温度分布的曲线拟合
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温度分布的曲线拟合
1. 实验描述
曲线拟合是指用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系。更广泛地说，空间或高维空间中的相应问题亦属此范畴。在数值分析中，曲线拟合就是用解析表达式逼近离散数据，即离散数据的公式化。实践中，离散点组或数据往往是各种物理问题和统计问题有关量的多次观测值或实验值，它们是零散的，不仅不便于处理，而且通常不能确切和充分地体现出其固有的规律。这种缺陷正可由适当的解析表达式来弥补。
2. 实验内容
温度分布的曲线拟合，度数据采用下表中的数据：
要求：1.2.曲线的最小二乘抛物线拟合； 3.三次样条插值拟合； 4.T7的三角多项式拟合。
5.有4个控制点的贝塞尔曲线拟合。
3. 实验结果及分析
线性的最小二乘拟合:设 x k ，y k k =1N
有N 个点，其中横坐标 x k k =1N 是确定的。最小二乘拟合曲线
y =Ax +B
的系数是下列线性方程组的解，这些方程成为正规方程：
x k 2
N
k =1
A + x k N
k =1
B = x k y k N
k =1
x k N
k =1
A +N
B = y k N k =1
将x ，y 的值代入俩个方程解出系数A ，B 在画图可得下图
如图所示红*号为原来实际数据，直线为所求式，可见其与实际情况差别甚大，不能反映实际的情况。所以模拟效果不好。
曲线的最小二乘抛物线拟合:设 x k ，y k k =1N
有N 个点，其中横坐标是确定的。最小二乘的抛物线细数标示为
y =f x =Ax 2+Bx +C
求解A ，B 和C 的线性方程组为：
x k 4N
k =1
A + x k 3N
k =1
B + x k 2N
k =1
C = y k x k 2
N
k =1
5
10
15
20
25
30
59
59.56060.56161.56262.56363.564X
(357 X
)/2300 + 5445/92
x k 3N k =1
A + x k 2
N k =1
B + x k N k =1
C = y k x k N
k =1
x k 2N k =1 A + x k N k =1 B +N C = y k N k =1。
为求系数A 、B 、C 同理使(,,)E A B C 最小
2
(,,)()N
k k k
k E A B C A B C y x x ==++-∑
分别对(,,)E A B C 求偏导并使其等于零。可得
4
3
2
21
1
1
1
()()()N
N
N
N
k k k k
k
k k k k A B y
x x x x
====++=∑∑∑∑
3
2
111
1
()()()N N N N
k k k k
k
k k k k A B C y
x x x x
====++=∑∑∑∑
2
1
1
1
()()N
N
N
k k k
k k k A B NC y x x ===++=∑∑∑
带入数据得
Y=-6713909909675507/144115188075855872*x^2+2909186376197643/2251799813685248*x+1923218375727969/35184372088832
三次样条插值拟合:设 x k ，y k k =1N
有N+1个点，其中a=x 0 S x =S k x =s k ,0+s k ,1 x −x k +s k ,2 x −x k 2+s k ,3 x −x k 3x ∈ x k ,x k +1 ，k=0,1,…,N-1 ⅡS x k =y k k=0,1,…,N ⅢS k x k +1 =S k +1 x k +1 k=0,1,…,N-2 ⅣS k ′ x k +1 =S k +1′ x k +1 k=0,1,…,N-2 ⅤS k ′′ x k +1 =S k +1′′ x k +1 k=0,1,…,N-2 则称函数S(X)为三次样条函数。 又可将S k x 写成如下形式： S k x =− m k k x k +1−x 3+−m k +1k x −x k 3+ y k k −m k ℎk x k +1−x + y k +1ℎk −m k +1ℎk 6 x −x k 且其中m k =S k ′′ x k ，m k +1=S k ′′ x k +1 ，ℎk =x k +1−x k ，y k =S k x k ， y k +1=S k x k +1 。 0510 152025 52 54 56 58 60 62 64 X - (135 X 2)/2392 + (93657 X )/59800 + 9765/184