大物试题

试对伽利略变换和洛伦磁变换做个对比总结并由洛伦磁变换解释长度收缩，时间膨胀的意思。（20分）

一个人骑车以18 km/h 的速度自东向西行进时，看见雨点垂直下落。当他的速度增至36 km/h 时，看见雨点下落的方向与他前进的方向成120︒角，求雨点对地的速度。（10分）

一根直杆静止在K 系中，长为l ，与x 轴的夹角为θ，求它在K '中的长度和它与x '的夹角。设K '系相对于K 系的速度为i u 。

K 系中有一根一米长的尺子固定在x 轴上，其两端各装一只手枪。当K '系从K 系旁经过时，K 系的观察者同时扳动两枪，使子弹在K '系中的尺子上打出两个记号。求K '系中两记号之间的长度值。在K '系中观察者将如何解释此结果。如何理解运动的尺子收缩这个问题。

例2-2.1 有两个惯性系K 和K '，设K '相对于K 以0.8c 速度沿O x 轴作匀速直线运动。设初始时刻，原点O 、O ' 重合，并有一闪光从这里发出，经过1秒钟后，K 系上P 1、P 2两点同时接收到光信号，如图2-2.7所示。若观测

图2-2.7

者在K '系观测，求K '系中P 1、P 2两点的位置坐标以及光到达这两点的时刻。

解：光信号被P 1、P 2接收时，在K 系上观测得P 1、P 2的空时坐标为P 1（c ,0,0,1）、P 2（-c ,0,0,1）,根据洛伦兹变换可得P 1、P 2点在K '系的空时坐标为：

3

)8.0(18.01'22111c c c c u ut x x =--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 0'11==y y

0'11==z z

)(3

1)8.0(18

.011)('222

21

11s c u c ux t t =--=--= c c c c u ut x x 3)8.0(18.01'22222-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=

0'22==y y

0'22==z z

3)8.0(18.011)('2222222=-+=--=c u c

ux t t P 1、P 2点在K '系的空时坐标为：P 1 )31,0,0,3(c , P 2 )3,0,0,3(c -

可见，K '系观测者发现P 1、P 2点并不同时接收到光信号。

例2-2.4：一只装有无线电发射和接收装置的飞船，正以0.8c 的速度飞离地球。当宇航员发射一无线电信号

后，信号经地球反射，60s 后宇航员收到返回信号。

解：这里60s 是固有时。地球上测得宇航员从发射到接收到信号经历的时间是运动时间

s c u t t 1001'

22

=-∆=∆

在飞船上测量：

1. 无线电信号到达地球又反射回来，来回光路相等。光速相等，用的时间也相等，均为30s 。所以在地球反射信号时，地球离飞船c 30。

2. 在这30s 时间里地球走了

30u=24c 。在宇航员发射信号时，地球与飞船的距离

c u c l 63030'=-=

这是运动长度(因为空间相对于宇航员是运动的)。

3. 当飞船接收到反射信号时刻，地球又移动了30u=24c ，加上原来的30c ，总共为54c. 这也是运动长度。其对应的固有长度为

c c u 90)/(1/542=-

在地球上测量：

4．在宇航员发射信号时，飞船离地球 c c u c l 10)/(1/62

=-=

这是固有长度，因为空间相对于地球静止。也就是说宇航员发射信号后10s ，地球就接收到信号。这时飞船走了 c u 810=

所以，在地球反射信号的时刻，从地球上测得的飞船离地球是18c 。

5．10s 时地球接收到信号，100s

时宇航员收到返回信号。所以，从地球上观察，无线电信号返回用了90s ，即无线电波走了90c 。这也就是当飞船接收到反射信号刻，从地球上测得的飞船离地球的距离。或者说在100s 时间内飞船走了c u 80100 ，加上原来与地球10c 的距离。所以，当飞船接收到反射信号刻，从地球上测得的飞船离地球的距离是90c 。