量子力学概论
量子力学概论习题答案胡行
量子力学概论习题答案胡行量子力学概论习题答案解析量子力学是一门极具挑战性的物理学科，其理论和应用涉及到许多复杂的概念和现象。
在学习量子力学的过程中，习题是一个重要的学习工具，通过解答习题可以帮助我们更好地理解和掌握这门学科的知识。
在这篇文章中，我们将对一些量子力学概论习题的答案进行解析，帮助读者更好地理解这些问题的解决方法和相关概念。
1. 问题：一个自旋为1/2的粒子处于一个外加磁场中，磁场方向与粒子自旋方向相反，求粒子在磁场中的能量。
答案：根据量子力学的基本原理，粒子在外加磁场中的能量可以用哈密顿算符来描述。
对于自旋为1/2的粒子，其哈密顿算符可以表示为H = -μBσ·B，其中μB为玻尔磁子，σ为泡利矩阵，B为磁场的大小。
根据量子力学的理论，粒子在磁场中的能量可以通过求解哈密顿算符的本征值得到。
具体来说，粒子在磁场中的能量可以表示为E = -μBσ·B，其中E为能量的本征值。
因此，粒子在磁场中的能量与磁场的大小和方向有关，当磁场方向与粒子自旋方向相反时，粒子在磁场中的能量为-E = μBσ·B。
2. 问题：一个自旋为1的粒子处于一个外加磁场中，磁场方向与粒子自旋方向相同，求粒子在磁场中的能量。
答案：对于自旋为1的粒子，其哈密顿算符可以表示为H = -μBσ·B，其中μB 为玻尔磁子，σ为泡利矩阵，B为磁场的大小。
根据量子力学的理论，粒子在磁场中的能量可以通过求解哈密顿算符的本征值得到。
具体来说，粒子在磁场中的能量可以表示为E = -μBσ·B，其中E为能量的本征值。
因此，当磁场方向与粒子自旋方向相同时，粒子在磁场中的能量为E = μBσ·B。
通过以上两个问题的解析，我们可以看到量子力学在描述粒子在外加磁场中的行为时，需要考虑到粒子的自旋和磁场的相互作用，这些概念和原理都是量子力学的基本内容。
通过解析这些习题，我们可以更好地理解量子力学的基本原理和应用，为进一步学习和研究量子力学打下坚实的基础。
量子力学基本概念总结
量子力学基本概念总结量子力学是一门描述微观粒子行为的物理学分支，它提供了一种理论框架，用于解释和预测原子、分子和基本粒子的现象。
以下是一些量子力学的基本概念的总结。
1. 波粒二象性（Wave-particle duality）量子力学中的一个重要概念是波粒二象性，即微观粒子既可以表现出粒子特性也可以表现出波动特性。
例如，电子可以像波一样传播，但也可以被当作是粒子来计算。
2. 不确定性原理（Heisenberg's Uncertainty Principle）不确定性原理是由波粒二象性导致的。
它表明在粒子的位置和动量之间存在一种固有的不确定性。
换句话说，我们无法同时准确知道一个粒子的位置和动量，只能知道它们之间的不确定性。
3. 玻尔模型（Bohr model）玻尔模型是描述原子结构的经典模型之一。
它基于量子力学中能级的概念，认为电子围绕着原子核在不同的能级轨道上运动。
这个模型解释了原子光谱、电离能和跃迁等现象。
4. 波函数（Wave function）波函数是量子力学中用来描述粒子状态的数学函数。
它包含了所有关于粒子位置、动量和能量等信息。
根据波函数，我们可以计算出粒子的一些物理性质。
5. 测量与观测（Measurement and Observation）量子力学强调测量和观测对系统产生影响。
在测量时，波函数将塌缩到某个确定的状态，并给出对应的测量结果。
这种波函数塌缩导致了一系列奇特的现象，如量子纠缠和量子隐形。
6. 量子纠缠（Quantum Entanglement）量子纠缠是量子力学中的一个非常奇特的现象。
当两个或更多粒子处于纠缠状态时，它们的态无法独立地描述，而必须考虑整个系统的态。
当一个粒子的状态发生改变时，纠缠粒子的状态也会瞬间发生变化，即使它们之间的距离很远。
7. 施特恩-盖拉赫实验（Stern-Gerlach Experiment）施特恩-盖拉赫实验是证明电子具有自旋的经典实验之一。
量子力学概论习题答案胡行
量子力学概论习题答案胡行量子力学是现代物理学的重要分支，研究微观世界的规律和现象。
它在解释原子、分子和基本粒子的行为方面发挥着重要作用。
然而，学习量子力学并不容易，它涉及到许多抽象和数学概念。
在学习过程中，习题是一种非常重要的辅助工具，可以帮助我们巩固所学的知识，并提高问题解决能力。
在本文中，我将为大家提供一些量子力学概论习题的答案。
1. 什么是量子力学？量子力学是一种描述微观粒子行为的理论。
它通过波函数来描述粒子的状态，并通过算符来描述可观测量的测量结果。
量子力学的基本原理包括波粒二象性、不确定性原理和量子叠加原理等。
2. 什么是波函数？波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
它包含了粒子的位置和动量等信息。
波函数的平方表示了找到粒子在某个位置的概率。
3. 什么是量子叠加原理？量子叠加原理指出，当一个系统处于多个可能状态时，它可以同时处于这些状态的叠加态。
这种叠加态的系数称为叠加系数，它们的平方表示了系统处于不同状态的概率。
4. 什么是量子纠缠？量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联关系，使得它们的状态无法被独立地描述。
当一个粒子的状态发生改变时，与之纠缠的粒子的状态也会发生相应的改变，即使它们之间存在很大的空间距离。
5. 什么是量子隧穿效应？量子隧穿效应是指粒子在经典物理学中无法通过的势垒，在量子力学中却有一定的概率通过的现象。
这是由于波粒二象性和不确定性原理导致的。
6. 什么是量子态？量子态是描述量子系统状态的数学概念。
它可以是一个波函数，也可以是一个密度矩阵。
量子态包含了系统的全部信息，可以用来计算系统的性质和预测测量结果。
7. 什么是量子测量？量子测量是指对量子系统进行观测，以获取系统的某个性质的过程。
量子测量的结果是一个确定的值，但在测量之前，我们只能知道其可能的取值和对应的概率。
8. 什么是量子力学中的算符？算符是量子力学中描述可观测量的数学对象。
它们作用于波函数上，得到测量结果的平均值和可能的取值。
(狭义)相对论和量子力学概论
H的规范不变性对应于该系统的电荷守 恒
重子数守恒、轻子数守恒，等等
洛仑兹变换与相对论不变性
系统的哈密顿函数或拉氏函数在洛仑兹 变换下的不变性即相对论不变性，它对 应于该系统的物理量（各阶张量）及其 所满足的物理规律（张量方程）的协变 性
现代量子场论及粒子物理所满足的规范 理论都同时满足洛仑兹变换下的不变性 即相对论协变性
能
c
Ek
(m m0 )c2
1 2
m0v2
不谋而合
再次表明，相对论力学对经典力学的极 限关系与兼容性
现代物理概论
第一章 相对论和量子力学
§1 狭义相对论的基本原理
一、伽利略变换 ( 简称：G -T ) (Galilean Transformation)
伽利略的力学相对性原理 绝对的时间与绝对的空间—伽利略时空座标变 换是其力学相对性原理的充分而不必要的条件
爱因斯坦－洛仑兹变换，也是力学相对性原理 的一个充分条件
爱因斯坦－洛仑兹变换，更是物理学（即力、 电、热、场论）相对性原理的充分条件
相对论的概念与结构
相对论分为狭义相对论也称特殊相对论（Special Relativity），与广义相对论也称一般相对论（General Relativity）
爱因斯坦引力场方程与宇宙模型
爱因斯坦根据他的引力场方程，得到了 一个膨胀的宇宙模型，为了得到一个静 态的宇宙模型，给其宇宙方程错误地加 上了一个“宇宙常数”项（吸引项) .这 成为爱因斯坦最大的遗憾和仅有的一次 失误.他肯定了年轻的弗里德曼的宇宙模 型——在大尺度上，宇宙是各向同性、 均匀并不断膨胀着。
题，即运动的粒子与静止粒子相比寿命要长， 好象“运动使其年轻”，实际上是相对论测量 效应。
量子力学概论第6章 不含时微扰理论
6.4.3 中间情况的塞曼效应
表6.2 存在精细结构和塞曼分裂的氢原子n=2能级
图6.12 弱场、中间场、强场下，氢 原子n=2能态的塞曼分裂
6.5 超精细分裂图6.1 基态氢原子的超精细分裂图6.14 两个相邻的极化原子
图6.6 例题6.2中的简并的消除
6.3 氢原子的精细结构
6.3.1 相对论修正 6.3.2 自旋-轨道耦合
表6.1 氢原子玻尔能量修正量级图
6.3.2 自旋-轨道耦合
图6.7 从电子看质子运动
图6.8 带电圆环绕轴旋转
图6.9 考虑了精细结构的氢原子能级图(未按比例大小给出)
6.4 塞曼效应
第6章 不含时微扰理论
6.1 非简并微扰理论 6.2 简并微扰理论 6.3 氢原子的精细结构 6.4 塞曼效应 6.5 超精细分裂
6.1 非简并微扰理论
6.1.1 6.1.2 6.1.3
一般公式 一级近似理论 二级能量修正
6.1.1 一般公式
图6.1 受到小微扰的无限深方势阱
对于零级(λ0)项1有H0ψ0n=E0nψ0n, 有 H0ψ0n=E0nψ0n,(6.1)
对于一级项(λ1)有，
H0ψ1n+H′ψ0n=E0nψ1n+E1nψ0n.(6.7)
对于二级项(λ2)有，
H0ψ2n+H′ψ1n=E0nψ2n+E1nψ1n+E2nψ0n， (6.8)
依次类推。(方程中并没有λ——它仅仅用来 更清楚地按数量级分出各方程——所以现在 把λ取为1。)
6.1.2 一级近似理论
E0nxnynz=π2ћ22ma2(n2x+n2y+n2z).(6.32) 注意到基态(ψ111)是非简并的；它的能量为：
外国教材量子力学概论2ndedition课后练习题含答案
Introduction to Quantum MechanicsOverviewQuantum Mechanics is a branch of Physics that describes the behavior of matter and energy at a microscopic level. This discipline has had a significant impact on modern science and technology, and its principles have been applied to the development of various fields, such as computing, cryptography and medicine. The study of Quantum Mechanics requires a basic understanding of the principles of Mathematics and Physics. The m of this document is to provide an introduction to Quantum Mechanics and to provide a set of practice exercises with answers that will allow students to test their knowledge and understanding of the subject.Fundamental PrinciplesThe fundamental principles of Quantum Mechanics are based on the concept of a wave-particle duality, which means that particles can behave as both waves and particles simultaneously. The behavior of particles at the microscopic level is probabilistic, and it is described by a wave function. A wave function is a complex function that describes the probability of finding a particle at a givenlocation. The square of the amplitude of the wave function gives the probability density of finding the particle at that point in space. The wave function can be used to calculate various physical quantities, such as the position, momentum and energy of a particle.Operators and ObservablesIn Quantum Mechanics, physical quantities are represented by operators. An operator is a mathematical function that acts on a wave function and generates a new wave function as a result. Operators are used to represent physical observables, such as the position, momentum and energy of a particle. The eigenvalues of an operator correspond to the possible results of a measurement of the corresponding observable. The eigenvectors of an operator correspond to the possible states of a particle. The state of a particle is described by a linear combination of its eigenvectors, which is called a superposition.Schrödinger EquationThe Schrödinger Equation is a mathematical equation that describes the time evolution of a wave function. It is based on the principle of conservation of energy, and it representsthe motion of a quantum system in terms of its wave function. The equation is given by:$$\\hat{H}\\Psi=E\\Psi$$where $\\hat{H}$ is the Hamiltonian operator, $\\Psi$ is the wave function, and E is the energy of the system. The Schrödinger Equation is the foundation of Quantum Mechanics, and it is used to calculate various physical properties of a particle, such as its energy and momentum.Practice Exercises1.Calculate the wave function for a particle that isin a 1D box of length L.–Answer: The wave function for a particle in a 1D box is given by:$$\\Psi(x)=\\sqrt{\\frac{2}{L}}\\sin{\\frac{n\\pi x}{L}}$$where n is a positive integer.2.Derive the time-dependent Schrödinger Equation.–Answer: The time-dependent SchrödingerEquation is given by:$$i\\hbar\\frac{\\partial\\Psi}{\\partialt}=\\hat{H}\\Psi$$3.Calculate the momentum operator for a particle in1D.–Answer: The momentum operator for a particle in 1D is given by:$$\\hat{p_x}=-i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial x}$$4.What is the uncertnty principle?–Answer: The uncertnty principle is afundamental principle of Quantum Mechanics thatstates that the position and momentum of a particlecannot be measured simultaneously with arbitraryprecision. Mathematically, it is given by: $$\\Delta x\\Delta p_x\\geq\\frac{\\hbar}{2}$$5.Calculate the energy of a particle in a 1D box oflength L with quantum number n.–Answer: The energy of a particle in a 1D box is given by:$$E_n=\\frac{n^2\\pi^2\\hbar^2}{2mL^2}$$ConclusionQuantum Mechanics is a fascinating and challenging fieldof study that has provided a deeper understanding of the behavior of matter and energy at the microscopic level. Theprinciples of Quantum Mechanics have been applied to various fields of study, including computing, cryptography and medicine, and they have contributed to significant advances in these fields. The practice exercises provided in this document are intended as a tool for students to test their knowledge and understanding of Quantum Mechanics. By solving these exercises, students will gn a deeper understanding of the fundamental principles of Quantum Mechanics and strengthen their problem-solving skills in this exciting field of study.。
《量子力学》课件
贝尔不等式实验
总结词
验证量子纠缠的非局域性
详细描述
贝尔不等式实验是用来验证量子纠缠特性的重要实验。通过测量纠缠光子的偏 振状态，实验结果违背了贝尔不等式，证明了量子纠缠的非局域性，即两个纠 缠的粒子之间存在着超光速的相互作用。
原子干涉仪实验
总结词
验证原子波函数的存在
详细描述
原子干涉仪实验通过让原子通过双缝，观察到干涉现象，证明了原子的波函数存在。这个实验进一步 证实了量子力学的预言，也加深了我们对微观世界的理解。
量子力学的意义与价值
推动物理学的发展
量子力学是现代物理学的基础之一，对物理学的发展产生了深远 的影响。
促进科技的创新
量子力学的发展催生了一系列高科技产品，如电子显微镜、晶体 管、激光器等。
拓展人类的认知边界
量子力学揭示了微观世界的奥秘，拓展了人类的认知边界。
量子力学对人类世界观的影响
01 颠覆了经典物理学的观念
量子力学在固体物理中的应用
量子力学解释了固体材料的电子 结构和热学性质，为半导体技术 和超导理论的发现和应用提供了
基础。
量子力学揭示了固体材料的磁性 和光学性质，为磁存储器和光电 子器件的发展提供了理论支持。
量子力学还解释了固体材料的相 变和晶体结构，为材料科学和晶
体学的发展提供了理论基础。
量子力学在光学中的应用
复数与复变函数基础
01
复数
复数是实数的扩展，包含实部和虚部，是量子力 学中描述波函数的必备工具。
02
复变函数
复变函数是定义在复数域上的函数，其性质与实 数域上的函数类似，但更为丰富。
泛函分析基础
函数空间
泛函分析是研究函数空间的数学分支，函数空间中的元素称为函数或算子。
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
量子力学基本概念和量子力学基本原理
量子力学基本概念和量子力学基本原理量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论体系，其基本概念和原理对于理解微观世界的奇异性和解释一些物理现象至关重要。
本文将介绍量子力学的基本概念和基本原理，以助于读者对量子力学有更深入的理解。
一、量子力学的基本概念1. 波粒二象性：量子力学中的粒子既可以表现出粒子的特性，也可以表现出波动的特性。
即粒子和波动性质是统一的，互相转化，并由波函数来描述。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性，测量粒子的某个属性将导致其他属性的不确定度增加。
海森堡不确定性原理指出，无法同时准确测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。
3. 波函数：波函数是量子力学中对粒子状态的数学描述，通过波函数的平方模值求得粒子存在的概率分布。
4. 叠加态：叠加态是指粒子处于多种可能状态之间的状态，在测量之前，粒子可以处于多个状态的叠加态，并且测量结果将会塌缩到其中一个状态上。
二、量子力学的基本原理1. 施密特正交化：施密特正交化是一个重要的数学工具，用于将任意一个向量空间的一组线性无关的向量正交化，从而得到一组正交归一的基。
2. 哈密顿算符和薛定谔方程：哈密顿算符描述了粒子的总能量，薛定谔方程是描述量子体系演化的基本方程，通过求解薛定谔方程可以得到体系的波函数。
3. 算符和物理量：在量子力学中，物理量通过对应的物理量算符来描述，物理量的测量结果由这些算符的本征值给出。
4. 量子态和密度矩阵：量子态是描述量子体系的状态，密度矩阵是用于刻画量子体系统计特性的工具。
5. 量子纠缠：量子纠缠是指多个粒子之间存在的特殊的量子相互关系，纠缠粒子之间的状态是不可分解的。
三、量子力学的应用和发展1. 原子物理学：量子力学的发展使得对原子结构和原子光谱的解释得以实现，为原子物理学的兴起奠定了基础。
2. 分子物理学：通过量子力学，我们可以理解化学键的形成和分子的结构，为分子物理学的研究提供了基础。
3. 凝聚态物理学：量子力学对于固体和液体等凝聚态物质的研究起到了至关重要的作用，例如能带理论等。
量子力学的基本概念与理论
量子力学的基本概念与理论量子力学是物理学中最具有突破性和革命性的发现之一，它在20世纪初被提出，并迅速成为现代物理学的基础之一。
它的诞生是对经典物理学中存在的一些理论矛盾的回应，如黑体辐射问题和光电效应。
量子力学重新定义了能量、动量、波长、振幅等物理量的概念，使我们对物质和能量的本质有了更深刻的认识。
本文将对量子力学的基本概念与理论做一个简要介绍。
量子力学的主要概念量子力学的基本概念可以从其名称中得到启示，“量子”指的是某种不可分割的微观物理现象单元，如电子、光子等。
因为在这个尺度下，粒子和波的概念都有不同的含义。
其主要概念如下：波粒二象性：物质在某些情况下会表现为波的特性，而在其他情况下则会表现为粒子的特性。
这种表现方式是由某种波形与其粒子的不同属性相互作用产生的。
例如，电子具有电荷，因此它们可以被一个电磁场加速，就像光子一样。
然而，电子也可以像波一样穿过细缝并产生干涉图案。
波函数：量子力学中，我们使用波函数来描述系统的状态。
波函数是关于位置和时间的复数函数，它可以用来计算独立粒子或集体的概率分布和性质。
因此，波函数展示了微观粒子和体系的量子行为。
量子态：量子态是一个量子系统可能处于的所有状态的集合。
波函数在测量前可以表示物理系统的所有可能状态。
测量：量子力学要求在对量子物理系统进行测量时，它的状态一定会在经典状态和量子状态之间“坍缩”。
因此，通过测量可以得到确定的结果，系统最终即可处于一个确定状态。
这些概念是量子力学中最重要的概念，从中我们可以看到量子力学相较于经典力学的突破。
接下来本文将进一步探讨量子力学中的核心理论。
量子力学的核心理论1.哈密顿算符在量子力学中，哈密顿算符表示了系统的总能量，它可以用来描述任何一个物理系统的动力学和动力学演化。
这个算符通常写成：H^ = - (h^2/2m) (∂^2/∂x^2) + U^其中，m是粒子的质量，U^ 是其势能函数；∂^2/∂x^2表示在位置x处的振动。
量子力学概论第10章 绝热近似
图10.11 阿哈拉诺夫-博姆效应:电子束分为两束,通过长螺旋管的两侧
图10.12 粒子被势V(r-R)限制在一个盒子中
表 面绝热迁移路线
图10.6 对应立体角Ω的球面上的任意路径
图10.7 一天过程中傅科摆的路径
10.2.2 几何相
图10.8 通过被一条闭合曲线C所包围 面积S的磁通量
图10.9 大小不变但是方向变化，在球面上扫出一个闭合路径的磁场
10.2.3 阿哈拉诺夫-博姆效应
c)如果阱壁移动得非常迅速，粒子处在(暂时)它原来的态
10.1.2 绝热定理的证明
图10.3 磁场方向沿着一个圆锥面以角速度ω转动(式10.24)
图10.4 在非绝热区域(ω≫ )的跃迁概率图,式10.34
10.2 贝瑞相
10.2.1 10.2.2 10.2.3
不完全过程 几何相 阿哈拉诺夫-博姆效应
10.1 绝热定理 10.2 贝瑞相
第10章 绝热近似
10.1 绝热定理
10.1.1 绝热过程 10.1.2 绝热定理的证明
10.1.1 绝热过程
图10.1 绝热运动:如果箱子 移动得非常缓慢,里面的摆 将在与原来平面平行的平面 内振动,并且振幅保持不变
图 10.2 a) 粒子开始时处于无限深方势阱的基态 b)如果井壁移动得非常缓慢，粒子仍然处于基态
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。
量子力学基础概述
量子力学基础概述量子力学，作为现代物理学的基石之一，探索了微观世界中的奇妙现象和规律。
本文将为您简要介绍量子力学的基础知识，帮助您对这一领域有更清晰的认识。
什么是量子力学？量子力学是描述微观世界的物理理论，它的提出在20世纪初掀起了物理学的革命。
传统的经典物理学可以很好地描述宏观世界的行为，但在微观尺度下，经典物理学无法解释一些观测到的现象。
量子力学通过引入量子概念，提供了对微观世界中粒子行为的新解释。
量子力学的基本原理波粒二象性量子力学中最核心的概念之一就是波粒二象性。
根据量子力学的观点，粒子既可以表现出粒子的特性，也可以表现出波的特性。
这意味着它们既有确定的位置，又有确定的动量和波长。
不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要原理。
它表明，在某些情况下，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这种不确定性关系表明，粒子的位置和动量存在一种固有的局限性。
波函数和量子态在量子力学中，波函数是描述系统状态的数学函数。
通过波函数，我们可以得知粒子的位置和动量等信息。
量子态则是波函数的统计解释，它描述了一个物理系统的状态。
量子力学的应用量子力学已经取得了许多重要的应用，以下是其中的几个方面：原子物理量子力学提供了对原子结构和原子能级的解释。
它解释了为什么不同的元素有不同的特性，以及为什么只有特定的光子能被原子吸收或发射。
量子计算与量子通信量子力学在计算机科学和通信领域有着重大的应用潜力。
量子计算利用了量子叠加和量子纠缠等量子效应，可以执行某些问题的快速计算。
量子通信则利用了量子纠缠的特性，实现了更加安全和高效的数据传输。
量子光学量子光学研究的是光与物质之间的相互作用，并探索光的粒子性和波动性。
它对发展新型光学器件和技术具有重要意义，如激光、光纤通信和光存储等。
量子力学作为现代物理学的重要支柱，为我们解释了微观世界的奇妙现象。
通过波粒二象性、不确定性原理和波函数等概念，我们可以更好地理解微观粒子的行为。
量子力学ppt
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子力学概论第9章 含时微扰理论
9.3 自发发射
9.3.1 爱因斯坦A，B系数 9.3.2 激发态寿命 9.3.3 选择定则
9.3.3 选择定则
图9.6 氢原子前四个玻尔能级容许的衰变
第9章 含时微扰理论
9.1 二能级系统 9.2 辐射的发射与吸收 9.3 自发发射
9.1 二能级系统
9.1.1 微扰体系 9.1.2 含时微扰理论 9.1.3 正弦微扰
9.1.3 正弦微扰
图9.1 在正弦微扰下作为时间函数的跃迁概率(式9.28)
图9.2 作为驱动频率函数的跃迁概率(式9.28)
9.2 辐射的发射与吸收
9.2.1 电磁波 9.2.2 吸收，受激辐射和自发辐射 9.2.3 非相干微扰
2.1 电磁波
图9.3 电磁波
9.2.2 吸收，受激辐射和自发辐射
图9.4 光与原子作用的三种方式 a)吸收 b)受激发射 c) 自发发射
9.2.3 非相干微扰
图9.5 对做平均时的轴
含时微扰理论91二能级系统92辐射的发射与吸收93自发发射91二能级系统911微扰体系912含时微扰理论913正弦微扰913正弦微扰图91在正弦微扰下作为时间函数的跃迁概率式928图92作为驱动频率函数的跃迁概率式92892辐射的发射与吸收921电磁波922吸收受激辐射和自发辐射923非相干微扰921电磁波图93电磁波922吸收受激辐射和自发辐射图94光与原子作用的三种方式a吸收b受激发射自发发射923非相干微扰图9593自发发射931爱因斯坦ab系数932激发态寿命933选择定则933选择定则图96氢原子前四个玻尔能级容许的衰变
量子力学概论 中文版-考研试题文档资料系列
译者的话本书译自David J.Griffiths教授所著《量子力学概论》第二版。
Griffiths教授是美国著名的物理教育学家，他所撰写的许多教材都被美国著名高校所使用。
其中《量子力学概论》一书是美国许多一流理工科大学，包括麻省理工学院（MIT）和加州大学洛杉矶分校（UCLA）等一些著名高校物理系学生的教学用书，在欧美被认为是最合适、最现代的教材之一。
本书的特点为：（1）立足于“量子力学入门水平”，包含了大学量子力学最主要的内容，讲解直接从薛定谔方程开始。
强调实验基础和基本概念，力图改变了量子力学难于理解、难于接受的教学状况。
作者从务实的角度出发，着重于交互式的写作，采用对话式的语言，叙述简明，文笔流畅，使人感到耳目一新。
（2）不仅仅局限于知识的讲授，而是让读者真正从具体问题中体会到量子力学的精髓。
针对量子力学不易理解的特点，本书首先从简单的概率论和微分方程入手，让学生能迅速对一些简单的量子力学问题“上手”，而不仅仅是望着深奥的知识兴叹。
（3）充分体现现代物理内容，在讲述量子力学的同时，把问题扩展到多个前沿的研究领域，如统计物理、固体物理、粒子物理等。
在物理学各个分支中常用的部分既有精辟的叙述，又有实际举例。
（4）作者通过把一些内容移到课外习题的方式来缩减内容，使学生可以通过自学来掌握量子力学相当大的一部分内容，使得本书主线清晰，内容简练。
为此，作者在练习题选择上特别下功夫。
例题与习题对数学的要求并不高；习题分为容易、中等和较难三个层次，可供不同基础的学生选择。
对难的题目还附有提示。
有利于学生对量子力学的掌握。
鉴于上述特点，我们认为这本书非常适合我国学生在学习量子力学中使用。
该教材的翻译出版会对量子力学的教学起到积极的作用。
本书的1－4章、12章由胡行翻译，5－9章由贾瑜翻译，10－11章由李玉晓翻译，最后由贾瑜对全书进行了统一。
×××教授审校了全书，霍裕平院士为中译本写了序言，译者对此表示衷心感谢。
量子力学的基本理论和基本概念
爱因斯坦对光电效应的解释
电子从照射的光束吸收能量时,是一次性吸收整个一个光子的能量, 不需要积累时间。所以,光电效应是瞬时性的,弛豫时间极短。 入射光的光强越大,光束中所含的光子数就越多,于是在光照下产 生的光电子数也越多,光电流也越大。由此可以说明光电流与光强 成正比这一实验事实。 对于一定的阴极材料,脱出功A是一定的。照射光的频率ν降低,则 光电子的最大动能Ek减小。频率降到红限ν0时,光电子最大动能减 为0,这时光电子吸收光子的能量完全用来克服脱出功,即 A = hν0 (24.5-3)
值得注意的是经典波的波函数本身是有明确的物理意义的, 它们的平方对应时刻t,在空间,r处波的强度,而物质波的波函 数Ψ本身没有直接的物理意义,有直接物理意义的是波函数 绝对值的平方,它代表粒子出现的几率。
2.薛定谔方程
在德布罗意假设的基础上,薛定谔(E.Schrodinger)于1926年建立了势 场中微观粒子的德布罗意波所遵循的微分方程。为此,我们先来研究 一下一维运动的自由粒子的德布罗意波所遵循的微分方程。自由粒 子沿x方向匀速直线运动的波函数(25.5-4)为
测不准原理2
值得指出的是,对时间和能量的同时测量,也存在类似的 关系。如果用∆E表示能量的不准量,∆t表示时间的不准 量,则有 ∆E∆t ≥ ħ (25.4-2)
应用式(25.4-2),可以解释原子激发能级的有限宽度∆E跟 它在激发态的平均寿命τ呈反比关系。设原子在激发态 的时间τ≈10-8s,由上式可知原子的激发能级不可能测得 很准,而有着一定的有限宽度∆E≥ ħ/τ ≈ 1.0×10-26J,说明 原子光谱的谱线必有一定宽度。
这时在空间一很小的区域→x+dx,y→y+dy,z→z+dz内,可视为不 变,显然粒子在体积元dτ=dxdydz内出现的几率应正比于体积dτ,, 因而
完整版)量子力学总结
完整版)量子力学总结量子力学基础（概念）量子力学是一种描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，使用不连续物理量来描述微观粒子。
量子的英文解释为“afixed amount”（一份份、不连续），因此量子力学的特征就是不连续性。
量子力学描述的对象是微观粒子，而微观特征量则以原子中电子的特征量为例。
这包括精细结构常数、原子的电子能级、原子尺寸等。
例如，原子的电子能级大约在数10eV数量级。
同时，原子尺寸可以用玻尔半径来估算，一般原子的半径为1Å。
角动量是量子力学中的基本概念之一，它可以用来描述微观粒子的运动。
在量子力学中，有多种现象和假设被用来解释微观粒子的行为，如光电效应、康普顿效应、波尔理论和XXX假设。
XXX假设认为任何物体的运动都伴随着波动，因此物体若以大小为P的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动。
德布罗意波关系则是用来描述物质波的关系，其中λ为波长，h为普朗克常数，P为动量。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
电子衍射实验是证实电子波动性的重要实验之一，由XXX和革末于1926年进行。
他们观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，并求出电子的波长为0.167nm。
根据上式，发现光子出现的概率与光波的电场强度的平方成正比，这是XXX在1907年对光辐射的量子统计解释。
同样地，电子也会产生类似的干涉条纹，几率大的地方会出现更多的电子形成明条波，而几率小的地方出现的电子较少，形成暗条纹。
玻恩将||2解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率，他指出“对应空间的一个状态，就有一个由伴随这状态的德布罗意波确定的几率”，这也是他获得1954年诺贝尔物理奖的原因。
根据态迭加原理，非征态可以表示成本征态的迭加，其中|Cn|2代表总的几率，也就是态中本征态n的相对强度（成分），即态部分地处于n的相对几率。
在态中力学量F的取值n的几率可以表示为|Cn|2，这就是对波函数的普遍物理诠释。
如果是归一化的，即积分结果为1，则|Cn|2的总和为1，代表总的几率。
大学物理易考知识点量子力学的基本概念和理论
大学物理易考知识点量子力学的基本概念和理论量子力学（Quantum mechanics）是研究微观领域中物质和辐射的行为的物理学理论，也是现代物理学的基石之一。
量子力学的基本概念和理论涵盖了很多方面，本文将介绍大学物理易考的量子力学知识点，帮助读者更好地理解相关内容。
一、波粒二象性（Wave-particle duality）波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质，也具有波动性质。
在量子力学中，粒子的行为既可以用粒子模型解释，也可以用波动模型解释。
这一概念首先由德布罗意（Louis de Broglie）提出，并在实验中得到了验证。
1. 德布罗意假设德布罗意提出，与粒子相对应的波动特性可以用波长（也称为德布罗意波长）来描述，其公式为λ = h/p，其中λ 是波长，h 是普朗克常量，p 是粒子的动量。
这一假设为量子力学奠定了基础。
2. 实验验证实验中，例如双缝干涉实验和扫描隧道显微镜实验，通过观察到物质波的干涉和衍射现象，验证了波粒二象性的存在。
这些实验结果对量子力学的发展产生了深远的影响。
二、波函数和薛定谔方程（Wave function and Schrödinger equation）波函数是量子力学中用来描述粒子状态的数学函数。
在波函数的框架下，薛定谔方程描述了波函数随时间的演化规律，是量子力学的基本方程之一。
1. 波函数的概念波函数用Ψ 表示，其表示了粒子在空间中的分布。
波函数的模长的平方|Ψ|^2 表示了粒子在某个位置被观测到的概率密度。
2. 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学体系演化的基本方程，可以写作HΨ = EΨ，其中 H 是哈密顿算符，Ψ 是波函数，E 是体系的能量。
薛定谔方程将量子力学问题转化为一个本征值问题，解这个方程可以得到体系的能级和波函数。
三、量子力学的观测和不确定性原理（Observation and uncertainty principle）量子力学中的观测和不确定性原理是描述微观领域的探测和测量所面临的限制。
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狄拉克认为，波函数坍缩是自然做出的选 择，而海森伯则认为它是观察者选择的结 果。玻尔似乎同意狄拉克的观点，然而他 更关心的是量子力学的普遍的互补性特征， 他尤其强调了关于物理量的定义和观察的 互补性质。在玻尔看来，离开观察人们便 不能谈论任何东西，这也是与会的大多数 物理学家所赞同的。
然而，与会的物理学家们对波函数坍缩过 程的认识还很模糊，他们普遍认为这一过 程只是一种瞬时的选择过程，不需要进一 步的说明。
氢原子中电子的几率密度图
玻恩的几率波解释第一次把几率概念引进基础物 理学，“ 理学，“粒子的运动遵循几率定律，而几率本身 按因果律传播” 按因果律传播”。这里，几率的出现并不是由观 察者的无知或理论本身的无能所导致的，而必须 看作是自然本身的一种本质特征。于是，量子力 学一般只预言一个事件的几率，而对这个事件的 发生不作任何决定论的断言。这是一次极不寻常 的思想冒险，它向人们展示了一个潜在的、不确 定的量子世界，在这个世界中代表几率的波函数 主宰着一切。
一、它是几率波 一、它是几率波
“粒子的运动遵循几率定律，而几率本身则 按因果律传播。” 按因果律传播。” ——玻恩，1926年 ——玻恩，1926年
面对神秘的波函数，玻恩首先发现了它与 经验之间的微妙联系。玻恩认为，波函数 只是一种存在于数学空间中的几率波，而 不是如它的发现者——薛定谔所认为的那 不是如它的发现者——薛定谔所认为的那 样，是存在于真实空间中的物质波。
辩论就这样夜以继日地进行了若干个小时 而没有达成任何一致的意见。过了两天， 薛定谔生病了，……不得不卧床休息。玻 薛定谔生病了，……不得不卧床休息。玻 尔夫人照料他，给他端茶送水，而玻尔则 坐在床边，并且认真地对薛定谔说：‘ 坐在床边，并且认真地对薛定谔说：‘但 是你肯定必须理解……’ 是你肯定必须理解……’
尽管玻恩是矩阵力学的共同创建人之一，但是他 却对薛定谔的波动力学情有独钟，并相信这一理 论是量子规律更深刻的表达形式。然而，玻恩并 未附和薛定谔的经典波解释，他的同事弗兰克关 于原子和分子碰撞的实验使他确信粒子图像不能 被简单地抛弃，相反，必须找到使粒子和波相调 和的方法。这时，爱因斯坦关于“鬼波” 和的方法。这时，爱因斯坦关于“鬼波”的想法 启发了他，使他认识到通过几率途径可以将粒子 与波合理地联系起来。
五、谁坍缩了波函数？
狄拉克：“ 狄拉克：“自然将随意选择它喜欢的一个分支，因为量子 力学理论给出的唯一信息只是选择任一分支的几率。” 力学理论给出的唯一信息只是选择任一分支的几率。” 玻尔：“完全理解……整个问题就在于，通过实验，我们 玻尔：“完全理解……整个问题就在于，通过实验，我们 引入了某种不允许继续进行的东西。” 引入了某种不允许继续进行的东西。” 海森伯：“我不同意这一点……我宁愿说，观察者本人进 海森伯：“我不同意这一点……我宁愿说，观察者本人进 行选择，因为直到做出了观察的那一时刻，选择才成为一 种物理实在。” 种物理实在。” ——第五届索尔维会议上的讨论，1927年10月 ——第五届索尔维会议上的讨论，1927年10月
Hale Waihona Puke 玻尔和薛定谔之间的辩论，在哥本哈根火车站就 开始了，而且后来每天从清晨继续到深夜。薛定 谔是在玻尔家中下榻的，而这就使得他们之间的 讨论几乎是永不间断的。而且，尽管玻尔在别的 方面和人相处时是最体谅人和最和蔼可亲的，但 是这一回我却觉得他是一个寸土不让的狂热者， 他不准备向他的对手做出任何妥协，也不准备容 忍最小的含糊性。简直难以形容双方展开辩论时 的那种感情的强烈程度，也难以形容在他们的每 一句话中人们可以觉察出来的那些根深蒂固的信 念
六、哥本哈根解释一统天下
“我们认为量子力学是一个完备的理论，它 的基本的物理和数学假设不再允许修正。” 的基本的物理和数学假设不再允许修正。” —— 海森伯与玻恩，1927年10月 海森伯与玻恩，1927年10月
海森伯和玻恩当众宣布，“ 海森伯和玻恩当众宣布，“我们认为量子 力学是一个完备的理论，它的基本的物理 和数学假设不再容许修正。” 和数学假设不再容许修正。”这一看法为 与会的大多数物理学家所赞同。至此，玻 恩的几率波解释、海森伯的不确定关系和 玻尔的互补原理共同形成了量子力学的正 统哥本哈根解释，并从此开始统治人们对 量子世界的理解。
这说的是1927年在布鲁塞尔举行的第五届 这说的是1927年在布鲁塞尔举行的第五届 索尔维会议的结果吗？在这次会议上，爱 因斯坦和玻尔这两个当时世界上最顶尖的 物理学家，进行了科学史上著名的学术辩 论。在这次辩论中，玻尔所代表的新生量 子论学派获得了更广泛的支持，而维护经 典理论的爱因斯坦则被认为不合时宜，站 到了对立面。
关于量子力学的正统观点
下述简短的对话可以帮助我们了解正统观点的概 要。 问：量子力学中的波函数是一种什么波？ 答：它是一种几率波，代表着通过实验测量 所获得的所有可能结果的几率情况。 问：在量子力学中如何谈论粒子的运动？ 答：我们不能同时谈论粒子的位置和速度， 它们受不确定关系的限制。 问：那么粒子究竟是怎样运动的？ 答：这个问题没有意义。我们只能提供互补 性的描述，而且这种描述与实验有关。
几乎可以肯定，世界上没有第二张照片，能像这张一样，在 一幅画面内集中了如此之多的、水平如此之高的人类精英。
补充：第五届索尔维会议 简介 索尔维是一个很像诺贝尔的人，本身既是 科学家又是家底雄厚的实业家，万贯家财 都捐给科学事业。诺贝尔是设立了以自己 名字命名的科学奖金，索尔维则是提供了 召开世界最高水平学术会议的经费。这就 是索尔维会议的来历。
玻尔的互补板凳
1927年 1927年9月，在意大利科摩举行的纪念伏打 逝世一百周年的国际物理学会议上，玻尔 首次公开阐述了他的互补性思想。同年10 首次公开阐述了他的互补性思想。同年10 月，在布鲁塞尔召开的第五届索尔维会议 上，互补性思想开始被大多数物理学家所 赞同和接受。玻尔的挚友艾伦菲斯特后来 回忆说，“ 回忆说，“玻尔完全超越了每一个人，他 起初根本没有被理解，……然后就一步一 起初根本没有被理解，……然后就一步一 步地击败了每一个人。” 步地击败了每一个人。”
1954年，玻恩“ 1954年，玻恩“由于量子力学方面的基础 研究工作，特别是对波函数的统计解释” 研究工作，特别是对波函数的统计解释” 获得了诺贝尔物理学奖。
二、必须理解的
薛定谔：“ 薛定谔：“要是必须承认这该死的量子跃 迁，我真后悔卷入到量子理论中来。” 迁，我真后悔卷入到量子理论中来。” 玻尔：“ 玻尔：“但是，我们大家却全都感谢你， 你的波动力学代表了一次巨大的进步。” 你的波动力学代表了一次巨大的进步。” ——1926年10月，哥本哈根 ——1926年10月，哥本哈根
量子力学电子作业
专业：物理学 姓名：徐迪 学号：0310225 学号：0310225
量子力学史话
1927年这场华山论剑，爱因斯坦 1927年这场华山论剑，爱因斯坦 终究输了一招。并非剑术不精，实 乃内力不足。 ——《上帝掷骰子吗》 ——《上帝掷骰子吗》
作者：曹天元 出版：辽宁教育出版 出版： 作者： 社
三、不能同时谈论电子的位置和速度 三、不能同时谈论电子的位置和速度
“粒子的位置测定得越精确，它的动量就知 道得越不精确，反之亦然。” 道得越不精确，反之亦然。” ——海森伯，1927年 ——海森伯，1927年
薛定谔离开哥本哈根后，玻尔和海森伯继续深入 地讨论了这些问题。在他们看来，电子有时象粒 子，有时象波的表现仍然是一个严重的亟需解决 的佯谬。“ 的佯谬。“就象一位从某种溶液中一点一点地浓 缩他的毒物的化学家那样” 缩他的毒物的化学家那样”，海森伯和玻尔不断 尝试着“浓缩这种佯谬的毒性” 尝试着“浓缩这种佯谬的毒性”，他们渴望知道 大自然是怎样避免矛盾的。夜以继日的讨论，以 及彼此之间的意见不一使他们都彻底累坏了。 1927年 1927年2月中旬，玻尔决定到挪威去滑雪，好让 彼此的精神都放松一下。这个决定很快被证明是 十分明智的，因为不久之后，海森伯便发现了不 确定关系，而玻尔也在挪威大峡谷“找到” 确定关系，而玻尔也在挪威大峡谷“找到”了互 补原理。
量子力学的哥本哈根解释在其后几十年里 成为了大多数物理学家所信奉的正统观点， 玻尔也因此成为了名副其实的量子教皇。 然而，反对者们依然存在，甚至在正统观 点刚刚提出之时就已出现。
量子的发现
1900年对于科学来说无疑是一个新的开端。 1900年对于科学来说无疑是一个新的开端。 这一年，诺贝尔基金委员会成立，从此代 表科学界最高荣誉的诺贝尔奖开始颁发； 这一年，希尔伯特在国际数学家大会上提 出了著名的 23 个问题，为新世纪勾勒了一 幅美丽的数学画卷；也正是在这一年，普 朗克发现了量子，人类从此迈入了辉煌的 量子时代。
1926年 1926年6月，玻恩在一篇关于粒子散射问题的文章中首次 提出了量子力学的几率波解释。为了说明波函数如何与粒 子联系起来，玻恩着手利用薛定谔方程来解决量子理论中 的稳定散射问题。在此过程中他认识到，散射波振幅的平 方可以看作是散射粒子偏转通过空间区域的几率。于是玻 恩发现，波函数绝对值的平方将代表在空间某区域中发现 粒子的几率，即波函数是一种几率波而非真实的波。玻恩 后来回忆这一发现时说，“ 后来回忆这一发现时说，“爱因斯坦的观念又一次引导了 我。他曾经把光波的振幅解释为光子出现的几率密度，从 而使粒子和波的二象性成为可以理解的。这个观念马上可 以推广到波函数Ψ上：|Ψ|2必须是电子（或其它粒子）出 以推广到波函数Ψ上：|Ψ|2必须是电子（或其它粒子）出 现的几率密度” 现的几率密度”。
玻尔与海森伯在讨论
海森伯发现，量子力学对基于经典力学的那些物 理概念，如位置和速度，施加了一种应用限制。 人们不再能同时谈论电子的位置和速度，因为它 们不能以任意精度被同时测定，并且这两个量的 不确定度的乘积将大于普朗克常数除以粒子的质 量。这一关系后来被称为海森伯不确定关系。有 趣的是，泡利在1926年10月致海森伯的信中曾预 趣的是，泡利在1926年10月致海森伯的信中曾预 先给出了一个更通俗的陈述，他说，“ 先给出了一个更通俗的陈述，他说，“一个人可 以用p眼来看世界，也可以用q 以用p眼来看世界，也可以用q眼来看世界，但是 当他睁开双眼时，他就会头昏眼花了