格式：静力学和运动学变量总是参考初始
变形，即整个分析过程中参考位形保持不变。
更新的Lagrange格式：静力学和运动学变量参考于每一载 荷或时间步长开始时的位形，即在分析过程中参考位形不断在 更新。
t tV
t t t tt dV t f k uk
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计算固体计算力学

t t
t tV
t t ij t t eij dV
t t t t k t tV
t t t uk dS
t t
t tV
t t t tt dV t f k uk
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计算固体计算力学
第二节 大变形条件下应力和应变的度量
一、应变的度量
0时刻
0
xi (i 1, 2,3)
0
P点坐标： 0 xi
0 x d xi Q点坐标： i
t时刻
t
xi (i 1, 2,3)
t
P点坐标： xi Q点坐标： xi d xi
t t
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计算固体计算力学
t 0 将物体位形的变化看成从 xi 到 xi 的一种数学上的变化
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计算固体计算力学
非弹性
小应变
t 0
Sij 0 Dijkl 0t kl
式中： 0 Dijkl --时间t位形的，参考于时间0位形的切线本构张量。
e p D D D 0 ijkl ijkl 0 ijkl
大应变
t
J J t kl ij t Dijkl e
t
J e p Dijkl t Dijkl t Dijkl
0
需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法：
•Lagrange规定：变形前面积元上的内力分量和变形后面积元上的内力
分量相等。
0
dTi ( L) t dTi
•Kirchhoff（克西霍夫）规定：变形前面积元上的内力分量和变形后面
0 0 t 积元上的内力分量的变换与坐标变换 d xi t xi , j d x j 一致。
t 0 ij
tt ij ij
t 0 ij
由

t
ds 0ds
2
2
0
tt ij 0
所以物体为刚体运动的必要条件和充分条件是Green应变张量 和Almansi应变张量各分量为零。
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计算固体计算力学 二、应力的度量
在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出微元体建立平衡
t
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计算固体计算力学
第三节 大变形情况下的本构关系
等温、绝热条件下的小变形线弹性情况，可以用三 种等效的方法描述应力和应变之间的关系
ij Dijkl kl
W ij ij
W
1 Dijkl ij kl 2
ij t
Dijkl
kl t
应用于弹性以外的情况，得到三种不再等效，但具
其中：
不能求解
uk
--现实位移分量的变分； --应变的变分； --在现实位形内度量的面积载荷 --在现实位形内度量的体积载荷
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计算固体计算力学
第一节 引言
几何非线性问题：
板、壳等薄壁结构在一定载荷作用下，尽管应变很小，甚
至未超过弹性极限，但是位移较大。这时必须考虑变形对平衡
的影响，即平衡条件必须建立在变形后的位形上，同时应变表 达式应包括位移的二次项——平衡方程和几何条件都是非线性 的； 金属成型材料在受载时都可能出现很大的应变，这时除了 采用非线性的平衡方程和几何关系外，还需引入相应的应力应
式中：
t
J ij --真应力速率张量；
t
kl --真应变速率张量。 e
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计算固体计算力学
第四节 大位移变形弹性理论的变分原理基础
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计算固体计算力学
第五节 几何非线性问题分析的有限元法
几何非线性问题通常采用增量的方法
一、虚位移原理（虚功原理）
时间0物体各点的坐标、位移： 时间t物体各点的坐标、位移：
2t 0
应变能函数
建立的是kirchhoff应力张量和Green应变张量之间的关系。
t
ij tt Dijkl tt kl
t t
Dijkl
0
t t t t t x x D x 0 i , m 0 j , n 0 mnpql 0 k , p 0 xl ,q
建立的是Euler应力张量和Almansi应变张量之间的关系。
0
xi 0 xi ( t x1 , t x2 , t x3 )
基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点 坐标为基本未知数，描述各个量。
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计算固体计算力学
t
根据以上变换：
xi t xi ( 0 x1, 0 x2 , 0 x3 )
0
xi 0 xi ( t x1 , t x2 , t x3 )
t 0 t ( t ds)2 ( 0ds)2 d t xk d t xk d 0 xk d 0 xk d t xk d t xk 0 x d x x d xj t k ,i i t k, j 0 ( ij 0t xk ,i 0 xk , j )d t xi d t x j 2 tt ij d t xi d t x j
0
t dTi ( K ) 0 x t i , j dTj
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计算固体计算力学
Lagrange规定
t
Kirchhoff规定
ij 变形后位形的应力分量，则
t
dTi ij v j dS
t t t
面积微元上法 线方向余弦
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计算固体计算力学
0 t dTi ( L) 0 Tji 0v j 0dS t dTi
t 0
Sij 0t Dijkl 0t kl
在小应变情况下
式中：
t 0
Sij --Kirhhoff应力张量；工程应力
t 0 ij t 0
--Kirhhoff应力张量；工程应变
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Dijkl --常数弹性本构张量
计算固体计算力学
大应变 连续介质力学利用超弹性来表征这种材料特性。
t 0
W Sij t 0 ij 0t ij
。对于某一固定时刻t这种变换可以表示为
* 拉各朗日（Lagrange）描述
t
xi t xi ( 0 x1, 0 x2 , 0 x3 )
基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标 为基本未知数，描述各个量。 根据变形的连续性要求，这种变化必须一一对应，即变换是 单值连续的。同时变换应有唯一的逆变换，也是单值连续的 * 欧拉（Eular）描述
方程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物体内截取单
元体定义应力张量—欧拉应力张量， ij 。
t
如果应变是用变形前的坐
标表示的Green应变张量，则 需要定义与之对应的关于变
形前位形的应力张量。
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计算固体计算力学
变形后表面上的应力：
t

t
dT t dS
变形前表面上的应力：
0
dT 0 dS
第一节 引言
小变形假设，包含两个方面内容： 一是假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺度， 在此前提下，建立结构或微元体的平衡条件时可以不考虑物体 的位置和形状（简称位形）的变化，因此分析中不必区分变形 前和变形后的位形，即如我们通常习惯上所用的以变形前位形 描述变形后的平衡位形。 二是假定在加载和变形过程中的应变可用一阶微量的线性 应变进行度量，即应变与位移成一阶线性关系。
有不同普遍意义的本构关系。连续介质力学将它们分别
称为弹性、超弹性和拟弹性。
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计算固体计算力学
大变形问题分为： 大位移、大转动和小应变问题——变形很大，但应变 很小，甚至保持在弹性应变范围内。 大位移、大转动和大应变问题——应变很大，从材料 角度考虑，分为弹性问题和塑性问题。 弹性
小应变 应力和应变关系是一一对应的。在小应变情况下，这种关系 是线性的。在大应变条件下，这种关系是非线性的。
0
xi
0
ui ui
t t
t
xi
t
t t 时间t+Δt物体各点的坐标、位移： xi
ui
与时间t+Δt位形内平衡条件相对应的虚位移原理：

t t
t tV
t t ij t t eij dV
t t t t k t tV
t t t uk dS
t t
t
t 0 ji
T
t 0
S ji
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计算固体计算力学
各种应力张量之间的关系： （1）由质量守恒：
t

0
0
V
dV
t
t
V
dV
t
0
V
det( 0 t xi , j ) dV
0 det( t xi , j ) 0 t 0 t 0 t t t t （2） 0 Tji t t x j , m mi ， ji 0 0 x j , m 0Tmi t 0 t t t t 0 0 t （3 ） t S x x Smn x x ji 0 j , m 0 i , n 0 0 0 ji t j ,m t i,n mn ， t
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计算固体计算力学
t t ij
1 2

t t i ,j
t u t t uj i, t t u k i, t u k j,

应变和位移的关系
t 0 ij
1 2
t 0
ui ,j 0t uj ,i 0t uk i, 0t u k , j
Baidu Nhomakorabea
当位移很小时，位移导数的二次项可以忽略，有
t 0 ij
1 t ( 0 xk ,i 0t xk , j ij ) 2
t t ij
1 0 ( ij 0 x t k ,i t xk , j ) 2
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计算固体计算力学
t 0 ij

--Green-Lagrange应变张量(Green应变张量）
它用变形前坐标表示的。
t t ij
计算固体计算力学
博士研究生课程
计算固体力学
课程编号：017090
王生楠，谢伟
西北工业大学 航空学院
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计算固体计算力学
第四章 几何非线性问题及其有限元求解 大变形条件下的应力和应变的度量 几何非线性问题的表达格式 大位移非线性弹性理论的变分原理 几何非线性问题的有限元分析 结构稳定性和屈曲问题
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计算固体计算力学
t xi 0 d xi 0 d x j 0t xi , j d 0 x j xj
t
0 xi t t d xi t d x j 0 x d xj t i, j xj
0
定义：
t 0
xi , j
t xi 0 xj
0 t i, j
x
0 xi t xj
PQ线段的长度：
t 0 ji
T
：第一类Piola-Kirchhoff应力（Lagrange应力张量），非对称
0
t dTi ( K ) 0t S ji 0v j 0dS 0 x t i , j dTj
t 0
S ji ：第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量，对称
左上标t表示应力张量是属于变形后位形的，左下标0 表示此量是在变形前位形内度量的。 应力张量 ij

--Almanasi（阿尔曼西）应变张量
它用变形后坐标表示的。 二者之间的关系
t t ij 0 t 0 x x t k ,i t l , j 0 kl t 0 ij
0t xk ,i 0t xl , j tt kl
位移场为
t
t
ui t xi 0 xi
其中： ui --变形前的位形到变形后的位形的位移。
( 0ds)2 d 0 xi d 0 xi
t 2 t t ( ds ) d x d xi P’Q’变形后的长： i
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计算固体计算力学 变形前后，此线段的长度变化为：
( t ds)2 ( 0ds)2 d t xk d t xk d 0 xk d 0 xk 0t xk ,i d 0 xi 0t xk , j d 0 x j ij d 0 xi d 0 x j ( 0t xk ,i 0t xk , j ij )d 0 xi d 0 x j 2 0t ij d 0 xi d 0 x j
（4 ）
t 0 t S ji 0 x t i , m 0Tjm
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计算固体计算力学
注意：
t Lagrange应力张量 0 Tjm 是非对称张量，
Kirchhoff应力张量 0 S ji 是对称张量。 在小变形情况下， 0Tjm 和 0 S ji蜕化为工程应力 ij ，
t t t 0
t S ji 和 0 ij 在构造本构关系是适当的。