例1求载流长直导线的磁场,已知
毕奥---萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
载流长直导线的磁场
A B = 9.273×1024 A m2
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋， 原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量， 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量， 电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。 电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
载流圆线圈轴线上的磁场
§11-3 毕奥 萨伐尔定律的应用 毕奥—萨伐尔定律的应用
1. 载流长直导线的磁场
设有长为L的 设有长为 的 载流直 导线， 通有电流I。 导线 ， 通有电流 。 计算 与 导 线垂 直 距离 为 d 的 p 点的磁感强度。 点的磁感强度 。 取 Z 轴沿 载流导线，如图所示。 载流导线，如图所示。
O
d
β1
β 2
P
dB
载流长直导线的磁场
0 I dl sin α B = ∫d B = ∫ L L4 π r2
由几何关系有： 由几何关系有：
I
sin α = cos β
l = d tan β
dl = d sec β d β
2
r = d sec β
dl
L
α
r
β
l
P β 0 I dl sin α d β B=∫ O 2 dB L4 π r 0 β I 0I = ∫β d cos β d β = 4πd (sin β2 sin β1) 4π
点位于导线延长线上， = (3)P点位于导线延长线上，B=0 点位于导线延长线上
O
d
β 2
P
dB
2. 载流圆线圈轴线上的磁场
设有圆形线圈L，半径为 ，通以电流I 设有圆形线圈 ，半径为R，通以电流 。
I dl
R
r
天津理工大学大学物理：稳恒磁场
毕奥——萨伐尔在经过大量的
实验的基础之上，经过分析之后指 出：对于载流导线上任一电流元Idl， 它在真空中某点P的磁感应强度dB的 大小与电流元的大小Idl和电流元到P 点的矢径r之间的夹角的正弦成正 比，并与电流元到P点的距离r的平 方成反比，即
Idl sin
dB k r2
9
dB
k
Idl sin
1
二 磁通量 磁场中的高斯定理
为了形象地反映磁场的分布情况，可以象在静电场中用电
力线表示电场的分布那样，用一些假想的曲线来表示磁场的分 布。我们知道给定磁场中的某一点，磁感应强度B的大小和方 向都是确定的，因此规定曲线上的每一点的切线方向就是该点 B的方向。而曲线的疏密程度则反映了该点附近B的大小，这样 的曲线就叫做磁力线（B线）。磁力线和电力线一样也是人为 地画出来的，并非磁场中真有这样一些线。
磁场与磁感应强度矢量
无论导线中的传导电流还是磁铁，本源都是一个即电荷的 运动。都可归结为运动的电荷之间的相互作用。这种相互作用 是通过磁场来传递的。电荷之间的磁相互作用与库仑相互作用 不同，无论电荷是静止还是运动，它们之间都存在着库仑相互 作用，但只有运动着的电荷才存在着磁相互作用。
为定量地描述电场的分布，曾引入电场强度矢量E的概念。 同样为描述磁场的分布情况，也需引入一矢量，这就是磁感应 强度矢量B，它和电场强度E是对应的。本来B应叫做磁场强度， 但是由于历史的原因，磁场强度这个词叫另一个矢量H占用了， 因此B只能叫磁感应强度了。
通过一有限大小曲面的磁通量m就等于通 过这些面积元ds上的磁通量dm的总和，即nຫໍສະໝຸດ m ds
m
B cosds
s
B
或
6.2_毕奥-萨伐尔定律
6.2 毕奥—萨伐尔定律一 毕奥—萨伐尔定律 (电流元在空间产生的磁场)第6章 稳恒磁场v Idlv dB4π r v v v μ0 Idl × r0 dB = 4π r2−7 −2 真空磁导率μ0 = 4π ×10 N ⋅ AdB =μ0 Idl sin θ2v dBP *v rθv IdlIv r任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度叠加原理v v v v μ0 I dl × r0 B = ∫ dB = ∫ 2 4π r6.2 毕奥—萨伐尔定律v v v μ0 Idl × r0 毕奥—萨伐尔定律 dB = 2 4π r1 8第6章 稳恒磁场例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.2dB = 0 1、5 点 ：3、7点 ：dB +3+7v IdlR6 5=μ 0 Id l4π R22、4、6、8 点 ：+4dB =μ 0 Idl4π R0 sin 45 26.2 毕奥—萨伐尔定律二 毕奥---萨伐尔定律应用举例第6章 稳恒磁场θ1、 θ2、 r0 例1 载流长直导线的磁场. 已知：真空中 I、zDθ2解dz θ vIzθ1rv dB* P yxor0dB = 2 4π r v dB 方向均沿r Ì任取电流元 Id z μ 0 Idz sin θ⊗Ì建立坐标系OXYCx 轴的负方向 μ0 Idz sinθ B = ∫ dB = ∫ 2 CD 4π r6.2 毕奥—萨伐尔定律Ì写出分量式第6章 稳恒磁场Idz sinθ B = ∫ dB = ∫ 2 CD 4π rÌ统一积分变量μ0zDθ2z = r0ctg(π −θ ) = −r0ctgθ ,dz θ vIzθ1rv dB* P yr = r0 / sinθxor0Cdz = r0dθ / sin θ μ 0 I sin θ dz B=∫ 2 4π r2=∫μ 0 sin 2 θ r0 d θ I sin θ 2 2 sin θ 4 π r06.2 毕奥—萨伐尔定律第6章 稳恒磁场B=μ0I4 π r0∫θθ21sin θ d θ =v B 的方向沿 x 轴的负方向.B=（cosθ1 − cosθ 2） 4π r0μ0 IzDθ2v B无限长载流长直导线的磁场.（cosθ1 − cosθ 2） 4π r0B=μ0 IIoxCθ1 → 0 θ2 →πμ0I2 π r0θ1P y+6.2 毕奥—萨伐尔定律无限长载流长直导线的磁场 I B第6章 稳恒磁场B=μ0I2π rIXB电流与磁感强度成右螺旋关系 半无限长载流长直导线的磁场π θ1 → 2 θ 2 →πBP =μ0I4π rIor* P6.2 毕奥—萨伐尔定律第6章 稳恒磁场例2 圆形载流导线的磁场. 真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆 电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.v Idlrv Bv dBp *oRϕv BI 解 根据对称性分析4π r B = Bx = ∫ dB sin ϕdB =μ 0 Id l2x6.2 毕奥—萨伐尔定律 v IdlR第6章 稳恒磁场rxoϕr 2 2 2 ϕ r =R +x α μ 0 I cos α dl *p x B= 4 π ∫l r 2v dBcosα = R4π r μ 0 I cos αdl dB x = 2 4π rdB =μ 0 Id l2B=B=μ0 IR4π r 2 μ0 IR2 23 0∫2π Rdl3（ 2 x + R ）26.2 毕奥—萨伐尔定律第6章 稳恒磁场IR ox*v BxB=B=μ0 IR22 2 3讨 论（ 2 x + R ）2 v v 2）x < 0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系） μ 0I B = 3）x = 0 2R 2 IR IS μ μ 0 0 4）x >> R ， B= B= 3 3 2x 2π x2 21）若线圈有 N 匝（ 2 x + R ）2 2 N μ 0 IR36.2 毕奥—萨伐尔定律 例：载流圆弧，已知 I , R , θ r 求： B 0 r r 解： B = ∫ dB r r μ 0 Idl sin( dl , r ) B = ∫ dB = 2 ∫ 4π R μ0 I Rθ μ0 Iθ = dl = 2 ∫ 4πR 0 4πR第6章 稳恒磁场 Iθ⊗ oR6.2 毕奥—萨伐尔定律(1） I （2 ） o+ （3） I R⊗第6章 稳恒磁场 （4）v R B x 0 μ0I o B0 = 2RI RBA =d （5） I *AR1• * oμ0 I4π d⊗B0 =μ0 I4RR2B0 =oμ0 I8RB0 =μ0 I4 R2−μ0 I4 R1−μ0 I4π R16.2 毕奥—萨伐尔定律(6)O•第6章 稳恒磁场B =IRμ0I8R•(7)R•OIμ0I + B = 4R 2π Rμ0I•(8)2π 3• OIRμ0I 3 (1 − B = + ) 6R 2π R 2⊗μ0I。
11、2毕萨定律及其应用
E 运动电荷除了产 r 生磁场外，还在其周 q B . 围激发电场。若电荷 v 运动速度远小于光速， 则空间一点的电场强度为： 1 q μ o q v× r 而B = E= r 3 r3 4 π π 4ε r
0
由上两式得：
B =μ ε v × E o 此式表明运动电荷激发的电场和磁场紧 结束 密相关。
0 IR 圆环 B 电流: 2( x 2 R 2 )3 2
（下一页）
电偶极子
q q Pe qr
1 pe E 3 20 r
延长线 上： 中垂面 上：
r
类 比
磁偶极子 I S
n
0 pm B 3 2r 0 pm B 3 4r
2
0 nI R csc d R 0 nId 3 3 2 R csc 2 csc
2 2
2 1
B dB
0 nId 0 nI 2 2 csc 2
2
1
sin d
0 nI cos 2 cos 1 2
返回
dB =
μ
I dl sin a r2 4π
o
μo
真空中的磁导率
μ o = 4π
× 10
7
( H . m 1 ) 或 ( 亨利.米 萨伐尔定律
×(
1
)
用矢量形式表示的毕奥 dB =
4π
μ o I dl
×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r3
4π
r
μ o I dl = r2 4π
×
r ) r
结束
返回
B =
μ o I dl
高二物理竞赛毕奥-萨伐尔定律应用举例PPT(课件)
由右手螺旋关系可知每个电流元在圆心处产生的磁感 强度的方向相同。
◆ 在载流圆线圈轴线以外的空间，其磁感强度的分 布大致如下图所示：
I
思考2：
I
R o
B0
x
B0
0I
2R
I R o
B0
0I
4R
I
R o
B0
0I
8R
BA
0I 4d
d *A
I
R1
R2
*o
B0
讨 (1) 若线圈有 N 匝
论 二
B
N 0IR 2
2（x2 R2）3/ 2
xP x
(2) x 0，B 的方向不变 ( I 和 B 成右螺旋关系）
(3) x 0 , B 0I 圆环形电流中心的磁场
2R
思考1：圆弧形电流在圆心处的磁场为多少？
B 0I 2R 2
方向
I
R
O
提示：将该平面载流线圈在圆心处产生的磁感强度看
(3) 半无限长螺线管
B 0nI
或由 1 , 2 0 代入
B
0nI
2
cos2
c os 1
1
,
2
2
B
1 2
0nI
I
1 2
0
nI
B 0nI
O
x
磁感应线的绕向与电流满足右螺旋定则
在沿电流方向的延长线上任一点处，
引入磁矩：
（与磁场方向一致）
例2 圆形载流导线的磁场。
例3 载流直螺线管轴上的磁场
毕奥－萨伐尔定律应用举例
R 载流直导线延长线上任一点的磁感强度为零。
例3 载流直螺线管轴上的磁场 提示：将该平面载流线圈在圆心处产生的磁感强度看成是由 设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度。 设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度。
例1求载流长直导线的磁场,已知
讨论：
B
0I 4r0
(cos1
cos 2 )
⑴ 无限长载流长直导线的磁场
1 0 2
I
I
B 0I
2π r
BX
电流与磁感强度成右螺旋关系
⑵ 半无限长载流长直导线的磁场
1
π 2
或 1 0
2 π
2
2
BP
0I
4π r
2
B o 1r0 +p
I
o r *P
例2. 圆电流轴线上的磁场。已知R和Ｉz
dB
z
2
)
3 2
2. z 0 B 0 I (圆心处)
2R
x
3. z R
B
0 IR 2
2z3
0 IS 2 z 3
4.一段圆弧导线圆心处的磁感强度
z
dBz
dB
p•
z r dB
0 R
y
Idl
B 0 I 0 I 2 0 I 2R 4 R 4 R
θ─圆弧所对圆心角，用弧度表示。
例3. 如图所示导线，已知Ｉ、R、θ=/4，求O点的
(R2
x2
3
)2
x Rctg dx R csc2 d R2 x2 R2 csc2
B
2 1
0
2
nI
sin
d
0 nI
2
(c os 2
cos1)
B
0nI
2
cos2
cos1
1
2
R
P
x
讨论：
（1）P点位于管内轴线中点
1
l
π
2
cos 1 cos 2
cos2
电磁学例题
房改房大锅饭大公国静电场中的导体:例题1如图，半径为的接地导体球附近有一个静止点电荷，它与球心相距为，求导体球表面上感应电荷。
解：点电荷在球心处的电势为设为球面上感应面电荷密度，在球面上各点不尽相同(注意：对一个孤立的带电球形导体而言，其电荷是均匀分布在球面上的，即面电荷密度处处相同。
而今，导体球处于点电荷的电场中，对球面上各点的感应电荷分布是不均匀的。
)为此，可先在球面上任取一面积元，其上的感应电荷为，它在球心点的电势为整个球面上的感应电荷在球心点的电势为显然，，上式成为而球心点的电势为与之代数和，且其和应等于零，即由此可得，导体球表面上的感应电荷q′为按题意，导体球接地，以地的电势为零，考虑到位于点电荷q的静电场中的导体是一个等势体，这样，球心的电势亦应为零；而球心的电势则等于点电荷q和球面上的感应电荷q′所激发的电场在点O的电势之代数和。
据此即可求出解。
2.如图，三块平行的金属板A、B和C，面积均为。
板A、B相距，板A、C相距，B、C 两板都接地。
如果使A板带正电，并略去边缘效应，问B板和C板的内、外表面上感应电荷各是多少? 以地的电势为零，问A板的电势为多大解: 按题意，可判断感应电荷的分布如图所示。
因为B、C两板接地，所以两板都带负电，且即(a)考虑到 , , , , 则(b)由式(a)、(b),可得或这里，, , 代入上式，便可算出两板内表面感应电荷分别为，由于 B、C 板接地，外表面感应电荷为零。
又由 , 且，带入上述数值可算得 A 板的电势为。
有介質的靜電場:例题1.在无限长电缆内，导体圆柱A和同轴导体圆柱壳B的半径分别为和(<)，单位长度所带电荷分别为+λ和-λ，内、外导体之间充满电容率为的均匀电介质。
求电介质中任一点的场强及内、外导体间的电势差。
解：取高斯面，它是半径为(<<)、长度为的同轴圆柱形闭合面。
左、右两底面与电位移的方向平行，其外法线方向皆与成夹角θ=π/2，故电位移通量为0；柱侧面与的方向垂直，其外法线与同方向，θ=0°通过侧面的电位移通量为cos0°(2π)。
11_4毕-萨定律
0
r
ϕ
v dB⊥ dB
p
dB =
µ 0 Idl
4 π r2
o
R
dBx dBx x
解 根据对称性分析
I
dB⊥
B⊥ = 0
Bx ≠ 0
B = B x= ∫ dB x = ∫ dB sin ϕ
11-4 毕-萨定律 萨定律
圆形载流导线轴线上的磁场. 轴线上的磁场 例2 圆形载流导线轴线上的磁场 µ 0 I sin ϕ d l B = ∫ dBx = ∫ dB sin ϕ = ∫ 2 4π r v cos α = sin ϕ = R Id l
d N = nS d l
v j
S
dl
11-4 毕-萨定律 萨定律
运动电荷的磁场 v v r v d B µ0 qv × er B= = d N 4 π r2 适用条件 v << c
q+
v v vθ v r ×B
−q
v r
θ
v v
v B
第十一章 恒定磁场
11-4 毕-萨定律 萨定律
(恒定磁场 恒定电流在空间产生的磁场 恒定磁场----恒定电流在空间产生的磁场) 恒定磁场 恒定电流在空间产生的磁场 毕奥－ 一 毕奥－萨伐尔定律 叠加思想 v r 电流元的 v µ0 Idl × er -------毕－萨定律 毕 dB = v 磁场强度 磁场强度 v 4 π r2 dB Id l
o
ω
11-4 毕-萨定律 萨定律
圆电流的磁场 ω dI = σ 2 π rdr = σω rdr 2π σ R µ0dI µ0σω dB = = dr o 2r 2 r µ 0σω R µ 0σω R dr B= ∫0 dr = 2 2 ω v v σ > 0, B 向外 σ < 0, B 向内 解法一
11-1磁感应强度 毕奥—萨伐尔定律
向定义为该点的 B 的方向.
Fmax
磁感强度大小 磁感强度方向： B 特定直线方向
Fmax qv
运动电荷在磁场中受力
v
q
+
B
F qv B
单位 特斯拉 1(T ) 1N/A m
§11-2 稳恒磁场
一 毕奥—萨伐尔定律
(电流元在空间产生的磁场)
Id l
R1
0 I
4π d
（2） R
o （3） I R o
B0
0 I
4R
R2
*o
B0
0 I
8R
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
练 ：
习
三 磁偶极矩 磁矩
m ISen
2
I S
例2中圆电流磁感强度公 式也可写成
en
m
B
0 IR
2x
3
0 m B en 3 2π x
（x R ）2 2
2 2 3
I
R o
x
*
B
x
B
B
0 IR
2
2 2 3
讨 论
（x R ）2 2 2）x 0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系） 0 I 圆环形电流 B 3）x 0 2 R 中心的磁场
2 2
1）若线圈有 N 匝
（x R ）2 2 2 N 0 IR
本章教学内容
11-1 稳恒磁场 11-2 毕奥-萨伐尔定律 11-3 磁通量 磁场的高斯定理
11-4 安培载流导线在磁场中所受的力 11-7 磁场对载流线圈的作用
毕奥-萨伐尔定律
同 学 们 好§11-2历史之旅：毕奥－萨伐尔定律1820 年4月: 丹麦物理学家奥斯特（1777～1851）发 现电流的磁效应。
“猛然打开了科学中一个黑暗领域的大门。
” ——法拉第历史之旅：1820 年8月: 法国物理学家阿拉果在瑞士得到消息，并于9月向 法国科学院介绍了奥斯特实验，引起极大反响。
1820年10月： 法国物理学家毕奥和沙伐尔发表《运动的电传递给金属 的磁化力》，提出直线电流对磁针作用的实验规律。
法国数学、物理学家拉普拉斯由实验规律推出载流线段 元（电流元）磁场公式。
毕奥和沙伐尔用实验验证了该 公式。
一 毕奥—萨伐尔定律 (电流元在空间产生的磁场)v Idlv dBv 电流元：IdlI d l sin α dB ∝ k 2 rv dBP *v rαv IdlIdB =µ0 Idl sin α4π r2−7v r−2真空磁导率 µ0 = 4π ×10 N ⋅ A方向v Idlv dBv v v µ0 Idl × r dB = 3 4π rv dBP *v rαv IdlIv r任意载流导线在点 P 处的磁感应强度 磁感强度叠加原理v v v v µ 0 I dl × r B = ∫ dB = ∫ 3 4π r试比较点电荷电场公式与电流元毕奥—萨伐尔定律r dE =1 dq v ⋅ 3 r 4 πε0 rr v r µ0 I d l × r ⋅ dB = 4π r3毕—萨定律：电流元产生磁场的规律, 与点电荷电场公式作用地位等价。
二 毕奥—萨伐尔定律的应用 求解电流磁场分布基本思路： 将电流视为 电流元的集合 电流元磁场公式 磁场叠加原理电流磁场分布1.载流长直导线的磁场 已知： I , a , α1 , α2 求：r B 分布r 解：取电流元 I d lµ 0 I d l sin α dB = 4π r 2lBIα2; 方向 ⊗r 各电流元在 P 点 d B同向µ 0 Idl sin α B = ∫ dB = ∫ 4πr 2 ABor I dlaαr rr dB ⊗P统一变量：l = − actgα a dα dl = sin 2α a r= sinαα1Aµ0I α B= ∫α sin α d α 4π a µ0I = (cos α 1 − cos α 2 ) 4π a2 1方向⊗µ0I B= (cos α 1 − cos α 2 ) 4π a方向 ⊗µ0I (cos α 1 − cos α 2 ) B= 讨论： 4π a α1 = 0 , α 2 = π (1)无限长直电流：Iµ0I B = 2π aIr B内密外疏(2)导线半无限长，场点与一端的连线垂 直于导线 µ0IB = 4π a(3)直导线及其延长线上点 r α = 0 或 π , dB = 0r B=02.载流圆线圈轴线上的磁场（I,R）r Id lRr rθr dBPr 解：在圆电流上取电流元 IdlxIoµ 0 I d l sin 90 o µ Id l dB = = 0 2 4π r 2 4π r方向如图各电流元在 P 点r IdlRr dB大小相等，方向不同，由对称性：zr dBr rθr dBPB⊥ = ∫ dB⊥ = 0yIoxr' dBPr Idl ′r IdlRr rθr dBPB = B// = ∫ dB sin θ =x2πR∫0µ0 Idl R 4πr 2 r23 2Ior' Id lr' dBµ0 IR = 4πr 32πR∫ dl = 2( R0µ 0 IR 22+x )方向 :+ x （右螺旋法则）轴线上r B=µ 0 IR 22( R 2 + x 2 )3 2r i讨论： （1） 定义电流的磁矩v v m = IS e nr Pmr nS : 电流所包围的面积规定正法线方向： 圆电流磁矩：r n与 I 指向成右旋关系v 2v m = Iπ R enSI圆电流轴线上磁场：r B=µ 0 IR 22( R + x )2 23 2r i =µ0 m2π ( R + x )2 23 2vr B=µ 0 IR 22( R + x )2 23 2r i =µ0 m2π ( R + x )2 23 2v（2）圆心处磁场x=0Nµ0 I B0 = ; N匝 : B0 = 2R 2R（3）在远离线圈处µ0 Ix >> R, x ≈ rµ 0 IS µ 0 IS B = = 3 2π x 2π r 3 v r µ0 m B = 3 2π r（4）画 B− x曲线 2 r r µ0 IR B= 3 i 2 2 2( R + x ) 2 练习：BoBo = ?xIRoR o⊗IB0 =µ0 I8R3µ 0 I µ 0 I B0 = + 8R 4π R⋅（1） I （2 ）v R B x 0 µ0I o B0 = 2RI R o+（4）BA =d （5） I *AR1µ0 I4π dB0 =µ0 I4RR2（3） I R o*oB0 =µ0 I8RB0 =µ0 I4 R2−µ0 I4 R1−µ0 I4π R1亥姆霍兹圈：两个完全相同的N匝共轴密绕短线圈，其 中心间距与线圈半径R相等，通同向平行等大电流 I。
毕奥-萨伐定律,高斯定理,运动电荷的磁场
B = dφm / ds⊥ dφm = Bds⊥ = Bds cosθ v v
v θds v
B
r r S :ϕm = ∫ dϕm = ∫ B⋅ dS S S
S闭合： 闭合： 说明
dϕm = B⋅ dS
ds⊥ ds
ds
θ
r B
r r ϕm = ∫ B⋅ dS
s
(1)标量： (1)标量： 标量
1特⋅ 米2 =1韦伯 wb) ( (2)单位 单位： (2)单位：
2
讨论
(1)当导线为无限长时： (1)当导线为无限长时： 当导线为无限长时
φ1 = 0,φ2 = π
µ0 I B= 2 r π
B r
磁力线形状： 磁力线形状：同心圆
(2)当导线为半无限长时： (2)当导线为半无限长时： 当导线为半无限长时
φ1 = 0,φ2 = π / 2
µ0 I B= 4 r π
--萨伐定律 §11-2 毕奥--萨伐定律 11- 毕奥-dq q
I
r r L E = ∫ dE
Idl
r r r B = ∫ dB
r r Idl : dB
一、毕奥--萨伐定律： 毕奥--萨伐定律： --萨伐定律
r 在空间任一点产生的磁场： Idl 在空间任一点产生的磁场：
(1)大小 dB ∝ (Idl sin φ) / r 大小
L 2 2 3/ 2
2 1
µ0ISndl
方向：沿轴， 方向：沿轴，和I符合右手螺旋法则。 符合右手螺旋法则。
讨论
(1)有限长直螺线管内的磁场不均匀。 (1)有限长直螺线管内的磁场不均匀。 有限长直螺线管内的磁场不均匀 (2)无限长：管内： (2)无限长：管内： 无限长
毕奥-萨伐尔定律和载流回路的磁场资料
0 IR2
2( R x )
2 3 2 2
载流圆线圈轴线上的磁场
0 IS B 2 ( R 2 x 2 ) 2( R 2 x 2 )
2
3 2
0 IR
3
2
讨论：
（1）在圆心处
x0
B
0I
2R
（2）在远离线圈处
载流线圈 的磁矩
x R, x r
0 B 2 0 B 2
载流长直导线的磁场
考虑三种情况：
0 I sin 2 sin 1 B 4d
1 2 2
2
(1)导线无限长，即
I
0 I B 2d 0 I B 4d
dl
L
r
(2) 导线半无限长，场点与一端 的连线垂直于导线
l
(3)P点位于导线延长线上，B=0
O
d
2 2 3/ 2
dB
0 R nI d l
2
载流圆线圈轴线上的磁场
l R cot
d l R csc d
2 2 2 2 2
1
A1
r
dB
p
2
R
A2
又 R l R csc
B L
0 R nI d l
2
l
dl
2( R l )
2
2 3/ 2
IS 0 IS 3 3 x 2 r pm r3
引入 pm ISen
(3) 载流圆弧
圆心角
0 I 0 I B 2 R 2 4R
B
I
例 如图所示，两根长直导线沿半径方向接到 粗细均匀的铁质圆环上的A和B两点，并与很 远处的电源相接， 试求环中心o点处的磁感应 强度． 解 三段直导线在圆心处 B 产生的磁场为零． 2 1 o 0 Idl r dB 3 A 4 r
[物理]2_毕沙定理
![[物理]2_毕沙定理](https://img.taocdn.com/s3/m/d3ee4cd804a1b0717fd5dd2d.png)
I
B
方向：右手螺旋法则
①将圆电流在轴线上的磁感应强度用磁矩表示
B
Байду номын сангаасμ0 IR 2
2( R x )
2 2 3 2
μ0 I R 2
2 ( R x )
2 2 3 2
μ0 IS
2 ( R x )
2 2 3 2
μ0 pm
2 ( R x )
2 2 3 2
当x >>R 时 μ0 pm B 2 x 3
a r ＝a csc Idl sin( ) sin
a
α
α1 r
y a cot( ) a cot
dy a csc d
2
dB
o
a
P
x
0 B dB 4
Idy sin 2 r L
y
α2
0 I a csc2 sin d 2 2 4 a csc L
电荷 密度 速率 截面积
ˆ 0 qv r 得： B 4 r 2
ˆ) dB 0 qv sin(v , r B1 dN 4 r2
─运动电荷产生的磁场
ˆ 0 qv r B 2 4 r
若 q0， B 与 v r 同向
B 与v r 反向 若 q0 ，
B
r
θ
B
无限长载流直导线的磁场: (因为 1 0 2 ) 半无限长载流直导线的磁场: (因为 1
2
0 I B 2 a
0 I B 4 a
B0
2 )
直导线延长线上一点的磁场:
0 I B (cos 1 cos 2 ) 4 a
《大学物理学》恒定磁场练习题
《大学物理学》恒定磁场部分自主学习材料要掌握得典型习题：1． 载流直导线得磁场:已知：真空中、、、。
建立坐标系，任取电流元,这里，点磁感应强度大小：;方向：垂直纸面向里.统一积分变量:;有：;.则： 。
①无限长载流直导线:，；（也可用安培环路定理直接求出）②半无限长载流直导线:，。
2。
圆型电流轴线上得磁场:已知:、，求轴线上点得磁感应强度。
建立坐标系:任取电流元,P 点磁感应强度大小：;方向如图。
分析对称性、写出分量式:；。
统一积分变量：∴.结论:大小为；方向满足右手螺旋法则。
①当时,；②当时,（即电流环环心处得磁感应强度)：;③对于载流圆弧,若圆心角为，则圆弧圆心处得磁感应强度为:第③情况也可以直接用毕—沙定律求出：。
一、选择题:1．磁场得高斯定理说明了下面得哪些叙述就是正确得？（ ）(a ） 穿入闭合曲面得磁感应线条数必然等于穿出得磁感应线条数；（ｂ） 穿入闭合曲面得磁感应线条数不等于穿出得磁感应线条数；(c ) 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内；（d ) 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内.(A ）ａd ； （B ）ac ; （C ）cd ； （Ｄ）a ｂ。
【提示：略】 7－2.如图所示,在磁感应强度B 得均匀磁场中作一半经为得半球面Ｓ，S 向边线所在平面法线方向单位矢量与得夹角为,则通过半球面S 得磁通量（取凸面向外为正）为： ( （A ）;(B ）；(C ）；（D)。
【提示:由通量定义知为】7—-2．在图(a ）与（b )中各有一半径相同得圆形回路、，圆周内有电流、,其分布相同，且均在真空中,但在(b )图中回路外有电流，、为两圆形回路上得对应点，则：( ）（A ）,;（Ｂ）,；（C）,;（D）,。
【提示：用判断有;但P点得磁感应强度应等于空间各电流在P点产生磁感强度得矢量与】7-—1。
如图所示,半径为Ｒ得载流圆形线圈与边长为ａ得正方形载流线圈中通有相同得电流I,若两线圈中心得磁感应强度大小相等，则半径与边长之比为：( ）（Ａ)；（Ｂ)；(C);（D)。
大学物理学第五版马文蔚高等教育出版社磁场2
(7-19)
讨论： (1) 式中各量的含义： B ～环路上各点的磁感应强度。 由环路内、外电流共同产生的。 I ～穿过环路内的电流的代数和。注意 I 的正负的确定方法。 L1 I2 I1 L2 I
I1
L3 L4
I2
① B d l 0 ( 2 I 2 I1 ) L1 ③ B d l 0 ( I1 I 2 )
n1 O
n2
7-4 毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart law） 四.运动电荷的磁场
L
E
r
•P
+++ ++++ + ++++ +++ +++ +++ ++++++++ ++++ ++++ + ++ + ++ + +++ + ++ + +++ + ++ ++ ++ + + + +++ ++ ++ + + ++++ I d l e r +++ + ++++ +++++++++ + +++++ ++++++ +++d B 0 + + + + +++++ +++ +++ ++ ++ + + + + + + + (7-12c) 2 4 r dl S 运动电荷 q 产生的磁场 导体单位体积内电荷数 n dB 0 (qnvS)dl B dl内电荷数: dN= nSdl sin 2 dN 4r (nSdl ) 0 I d l 0 dB sin vq sin 2 2 4 r 4 r 方向与 d B 同向，仍为 I d l r 。 q 的平均速度 v 取dl = v dt 0 qv r (7-15a) 矢量式：B 3 则电流元体积dV = Sdl = Svdt 4 r 0 qv er dN=ndV=nSvdt 此体积内电荷数： B (7-15b) 2 4 r dq qdN q(nSvdt) 说明： B 的方向垂直于 v 和 I qnvS 所确定的平面。 dt dt dt r
毕奥 萨戈尔定律
d. 中垂面上一点 µ0I B= cosθ1 2 π r0
13.
[例2] 圆形载流导线轴线上的磁场 例 圆形载流导线轴线上的磁场. 轴线上的磁场 分析: 分析 a. dB方向与 Idl 位置有关 b. dB — 分析 dB⊥和 dBx Idl 由对称性知 B⊥ = 0 R 则 BP = ∫ dBx I o
c. SI １Wb = 1 T·m2
B
s⊥ θ
s
B
21.
如图载流长直导线的电流为I， 例1 如图载流长直导线的电流为 ，试求通过 矩形面积的磁通量。 矩形面积的磁通量。 解：先求 B ，对变磁场 给出dΦ 后积分求 Φ 。
B
I
d1
d2
o
B // S 2π x µ0I dΦ = BdS = ld x l 2π x µ0 Il d2 dx Φ = ∫S B ⋅ dS = ∫d1 2π x µ 0 Il d 2 x Φ= ln 2π d1
变量代换， 变量代换，积分上下限
讨论: 讨论
结论 B =
µ0I
zr p o
θ1
4 π r0 a. 延长线上一点
记住) 记住 (cosθ1 − cosθ2 ) (记住
r0
y
x
B=0
µ0I
C
b. “无限长” B = 无限长” 无限长
2 π r0 µ0I c. “半无限长”B = 半无限长” 半无限长 4 π r0
B=
µ0 I
2. 磁场高斯定理 对闭合曲面
θ
en
B
比较
∫S B⋅d S = 0
ds
S
静电场 1 n in ∫SE ⋅ dS = ε0 ∑qi ≡ 0 电场线不闭合 有源场 i=1 静磁场
载流直导线的磁场
通过电流为I,
F1 BIl1 sin BIl1 sin
15
作用F2在 一F2条 直BI线l2 上，，F1 互与相F1抵 大消小；相F等2 与，方F2向 大相小反相，等， 方向相反，但不在一条直线上，因此，形成一力偶，
力臂为
，l所1 co以s作用在线圈上的力矩为:
L F2l1 cos BIS cos BIS sin PmB sin
B1
0 I1 2 a
方向垂直纸面向里。
根据安培定律，导线２中任一电流
元I2dl2所受安培力大小为：
dF12
I 2 dl2 B1
0 I1I2 2 a
dl2
方向在平行导线所在的平面内，并且垂直于 I2dl2 指向
导线１。
10
导线２单位长度上所受的安培力大小为：
f12
dF12 dl2
0 I1I2 2 a
考虑三个物理的大小和方向的关系可写成：
L Pm B
16
五、任意平面闭合电流在磁场中的力矩
以上虽是从矩形线圈的特例得到的结果，其实它
适用于任意形状的平面载流线圈。
同理，可以计算出导线２产生的磁场对导线１单位长
度上安培力的大小为：
f21
dF21 dl1
0 I1I2 2 a
f12
方向与 f12 方向相反。可见，平行载流直导线同向 电流时相互吸引。
不难验证平行载流直导线反向电流时相互排斥，而单
位长度上所受安培力大小与上式相同。
11
三、电流单位“安培”的定义
若两导线中通有相同电流强度时，即I1 = I2 = I 时，
数和的
2
注意：
(1)电流I有正负取值。
(2)如果电流I不穿过回路L，则它对上式右端无贡献。
10-(3)毕奥—萨伐尔定律
14
例：一个电子作圆周运动，求在圆心处产生的磁场。
ve 0 0 I 2R 0 ve B0 2R 4R 2 2R
▲ 部分弧段在x=0处磁场，弧长为l，
v
×
μ0 IR 2 R Bx dl 3 0 4π r
μ0 I l 0 Il BO 2 R 2R 4R 2
Id l
P
dB
Bx
r
r
dB
P
o
R
Bx
x
I
μ0 Idl dB 4π r2
解 根据对称性分析
B B x dB cos
12
Id l
R
o
r
x
0 Id l
4π r
2
r r 2 R2 x 2 dB 0 I cos dl
Bx
8
例1 载流长直导线的磁场。 解：
z
D
dB 方向均沿
0 Idz sin
4π r2
x 轴的负方向
dz
I
z
o
r
a
1
2
dB
dB
sin cos r a sec
x
C
P y
z atg
dz a sec d
2
9
0 Ia sec2 d cos 0 I dB cos d 2 2 4 a sec 4a
I 0 dI 0 dx dB a 2x 2x
所有这样线电流元在P点的dB的方向均相同，所以求B的 大小只需对整个金属板进行代数积分即可：
B dB
ab
10-1-磁场-磁感应强度
I
R
B
o x*
x
B
0圈有 N匝
论
B
N 0IR2
（ 2 x2 R2）32
2）x0 B的方向不变( I和 B成右螺旋关系）
3）x0
B 0I
2R
4） B20 R I•240 IR
B
I
引入一个新的物理量：磁矩(磁偶极矩）
mIS
R
I
m 如果是N匝线圈，则磁矩为：
I
•P
b
a
x dx
I
•P
x b
a
a
B
0(I/a)dx
0 2(abx)
例、如图所示，电流I自下而上均匀地流过宽 度为a的导体平面薄板，通过板的中线并与 板面垂直的直线上有一点P，P点与板面的距 离为b，求P点的磁感应强度？
a
I
b
•P
y
dy
dB
dB
y
b
P
B
a/2 b0(I/a)dy a/22(b2 y2)
I B
I XB
电流与磁感强度成右螺旋关系
半无限长载流长直导线的磁场
π 1 2 2 π
BP
0I
4π r
I
o
r *P
直导线延长线上 B?
d
B 0 4
Idsl in
r2
B
Idl 与 r 平行
I
0 dB0 B0
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
I20 A a4cm 求： P、R、S、T 四点的 B
2
0I 2csin
(1cos ) 2
2
方向
2
课堂练习题：正方形边长为a。
Ａ
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P
dB2
c
B dl o I
L
2BL o j L B
o
2
j
o L a b
两侧为均匀磁场，与离板的距离无关 讨论： 两无限大平行载流平面，电流密度为j， 求两平面之间和之外空间的磁感强度 1 1 B内 0 j 0 j 0 j 2 2 • × × × × • 1 1 B外 0 j 0 j 0 2 2
I
dΦ BdS
0 I
ldx
l
x
例9.求长直螺线管内的磁感应强度.设电流为I,单位 长度的匝数为n. 解: 密绕的无限长螺旋管中间部分为均匀场 , 方向 沿轴向, 外部磁感强度趋于零 ，取回路L 。
b c d a L B dl a B dl b B dl c B dl d B dl a d c b B dl d B dl c B dl 0 I b a b B dl B dl B L
dB B dB
R
O
r
dr
0
2
2
2r
R
0
1 dr 0 R 2
R 2 0
m dm r dI r
1 R 4 rdr 4
0 qv er 解二： B 2 4 r 0 dqv r dB 3 4 r 0 dqv dB 2 4 r v r dq 2 rdr
0
dx
x
0
x
0 I B 4d
讨论：⑴ y<<d
0 I d arctg d arctg d y 2d y d dB
arctg d y
y —无限大载流平板
arcty
2
dB
y
0 I B 4d
2
d
0 I
4d
0
2
I
j
2
d d ⑵ y>>d， arcty y y
1 π 2
l/2
l
cos 1 cos 2
cos 2
0 nI l B 0 nI cos 2 2 2 1/ 2 2 l / 4 R
若
l / 2
2
R2
l R
B 0 nI
B
0 nI
2
cos 2 cos 1
—无限长载流直导线 0 I 0 I d B arctg 2 d y 2 y
B
r y r x dx 0
d d
x
B
例7. 设半径为R的带电圆盘的电荷面密度为，并以 角速度绕通过盘心垂直盘面的轴转动，求盘心处磁 感应强度和圆盘的磁矩。
2 rdr 解一： dI 2 = rdr 0 dI
例13 有一回旋加 速器，他 的交变 电压的 频率 为 12 10 6 Hz ，半圆形电极的半径为0.532m . 问 加速氘核所需的磁感应强度为多大？氘核所能达到的 最大动能为多大？其最大速率有多大？（已知氘核的 质量为 3.3 10 27 kg ，电荷为 1.6 10 19 C ）. 解 由粒子的回旋频率公式，可得
I · ·· · B · r · · · · · · · · d
B dl
L
o I
B 2 r o NI
o NI B 2 r
当
N n 2 r
B o nI
2r d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
例11. 无限长载流圆柱形导体的磁场分布。设半径R， 电流I均匀分布在截面上。 R 解 1）对称性分析 2）选取回路
I
o
r
* P
例2. 圆电流轴线上的磁场。已知R和Ｉz
0 Idl 0 dB sin 90 2 4 r dB 0
B dBz dB sin
dBz
p•
dB z r
0 R
dB
0 Idl R 2 4r r
Idl
y
0 IR 2 R dl 3 3 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
F2 x dF2 x 0
sin d BIrcos 0 cos( 0 ) 0 BI (2r cos 0 ) BI AB 方向沿y轴向上 BIr
0
讨论： ⑴ F1 F2 0
表明均匀磁场中，若载流导线闭合回路的平 面与磁感强度垂直时，此闭合回路不受磁场力作 用。此结论，适用于任意形状闭合回路。
1 P
2
R x
1 2 0
无限长螺线管轴线中部
（2）半无限长螺线管轴线上端点
B 0 nI
1 B 0 nI 2
l
π 1 , 2 0 或 2
1 0 nI 2
-L/2
1 π , 2 2
B
0 nI
O
L/2
x
例6. 如图所示，电流I均匀流过宽为2d的无限长薄金 属板，试求通过板的中线并与板面垂直的平面上一点 的磁感强度。 y dB P 解： 把薄片分成许多宽为dx dB I 的无限长载流直导线 dI dx 2d I 0 dI 0 I dB y 0 dB dx r y r 2 r 4d r
例5. 均匀密绕直螺线管轴线上的磁场。已知 R、Ｉ、 1、2、单位长度的匝数n。 由圆形电流磁场公式 解： R
3 （x 2 R 2）/ 2 2 dI nIdx 0 R 2 nIdx dB p 3 2 2 2( R x ) 2
B
0 IR
2
1
2
P
x
l
x dx
0 nI R 2 dx B dB 2 (R 2 x 2 ) 32
y
例3. 如图所示导线，已知Ｉ、R、θ =/4，求O点的 磁感强度。 解： ⑴ O点在AB的延长线上
C D
dl r 0 B AB 0 0 I 0 I 5 5 0 I ⑵ BBC 4 R 4 R 4 16 R
θ R
0
B
A
方向
0 I 0 I (cos cos ) (cos 1 cos 2 ) ⑶ BCD 4 4 r0 4 2 R 2 2 0 I 2 (1 ) 方向 4R 2 5 0 I 2 0 I 2 B BBC BCD (1 ) 方向 16 R 4R 2
L
B
长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部为零.
B dl B L o I i 0 InL
L
由安培环路定理：
a
B o nI
d
L
c
例10.螺绕环内的磁感应强度。设电流为I，匝数为N。
解： 对称性分析，密绕的螺 绕环内磁感线为同心圆，同 一圆环上 B 的大小相等，环 外 B 为零，取回路L。 L
d d r 2 y 2 sec2 dx y sec2 d x ytg 0 I 0 0 I arctg d y 0 I arctg d B 0 d 4d arctg d y d 2d y 4d
B B x dBx
I y dB cos dx 4dr r
2 π mf 2 π 3.3 10 27 12 10 6 B T 1.56T 19 q 1.6 10 2 2 2 q B R0 Ek 16.7 MeV 2m
qBR0 7 1 v 4.02 10 m s m
例14.如图，通有电流的闭合回路ABC放在磁感强度为B 的均匀磁场中，回路中电流为I，其流向为顺时针，求 磁场作用于整个回路的力。 dF y 2 × × × × ×× 解： 整个回路受力： C
rR
B d l 0 I
l
r L
r
2π r π r2 0 r R B d l 0 I 2 l πR 0 r 2 0 Ir 2π rB 2 I B R 2π R 2
2π rB 0 I
B
0 I
I
I
×
.
B
dB
dI
B
R
r
讨论：
例1.求载流长直导线的磁场，已知 I , r0 , 1, 2.
0 Idz sin 解: dB 2 4 r 0 Idz sin B dB 2 4 r r0 d z r0 ctg dz 2 sin r
r0ຫໍສະໝຸດ 2 Idz rz o
sin 0 I 2 0 I B 1 sind 4r0 (cos 1 cos 2 ) 4r0
无限长载流圆柱面的磁场
L1
r
R
B
I
L2
r
o R r
B0 0 I
B 2π r
解： 0 r R, B d l 0
r R, B d l 0 I
l
l
例12. 无限大薄导体板均匀通过电流的磁场分布。 解 1)对称性分析 2）选取回路 dB d 设：电流密度为j
例4. 如图所示导线，求0点的磁感强度。 0 I 0 I 0 I BP B B (圆心处) 4π r 4 R 2R （4） （1） 0 I R B0 x B0 0 I 4π d o B0 I 2R d × I （2 ） *o 0 I （5） R B0 × R2 R1 4R o I I （3） • *o 0 I 0 I 0 I 0 I B0 R × B0 8R 4 R2 4 R1 4π R1 o