复合函数的几个性质及其应用

复合函数的性质及其应用

有关函数的知识是高中数学的重要内容，也是高考及竞赛的重点、热点，同时也是难点。由几种初等函数复合而成的函数更因其概念抽象，综合程度较高，解题方法灵活，给教与学带来了一些困难，现行教科书上并未对其作系统介绍，本文拟讨论形如y=f[g(x)]的复合函数的几个性质及其应用。 复合函数的定义：一般地，若函数y=f(u)的定义域为P ，而函数u=g(x) 的定义域为M ，值域为C ，并且C 包含在P 内，那么对于M 内的每一个值x 经过中间变量u ，相应地得到唯一确定的一个值y ，于是y 经过中间变量u 而成为x 的函数，记为：y=f[g(x)]。这种函数称为复合函数。（函数u=g(x)的值不超过函数y=f(u)的定义域是极重要的）。y=f(u)叫做复合函数的外函数，u=g(x)叫做复合函数的内函数。

一、定义域 ：复合函数y=f[g(x)]的定义域是函数u=g(x)的定义域中使值属 于y=f(u)的定义域的部分。

例1， 设函数f(x)的定义域是[0，4]，求函数f(2x )的定义域 解：∵f(x)的定义域为[0，4] ∴0≤2x ≤4， 即-2≤x ≤2 ∴f(2x )的定义域为 [-2，2]

二、值域：求复合函数的值域时即要考虑内函数的值域又要兼顾外函数的定

义域。

例2 求函数)32(log 25.0+-=x x y 的值域

解：∵ 44)1(3222≥+--=+-x x x 又0322>+-x x

∴43202≤+-

又0.5＜1由x y 5.0log = 的单调性可知值域为 ),2[+∞-

三、复合函数的单调性。

性质：若y=f(u)，u=g(x)都是单调函数，则y=f[g(x)] 在它的定义域内也是单调函数。若y=f(u)为增函数，则y=f[g(x)]的增减性与u=g(x)的增减性相同，若y=f(u)为减函数则y=f[g(x)]的增减性与u=g(x)的增减性相反，在教学中可总结为“同则增，异则减”。

证明：若y=f(u)，u=g(x)都是增函数，在y=f[g(x)]定义域内任取21x x < 则

)()(21x g x g < 从而 )]([)]([21x g f x g f <]

这就证明了y=f[g(x)]为增函数。其他情况可仿此证明。

例3 讨论x y sin 2= x ∈R 的单调性

解：此函数是由u y 2=，u=sinx 复合而成的

因u y 2=在R 上为增函数

所以原函数的单调性与函数u=sinx 的单调性一致

可得函数x y sin 2=在]22,22[ππ

ππ

k k ++- )(Z k ∈ 上为增函数 在]22

3,22[ππππk k ++ )(Z k ∈上为减函数 例4 求函数 322+--=x x y 的单调区间 解法一：此函数是由u y =，322+--=x x u 复合而成的

由0322≥+--x x 得函数定义域为 [-3，1]

又因4)1(3222++-=+--=x x x u 在]1,(--∞上为增函数，

在),1[+∞-上为减函数

]1,(--∞∩[-3，1]=[-3，-1] ， ),1[+∞-∩[-3，1]=[-1，1]

由复合函数的性质可知原函数在 [-3，-1] 上为增函数，

在 [-1，1] 上为减函数。

一般地，求复合函数y=f[g(x)]单调区间，首先求函数的定义域再分别讨论y=f(u)及u=g(x)的单调性，最后确定y=f[g(x)]的单调区间，其代数运算往往较烦琐。函数图象是函数关系的一种直观语言，借助一些常用函数的图象求解单调区间，往往可避开繁杂的运算。

解法=（数形结合）：u y = 在),0[+∞上为增函数

4)1(3

222++-=+--=x x x u （如图）

由图可知原函数在 [-3，-1] 上为增函数，

在 [-1，1] 上为减函数

例4 设函数]12)23[(log )(22+---=k kx x k x f ，求使f(x)在（-∞ ,0）

内单调递减，而在（1, +∞）内单调递增的所有实数k 的取值。

解: 此函数是由u y 2log =，12)23()(2+---==k kx x k x g u 复合而成的 由于u y 2log =在（0, +∞）上是增函数，复合函数的单调性可知 则g(x)在（-∞, 0）内单调递减，而在（1, +∞）内单调递增

又由对数函数的定义域知，在（-∞, 0），（1, +∞）内g(x)＞0

故二次函数g(x) 的图象 ①开口向上，

② 对称轴属于 [0, 1]

③g(0)≥0，g(1)≥0（如图）

得： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥+-=≥+-=≤-≤>-045)1(0

1)0(1230023k g k g k k k 解得：0≤k ≤54

若y=f(x)具有单调性由复合函数单调性很容易得出以下结论：

1、y=f(x)与y=-f(x)的单调性相异;

2、若f(x)≠0则y=f(x)与)(1x f y =

的单调性相异; 3、若f(x)＞0则y=f(x)与)(x f y =

的单调性一致. 例5 讨论 21x x y +=

的单调性 解：∵21x x

y += 是奇函数

∴在(-∞, 0)与(0, +∞)上具有相同的单调性， 当x ＞0时

2111x y +

=

2x y = 递增 ⇒ 21x y =递减 ⇒211x y +=递减⇒21

11x y +=递

增。又f(0)=0，x ＞0时，f(x)＞0，x ＜0时f(x)＜0， ∴21x x

y += 在(-∞,+∞)上为增函数

此题如用单调性的定义判定将会很复杂。

四、复合函数y=f[g(x)]的周期性：

由周期函数的定义很容易得出，函数u=g(x)是R 上的周期函数时，u ∈M ，f(u) 在M 上有定义，则f[g(x)]也是R 上的周期函数。

（ f[g （x+T ）]= f[g(x)] ）

即：内函数为周期函数则复合函数为周期函数。

但外函数为周期函数时，复合函数未必是周期函数。

例y=lg （sinx ）在定义域内是周期函数，但y=sin(lgx) 不是周期函数