公选课(3)-空间直线及其方程-点向式方程、和参数方程.doc

(8.5.

2)

第五节空间直线及方程

与直线平行的非零向量称为该直线的方向向量。显然，直线的方向向量有无穷多

个。

有立体几何知道，过空间一点可以作而且只能作一条平行于一条己知直线的直线。下面 我们将利用这个结论来建立空间直线的方程。

设直线2过点M 0(x 0,y 0,z 0),^ = (m ,n ,p ｝是直线L 的方向向量(图8.23)。设M (x ,y ,z) 是直线L 上任意一点，

则M 0M ={x-x 0,y-y 0,z-z 0},且M 0M Ils o 由两向量平行的充

要条件可知

土迪=虹业=二

(8.5.1)

m n

p

方程组(8.5.1)称为直线的点向式方程或标准方程(当m 、n 、p 中有一个或两个为零 时，就理解为相应的分子为零)。 若直线L 的方程为

尤 _*o = y —y 。= z —z° m n p

平面〃的方程为

Ar + + Cz + Z) = 0

则直线L 与平面勿平行的充要条件是mA + 〃8+pC = 0；直线乙与平面力垂直得充要

条件是?=兰=£

ABC

在直线方程(8.5.1)中，记其比值为L 则有

x = x ()+ mt < y = y ()+m z = z G + pt

这样，空间直线上动点M 的坐标x 、y 、z 就都表达为变量t 的函数。当t 取遍所有实 数值时，由(8.5.2)所确定的点M(x,y,z)就描出来直线。形如(8.5.2)的方程称为 直线的参数方程，七为参数。

例1求过点M (2 ,0 ,3)且垂直于平面勿4x+ y - z + 5 = 0的直线方程。 解设所求直线方程为

由于直线垂直于平面〃，所求可取平面〃的法向量〃 =｛4,1,・1｝为直线的方向向

量

s = {〃？ ,n ,p} ={4 ,1,-1}

故所求的直线方程为 x-2 y z-3

例2求过点MJ% ,y 〕,Z])M 2(X 2 ,y 2 ,z 2)的直线方程。 解设所求直线方程为

由于直线过M| M?,所以可取向量M }M 2 ={X 2 -X }，力-M »Z

2 -Z

I }为直线的方向向量。 故所

求直线方程为

X — M 三 >乂 = Z — Z|

易一M >2一乂 Z2 — Z]

例3求过点(1,-3 ,2)且平行于两平面亍=十=三 的直线方程。 解设所求直线方程为

x-1 _〉+ 3 _ z-2

m n p

因为所求直线平行于两平面，故直线的方向向量S 垂

直于两平面的法向量

% ={3,-1 ,5}及〃 2 ={1,2 ,-3}，所以可取

i j k

s = {m ,n ,p} = n }xn 2= 3 -1 5

1 2 -3

= -7i + 14j + 7k

因此所求直线方程为

x-\ y+ 3 z-2 ~-T~~ 14 F

即

x-l_y + 3_z-2

2 ~~T

x = \-t

例4 求直线y = 2 + r 与平面2x+y-z-5 = 0的交点。

z = 3-2t

解 设所求交点为P(x,y,z),显然P 点的坐标应同时满足已知的直线方程与平面方 程•解方程组

x = i-t

y = 2 +1 <

z = 3-2r 2x+y-z-5=0

得t=4 ,带入参数方程得x = -3,y = 6,z = -5。即交点P 的坐标为(-3,6,-5)。 例5 求点P(l,l,4)到直线L ： ¥ = \2 = 司 的距离。

解：先求过点P(1 ,1 ,4)且垂直于直线L 的平面勿的方程，显然，平面勿的法向量 为〃 = {1,1,2},则平面方程为(X-l) + (y-l) + 2(z-4) = 0

(1)

艮［I x+y + 2z-10 = 0

再求平面与直线L 的交点Q.由于L 的参数方程为

尤=2 + 1

< y = 3 +1 (2)

z = 4 + 2，

将(2)代入(1),得 6，+ 3 = 0 即 t = -~

(3)

2

3

5

将(3)代入(2)得点Q 的坐标为工= 2,), = 2,Z = 3 .所以点P 到L 的距离

2

2

妇叶小-3+(顷+(4项=孚

习题8_5

将63-66题中的直线方程化为参数方程及一般方程。

63.

=y +1 =

2

3 64. 2x-\ = 3- y =

：4z

65. x + 5 = y+2_ z-1

1 0

2 66. x — \

= Z±2 = z

将67-70题中直线的一般方程化为点向式方程及参数方程。

78.

求过点(2,0,1)与直线匕: 3x+ y-5 = 0

2y-3z + 5 = 0

x = -l + 2r 右：

v y = —3 —t

z = 2 + 4f

都垂直的直线方程。

x-y + z + 5 = 0

67. I

5x —8y + 4z + 36 = 0

p-5.y + 2z-l = 0

bo. <

[z = 2 + 5y

[z = 1

69.《

[2x + 3y = 2

70.『—2y + 5 = 0

[y-6z-7 = 0

71.求过点Mj2,3,l)和(-1,2,0)的直线方程。

72.一直线通过点(2 ,2,-1)且与直线号 =), = ? 平行，求此直线方程。

73.一直线通过点(3,4 ,-1)且与直线

尤=3 +，

< y = t

z = l-2t

平行，求此直线方程。

74.一直线通过点(2,-2,0),且与直线[2工-)'+ 1 = 0平行，求此直线方程。

、7[3y-2z + l = 0

75.求过点(0,-3 ,2)且与另两点(3,4,-7)、(2,7,.6)联线平行的直线方程。

76.求过点(2 ,-3 ,4)且垂直于平面3x-y + 2z = 4的直线方程。

77.求过直线=号1 = 号与平面x+y-3z + 15 = 0的交点，且垂直于该平

面的直线方程。

79.求直线匕：土2 =工=£±1和直线匕,：三二皿二▲的夹角。

4 -12 3 ~ 2 -1 -2

80.求直线>-j + 2z = 0的方向余弦(即方向向量的方向余弦)。

[6x-3y + 2z = 2

81.求过点(3 , 4 , -2),方向角(即方向向量的方向角)为60° , 45° , 120°,的直线方程。