铁路客票最优动态票价理论研究

仅仅在每一个 z k (k > 0) 处才变换其值。
2 动态票价的最优策略
当购票旅客以需求强度 Κ的 Po isson 流到达时,
充分小的时间段 ( t, t+ ∃ t) 内, 购买一个席位的概率为
Κ∃ t+ o (∃ t) , 购买多于一个席位的概率为 o (∃ t) , 不购
买 席位的概率为 1- Κ∃ t+ o (∃ t) , 由于时间段 ( t, t+
优需求强度 ∆nt 在时间段[ t- ∃ t, t ]内为常数 Β, 上式便
可改写为
dV
t n
dt
=
Β(V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t n-
1
-
V
t n
)
+
rΒ
解此线性微分方程得
∫t
V
t n
=
(ΒV
s n-
1
+
rΒ) e- Β(t- s) ds +
e V - Β∃t t- ∃ t n
t- ∃ t
改写 t 为 t+ ∃ t, 得
∫ V
t+ n
∃t
=
t+ ∃ t
(ΒV
s n-
1
+
rΒ) e- Β(t+ ∃t- s) ds +
e V - Β∃ t t n
t
进而得
V
t+ n
∃t
=
[ (V
s n-
1
+
p Β) e-
Β( t+ ∃ t-
s)
] t+ t
∃t
-
∫t+ t
∃t
dV
s n-
ds
1 e-
Β( t+
∃ t-
s) ds
+
e-
Β∃ tV
1 动态票价的马氏纯灭过程模型
铁路客票销售机构在组织客票发售过程中, 假设
有多个优惠票价方案提供选择, 不同的优惠票价方案
确定了不同的购票需求强度, 购票旅客以这个需求强
度的 Po isson 流到达。考虑到列车多席别、多停站的特
殊性, 我们仅对某站及以远站实行优惠, 以统一折扣率
来描述不同到站的优惠票价, 并且对不同席别指定不
t n
=
+ V t+ ∃ t n- 1
pΒ-
e- Β∃t [ p Β -
(V
t n
-
V
t n-
1)
]
-
∫t+ ∃t t
dV
s n-
ds
1 e-
Β( t+ ∃ t-
s) ds
当
∃t
充分小时,
dV
s n-
ds
1=
V
t+ n-
∃1t- V ∃t
t n-
1,
得
V
t+ n
∃t
=
+ V t+ ∃ t n- 1
pΒ-
在西方国家, 多年的市场化经营与研究形成了一
收稿日期: 2001208221; 修回日期: 2001210223 作者简介: 史 峰 (1956—) , 男, 湖南芷江人, 教授, 博士。
整套成熟的客票票价体系, 通过优惠预售票价, 有效地 吸引了更多的旅客, 使客票期望收益最大化。
K inca id 和 D a rling 于 1963 年就已开始用决策方 法研究产品的动态价格[1],M iller 讨论了与动态价格 相关的连续时间马氏决策并证明了重要的基础性定 理[2], Ga llego 和 van R yzin 研究了连续商品数量的动 态价格问题[3], Feng 和 Ga llego 研究了较低价格增加 至较高价格或较高价格减少至较低价格的一次变更价 格问题[4], Rob in son 研究了预售飞机票的动态价格问 题[5], Ga llego 和 van R yzin 还研究了多种产品的动态 价格问题[6]。所有这些研究, 为动态价格问题奠定了理 论基础。
∃ t) 内发售一个席位增加收入 p Κ, 根据动态规划 B ell2
m an 最优化原理
V
t+ n
∃t=
m ax{ (1Κ∈+
Κ∃ t)V
t n
+
Κ∃ t (V
t n-
1+
p Κ) +
o (∃ t) }
由此可得
dV
t n
dt
=
m ax{Κ(V Κ∈+
t n-
1
-
V
t n
)
+
rΚ}
由前面提到的M iller 的结论, 当 ∃ t 充分小时, 最
第 24 卷第 1 期 2 0 0 2年2月
铁 道 学 报 JOU RNAL O F TH E CH INA RA ILW A Y SO C IET Y
V o l. 24 N o. 1 Feb ruary 2002
文章编号: 100128360 (2002) 0120001204
铁路客票最优动态票价理论研究
完, 自然不会产生任何收益。 所以边界条件为
V
t 0
=
0 V
0 n
=
0 t ∈ [ 0, ∞) n ∈ S
(3)
第1期
铁路客票最优动态票价理论研究
3
利用递推公式 ( 2 ) 和边界条件公式 ( 3 ) , 选择较 小的 ∃ t 值 (亦可取几个值, 预售期越短时 ∃ t 越小) , 递 推地求解动态票价问题, 当递推过程中存在多个需求 强度都为最优解时, 我们选择较小的作为最优需求强 度。
本文结合我国铁路客票票价管理的发展趋势和西
2
铁 道 学 报
第 24 卷
方国家多年的研究成果, 研究了我国铁路客票动态票 价的最优策略和实用性问题, 给出的递推公式可用于 最优策略和实用策略的求解, 为全国铁路客票发售和 预订系统的票价计算子系统功能升级提供了理论依 据, 为开展我国铁路客票动态票价研究进行了有意义 的尝试。
3 计算分析与实用策略
(V
t n
-
V
t n-
1)
]
-
V
t+ n-
∃t 1
-
V
Κ∃ t
t n-
1 (1
-
e- Κ∃t) } ( 2 )
在 t= 0 和 n = 0 的边界上, t= 0 表示开车时间已
到, 本文从发车前组织售票的意义上认为不能再产生
任何收益 (必要时也可对车上补票和前方站在开车以
后发售剩余席位的收益进行估计) ; n= 0 表示票已售
Abstract: A p a ssenger t icket p ricing sy stem rep resen t s the m a rket ing deg ree of a p a ssenger t ran spo rta t ion sy s2 tem. B y m any yea rs refo rm a t ion, Ch inese ra ilw ay p a ssenger t ran spo rta t ion ha s changed it s fixed p ricing sy stem and floa t ing the p a ssenger t icket p rices som e t im e. Com p a ring w ith w est coun t ries, Ch ina is beh ind in th is field. M o re resea rches and op era t ion s have been done in w est coun t ries. In th is p ap er, the op t im a l dynam ic p ricing po licy and the p ract ica l po licy of Ch inese ra ilw ay p a ssenger t icket a re resea rched. B a sed on the develop 2 ing t rend of Ch inese ra ilw ay p a ssenger t icket p ricing and the w estern resea rches, a fo rm u la t ion is g iven w h ich can be u sed to find the op t im a l dynam ic p ricing po licy and the p ract ica l po licy. T hese resu lt s supp ly theo ret ic ba ses fo r design ing p ricing sub sy stem of the Pa ssenger T icket Selling and R eserving Sy stem of Ch inese R a il2 w ay. Keywords: p a ssenger t icket p rice; M a rkov decision; dynam ic p rog ramm ing
定)。 一个策略为 (预售) 时间[ 0, ∞) 上、值为决策 ∆ 的
函数 Π= (∆t) , ∆t 的分量 ∆nt 表示预售时间为 t、剩余席 位为 n 时所选择的需求强度。
最优动态票价问题就是要求解最优策略 Π= (∆t) ,
使期望收益最大。记V
t n
为预售时间
t、剩余席位
n
时的
最大期望收益。
M iller 在讨论连续时间马氏决策时得到如下结 论[2]: 存在一个最优策略 Πλ= (∆λnt ) , 对任何状态 n ∈S , 存在序列{z k }: 0= z 0< z 1< …且 z k →∞ (k →∞) , 使 ∆λnt 在 t∈ (z k- 1, z k ]中为常数。 也就是说最优需求强度 ∆λnt
e- Β∃t [ p Β -
(V
t n
-
V
t n-
1)
]
-
V
t+ n-
∃t 1
-
V
Β∃ t
t n-
1 (1
-
e- Β∃t)
(1)
式中注意到 V
t+ n
∃t
为最大期望收益,
消除
Β
的最优性,
得到最大期望收益 V
t n
的递推公式
V
t+ n
∃t
=
m ax{V Κ∈+
t+ n-
∃t 1
+
pΚ-
e- Κ∃t [ p Κ -
史 峰, 郑国华, 谷 强
(中南大学 经济管理学院, 湖南 长沙 410075)
摘 要: 客票票价体系是旅客运输市场化程度的标志, 我国铁路旅客运输通过多年改革的摸索, 逐步打破了客票 票价几十年一成不变的僵化局面, 在一定范围、一定时段内实行了票价浮动。相比之下, 西方国家在动态票价方面 早已进行了多年的市场化经营与研究, 形成了一整套成熟的客票票价体系。本文结合我国铁路运输市场票价管理 的发展趋势和西方国家多年的研究成果, 研究了我国铁路动态客票票价的最优策略和实用性问题, 给出的递推公 式可用于最优策略和实用策略的求解, 为全国铁路客票发售和预订系统的票价计算子系统功能升级提供了理论 依据, 为开展我国铁路客票动态票价研究进行了有意义的尝试。 关键词: 客票票价; 马氏决策; 动态规划 中图分类号: U 293. 1 文献标识码: A
一对应的, 为方便叙述起见, 认为销售机构先选择需求
强度 Κ, 相应确定票价 p Κ, 相应收入率为 rΚ= Κp Κ。对任
何 Κi∈+ , 记 ri= rΚi。 对于状态空间 S 中的任意状态 n, 定义所选择的
需求强度 ∆n 构成一个决策 ∆= (∆n) , 或者说剩余席位
为 n 时的决策为选择需求强度 ∆n (票价 p n 随之得到确
O ptima l dynam ic pr ic ing of ra ilway pa ssenger ticket
SH I Feng, ZH EN G Guo 2hua, GU Q iang
(Econom y and M anagem en t Co llege, Cen tral Sou th U n iversity, Chang sha 410075, Ch ina)
价的需求强度, 可供选择的票价集为 P = {p 1, p 2, …,
pM }, 满足 p 1< p 2< …< pM 。 如果选择票价 p i, 则相应
的需求强度为 Κi, 记 + = {Κ1, Κ2, …, ΚM ) 为需求强度集, 满足 Κ1> Κ2> …> ΚM 。
在客流稳定不变的情况下, 票价与需求强度是一
客票票价体系是旅客运输市场化程度的标志, 我 国铁路旅客运输通过多年改革的摸索, 逐步打破了客 票票价几十年一成不变的僵化局面, 在一定范围、一定 时段内实行了票价浮动, 使客票票价在一定程度上反 应了客运市场的供求关系。 我国铁路正在简化铁路客 票票价的计算方法, 增加票价透明度, 提高市场经济条 件下的竞争能力, 为铁路全面推向市场做准备, 希望尽 快在国家的政府指导价控制下, 实行企业自主经营。同 时, 全国铁路客票发售和预订系统的建立, 也为灵活调 整客票票价提供了强有力的实施手段。
同的优惠票价方案。
注意到各到站优惠票价的折扣率相同, 所以在忽
略票价递远递减的情况下, 最大收益票价方案只需要
考虑所有席位都出售到终点站的情形。下面, 我们在所
有席位都出售到终点站的假设下, 对单一席别用连续
时间马氏纯灭过程来描述动态票价问题: 设席位数量
构成状态空间 S = {0, 1, 2, …}, 递减率依赖于客票票