高斯消去法与矩阵的初等变换

高斯消去法与矩阵的初等行变换

刘智永

一、 教学目标：

1） 使学生会用高斯消去法求解线性方程组

2） 使学生熟练矩阵的初等行变换、会化阶梯型矩阵

3） 使学生明白高斯消去法与矩阵初等行变换之间的内在联系

二、 教学方法：板书讲授

三、 教学用时：20分钟

四、 教学过程：

1.高斯消去法

求解下面线性方程组

注：1）求解n X n 阶线性方程组，高斯消去法的工作量是 0 （斤）o 例如求解一个

100万阶的方程组，高斯消去法的工作量为 0 （108）, 在一台每秒进行

1010次浮点运算的计算机上，需要 >3年的时间。

2 ）虽然高斯消去法有很大工作量，但今天仍得到广泛使用，例如它是超 级计算机

性能测评的一个重要基准（benchmark ）。在这个测评基准下中 国的天河2

号超级计算机连续3次排名全球第一，2014年12月的测 评基准已改变为共

轭梯度法。 2.矩阵的初等行变换

在高斯消去法中，加减乘除运算只与系数和右端项有关，与未知数无关。简

单地， 我们可以将线性方程组写成下面增广矩阵 (augme nted matrix)的形式 1 1 1 1 1111 1 1 1 1

[1 2 2 2]?

[0111] ? [0 1 1 1] 1 -13 0 0 -2 2 -1 0 0 4 1

当把线性方程组写成增广矩阵的形式以后，高斯消去法就表现为对增广矩阵 进行的初等行变换：将某一行的非零常数倍加到别的行；给某一行乘上非零常数 倍；交换两行的位置。

注：1） 上面最右端的矩阵被称为阶梯型（echelon form ）矩阵。

这里详细解说阶梯型矩阵的特征（零元在下、行首元非零、下行缩进）！

2 ）上面的箭头不能写成？'='或者？ 等。（学生书写容易出错处！）

五、教学总结：

1）用高斯消去法求解线性方程组，以及对增广矩阵做初等行变换是两个完 全一致的过程。但后者的出现，大大减少了高斯消去法书写上的困难。

2）这些内容也是后面学习矩阵的秩和逆矩阵的重要基础

x 1 + x 2 + x 3 =1 {x 1 + 2x 2 + 2X 3 = 2 X i - X 2 + 3x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 =1 { x + X 3 = 1 -2x 2 + 2x 3 = -1

x 1 + { X 2 + x 3 = 1 x + X 3 4x