圆轴剪切与扭转变形
圆轴的扭转变形
M 2 . 87 kN m T 2
M 1 . 59 kN m T 3
2019/2/15
17
四、扭矩与扭转变形dΦ /dx之间的关系
d 2 M G dA 可得 T dxA 式中的积分称为横截面的极惯性矩，用IP表示， 它也是一个只与截面尺寸有关的量。
这样上式便可 M GI d 或 T P 写成： dx
所以在截面上各对对应点间就会发生沿圆周弧 线的相对错动，其错动量大小与所讨论的点到 形心的距离有关。
就圆周上的点B、C而言，其错动量为RdΦ
于是B点角应变就是：
c c d R dx dx
10
2019/2/15
以截面上距圆心为ρ
应变为：
处的E点为研究对象，其角 c d c dx dx
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θ ：轴的单位长度扭转角
MT l G IP M T rad /m G IP
M 180 0 /m G IP
2019/2/15 24
§5-4
扭转的强度条件与刚度条件
一、圆轴扭转时的强度条件
MT max W
一般对于塑性材料： 0 . 5 0 . 6
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d 由 M G dA 及 T A dx
d M T dx GI P
18
五、扭矩剪应力的计算公式
IP 由于R和截面的极惯性矩IP都只与截面几何尺寸
P
d d M T G 将 代入 dx dx GI P MT MT R max 可得 且 I
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32
解：（1）根据扭矩计算法则，算出各段轴所传 递的扭矩，并作扭矩图。
力学基础-(七) 圆轴扭转变形
13
任务七 圆轴扭转变形
圆轴扭转变形的强度计算
应用举例 例7-3某汽车的传动轴AB由45号无缝钢管制成。轴外径D=90mm，壁厚
t=2.5mm，传递最大力矩M=1.5 kN · m， []=60MPa。试：1）校核轴 的强度，2）若改用同材料实心轴，要求和原轴强度相同，试设计其直径D1。
任意截面的扭矩T(x)，等于截面一侧(左段或
右段)轴段上所有外力偶矩的代数和。 7
任务二 平面汇交力系
任务七 圆轴扭转变形
7.2 圆轴扭转变形的强度计算
8
任务七 圆轴扭转变形
圆轴扭转变形的强度计算
1.圆轴扭转应力
（1）实验观察 在圆轴表面刻划出纵向线和圆周线。观察到如下现象：
1）各圆周线-形状、大小及间距 不变，分别绕轴线转动了不同的角度。
Tl
式中 GIP称为圆轴的抗扭刚度。
GI
16
任务七 圆轴扭转变形
圆轴扭转变形的刚度计算
2.刚度计算
相对扭转角 —单位轴长的扭转角 T
l GI
刚度准则— 圆轴扭转时，既要满足强度准则，还要求不产生过大的变形。
即最大ad/m)
不超过许用扭转角。得
max
，其切应力公式为:
T
I
最大切应力发生在截面圆周边缘处，即=D/2时，其值
max
T
D/2 I
T W
W称为抗扭截面系数
11
任务七 圆轴扭转变形
2.极惯性矩和抗扭截面系数
圆轴扭转变形的强度计算
（1）实心圆截面 设直径为D，则
I
D4
32
0.1D4
W
I D/2
D3
16
圆截面轴的扭转应力与变形PPT学习教案
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
第30页/共48页
31
3. 减小应力集中 在截面尺寸突变或急剧改变处，会产 生应力 集中， 因此在 阶梯轴 交界处 ，宜配 置适当 尺寸过 度圆角 以减小 应力集 中。
M
截面尺寸 突变
M
M
配置过渡 圆角
第31页/共48页
32
M
§4-5 圆轴扭转变形与刚度计算
一、圆轴扭转变形公式
S 4
D
4S
12
第22页/共48页
23
实心圆
4S
D0
4S
空心圆
D 1 2
实心圆
Wp
D03 16
S
空心圆
Wp
4 D0
Wp S (1 2 )D
4
1 W
p
12
Wp 12
？
第23页/共48页
第24页/共48页
例：画横 截面扭 转切应 力分布 示意图 。
R1
R2
G1
G2
T
组合轴
(G2 G1 )
a、根据强度条件
D1 3
16Tmax 14
38.982mm
4
b、根据刚度条件
D2
32Tmax
39.943mm
G 1 4
取
D 40mm
第43页/共48页
44
A
m
B
l
（3）所设计的空心与实心轴重量比
(d 31, D 40)
1 D2 1 2
4 1 d2l
第9页/共48页
（1）外 部变形 情况（ 试验观 测）
圆周线上 的点
圆周线： 纵向线 表面上矩形网格：
第三节圆轴剪切与扭转变形_化工设备机械类
12
挤压面积的计算
d
挤压力
t Fbs
Abs=td
bs
Fbs Abs
计算挤压面
①挤压面为平面，计算挤压面就是该面
②挤压面为弧面，取受力面对半径的投 影面
13
§3-1 剪切与挤压
§3.1.3 剪切与挤压强度计算
剪应力强度条件： FS
A
挤压强度条件：
bs
Fbs Abs
bs
塑性材料： 0.6 0.8 bs 1.7 2
脆性材料： 0.8 1.0 bs 0.9 1.5
14
§3-1 剪切与挤压
§3.1.3 剪切与挤压强度计算
A
A向
B向
B
注意：实际挤压面 是半圆柱
剪力FS
挤压力Fbs 剪力作用 面积
挤压力计算 面 积 Abs
剪应力 — 1、计算面积是剪力的真实作用区
2、名义剪应力是真实的平均剪应力
挤压应力 — 1、计算面积不一定是挤压力真实作用区 2、名义挤压应力不一定是平均挤压应力
m1
m4
n
A
B
C
D
T
– –
4.78
6.37
x
9.56
38
§3.2.3 扭转时内力的计算
39
§3-3 圆轴扭转时的应力
•分析圆轴扭转时的应力需要考虑三方面的关系：一是 变形几何关系；二是应力应变关系；三是静力学关系。 一、利用几何关系求剪应变分布规律
1、实验观察和假设推论
40
41
实验现象：
（1）各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无 变化，只是绕轴线转了不同的角度； （2）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同 一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。
第08章剪切和扭转
得
M x2 M x1
GI p2
GI p1
解得：
I p1
32
(d 4
d4 )
I p2
M x1 M x2
d d 4 1 M x1 0.08m 8cm M x2
8-6圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
（一）强度条件
受扭圆轴破坏的标志： 塑性材料：在试样表面的横向和纵向出现滑移线，
工程中常见受剪切连接构件
铆钉
（a）
焊缝
（c）
图3−2
销钉 （b） Me
键
轴 轮 （d）
8-2连接接头的强度计算
铆钉结构强度计算，其破坏断； （2）铆钉与钢板之间的挤压破坏； （3）钢板沿被削弱了的横截面被拉断。
剪切及挤压破坏
F
F
m m
解：1.确定铆钉数目N
P
每个铆钉所受剪力 Q=P/N P
每个铆钉所受挤压力Pbe=P/N
先按剪切强度条件确定N 再按挤压强度条件确定N
Q A
P/N
d2 /4
N
4P
d 2
3.64(个)
be
Pbe Abe
P/N td
be
N
td
P
be
2.5(个)
t
t
60
功率 时间
角速度
每分钟 的转数
M 60P(KW ) 9.549 P (KN m)
2n(r / min)
n
传动装置
8-4 扭矩的计算&扭矩图
圆轴扭转的受力特点和变形特点
圆轴扭转的受力特点和变形特点
圆轴在受到扭矩作用时，其受力特点和变形特点与直轴不同。
下面我们来详细探讨一下圆轴扭转的受力特点和变形特点。
一、受力特点
在圆轴扭转过程中，受到的力主要是扭矩。
扭矩是使物体产生转动的力，其大小可以用公式T=FT*d来计算，其中T是扭矩，F是力，T是距离，d是轴的直径。
在圆轴扭转时，扭矩会使圆轴上的横截面产生剪切应力，剪切应力的大小与扭矩成正比。
二、变形特点
圆轴在受到扭矩作用时，会产生扭转变形。
这种变形主要表现为圆轴的各个横截面发生相对转动。
在圆轴扭转时，横截面之间的距离保持不变，因此不会出现拉伸或压缩变形。
同时，由于圆轴的刚度较大，所以扭转变形量相对较小。
三、影响圆轴扭转的因素
圆轴的扭转性能受到多种因素的影响，包括材料性质、截面形状、尺寸和边界条件等。
例如，圆轴的材料强度越高，其抵抗扭矩的能力就越强；截面形状和尺寸也会影响圆轴的扭转性能；边界条件如支撑条件和固定方式也会对圆轴的扭转性能产生影响。
四、圆轴扭转的应用
圆轴的扭转性能在机械工程中有着广泛的应用。
例如，在汽车和自行车中，车轴就是一种圆轴，它们需要承受来自轮子和车轮的扭矩。
在设计这些车轴时，需要考虑其受力特点和变形特点，以确保其具有足够的强度和刚度。
此外，在建筑工程和桥梁工程中，钢结构和钢筋混凝土结构的连接节点也需要利用圆轴的扭转性能来传递力和转矩。
09圆轴扭转时的变形、应变能
B
b
e
A
a
c
d
ae. 因各条纵向纤维的应变相等，所以上边纤维长，伸长量也大。
2、图示直杆，其抗拉刚度为EA，试 求杆件的轴向变形△L，B点的位移
δB和C点的位移δC
A L
F
F
δB
=
∆LAB
=
FL EA
B
C
L
δC
=
δB
=
FL EA
3、塑性材料冷作硬化后，材料的力学性能 发生了变化。试判断以下结论哪一个是正确 的： （A）屈服应力提高，弹性模量降低； （B）屈服应力提高，塑性降低； （C）屈服应力不变，弹性模量不变； （D）屈服应力不变，塑性不变。 正确答案是（ B ）
lAB
A
lAC
ϕCA C
纯剪切应力状态下的应变能密度( τ ≤ τ p )
y
τ
dz γ dτ'
aτ
τ
dy
τp
O
b
τ' c
x
z
dx
O
γ
dW = 1 (τ d y d z)(γ d x)= 1τγ (d x d y d z)
vε
=
dVε dV2 = dWdV=1τγ2
(d
x
d
y
d
z
2
)
=
1
τγ
dxd ydz 2
例题4-4
例题4-5
传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率 P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。 已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。
圆轴的扭转变形与刚度条件
第五节圆轴的扭转变形与刚度条件一、圆周的扭转变形圆轴受扭转时，除了考虑强度条件外，有时还要满足刚度条件。
例如机床的主轴，若扭转变形太大，就会引起剧烈的振动，影响加工工件的质量。
因此还需对轴的扭转变形有所限制。
轴受扭转作用时所产生的变形，是用两横截面之间的相对扭转角ϕ表示的，如下图所示。
由于γ角与ϕ角对应同一段弧长，故有ϕ·R = γ·l (a)式中的R是轴的半径，由剪切虎克定律，τ=G·γ，所以可得ϕ=τ·l/ (G·γ)(b)式中τ=M·R/ Jρ，代入(b)得：ϕ=M·l/ (G·Jρ)(1-46)公式(1-46)是截面A、B之间的相对扭转角计算公式，ϕ的单位是rad。
两截面间的相对扭转角与两截面间的距离l成正比，为了便于比较，工程上一般都用单位轴长上的扭转角θ表示扭转变形的大小：θ=ϕ/ l=M/ (G·Jρ)(1-47)θ的单位是rad/m。
如果扭矩的单位是N·m，G的单位MP a，Jρ的单位m4。
但是工程实际中规定的许用单位扭转角[θ]是以°/m 为单位的，则公式(1-47)可改写为：(1-48)式中G·Jρ称为轴的抗扭刚度，取决于轴的材料与截面的形状与尺寸。
轴的G·Jρ值越大，则扭转角θ越小，表明抗扭转变形的能力越强。
二、扭转的刚度条件圆轴受扭转时如果变形过大，就会影响轴的正常工作。
轴的扭转变形用许用扭转角[θ]来加以限制，其单位为°/m，其数值的大小根据载荷性质、工作条件等确定。
在一般传动和搅拌轴的计算中，可选取[θ]=0.5°/m～10°/m。
由此得出轴的扭转刚度条件：θ=M/ (G·Jρ)·(180/ π)≤[θ](1-49)圆轴设计时，一般要求既满足强度条件(1-45)，又要满足刚度条件(1-49)。
材料力学之四大基本变形
WZ
IZ ymax
一、变形几何关系
( y)d d y
d
d
y
z
y
dx
y
CL8TU3-2
bh3
bh2
I Z 12 , WZ 6
d4
I Z 64
d3
, WZ 32
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
（1）求支座反力
M A 0, M 0 RBl 0 M B 0, RAl M 0 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
RB
M0 l
RA
M0 l
AC段 :
Q1
RA
M0 l
M1
RA x
M0 l
x
(0 x a)
CB段 :
Q2
返回
例3-1: 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率NB= 10KW，A、 C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
先计算外力偶矩
A
B
C x
mA
9550
NA n
9550 4 500
76.4Nm
mB
9550 NB n
9550 10 500
四大基本变形复习
1.轴向拉伸与压缩 2.剪切 3.扭转 4.弯曲
1.轴向拉压
受力特征：受一对等值、反向的纵向力，力的作用线与杆轴线 重合。 变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动
第10章 剪切和扭转讲解
等。）
解：受力分析如图
P
P
Fs F P 4
t
b
t
P
123
P
P
d
P/4
123
切应力和挤压应力的强度条件
t Fs P 110 107 136 .8MPa t
A d 2 3.14 1.62
s bs
F Abs
P 4td
110 107 411.6
171.9MPa sbs
23
外力特点：平衡力偶系作用在垂直于杆轴线的
平面内.
变形特点：各横截面绕杆轴线作相对转动。
24
任意两截面间相对转动的角度——扭转角, 如 ； 杆的纵线也转过一角度γ——剪切角。
以扭转变形为主要变形的受力杆件——轴.
圆形截面的扭转构件——圆轴.
工程实例:。 机器中的传动轴;。
地质勘探中的钻杆等。
Me
B
T图
31
例 10-3 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮 输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
32
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
M3 2 M1
3
M4
§10-3 扭转的概念与工程实例
一、引例 F
F
二、概念
M
作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作
用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会
发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用
建筑力学 项目六 学习剪切和扭转
（a）
的内力必为一力偶。此力偶的力偶矩称为扭矩，
m
Me
m
以符号T 表示。
T
n
m
（b）
列平衡方程
m
Me
T n
（c）
m
得
扭矩的单位与力偶矩的单位相同，常用单位为牛米（N·m）和千牛米（kN·m）
项目六 学习剪切和扭转
对扭矩T的正负号作如下规定：按右手螺旋法则，将右手四指弯曲方向与扭矩转 向一致，拇指指向与横截面外法线方向一致时，扭矩取正号；反之，取负号。
d
t
项目六 学习剪切和扭转
为了保证构件在工作中不发生挤压破坏，构件必须满足挤压强度条件
上式称为挤压的强度条件
项目六 学习剪切和扭转
例题
F
F
F
F
解 （1）校核铆钉的剪切强度 每个铆钉所受的剪力为
切应力为 该铆钉满足剪切强度
项目六 学习剪切和扭转
F
F
F
F
（2）校核铆钉的挤压强度 每个铆钉承受的挤压力为
项目六 学习剪切和扭转
例题
M eB
M eA 1
M eC 2
M eD 3
1
2
3
B
C
D
A
M eB
解 （1）计算外力偶矩 1
B T11
n
M eB B
M eA
2
n T12
A
M eD
n
3 T3 3
（a） （b） （c） （d）
项目六 学习剪切和扭转
M eB
M eA 1
1 B
A M eB
1
B T11
n
M eC 2 2
MMeB eB BB
材料力学剪切和扭转
F
A
许用剪应力
上式称为剪切强度条件 其中，F 为剪切力——剪切面上内力旳合力
A 为剪切面面积
受剪切螺栓剪切面面积旳计算：
d 2
A 4
受剪切单键剪切面面积计算：
取单键下半部分进行分析
假设单键长宽高分别为 l b h
则受剪切单键剪切面面积：
剪切面
A bl
剪切力
d
l h b
合力 外力
螺栓和单键剪应力及强度计算：
P/2
积单倍
结论：不论用中间段还是左右段分析，成果是一样旳。
例2-1 图示拉杆，用四个直径相同旳铆钉连接，校核铆钉和拉 杆旳剪切强度。假设拉杆与铆钉旳材料相同，已知P=80KN， b=80mm，t=10mm，d=16mm，[τ]=100MPa，[σ]=160MPa。
构件受力和变形分析：
假设下板具有足够
例3-2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为 15、30、20kW，轴旳转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
TB
TC
TA
TD
B
C
955N·m
A
477.5N·m
Tn
637N·m
计算外力偶矩
D
TA
9550
NA n
1592N
•m
TB
TC
9550
NB n
477.5N
•
m
TD
9550
ND n
挤压面为上半个圆周面
键连接
上半部分挤压面
l
h 2
下半部分挤压面
2、挤压应力及强度计算
在挤压面上，单位面积上所具有旳挤压力称为挤
压应力。
bs
剪切与扭转变形.
L×L×h的基础上，求基础的τ。
FP
剪切面
FP
立柱
基础 h
p
p
L
解：地基对基础的约束反力集度p＝FP/L2 FQ=p(L2－a2)、剪切面面积A＝4ah
FP
L2 a2 4ahL2
例题 5： 已知：[σ]、[τ] 、[σbs]、D、t、d。求[FP]
解：1.由强度条件 ＝ N ＝ FP
10
A dA r T r AdA r 2 r T
T T Me 2 r 2 2A 2A
A：平均半径所作圆的面积。
例1：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管， 承受扭矩T=180 kN·m 。试求管中的最大剪应力， 使用：
(1)薄壁管的近似理论；
由上式解出：d=46.9mm。
空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：
A空 (D2 D 2t2 ) d 2 0.334 1
A实
4
4
3
同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，
故空心轴较实心轴合理。
应变
刚度
G
T
GI p
T d x
l GI p
若T const，则 Tl
GI p
解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一 倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为Ｔ1
由 D12 (1 0.52 ) 2 D2 (1 0.52 )得 D1 2
4 由
T1
4
T
D
[ ]
D13 (1 4 ) D3 (1 4 )
16
16
得T1
D1
3
23/ 2
2.828
A 2. 由剪切强度条件：
第六章 材料力学剪切与扭转
第六章
• • • • 6.1 6.2 6.3 6.4
剪切与扭转
剪切和挤压的实用计算 扭矩的概念 圆轴扭转的应力及强度计算 圆轴扭转时的变形及刚度计算
6.1 剪切和挤压的实用计算
6.1.1
剪切和挤压的概念
1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 螺栓 P
F /2 F /2 2 d A 4
d
2F
11.97(mm)
选取d=1 2mm。 3)校核销钉的挤压强度为
jy
F 150( MPa) jy Ajy
故选取d= 1 2mm，可以同时满足挤压和剪切强度的要求。
Fs 4 F 2 A d Fbs F bs Abs dh
6.2.3 扭矩和扭矩图
1. 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2. 截面法求扭矩
M
x
0
Me Me
T Me 0 T Me
3. 扭矩的符号规定：
Me
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
P4 25 M 4 9550 9550 1194 ( N .m) n 200
2) 计算各截面上的扭矩(分段应用截面法) 各截面上的扭矩假设为正值。
• • • •
• • •
①沿截面I—I截开，取左侧为研究对象[图 6．11(b)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T1+M2=0 T1=–M2=–9 5 5N· m ②沿截面Ⅱ一Ⅱ截开，取左侧为研究对象[图 6．11(c)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T2+M2一M1=0 T2=M1一M2=3 8 2 0—9 5 5=2 8 6 5N· m ③沿截面Ⅲ一Ⅲ截开，取右侧为研究对象[图 6．11(d)]，则根据平衡条件∑m=0，有
工程力学 第四版 第10章 扭转与剪切变形
结论：
1.扭转变形时，横截面的大小、形状及轴向间距不 变，说明圆筒纵向与横向均无变形，线应变为零，由胡 克定律可得横截面上正应力为零。
2.扭转变形时，相邻横截面间相对转动，截面上各 点相对错动，发生剪切变形，故横截面上有切应力，其 方向沿各点相对错动的方向，即与半径垂直。
圆筒表面上每个格子的直角也都改变了相同的角度
1 10
r0
（r0：为平均半径）
加力偶前： 在圆筒表面刻上一系列的纵向线和圆周线，从而形成
一系列的矩形格子。
扭转后：
1.各圆周线绕轴线发生了相对转动，但形状、大小 及相互之间的距离均无变化，且仍在原来的平面内。
2.所有的纵向线倾斜了同一微小角度 ，变为平行 的螺旋线。在小变形时，纵向线仍看作为直线。
D 2 16
空心圆轴
(D4 d 4 ) D4 (1 4 )
32D
32
IP (D4 d 4 ) D3 (1 4 )
D 2 16D
16
10.3.3 斜截面上的应力
y x
两相互垂直平面上的切应力数 值相等，且均指向(或背离)这两 平面的交线，称为切应力互等定 理。
BC段 CA段 AD段
T1 M2 7.16kN m
T2 M2 M3 14.32kN m T3 M4 9.55kN m
(3) 做扭矩图 由扭矩图可知，Tmax 发生在CA段内，其值为14.32kN.m。
10.3 圆轴扭矩时的应力与强度条件
10.3.1 薄壁圆筒的扭转应力
薄壁圆筒：壁厚
作用在传动轴上的外力偶往往有多个，因此，不同轴段上 的扭矩也各不相同。为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩的变 化情况，从而确定最大扭矩及其所在截面的位置，常需画出扭 矩随截面位置变化的函数图像，这种图像称为扭矩图。
圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动
圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生相
对转动
1.扭转角度分布：沿着杆件的轴线方向，各横截面相对于杆轴线发生
相对转动，即发生扭转角。
在较小的纵向位置x处，扭转角θ与x之间
的关系满足线性的关系，即θ∝x。
这表明扭转变形是沿杆件轴线方向均
匀分布的。
2.变形分布：由于扭转变形的存在，杆件的各横截面之间会发生相对
转动，因此各个截面之间存在一定的位移差，即由轴线到各点的距离发生
了变化。
在一个环形截面上，截面内的各点具有不同的位移，距离轴心越
远的点位移越大。
这种位移差随着距离轴心的增加而增加。
3.外观特点：当杆件的圆轴扭转时，可以观察到杆件表面发生了特征
性的变化。
沿着杆件轴线方向，杆件的表面呈现出螺旋状纹理或者所谓的
对角纹理。
这是由于杆件各横截面之间相对转动的结果。
4.扭转变形的比例：扭转变形的比例与杆件的材料性质和几何尺寸有关。
通常情况下，杆件的扭转变形与受到的扭矩成正比，材料的剪切模量
和几何尺寸成反比。
这意味着扭转刚度随着杆件截面积的增加和材料剪切
刚度的减小而增加。
总之，圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动，扭转角度沿着杆件的轴线方向均匀分布，各个截面之间存在位移差，杆件
表面呈现螺旋状纹理，扭转变形的比例与材料性质和几何尺寸有关。
圆轴扭转时的变形与刚度计算
圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算是机械工程中的一项重要内容。
圆轴扭转是指轴材受到扭矩作用产生的变形现象。
在圆轴扭转中，轴材会经历弹性变形和塑性变形。
弹性变形是指轴材在扭矩作用下恢复原状的变形，而塑性变形则是指超过轴材弹性限度后产生的永久变形。
圆轴扭转可通过弹性力学原理进行分析。
根据胡克定律，弹性体的应力与应变之间有线性关系。
对圆轴来说，变形主要体现为轴材的剪切变形。
剪切形变角度φ与应力τ之间的关系为：τ=G*φ其中，G是剪切模量，表示材料抵抗剪切变形的能力。
φ是单位长度的圆周上小弧δs扭转对应的形变角。
通过积分可得到实际的扭转角θ与应力之间的关系：τ=G*θ/L其中，L是轴材的长度。
对于圆轴来说，扭转力矩T与应力分布之间的关系为：T=τ*A其中，A是轴材的横截面积。
将τ带入等式可得到扭转角与扭转力矩之间的关系：T=G*θ*A/L从上述公式可知，轴材扭转角度与扭转力矩之间存在一线性关系，即扭转刚度k。
k=G*A/L通过上述公式，可以得到轴材的扭转刚度。
扭转刚度越大，则轴材对于扭转力矩的抵抗能力越强。
此外，圆轴扭转时的变形也与材料的断裂强度有关。
当扭转力矩超过材料的断裂强度时，轴材会发生塑性变形，产生永久变形。
在实际应用中，通常会根据所需要的刚度和工作条件来选择合适的轴材及其横截面积。
在计算中需要考虑到轴材的材料特性、几何形状和所受的载荷等因素。
此外，还可以通过模拟实验或数值计算的方法对扭转变形和刚度进行验证和评估。
总之，圆轴扭转时的变形与刚度计算是机械工程中的一项重要内容。
通过弹性力学原理，可以分析轴材在扭转力矩作用下的变形情况，并计算出轴材的扭转刚度。
这对于轴类零件的设计和工程应用具有重要意义。
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B向
是注 半意 圆： 柱实
际 挤 压 面
挤压力计算 面 积 Abs
• 剪应力 — 1、计算面积是剪力的真实作用区
2、名义剪应力是真实的平均剪应力
• 挤压应力 — 1、计算面积不一定是挤压力真实作用区 2、名义挤压应力不一定是平均挤压应16力
§3-1 剪切
FS F
A lb
bs
Fbs Abs
F cb
3.板和铆钉的挤压强度
bs
Fbs Abs
F
2d
50103 2 0.017 0.01
147106 147MPa [ bs ]
结论：强度足够。
20
§3-1 剪切
其它连接件的实用计算方法
焊缝剪切计算
l
有效剪切面
h
45
L
FS
FS
21
§3-1 剪切
四.剪应变 剪切胡克定律
G
其中，比例常数G 称为剪切弹性模量。常用单位GPa 22
§3-1 剪切
一、剪切的工程实例
1
§3-1 剪切
2
§3-1 剪切
铆钉连接
螺栓连接
销轴连接
3
§3-1 剪切
平键连接
4
5
6
简单典型 —— 1个螺栓、2个被联接的构件
FS FS
先研究螺栓的受力情况
7
FS
FS
螺栓受力特点
1、 横截面 mn, pq 上 有作用力 FS ——
象剪刀一样，试图把螺栓从该截面处剪开 称FS为剪力 (Shear force)，引起剪应力（ Shear stress) 2、杆段①、②、③ 受到被联接构件的挤压（Bearing)
有可能导致变形过大而失效（变成近似椭圆孔） 3、螺栓挤压，有可能把被联接构件端部豁开（一般将
端部设计得充分长，抵御豁开力，因而对此不计算）
10
11
为保证设计的安全, 必须对联接件、被联接构件 进行强度计算： 联接件 —— 剪应力，挤压应力 被联接构件—— 挤压应力
•剪应力、挤压应力的分布函数很复杂，需用有限元等 数值方法计算（如挤压应力属于接触问题）
§3-3 扭转时外力和内力的计算
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me .
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N.m)
W T 2 n
60
P
P
31
32
§3-3 扭转时外力和内力的计算
2.扭矩和扭矩图
33
§3-3 扭转时外力和内力的计算
17
§3-1 剪切
bs 2
FS A
4F
d 2
bs
Fbs Abs
F dh
为充分利用材
料，剪应力和挤压
应力应满足
F 2 4F
dh
d 2
d 8h
18
§3-1 剪切
d
Q
b
a
Q
例题3-1
图示接头，受轴向力F 作 用。已知F=50kN，b=150mm， δ=10mm，d=17mm，a=80mm， [σ]=160MPa，[τ]=120MPa， [σbs=320MPa，铆钉和板的材料
(1)计算外力偶矩公式
P/n
39
§3-3 扭转时外力和内力的计算
(2)计算扭矩
T1 T2 T3
(3) 扭矩图
40
§3-3 扭转时外力和内力的计算
41
§3-4 圆轴扭转时的应力
•分析圆轴扭转时的应力需要考虑三方面的关系：一是 变形几何关系；二是应力应变关系；三是静力学关系。 一、利用几何关系求剪应变分布规律
34
§3-3 扭转时外力和内力的计算
T = Me
35
§3-3 扭转时外力和内力的计算
T = Me
36
§3-3 扭转时外力和内力的计算
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
37
§3-3 扭转时外力和内力的计算
扭矩图
38
§3-3 扭转时外力和内力的计算
解:
bs
bs 常由实验方法确定
14
§3-1 剪切
剪应力强度条件： FS
A
挤压强度条件：
bs
Fbs Abs
bs
塑性材料： 0.6 0.8 bs 1.7 2
脆性材料： 0.8 1.0 bs 0.9 1.5
15
§3-1 剪切
A A向
B
剪力FS
挤压力Fbs 剪力作用 面积
§3-1 剪切
对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G 、μ存在关系
G E
2(1 )
表明3个常数只有2个是独立的
23
小结
1. 剪切变形的特点 2. 剪切实用计算 3. 挤压实用计算 4. 剪切胡克定理
24
§3-2 扭转的概念
一、概
汽车传动轴
25
述
§3-2 扭转的概念
汽车方向盘 26
27
P P
相同，试校核其强度。
解：1.板的拉伸强度
FN F A (b 2d )
50 103
(0.15 2 0.017) 0.01
43.1106 43.1MPa [ ]
19
§3-1 剪切
d
b
FS
a
FS
2.铆钉的剪切强度
FS A
4F 2πd 2
2F πd 2
2 50103 π 0.0172
110106 110MPa [ ]
P
m
m
FS
得剪应力计算公式： FS
A
FS m m
剪应力强度条件： FS
A
P 常由实验方法确定
13
§3-1 剪切
三、挤压的实用计算
假设应力在挤压面上是均
匀分布的
P
P
得实用挤压应力公式
bs
Fbs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbs
Fbs
*注意挤压面面积的计算
Fbs
Abs d
挤压强度条件： bs
Fbs Abs
T
T
28
§3-2 扭转的概念
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向 相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用 ,使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
29
§3-3 扭转时外力和内力的计算
一、外力偶矩的计算 直接计算
30
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
•为了方便工程，提出实用计算 —— 假定应力均匀分布，得到名义应力；本质算平均应力
12
§3-1 剪切
二、剪切的实用计算
P P
P
m
m
P
剪切受力特点：作用在构件两侧 面上的外力合力大小相等、方向 相反且作用线很近。
变形特点：位于两力之间的截面 发生相对错动。
假设剪应力在剪切面（m-m
截面）上是均匀分布的
引起挤压应力（Bearing stress)
8
基于螺栓的受力分析，容易预测出螺栓可能的失效形式
（1）在截面 mn, pq 处被剪断
（2）受挤压部分的半圆被“挤扁” （近似半椭圆） 照片中的螺栓产生了塑性变形，验证了情况 (2)
9
被联接构件受力特点
1、没有受剪力作用 2、同螺栓杆段①、②、③ 对应半圆孔受到螺栓挤压，
1、实验观察和假设推论
42
43
实验现象：
（1）各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无 变化，只是绕轴线转了不同的角度； （2）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同 一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。