离散数学图论习题

第4章图论
综合练习
一、单项选择题
1．设L是n阶无向图G上的一条通路，则下面命题为假的是( )．
(A) L可以不是简单路径，而是基本路径
(B) L可以既是简单路径,又是基本路径
(C) L可以既不是简单路径，又不是基本路径
(D) L可以是简单路径，而不是基本路径
答案：A
2．下列定义正确的是( )．
(A) 含平行边或环的图称为多重图(B) 不含平行边或环的图称为简单图
(C) 含平行边和环的图称为多重图(D) 不含平行边和环的图称为简单图答案：D
3．以下结论正确是( )．
(A) 仅有一个孤立结点构成的图是零图
(B) 无向完全图K n每个结点的度数是n
(C) 有n(n>1)个孤立结点构成的图是平凡图
(D) 图中的基本回路都是简单回路
答案：D
4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )．
(A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)
答案：B
5．下列数组能构成简单图的是( )．
(A) (0,1,2,3) (B) (2,3,3,3) (C) (3,3,3,3) (D) (4,2,3,3)
答案：C
6．无向完全图K3的不同构的生成子图的个数为（）．
(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3
答案：C
7．n阶无向完全图K n中的边数为（）．
(A)
2)1
(+
n
n
(B)
2)1
(-
n
n
(C) n(D)n(n+1)
答案：B
8．以下命题正确的是( )．
(A) n(n1)阶完全图K n都是欧拉图
(B) n(n1)阶完全图K n都是哈密顿图
(C) 连通且满足m=n－1的图<V,E>(V=n,E=m)是树
(D) n(n5)阶完全图K n都是平面图
答案：C
10．下列结论不正确是( )．
(A) 无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不含奇数度结点
(B) 无向连通图G有欧拉路的充分必要条件是G最多有两个奇数度结点
(C) 有向连通图D是欧拉图的充分必要条件是D的每个结点的入度等于出度
(D) 有向连通图D 有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等于出度 答案：D
11．无向完全图K 4是（ ）．
（A ）欧拉图 （B ）哈密顿图 （C ）树 答案：B
12．有4个结点的非同构的无向树有 ( )个． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 答案：A
13．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．
(A) 1+-n m (B) m n - (C) 1++n m (D) 1+-m n 答案：A
14．设G 是有6个结点的完全图，从G 中删去( )条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15 答案：C
二、 填空题
1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列， 此命题的真值是 . 答案：0
2．无向完全图K 3的所有非同构生成子图有 个． 答案：4
3．设图G V ,E ，其中V n ,E m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m ． 答案：n －1
4．连通图G 是欧拉图的充分必要条件是 ． 答案：图G 无奇数度结点
5．连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答案：4
6．无向图G 为欧拉图，当且仅当G 是连通的，且G 中无 结点． 答案：奇数度
7．设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和 ，则
G 一定是哈密顿图．
答案：V ≥
8．如图1所示带权图中最小生成树的权是 ．
答案：12
三、化简解答题
1．设无向图G ＝<V ,E >，V ={v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，v 6}， E ={( v 1，v 2), ( v 2，v 2), ( v 4，v 5), ( v 3，v 4), ( v 1，v 3),
1 v 2
v 6 v 5 •
2 2
3 • 1 • 7 9 2
• 8 • 6 图1
( v 3，v 1), ( v 2，v 4)}． (1) 画出图G 的图形；
(2) 写出结点v 2, v 4，v 6的度数；
(3) 判断图G 是简单图还是多重图． 解：(1) 图G 的图形如图5所示．
(2) 0)deg(,3)deg(,4)deg(642===v v v ．
(3) 图G 是多重图．作图如图2. 2．设图G ＝<V ，E >，其中
V ＝{a ,b ,c ,d ,e }, E ={(a ,b ),(b ,c ),(c ,d ), (a ,e )}
试作出图G 的图形，并指出图G 是简单图还是多
重图？是连通图吗？说明理由.
解：图G 如图8所示．.
图G 中既无环，也无平行边，是简单图．
图G 是连通图．G 中任意两点都连通.
所以，图G 有9个结点．作图如图3．
四、计算题
1．设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．
解：设图G 有x 个结点，由握手定理
21+22+34+3（x 223）＝122 271821243=-+=x x ＝9 故图G 有9个结点．
满足该条件的简单无向图如图4所示
2．设图G (如图5表示)是6个结点a ,b ,c , d ,e ,f
的图，试求，图G 的最小生成树，并计算它的权．
解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用
克鲁斯克尔算法：
第一步： 取ab ＝1；第二步： 取af =4
第三步： 取fe ＝3；第四步： 取ad =9 第五步： 取bc =23
如图6．权为1+4+3+9+23=40
3．一棵树T 有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4度顶点， 问它有几片树叶？
解：设T 有n 顶点，则有n －1条边．T 中有2个 2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点， 其余n －2－1-3个1度顶 点．
由握手定理： 2·2+1·3+3·4+ (n －2－1-3)=2(n －1) 解得 n =15．于是T 有15-6=9片树叶
五、证明题
1．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．
a b e c d 图3 图4
b • 23 1
c • • a 4 • f 9 3
d • •
e 图6 b •
23 1 15
c • 25 •a 4 • f
28 9 16 3
d • 15 •
e 图5
证：用反证法．设G中的两个奇数度结点分别为u和v．假若u和v不连通．
即它们之间无任何通路，则G至少有两个连通分支G1，G2，且u和v分别属于G1和G2，于是G1和G2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u和v一定是连通的．。