2010-2-28 函数极限换元法

函数极限的换元法

函数极限的换元法是一种相当实用的方法. 正如积分换元法在积分计算中有着十分广泛的应用，函数极限的换元法在函数极限的计算中也有着十分广泛的应用. 运用函数极限的换元法，我们能够很快地求出许多复杂函数的极限. 下面就来介绍并证明函数极限换元法的有关定理.

一、x 趋向于,,∞+∞-∞

这个法则的内涵是很丰富的，它其实上包含18个具体的法则. 首先必须指

出的是，000,,,,,t t t +-

∞+∞-∞都是形式上的符号，

我们必须把它们代入后再理解. 之所以这么做，是为了法则表示的简洁，从而应用起来更有效率. 法则1告诉我们的是，把K 任意取定一个符号，然后再把T 任意取定一个符号，所得到的命题是成立的. 也就是说，法则1告诉我们有18条法则是成立的. 下面的法则2和法则3会采用类似的记法.

二、x 趋向于000,,x x x +-

这类情形的换元法法则比较复杂. 我们有法则2和法则3. 需要指出的是，

为了形式上的简洁和记忆的方便，我们说x 向于0x +

是指x 从右边趋向于x 0，也就

该法则中有三个特别定义的符号，即(K), UF (T )与R [K , g (t ), t 0]. 形式上，当

K =x 0, 0x +, 0x -

时，(K )=x 0. 规定UF (T )是一个集合，当T =t 0时UF (T )表示t 0的某一个去心领域；当T =0t +时UF (T )表示t 0的某一个去心右领域；当T =0t -时UF (T )表示t 0的某一个去心左领域；当T =∞时UF (T )表示∞的某个邻域；当T =+∞时UF (T )表示+∞的某个邻域；当T =-∞时UF (T )表示-∞的某个邻域. 规定R [K , g (t ), x 0]是

一个命题公式. 当K =x 0时，表示命题g (t )≠x 0；当K =0x +

时，表示命题g (t )>x 0；当

K =0x -

时，表示命题g (t )< x 0.

法则2实际上也包含了18个具体的法则. 这些具体的法则在证明的时候将会一一列出来. 法则2中定义了3个计算机程序意义上的“函数”，这样做，可以把18个具体的法则用比较精炼的语言叙述出来，形式上简洁，记忆方便，运

0不讨论了. 我们来分析一下三个法则的共同特点. 三个法则都要求所求极限存在，也就是说，这三个法则一般情况下是不能用来判断函数极限存在性的，而是用来在已经知道极限存在的情况下去计算函数极限的值. 其次，三个法则都是把计算0

lim ()x x f x →转化为计算lim [()]t T

f g t →. 法则1和法则2总共包含36种具体情况，一般

情况下，这两条法则就已经足够解决许多极限的计算问题.

三、证明

下面我们仅就T =t 0和T =∞的情况给出法则1和法则2的证明，法则3的证明比较容易，故从略.

首先来证明T =t 0的情况.

(1)若lim ()x f x →∞

存在，0

lim ()t t g t →=∞，那么有0

lim ()lim [()]x t t f x f g t →∞

→=.

证明 设lim ()x f x A →∞

=，那么对∀ε>0, 总是∃M >0, 对∀x ∈(;)U M ∞，有

|f (x )-A |<ε. 由于0

lim ()t t g t →=∞，所以对于上面的M >0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，

有|g (t )|>M ，即g (t )∈(;)U M ∞，从而|f [g (t )]-A |<ε.

总的来说就是，对∀ε>0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0

lim [()]lim ()x t t f g t A f x →∞

→==.

(2)若lim ()x f x →+∞

存在，0

lim ()t t g t →=+∞，那么有0

lim ()lim [()]x t t f x f g t →+∞

→=.

证明 设lim ()x f x A →+∞

=，那么对∀ε>0, 总是∃M >0, 对∀x ∈(;)U M +∞，有

|f (x )-A |<ε. 由于0

lim ()t t g t →=+∞，所以对于上面的M >0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，

有g (t )>M ，即g (t )∈(;)U M +∞，从而|f [g (t )]-A |<ε.

总的来说就是，对∀ε>0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0

lim [()]lim ()x t t f g t A f x →+∞

→==.

(3)若lim ()x f x →-∞

存在，0

lim ()t t g t →=-∞，那么有0

lim ()lim [()]x t t f x f g t →-∞

→=.

证明 设lim ()x f x A →-∞

=，那么对∀ε>0, 总是∃M >0, 对∀x ∈(;)U M -∞，有

|f (x )-A |<ε. 由于0

lim ()t t g t →=-∞，所以对于上面的M >0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，

有g (t )<-M ，即g (t )∈(;)U M -∞，从而|f [g (t )]-A |<ε.

总的来说就是，对∀ε>0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0

lim [()]lim ()x t t f g t A f x →-∞

→==.

(4)若0

lim ()x x f x →存在，0

0lim ()t t g t x →=，∃δ>0, 对∀t ∈0(;)o U t δ有g (t )≠ x 0，

那么有0

lim ()lim [()]x x t t f x f g t →→=.

证明 设0

lim ()x x f x A →=，那么对∀ε>0, 总是∃δ1>0, 对∀x ∈01(;)o U x δ，有

|f (x )-A |<ε. 由于“0

0lim ()t t g t x →=，∃δ2, 对∀t ∈02(;)o U t δ有g (t )≠x 0”，所以对于上面

的δ1>0，总是∃δ，0<δ<δ2，对∀t ∈0(;)o U t δ，有0<|g (t )-x 0|<δ1，即g (t )∈01(;)o U x δ，从而|f [g (t )]-A |<ε.

总的来说就是，对∀ε>0，总是∃δ>0，对∀t ∈0(;)o U t δ，有|f [g (t )]-A |<ε. 于是 0

lim [()]lim ()x x t t f g t A f x →→==.

(5)若0

lim ()x x f x +→存在，0

0lim ()t t g t x →=，∃δ>0, 对∀t ∈0(;)o U t δ有g (t )> x 0，

那么有0

lim ()lim [()]t t x x f x f g t +

→→=.