第九章(方差分析)200900

120.55 100.66 115.7 6 90.30
120.49 110.31 103.56
6
102.77
81.20
138.54
四种温度下测量家兔的血糖浓度值(mmol/L)
温度 15 82.22 110.10 20 82.30 83.17 25 90.14 100.78 120.55 100.66 115.7 6 90.30 30 112.76 140.62 120.49 110.31 103.56
3.98
4.04 3.44
4.44
6.16 5.99
7.28
7.51 7.51
3.77
3.65 4.91 4.79 5.31 4.05 5.16
6.67
5.29 4.70 5.05 6.01 5.67 4.68
7.74
8.19 7.15 8.18 5.53 7.79 8.03
SS总
SS组间
SS误差
C
20
11
6
3
0
-1
4
5
9.1 方差分析(ANOVA) (analysis of variance)
用途：
比较k个总体均数间差别有无统 计学意义
基本思想：
将总变异按设计和需要分解成两 个或多个部分
例9.1
为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用， 某研究者进行了如下实验：
选取已做成贫血模型的大鼠36只，随机等 分为3组，每组12只，分别用三种不同的饲 料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大 豆饲料和含15%大豆饲料。喂养一周后， 测定大鼠红细胞数(×1012/L)，见表9.1。
MS组间
MS组间 F MS 误差
MS误差
处理效应和随
MS组间 F MS组内
机误差效应
随机误差
检验统计量F的确定
如果各样本均数来自同一总体，即 各组之间无差别，则组间变异与组 内变异均只反映随机误差，这时若 计算组间均方与组内均方的比值F 值应接近于1 。
MS组间 F MS组内
确定P值下结论
在正态总体方差齐的假定之下，当 H0成立时，检验统计量F服从自由 度
组间 ＝k－1， 组内 ＝N－k的F分布， 可根据附表4， F 界值表确定P值。
MS组间 F MS组内
服从自由度为(组间,组内 )的F分布。 若 F F ( 组间, 组内) , 则 P ，不 拒绝H0，尚不能认为各组总体均数 的差别有统计学意义。 若 F F ( 组间, 组内) , 则 P ，拒绝 H0 ，可以认为总体均数间有差别。
X A, X B , X C
SS组间 ni X i X
i


2
2 X ij j X ij / n ni i i j
2
组间 k - 1
组间变异： 三种喂养方式的样本 均数也大小不等，这种变异称为组 间变异。它含有处理效应和随机误 差效应两部分内容。
F0.01(2,32) 5.34
9.3 随机区组设计方差分析 (randomized block design)
随机区组设计的优点是每个
区组内的k个实验单位有较好的均
衡性，比完全随机设计更容易觉察
到处理间的差别。
例9.2 利用随机区组设计研究不 同温度对家兔血糖浓度的影响，某 研究者进行了如下实验：将24只家 兔按窝别配成6个区组，每组4只， 分别随机分配到温度15℃、20℃、 25℃、30℃的4个处理组中，测量 家兔的血糖浓度值(mmol/L)，结果 如下表9.4所示，分析4种温度下测 量家兔的血糖浓度值是否不同？
表9.2 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数 （1012/L)
普通饲料 4.78 4.65 3.98 4.04 10%大豆饲料 4.65 6.92 4.44 6.16 15%大豆饲料 6.80 5.91 7.28 7.51 合计
3.44
3.77 X 3.65 4.91 4.79
5.99
6.67 5.29 4.70 5.05
表 9.3 例 9.1 资料方差分析表
变异来源 总变异 组间变异 组内变异
SS
72.1639 52.1258 20.0381

35 2 33
MS
F
P
26.0629 0.6072
42.9231
<0.01
三、确定P值，作出统计推断
因F界值表(附表4)中 无33，在 保守原则下取不大于33且与与其最 近接者 =32，按 =2， =32，查表得： F0.05(2,32) 3.30 ，P<0.01，按 0.05 水准，拒绝H0，接受H1，差异有统 计学意义，可以认为喂养三种不同 饲料的大鼠红细胞数的总体均数不 全相同。
5
80.57
97.90 115. 103. 76 56 90.30 138.54
6
102.77
81.20
不同窝别家兔的血糖浓度值(mmol/L)
1 2 82.22 110.10 82.30 83.17 90.14 100.78 112.76 140.62
3 4 5
100.15 110.30 74.20 82.43 80.57 97.90
表9.4 四种温度下测量家兔的血糖浓度值 (mmol/L)
温度
窝别 1 2 3 4
15
82.22 110.10 100.15 74.20
20
82.30 83.17 110.30 82.43
25
90.14 100.78 120.55 100.66
30
112.76 140.62 120.49 110.31
组内变异
SS组内 X ij X i
i j


2
2 X ij 2 X ij ni i j
各处理组内部观察值也大小不等，
这种变异称为组内变异，可用各处
理组内部每个观察值与组均数的离
均差平方和表示，记为SS组内。
组内 n k
SS总
拒绝
SS组间
MS组间 P较小
F=MS组间/MS误差 F较大
F 1

SS误差
MS误差
不拒绝H0
9.2 完全随机设计方差分析
(completely randomized design)
单因素方差分析（one-way ANOVA）
例9.1
为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用，某研究 者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大 鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用 三种不同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、 含10%大豆饲料和含15%大豆饲料。喂养一周 后，测定大鼠红细胞数(×1012/L)，见表9.1.试 分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢复情况是 否不同？
例 2
某医师用A、B和C三种方案治疗婴 儿贫血患者，A方案为每公斤体重 每天口服2.5%的硫酸亚铁1ml，B 方案为口服2.5%的硫酸亚铁0.5ml， C方案为口服鸡肝粉1g。治疗一个 月后，记录血红蛋白的增加克数 (g/L)，资料下表。
三种方案治疗后血红蛋白增加量(g/L)
方案 A B 24 20 36 18 25 17 14 10 X 26 19 34 24 23
5.91
7.28 7.51 7.51 7.74 8.19 7.15
4.79
5.31 4.05
5.05
6.01 5.67
8.18
5.53 7.79
5.16
4.68
8.03
表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数（1012/L）
普通饲料 4.78 4.65 10%大豆饲料 4.65 6.92 15%大豆饲料 6.80 5.91
100.15 110.30 74.20 82.43 80.57 97.90
102.77
81.20
138.54
ss总 ss组间 ss组内
SS区组 区组变异 SS误差 测量误差等
变异的分解
总 处理 区组 误差
( N 1) (k 1) (b 1) (k 1)(b 1)
方
差
分 析
朱 彩 蓉
例 1
某医师用A、B两种方案治疗婴儿 贫血患者，A方案为每公斤体重每 天口服2.5%的硫酸亚铁1ml，B 方 案为口服2.5%的硫酸亚铁0.5ml。 治疗一个月后，记录血红蛋白的增 加克数(g/L),资料下表。
两种方案治疗后血红蛋白增加量(g/L)
方案 A B 24 20 36 18 25 17 14 10 X 26 19 34 24 23
H 0： ，即喂养三种不 同饲料的大鼠红细胞数相同 H 1： 不等或不全相等， 即喂养三种不同饲料的大鼠红细胞 数不全相同
0.05
二、计算统计量F值
c= (206.38)2/36 =1183.1307
SS总=ΣX2-C=1255.2946 – 1183.1307=72.1639
SS组间 =
SS组间 ni X i X
i


2
2 X ij j X ij / n ni i i j
2
各处理组的样本均数也大小不等， 这种变异称为组间变异，其大小可 用各组均数与总均数的离均差平方 和表示，记为SS组间 。
组间 k - 1
7.51
7.74 8.19 7.15 8.18
5.31
4.05 5.16 12 52.53 234.2783
6.01
5.67 4.68 12 66.23 373.2851
Hale Waihona Puke Baidu
5.53
7.79 8.03 12 87.62 647.7312 36 206.38 1255.294
一、建立假设检验，确定检验水准
i
X ij / ni C j
2
C X ij / n i j
2
52.532 66.232 87.622 ( ) 1183.1307 12 12 12
=52.1258
SS 组 内 = SS 总 - SS 52.1258=20.0381
SS组内
i j

2 X ij 2 2 X ij X i X ij ni i j

组内变异：各处理组内部的观察值 也大小不等，这种变异称为组内变 异。它包含随机误差（个体差异， 测量误差等）。
组内 n k
H0：1 2 3 方差分析思路
变异的分解
ss总 ss组间 ss组内
总 组间 组内
总变异
SS总 X ij X
i j


2
X X ij / n i j i j
2 ij
2
全部试验数据大小不等，这种变异 称为总变异，其大小可用观察值与 总均数的离均差平方和表示，记为 SS总
试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢 复情况是否不同？
表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数（1012/L）
普通饲料 10%大豆饲料 15%大豆饲料
4.78
4.65 3.98 4.04 3.44 3.77 3.65
4.65
6.92 4.44 6.16 5.99 6.67 5.29
6.80
5.91 7.28 7.51 7.51 7.74 8.19
4.91
4.79 5.31
4.70
5.05 6.01
7.15
8.18 5.53
4.05
5.16
5.67
4.68
7.79
8.03
36只大鼠的红细胞数（1012/L）
4.78 4.65 6.80
4.65
3.98 4.04 3.44 3.77 3.65 4.91
6.92
4.44 6.16 5.99 6.67 5.29 4.70
SS总= SS处理+ SS区组+ SS误差
配伍组设计方差分析具体步骤
表9.4 四种温度下测量家兔的血糖浓度值 (mmol/L)
窝别 1 2 3 4 5 6 温度(℃) 15 82.22 110.10 100.15 74.20 80.57 102.77 20 82.30 83.17 110.30 82.43 97.90 81.20 6 537.30 89.55 25 90.14 100.78 120.55 100.66 115.76 90.30 6 618.19 103.03 30 112.76 140.62 120.49 110.31 103.56 138.54 6 726.28 121.05 4 4 4 4 4 4
组 间
=
72.1639 –
ν总= n-1=36-1=35 ν组间=k-1=3-1=2 ν组内= n-k=36-3=33
MS组间=SS组间/ν组间= 52.1258 /2=26.0629
MS组内=SS组内/ν组内= 20.0381/33=0.6072
F=MS 组 间 / MS 组 内 = 26.0629 / 0.6072 =42.9231
总 n -1
SS总 X ij X
i j 2


2
X X / n
2
X X ij / n i j i j
2 ij
2
总 n 1
总变异：36只贫血大鼠贫血恢复情 况不同，这种变异称为总变异。
组间变异