幂函数

0
x
探究性质，学以致用
练习1 比较下列各题中两个值的大小：
（1） 31.3, 21.3；
（2）
(2
a2
)
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2 3
,
2
2 3
；
解：（1）考察幂函数y x1.3 ，在区间0， 上是单调递增函数 3 2,31.3 21.3
2
（2）考察幂函数 y x 3, 在区间0， 上是单调递减函数
2 a2
2,
(2
探究性质，学以致用
例1 比较下列各题中两个值的大小：
11
（1）52 , 62；
（2）(a 1)1.5 , a1.5.
1
解：（1）考察幂函数 y x2 在区间0， 上是单调递增函数
1
1
52 62
（2）考察幂函数y x1.5 在区间0，+上是单调递增函数
y
a 1 a, (a 1)1.5 a1.5
1
y x2
2 -
y x 3
幂函数同指数函数、对数函数一样都是形式定义的函数. 前面的系数为1, 后面没有常数项
式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= xα
名称
a
x
y
底数 指数位置 幂值
指数 底数位置 幂值
温故知新，概念形成
1.判断下列函数哪些是幂函数（：1）（2）（4）
（1）y x4; (2) y
其他函数_________________________________ 第三类函数有什么共同特征？
（1）指__数____是常数 （2）_底__数___是变量（3）都是 y___x_
的形式
温故知新，概念形成
幂函数定义
一般地，形如 y x R 的函数称为幂函数，其中
为常数．
y x2
y x-2
1
1
; (3) y -x2; (4) y x2 ;
x2
(5) y 2x2;(6) y x3+2；
2. 幂函数 y (m 2)xm，则m=__-_1__
(-2,4)
y
4
y x3
y x2 (2,4)
3
yx
2
1
y x2
(-1,1)
1
(1,1)
-4
-2
2
o
（-1,-1）
-1
y x1
y
22
B.2, 1 , 1 , 22
C. 1 , 2, 1 22
D. 1 , 2, 1
22
0
x
探究性质，学以致用
2
例2 讨论函数y x 5 的定义域、奇偶性，作出它的图象，
并根据图象说明函数的增减性.
2
y x3
y
（1,1）
0
函数在 0，+ 上单调递增，
x
在 -，0 上单调递减.
探究性质，学以致用
4
6
x
-2
探究性质，学以致用
（二）学生自主合作探究幂函数性质
探究一
0和 0时，幂函数
在第一象限的单调性有何不同?
探究性质，学以致用
★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图 象都通过点(1,1).
★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并 在(0,+∞)上为增函数.
★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数，以坐标轴为渐近线。
注意：将分数指数幂化成根式
探究性质，学以致用
练习 2 将图像相应解析式的序号写在括号内：
①
y
2
x3
②
y
3
x2
③
y
1
x 3;
④
y
1
x3
y
1
o
1
x
y 1 o1 x
( ③)
(① )
y 1 o1 x
( ④)
y 1 o1 x
(②)
总结反思，升华提高
幂函数的概念、图象和性质. 比较幂的大小；作图研究性质.
数形结合，转化思想.
a
2
)
2 3
2
23
y
0
x
探究性质，学以致用
（3）设a 20.3,b 30.3, c 30.5，则（ B ）
A、a b c B、a b c C、a c b D、b a c
考察指数函数y 3x 函数在R上递增 又 0.3 0.5b c
a b c
小结： 底数不同，指数相同，考察幂函数.
（1）y 2x （2）y log2 x（3）y x2 （4）y 3x （5）y x2 （6）y lg x
1
（7）y ln x （8）y 10x （9）y x3
指数函数_________________________________
对数函数_________________________________
底数相同，指数不同，考察指数函数.
探究二 在第一象限， 1、0 1、 0时，
函数的图象的变化趋势有何不同？
函数在第一象限的形状
如图所示，图中的曲线是幂函数y x
在第一象限的图象，已知取-
1 2
，1 2
，2三个值，则
B 对应于曲线C1,C2 ,C3的指数的值依次为（ ）
A. 1 , 1 , 2
必 做
阅 读
必做：课后达标检测幂函数部分 选做：必修一课本79页2、3题
2
解：函数y x 5 5 x 2 ，定义域是实数集 R
2
函数y x 5 是偶函数.
先作出幂函数在 0, 上的图象，
再根据函数的图象关于y轴对称，作出它在 ,0上的图象. 2 y x3 函数在 0，+ 上单调递增，
在 -，0 上单调递减.
（1,1）
0
探究性质，学以致用
总结：作幂函数图象的步骤 1、求定义域； 2、判断奇偶性； 3、作第一象限的图象； 4、利用奇偶函性，补全整个函数的图象.
1.下列命题中正确的是( D ) A.幂函数在第一象限都是增函数
B.幂函数的图像都经过（0,0）和（1,1）点
C.若幂函数y x 是奇函数，则y x是定义域上的增函数
D.幂函数的图像不可能出现在第四象限
2.比较各题中两个幂的值的大小
1
1
(1)2.32 < 2.42
(2)( 2)-3 >
( 3)-3