第四章 三铰拱
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结构力学5三铰拱课件
拱架搭设
根据设计要求，选用合适的材料搭设拱架；
施工流程与工艺要求
02
01
03
拱体安装
按照从两端向跨中的顺序，对称安装拱体构件；
拱顶合拢
在拱顶设置临时支撑，确保拱体稳定；
施工监测
对施工过程进行实时监测，确保施工安全和质量。
施工流程与工艺要求
工艺要求 拱架搭设应符合设计要求，确保稳定性和承载力；
拱体安装应保证构件对接准确，避免出现错位和扭曲；
施工流程与工艺要求
01
临时支撑设置应合理，确保拱体 在合拢过程中保持稳定；
02
施工监测应实时进行，及时发现 和解决施工中的问题。
安装方法与注意事项
安装方法 采用分段吊装法，将拱体分成若干段，分别吊装到位；
对接安装时，应保证对接位置准确，避免出现错位和扭曲；
安装方法与注意事项
• 合拢时，应设置临时支撑，确保拱体稳定。
结构力学5三铰拱课件
目
CONTENCT
录
• 三铰拱概述 • 三铰拱的力学分析 • 三铰拱的设计与计算 • 三铰拱的施工与安装 • 三铰拱的维护与加固
01
三铰拱概述
定义与特点
定义
三铰拱是一种静定结构，由两个 固定端和三个铰链支承构成。
特点
拱顶在竖向荷载作用下主要承受 压力，并通过铰链传递水平推力 ，保持拱的平衡。
保持三铰拱的清洁，避免 积尘、腐蚀等影响其使用 寿命的因素。
紧固与润滑
对三铰拱的连接部位进行 紧固，对活动部位进行润 滑，确保其正常运转。
常见问题与处理方法
1 2
结构损伤
如发现三铰拱出现裂纹、变形等损伤，应立即采 取措施进行修复或更换。
连接松动
根据设计要求，选用合适的材料搭设拱架；
施工流程与工艺要求
02
01
03
拱体安装
按照从两端向跨中的顺序，对称安装拱体构件；
拱顶合拢
在拱顶设置临时支撑，确保拱体稳定；
施工监测
对施工过程进行实时监测，确保施工安全和质量。
施工流程与工艺要求
工艺要求 拱架搭设应符合设计要求，确保稳定性和承载力；
拱体安装应保证构件对接准确，避免出现错位和扭曲；
施工流程与工艺要求
01
临时支撑设置应合理，确保拱体 在合拢过程中保持稳定；
02
施工监测应实时进行，及时发现 和解决施工中的问题。
安装方法与注意事项
安装方法 采用分段吊装法，将拱体分成若干段，分别吊装到位；
对接安装时，应保证对接位置准确，避免出现错位和扭曲；
安装方法与注意事项
• 合拢时，应设置临时支撑，确保拱体稳定。
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目
CONTENCT
录
• 三铰拱概述 • 三铰拱的力学分析 • 三铰拱的设计与计算 • 三铰拱的施工与安装 • 三铰拱的维护与加固
01
三铰拱概述
定义与特点
定义
三铰拱是一种静定结构，由两个 固定端和三个铰链支承构成。
特点
拱顶在竖向荷载作用下主要承受 压力，并通过铰链传递水平推力 ，保持拱的平衡。
保持三铰拱的清洁，避免 积尘、腐蚀等影响其使用 寿命的因素。
紧固与润滑
对三铰拱的连接部位进行 紧固，对活动部位进行润 滑，确保其正常运转。
常见问题与处理方法
1 2
结构损伤
如发现三铰拱出现裂纹、变形等损伤，应立即采 取措施进行修复或更换。
连接松动
拱合理拱轴线
由于规定y 向上为正, x 向右为正，q 向下为 正，故上式右边为正号。
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08:29
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
或
结构力学
d dy dx dx dy 1 dx
1
2
p( x) FH
p ( x) dy sh dx. FH dx 如p(x)=常数=p ，则
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08:29
§4-2 三铰拱的数值解
(3) 求内力 由水平推力 FH 82.5 kN 得 0
结构力学
(2) 求支座反力,结果为： FVA 105 kN , FVB 115 kN
FSD 105 kN 100 kN 5 kN
FSD FS0D cos D FH sin D
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08:29
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
例4-2 设三铰拱上作用沿水平向均布的竖向荷载q q 试求拱的合理轴线。
M0 解:由式（4-5） y FH
C Y f A B X
在均布荷载q作用下， 代梁的弯矩方程为
ql qx 2 q M x x(l x) 2 2 2
0
l 2
l 2
q
A B
拱的水平推力为
0 MC ql 2 FH f 8f
ql 2
x
ql 2
4f 代入公式（4-4）得 y 2 x(l x) l
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08:29
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
三铰拱在水平的均布荷载作用下，其合理 拱轴线为二次抛物线。
第4章-三铰拱和悬索结构的受力分析
得
l2
y x x2
FVA=70kN 4m
4m 4m l=16m
4m FVB=50kN
q=10kN/m A
FP=40kN B
2) 求φ
16
tany 1x
DCE 16m
8
代入各x值，即可查得相应的φ值。
F
0 VA
F
0 VB
为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面
，求出各截面的y、 φ等值，列于表中。
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的 截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为 正、压力为负）。
小结
(4) 内力与拱轴线形式(y,j)有关。
(5) 关于φ值的正负号：左半跨φ取正号；右半跨φ取负 号，即式(4-2)中，cos(- φ) = cos φ ，sin(- φ) = -sin φ 。
用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如 表4-1所示。
(4)作内力图
C D
15
A
20
15
5
E
20
5
B
M图(kN·m)
78
67
60.6
60
60.6
76 58.1
91.9
D
C
E
78 77.8
A
B
FN图(kN)
C 4.9 17.9
4 7.1
A
E
D 4.9
10 17.9
4
B
7
FQ图(kN)
二、三铰拱的合理拱轴线
1 、合理拱轴线
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线，称为 合理拱轴线。 2 、合理拱轴的数解法
三铰拱
M
O
0 FN ( FN d FN ) 0
可得 d FN 0 合理拱轴线方程为
FN q
FN =常数
d 2 qd 0
沿s-s 写出投影方程为
2 FN sin sin d 2
圆弧线
因 d 极小
d 2
返 章
M
0
FH
合理拱轴线方程
例4-2 试求图a所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴 线。
解：相应简支梁（图b）的弯矩方程为
M
0
1 2
qx ( l x )
0
三铰拱的推力为
FH
0
MC f
4f l
2
ql
2
8f
合理拱轴线方程为
y
M
FH
x (l x )
北京建筑工程学院
三铰拱合理拱轴线形状的确定
三铰拱
14kN m
A
50kN
B
C
75.5kN 58.5kN
175.5 201
M图(kNm)
与三铰拱相应弯矩相比，要大 很多。
北京建筑工程学院
结构力学教研室
三铰拱
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力
分解如图（b）。
由平衡条件可得 （a
F AV F
0 AV
, F BV F
0
FS F AV F1
0 0
轴力以压力为正
北京建筑工程学院
结构力学教研室
三铰拱
三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关，而 且与拱轴线的形状有关。 由于水平推力的存在，拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要 小。 三铰拱在竖向荷载作用下轴向受压。
结构力学第四章三铰拱
l/2
l/2
三铰拱在沿水平均 匀分布的竖向荷载 作用下，其合理拱 轴线为一抛物线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql/2 l ql/2 13
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
例4-3 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy
d 2 y M 0dx)M 0 1 (2 y ( x2) (q0 2 g y) q(x) HH dx dx
8
Q YA P ,
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
解: (1)求反力
1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN
4m B
4 4 812 V A (2)作相应简支梁的N V A0 7k 16 A 6kN M°图和12 8 4 4 Q°图 0 8m VB VB 5k N 16 7kN 1kN/m (3)截面几何参数 0 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M C 58 4 4 H 6k N 4f x(16 x) 4 y ( x) f 2 x(l x) l 16 7 ＋ dy 4 f 8 x tg 2 (l 2 x) dx l 8 Q°图（kN）1
在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。
14
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。 n q
t
d / 2
N+dN
r ∵拱处于无弯矩状态，∴各截面上只有轴力。
d
N
由 t 0， N cos
d d N dN cos 0, 得 dN 0 2 2 由于d很小， 即拱截面上的轴力N为常数。 d d d d 由 n 0， N sin N dN sin qds 0, 取 sin , 2 2 2 2 得 Nd qds 0 并略去高阶微量，
04三铰拱
解：相应简支梁（图b）的弯矩方程为 相应简支梁（ ）
M0 =
三铰拱的推力为
1 qx(l − x) 2
0 M C ql 2 FH = = f 8f
合理拱轴线方程为
M0 4f y= = 2 x(l − x) FH l
求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。
q
r
在均匀水压力作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。
2、内力的计算 、
相应简支梁K截面的弯矩为 相应简支梁 截面的弯矩为M 0 截面的弯矩为 相应简支梁K截面的剪力为 相应简支梁 截面的剪力为FS0 截面的剪力为
M = M0 − FH y
FS = F cosϕ − FH sin ϕ
0 S
FN = FS0 sin ϕ + FH cosϕ
x y
压力为正
Hale Waihona Puke ∑Fx= 0 FAH = FBH = FH
取左半拱为隔离体
可 得 相应简支梁
FAV l1 − F1 (l1 − a1 ) ∑ M C = 0 FH = f 三铰拱的反力只与 0 荷载及三个铰的位 FAV = FAV 置有关， 置有关，与拱轴线 0 FBV = FBV 形状无关；推力FH 形状无关；推力 0 成反比。 与拱高 f 成反比。 MC FH = f
拱顶 拱轴线 拱趾 拱高
f
起拱线
拱趾
跨度
l
f / l → 高跨比（或矢跨比）
平拱： 平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算 、
由拱的整体平衡
∑ M B = 0 FAV ∑M
A
∑ Fb =
M0 =
三铰拱的推力为
1 qx(l − x) 2
0 M C ql 2 FH = = f 8f
合理拱轴线方程为
M0 4f y= = 2 x(l − x) FH l
求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。
q
r
在均匀水压力作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。
2、内力的计算 、
相应简支梁K截面的弯矩为 相应简支梁 截面的弯矩为M 0 截面的弯矩为 相应简支梁K截面的剪力为 相应简支梁 截面的剪力为FS0 截面的剪力为
M = M0 − FH y
FS = F cosϕ − FH sin ϕ
0 S
FN = FS0 sin ϕ + FH cosϕ
x y
压力为正
Hale Waihona Puke ∑Fx= 0 FAH = FBH = FH
取左半拱为隔离体
可 得 相应简支梁
FAV l1 − F1 (l1 − a1 ) ∑ M C = 0 FH = f 三铰拱的反力只与 0 荷载及三个铰的位 FAV = FAV 置有关， 置有关，与拱轴线 0 FBV = FBV 形状无关；推力FH 形状无关；推力 0 成反比。 与拱高 f 成反比。 MC FH = f
拱顶 拱轴线 拱趾 拱高
f
起拱线
拱趾
跨度
l
f / l → 高跨比（或矢跨比）
平拱： 平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算 、
由拱的整体平衡
∑ M B = 0 FAV ∑M
A
∑ Fb =
第4章_三角拱
因此，若拱轴为合理拱轴线，根据定义，则任一截面有
M M0 Hy 0
M 0 ( x) 即 y H
（4-4）
这就是合理拱轴线应满足的方程。 下面举例说明如何确定合理拱轴线。
例2 对称三铰拱受载如图示，求其合理拱轴线。 解 建立如图所示坐标系 相应简支梁任一截面的弯 矩方程为
y q C f l
y
FN+dFN FQ+dFQ
d
FQ cos
M FN
FQ
d FN FN dFN sin 0 2
∵d很小 d d ∴ sin , cos d 1 2 2 2 因此（a）式整理可得
dFQ ds
FN
q
(b)
由
Y 0
得
d d d FN cos FN dFN cos FQ FQ dFQ sin 0 (c) 2 2 2 上式整理可得 FQ dFN (d) ds 由 Mo F 0 得
∴
FNK F sin K H cos K 0 FQK FQK cos K H sin K
0 QK
y
Fp1
MK
K
FNK
H
K FQK yK x
（4-3）
VA
xK
Fp1
F0QK
VA0
(3)三铰拱的内力图
图(c)
有了上述任意截面的内力方程，不难画出其内力图。与梁刚
解
由于荷载 q 也与拱轴的形状有关， 故此时无法直接应用（4-4）式。
q C f l
qd
x
B
对（4-4）式两边微分得
∵
A
y
∴
1 d 2 M 0 ( x) y H dx 2
结构力学 三铰拱
9 / 13
À
第四章 静定拱
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线
q y A x q f C B
FH=ql2/8f M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2 y=M0/FH=4fx(l-x)/l2
l
x
抛物线À
10 / 13
第四章 静定拱
荷载布置改变，合理拱轴亦 改变 荷载确定、拱脚位置确定， 则顶铰位置决定水平反力， 因此，有无限多个相似图形 可作合理拱轴 三铰位置确定，合理拱轴唯 一确定 设计时只能根据主要荷载选 择近似合理拱轴
第四章 静定拱 §4-1 概述
三铰拱(three-hinges arch)的构成
拱顶 拱轴线 拱高 拱址 起拱线 拱跨 拱址
1 / 13
ÀБайду номын сангаас
第四章 静定拱
1)拱的分类
三铰拱 拉杆拱1
两铰拱
无铰拱
拉杆拱2
斜拱
2 / 13
À
第四章 静定拱
2)拱的受力特点
FP
曲梁
FP • 在竖向荷载作用下 会产生水平推力。
6 / 13
À
第四章 静定拱
拱的内力图
− y ⎤⎧M ⎫ ⎧M ⎫ ⎡1 0 ⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎨FS ⎬ = ⎢0 cosϕ − sinϕ⎥⎨ FS ⎬ ⎪F ⎪ ⎢0 sinϕ cosϕ ⎥⎪ F ⎪ ⎦⎩ H ⎭ ⎩ N⎭ ⎣
0
由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲线形 的，内力图要通过逐点描图的方法绘制。
拱
• 由于水平推力的存 在，使得拱内弯矩大 大减小。
3 / 13
À
第四章 静定拱 §4-2 三铰拱的计算
4 第四章 三铰拱
无铰拱
凡在竖向荷载作用下会产生水平反力的 结构都可称为拱式结构或 推力结构。
P
FAH
FBH
推力结构
VA VB
3)拱结构的应用：主要用于拱坝、屋架结构、桥梁结构。 拱结构的优缺点：
a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯 矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就 可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度 b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉 性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。
相应简支 梁的弯矩
（2）弯矩计算 求拱轴线上任意点k的弯矩， 为此取Ak为隔离体：
Mk FAV xk FP1 xk a1 FH yk （3）剪力计算 求拱轴线上任意点k的剪力， 同样以Ak为隔离体： 0 FSk FYACos k HSin k FP1Cosk FYA FP1 Cos k HSin k
三铰刚架 例：
c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因 此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形 比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大
拱各部分的名称：
拱顶
拱顶
拱轴线 拱高 f 起拱线 拱趾 跨度 l
f
L
L—跨度（拱趾之间的水平距离） f—矢高或拱高（两拱趾间的连线到拱顶的竖向距离）
f/L——高跨比（拱的主要性能与它有关，工程中这 个值控制在1—1/10 ）
位于河北赵县，又名安济桥，由石工李春主持设计建造，完成 于公元605年左右。 该桥为空腹敞肩式坦拱桥，桥长64.4m，净跨37.02m，桥宽 9m，净矢高7.23m，桥面纵坡6.5%。 拱由28圈拱石平行砌筑，每圈有拱石43块；为加强拱石间的结 合，拱石各面均凿有相当细密的斜纹。另外，还在拱石之间设置X 形锚铁和铁锚杆。 在拱圈两肩各设两个跨度不等的腹拱，既减轻了桥身自重，又 节省了材料，还便于排洪。 该桥构思巧妙，造型美观，施工精度高，工艺精致，历1300多 年而无恙，举世闻名，不愧为桥梁文物宝库中的精品。 赵州桥被列为“全国重点文物保护单位”。在90年代初，赵州 桥被美国土木工程师学会选为“国际历史土木工程里程碑”。
第四章三铰拱-2012
x
d y 1 d M 2 dx H dx 2
2
2
2
对简支梁来说， d M q x 2
e
x
shx chx
ex chx shx
dx
而 q x qc y , 即
y
H qc y 2 dx H
y 0
MC 0
VA 100 20 6 115 105kN
1 H (105 6 100 3) 82.5kN 4
例1：计算图示三铰拱 K 截面内力。
4f y 2 (l x) x L
（2）求系数 拱轴方程为抛物线：
yK
4 4 (12 3) 3 3m 12 12
N D R N E R dR 0
ND NE N 当取微段时，认为R没有变化
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。
n 0
q dS 2 N sin
d 0 2 N qR
q Rd N d 0
R
N q
因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为圆弧。
§4-1 概述
在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 一、拱式结构的特点及应用
1、拱的定义 杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生水平推力 的结构。 曲梁与拱的区别
在竖向荷载作用下 会产生水平推力。
曲梁 二个刚片，三个联系
拱 三个刚片，三个铰
水平推力存在是拱式结构区别于梁式结构的 重要标志，拱式结构通常又称为推力结构。
N K (105 100 20 3) (0.555) 82.5 0.832 99.17kN
结构力学-三铰拱
关于内力
关于内力
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析 竖向荷载作用下拱反力计算 竖向荷载作用下指定截面内力计算 内力图均不再为直线； 集中力作用处，剪力图将发生突变； 集中力偶作用处，弯矩图将发生突变； 上述公式仅适合于平拱，且承受竖向荷载情况； 拱的内力仍然有FS=dM/ds
竖向荷载作用下指定截面内力计算
B
A
C
P1
P2
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算
FBy=YBy0
FAy=YAy0
FH= MC0 / f
FAx=FBx =FH
拱的竖向反力与其相应简支梁的竖向反力相等； 水平反力只与三个铰的位置有关而与拱轴线形状无关; 荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反比，且总是正的。 该组结论仅适合于平拱，且承受竖向荷载。
竖向荷载作用下拱反力计算 第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
拱的内力图 由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲线形的，内力图要通过逐点描图的方法绘制，总的规律仍符合荷载和内力的微分关系。
01
03
02
FP=8kN
q=2kN·m
C
A
B
l=16m
f=4m
1、支座反力计算
例题：三铰拱所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线方程
[解]
FAy
FAx
FBx
FBy
计算其反力并绘制内力图
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
[解]
2、求截面 3 内力
FP=8kN
C
A
B
l=16m
f=4m
q=2kN·m
FP2=8kN
q=2kN·m
3
10
关于内力
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析 竖向荷载作用下拱反力计算 竖向荷载作用下指定截面内力计算 内力图均不再为直线； 集中力作用处，剪力图将发生突变； 集中力偶作用处，弯矩图将发生突变； 上述公式仅适合于平拱，且承受竖向荷载情况； 拱的内力仍然有FS=dM/ds
竖向荷载作用下指定截面内力计算
B
A
C
P1
P2
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算
FBy=YBy0
FAy=YAy0
FH= MC0 / f
FAx=FBx =FH
拱的竖向反力与其相应简支梁的竖向反力相等； 水平反力只与三个铰的位置有关而与拱轴线形状无关; 荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反比，且总是正的。 该组结论仅适合于平拱，且承受竖向荷载。
竖向荷载作用下拱反力计算 第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
拱的内力图 由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲线形的，内力图要通过逐点描图的方法绘制，总的规律仍符合荷载和内力的微分关系。
01
03
02
FP=8kN
q=2kN·m
C
A
B
l=16m
f=4m
1、支座反力计算
例题：三铰拱所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线方程
[解]
FAy
FAx
FBx
FBy
计算其反力并绘制内力图
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
[解]
2、求截面 3 内力
FP=8kN
C
A
B
l=16m
f=4m
q=2kN·m
FP2=8kN
q=2kN·m
3
10
4结构力学(李廉锟第五版)
q( x) p( x) ds dx
dx p(x) ds x
y
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18:50
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
将 q( x) p( x)
2
结构力学
ds dx
代入方程（4-5），得
2
d y q( x) p( x) ds p( x) dy 1 2 dx FH FH dx FH dx
由于规定y 向上为正, x 向右为正，q 向下为 正，故上式右边为正号。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
或
结构力学
d dy dx dx dy 1 dx
1
2
p( x) FH
p ( x) dy sh dx. FH dx 如p(x)=常数=p ，则
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§4-2 三铰拱的数值解
(3) 求内力 由水平推力 FH 82.5 kN 得 0
结构力学
(2) 求支座反力,结果为： FVA 105 kN , FVB 115 kN
FSD 105 kN 100 kN 5 kN
FSD FS0D cos D FH sin D
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§4-2 三铰拱的数值解
与代梁相比较有：
0 FVA FV A 0 FVB FVB 0 MC FH f
结构力学
F F K A x x l/ 2 FVA f B l/ 2 FVB FHB C F
y
F HA
F1 A
dx p(x) ds x
y
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
将 q( x) p( x)
2
结构力学
ds dx
代入方程（4-5），得
2
d y q( x) p( x) ds p( x) dy 1 2 dx FH FH dx FH dx
由于规定y 向上为正, x 向右为正，q 向下为 正，故上式右边为正号。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
或
结构力学
d dy dx dx dy 1 dx
1
2
p( x) FH
p ( x) dy sh dx. FH dx 如p(x)=常数=p ，则
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§4-2 三铰拱的数值解
(3) 求内力 由水平推力 FH 82.5 kN 得 0
结构力学
(2) 求支座反力,结果为： FVA 105 kN , FVB 115 kN
FSD 105 kN 100 kN 5 kN
FSD FS0D cos D FH sin D
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§4-2 三铰拱的数值解
与代梁相比较有：
0 FVA FV A 0 FVB FVB 0 MC FH f
结构力学
F F K A x x l/ 2 FVA f B l/ 2 FVB FHB C F
y
F HA
F1 A
三铰拱
2 1.75 0.75 36º 0.600 0.800 5 12 -10.5 1.5 52´
4 3.00 0.50 26º 0.447 0.894 3 20 -18.0 2 34´ 6 3.75 0.25 14º 0.234 0.970 1 24 -22.5 1.5 2´ 8 4.00 0 0 0 1 -1 24 -24.0 0
a2 P1 C D y f
b2 P2
特点：有四个支座反力VA 、 B HB HA A VB、HA、HB，求解时需要四个方 程。拱的整体有三个方程，此外 VB VA l1 l2 C铰增加一个静力平衡方程，即： l MC=0。四个方程可解四个未知量。 (a) 为比较方便，考虑同跨度、同荷载的简支梁，竖向荷 载下，简支梁没有水平反力，只有竖向反力VA0 和VB0 。而 VA0和VB0的求解是简单的。
yk = y x=4 = 3m，
sink = 0.447 ，
cosk = 0.894 。
M k 在 k点左右两侧不同，分为 M kz 和 M ky。
0 M kz＝ M kz - Hy k = -20 - 10 3 = -50 kN m（外拉） 0 M ky＝ M ky - Hy k = 60 - 10 3 = 30 kN m（内拉） 0 Q k = Q k cos k - H sin k = -5 0.894 - 10 0 .447 = -8.94 kN 0 N k = -Q k sin k - H cos k = 5 0.447 - 10 0.894 = -6.705 kN
0 A
q=1kN/m P=4kN y A C D x 8m 4m l=16m 4m B f =4m
H=
M 58 - 4 4 = = 6kN f 4
第4章 三铰拱与悬索结构
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第4章 章
第4 章
三铰拱与悬索结构
4.1 三铰拱的组成及受力特征 一、定义： 定义： 杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下， 杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反 力的结构。 力的结构。 二、特点： 特点： （1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 ）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重轻、跨度大。 ）用料省、自重轻、跨度大。 （3）可用抗压性能强的砖石材料。 ）可用抗压性能强的砖石材料。 （4）构造复杂，施工费用高。 ）构造复杂，施工费用高。
f B VB e1
ϕ
（2）计算拉杆轴力 通过铰C同时截断拉杆， 通过铰 同时截断拉杆，研究 同时截断拉杆 其右半部
拉杆（轴力 拉杆（轴力NAB） l/2 l/2 l
（3）计算拱身内力
∑M
C
=0:
N AB
0 MC = f
计算特点（ ）要考虑偏心矩e ，（b） 右半跨屋面倾角φ为定值 为定值。 计算特点（a）要考虑偏心矩 1，（ ）左、右半跨屋面倾角 为定值。
1 0 M 2 = M 2 − H y 2 = 115 × 1.5 − × 20 × 1.5 2 − 82.5 × 1.75 = 5.63kN ⋅ m 2 0 Q 2 = Q 2 cos φ 2 − H sin φ 2 = (115 − 20 × 1.5) × 0.707 − 82.5 × 0.707 = 8.84kN 0 N 2 = N 2 sin φ 2 + H cos φ 2 = (115 − 20 × 1.5) × 0.707 + 82.5 × 0.707 = 118.42kN
。
y=
STRUCTURAL MECHANICS
第4章 章
第4 章
三铰拱与悬索结构
4.1 三铰拱的组成及受力特征 一、定义： 定义： 杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下， 杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反 力的结构。 力的结构。 二、特点： 特点： （1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 ）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重轻、跨度大。 ）用料省、自重轻、跨度大。 （3）可用抗压性能强的砖石材料。 ）可用抗压性能强的砖石材料。 （4）构造复杂，施工费用高。 ）构造复杂，施工费用高。
f B VB e1
ϕ
（2）计算拉杆轴力 通过铰C同时截断拉杆， 通过铰 同时截断拉杆，研究 同时截断拉杆 其右半部
拉杆（轴力 拉杆（轴力NAB） l/2 l/2 l
（3）计算拱身内力
∑M
C
=0:
N AB
0 MC = f
计算特点（ ）要考虑偏心矩e ，（b） 右半跨屋面倾角φ为定值 为定值。 计算特点（a）要考虑偏心矩 1，（ ）左、右半跨屋面倾角 为定值。
1 0 M 2 = M 2 − H y 2 = 115 × 1.5 − × 20 × 1.5 2 − 82.5 × 1.75 = 5.63kN ⋅ m 2 0 Q 2 = Q 2 cos φ 2 − H sin φ 2 = (115 − 20 × 1.5) × 0.707 − 82.5 × 0.707 = 8.84kN 0 N 2 = N 2 sin φ 2 + H cos φ 2 = (115 − 20 × 1.5) × 0.707 + 82.5 × 0.707 = 118.42kN
。
y=
结构力学第4章 三铰拱
由上述的内力计算公式发现：
① 三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有关。 ② 由于推力的存在，拱的弯矩比简支代梁的弯矩要小 ③ 三铰拱在竖向荷载作用下存在轴向受压。
注意： 1）该组公式仅适合平拱, 且承受竖向荷载；
2） 拱轴切线倾角k在拱的左半跨取正，右半跨取负；
三、内力图 （1）画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。
概述 三铰拱的计算 三铰拱的合理拱轴线
教学内容：﹡
﹡ ﹡
拱结构在工程中的应用实例 赵州桥
拱桥 （无铰拱）
超静定拱
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克德尔桥)，约230年历史
1997年建成的重庆万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥，主拱圈 为钢管混凝土劲性骨架箱型混凝土结构，全长 856.12米，主跨420米，桥面宽 24米，为双向四车道，是世界最大跨径的混凝土拱桥。由重庆交通大学土木建 筑学院顾安邦教授主研完成,设计施工技术的研究成果获国家科技进步一等奖
甘肃灞陵桥，又名卧桥，在渭源县城南门外的清源河上，是一座古典纯木结 构伸臂曲拱型廊桥, 主跨：40米，始建于明洪武年间(公元1368-1398年)， 后被洪水冲毁。1919年仿兰州卧桥改建，被称为“渭水长虹”。
§4-1
一、梁与拱的关系 F
HA＝0 A
概
述
F
B
HA＝0 A
B
曲梁 F
拱：杆轴线为曲线，
两拱趾不在同一水平线上的拱因为简支梁的内力计算大家非常熟练所以在计算三铰拱平拱在竖向荷载作用下的内力时和同跨度同荷载的简支代梁对应起来以找出两者在支座反力计算内力计算方面的区别加以对比便于理解和记忆
基本要求：○ 了解拱结构的分类及特点。
建筑力学 第四章 三铰拱
0
P A
VA
q
C
f
HA
B
l1
l l1
HB
V VA cos K P cos K H sin K
VB
P
q
AK脱离体上所有的力沿截面 K的法线方向投影，可得：
N (VA P ) sin K H cos K V sin K H cos K
0
y
VA0
HA VA
A
B
VB
HB
1 8 4 4 12 VB V 16 5kN
0 B
1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
0 VA 0 MC 58 4 4 H 6kN () f 4
VB0
第四章 三铰拱
[例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。
第四章 三铰拱
二、梁与拱
P
HA＝0 A
P
HA＝0 A
B
B
P
拱：杆轴线为曲线，且 在竖向荷载作用下会产 生水平推力的结构。
HA≠0
A
B
第四章 三铰拱 拱--杆轴线为曲 线，在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。
FP
曲梁
三铰拱
第四章 三铰拱
三、拱常用的形式
y4fxlxl4kn1knm8m4m4m7kn5kn6kn6kn4kn1knm7kn5kn内力计算120447cos08944kn1knm8m4m4m7kn5kn6kn6kn4kn1knm7kn5kn一定义只限于三铰平拱受竖向荷载作用43合理拱轴使拱在给定荷载下所有截面弯矩为零时的拱轴线被称为与该荷载对应的合理拱轴线三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支代梁弯矩图的竖标成正比
P A
VA
q
C
f
HA
B
l1
l l1
HB
V VA cos K P cos K H sin K
VB
P
q
AK脱离体上所有的力沿截面 K的法线方向投影，可得：
N (VA P ) sin K H cos K V sin K H cos K
0
y
VA0
HA VA
A
B
VB
HB
1 8 4 4 12 VB V 16 5kN
0 B
1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
0 VA 0 MC 58 4 4 H 6kN () f 4
VB0
第四章 三铰拱
[例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。
第四章 三铰拱
二、梁与拱
P
HA＝0 A
P
HA＝0 A
B
B
P
拱：杆轴线为曲线，且 在竖向荷载作用下会产 生水平推力的结构。
HA≠0
A
B
第四章 三铰拱 拱--杆轴线为曲 线，在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。
FP
曲梁
三铰拱
第四章 三铰拱
三、拱常用的形式
y4fxlxl4kn1knm8m4m4m7kn5kn6kn6kn4kn1knm7kn5kn内力计算120447cos08944kn1knm8m4m4m7kn5kn6kn6kn4kn1knm7kn5kn一定义只限于三铰平拱受竖向荷载作用43合理拱轴使拱在给定荷载下所有截面弯矩为零时的拱轴线被称为与该荷载对应的合理拱轴线三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支代梁弯矩图的竖标成正比
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第四章 三铰拱
三、三铰拱的内力图
1.画三铰拱内力图的方法 描点法。
2.画三铰拱内力图的步骤 1）计算支座反力; 2）计算拱圈截面的内力（可以每隔一定水平距离取 一截面，也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）; 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。
注：
1）仍有V=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 2）M、V、N 图均不再为直线； 3）集中力作用处V 图将发生突变； 4）集中力偶作用处M 图将发生突变。
第四章 三铰拱
§4-1 概述 一、实例——拱桥
拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要承重构 件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。
赵州桥，建于隋大业(公元605-618)年间
第四章 三铰拱
世界上最古老的铸铁拱桥（1781年，英国科尔布鲁克 代尔桥)
第四章 三铰拱
万县长江大桥：主跨420米，桥面宽24米，世界上跨 度最大的混凝土拱桥
第四章 三铰拱
二、梁与拱
P
P
HA＝0 A
B HA＝0A
B
P
拱：杆轴线为曲线，且 在竖向荷载作用下会产 HA≠0 A 生水平推力的结构。
B
第四章 三铰拱
曲梁
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。
FP
拱--杆轴线为曲 线，在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。
三铰拱
第四章 三铰拱
三、拱常用的形式
第四章 三铰拱
二、三铰拱的内力
截面内弯矩要和竖向力及 水平力对K点构成的力矩
H
A
相平衡，设使下侧的纤维
受拉为正
MK 0
M (x) H y (VA x M KAP ) 0
括号内之值等于代梁上相 应K截面的弯矩，所以
M (x) VA x M KAP Hy
M 0 (x) Hy
H
三铰拱
两铰拱
பைடு நூலகம்无铰拱
静定拱 超静定拱
第四章 三铰拱
四、拱的有关概念
顶铰
拱轴线
平拱
拱趾铰
跨度
拱轴线 拱趾铰
拱（矢）高
斜拱
拉杆拱
第四章 三铰拱
§4-2 三铰拱的支座反力和内力
一、支反力
1、竖向反力
M A 0, VBl M ABP 0 H A
A
VB
Piai M ABP
l
l
VA
同跨度同荷载简支梁(代
q PC
A
VA
l1
f B
HB
l l1 VB
P
q
y
VA0 PV)(x
M(x
) N(x)
k
VB0
Ky
Ax
x
VA
第四章 三铰拱
二、三铰拱的内力
A面KK脱切离线体上上投所影有，的可力得在：截H A
q PC
f
A
B
HB
V (x) VA cosK P cosK H sinK VA l1
l l1 VB
(VA P) cosK H sinK
梁）的支座反力：
q PC
f B
HB
l1
l l1 VB
P
q
VB0
M ABP l
VA0
VB0
故得： VB VB0 带‘0’上标的量均为代梁对应的值
同理：
M B 0,
VA
M BAP l
且：VA VA0
第四章 三铰拱
2、水平反力
X 0, HA HB H
取AC段为脱离体，由： H A A
MC 0, Hf VAl1 MCAP 0 VA
P
q
V 0 cosK H sinK
AK脱离体上所有的力沿截
面K的法线方向投影，可得 N：(x) (VA P) sinK H cosK
y
VA0 PV)(x
M(x
) N(x)
k
Ky
VB0
V 0 sinK H cosK
H Ax
x
VA
第四章 三铰拱
VA VA0
M (x) M 0 (x) Hy
第四章 三铰拱
第四章 三铰拱
教学内容： 三铰拱的支座反力和内力，合理拱轴。
教学要求： 1、了解静定拱的合理拱轴线的概念； 2、理解静定拱的基本概念及基本特点； 3、掌握静定拱的反力及内力计算。
重点：静定拱反力、内力的计算。 难点：静定拱的内力计算。
第四章 三铰拱
第四章 三铰拱
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 §4-3 压力线与合理拱轴
得：H
1 f
(VA
l1
M CAP )
M
0 C
f
P
q PC
f B
HB
l1
l l1 VB
P
q
在12））竖支竖H向A座向荷反支载A力座作与反用拱力下轴与，线拱三C形高铰V状无拱C 无关H的关。C支，座而反与力三有V个A0如铰下的特位点置：有关。
VB0
3）当荷载和V跨A 度固定时，拱的水平反力H与拱高 f 成反比，即拱高 f 越大，水平反力H越小，反之，拱高 f 越小，水平反力H越大。
cos
1 1 ( y ')2 ,
sin y 'cos
(4 7)
其中，cos为 正值， si的n正负取决于 的符y号' 。
第四章 三铰拱
三铰拱受力特点:
（1）在竖向荷载作用下有水平反力H; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多; （3）拱内有较大的轴向压力N。
拱比梁能更有效的发挥材料作用，适用于较大跨度和较 重的荷载。由于主要受压，便于利用抗压性能好而抗拉性 能差的材料（砖、石、混凝土等)。但基础承受推力，所以 三铰拱的基础比梁的基础要大（桥梁），或需使用拉杆拱 （屋顶）。
支反力：VB VB0
H
M
0 C
f
K截面内力：V V 0 cosK H sin K N V 0 sin K H cosK
公式（4-1）—（4-6）中：
VA0
,VB0 ,
M
0 C
,
M
0 ,V
0
分别表示相应简支代梁的支反力和对 应截面的内力。在计算时，应代入相
应的正、负号。
M 0 (x) 以下侧受拉为正；V 0以使脱离体顺时针转为正。
第四章 三铰拱
[例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。
4m
1kN/m
解: (1) 反力计算
y ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN
VA
VA0
44
1 8 12 16
7kN
HA
A
C
y(x)
4f l2
D x(l x)
x
B
HB
VB
VB0
18 4 16
4 12
VA
8m
1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4m
4m VB
4kN
5kN
H
M
0 C
58 4 4
VA0 6kN ()
VB0
f
4
第四章 三铰拱
[例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。
4m
(2) 内力计算 D截面几何参数
xD 12m 4f
yD l2 x(l x)
y
6kN 7kN
1kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN
C
A
y(x)
4f l2
D x(l x)