具有时滞的Lotka-Volterra模型的正周期解的存在性

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几类捕食-食饵模型周期解的存在性与稳定性问题的开题报告

几类捕食-食饵模型周期解的存在性与稳定性问题的开题报告一、选题背景及意义捕食-食饵模型是生态学领域最为经典的研究领域之一，其研究对象是生态系统中的食饵和食肉动物之间的关系。

这种模型的建立可以有效的分析和预测生态系统中的变化，评估人类活动对生态系统的影响。

捕食-食饵模型的研究中存在周期解的存在性和稳定性问题，对此问题的解决可以有效地预测生态系统的变化，制定科学的保护策略，有助于保护地球生态环境，实现可持续发展。

二、选题内容和研究目的本文将以Ricker模型和Lotka-Volterra模型为基础，探讨捕食-食饵模型周期解的存在性和稳定性问题。

具体研究目的包括：1、判断模型的周期解是否存在。

2、分析周期解的稳定性，包括周期解的局部稳定性和全局稳定性。

3、探讨影响周期解稳定性的因素，如参数的变化对周期解的影响。

三、研究方法与预期结果本论文将采用数学建模和分析的方法研究该问题，并通过分析得到如下预期结果：1、在Ricker模型和Lotka-Volterra模型中，周期解的存在性与参数之间的关系。

2、利用线性稳定性分析周期解的局部稳定性。

3、通过Lyapunov函数法或直接算法讨论周期解的全局稳定性。

4、探讨环境变化对模型的周期解稳定性的影响，以及如何通过人类活动控制环境变化来实现捕食-食饵模型的可持续发展。

四、论文的创新点本文将从周期解的存在性和稳定性角度出发，研究捕食-食饵模型的演化及其稳定性。

创新点主要体现在以下几个方面：1、基于周期解探讨捕食-食饵模型的演化情况。

2、针对周期解的局部和全局稳定性分别进行讨论，比较两种模型间的区别。

3、探讨环境变化对模型的周期解稳定性的影响，提出有针对性的保护措施。

五、论文的结构文章的结构设计如下：第一章：绪论1.1 选题背景和意义1.2 选题内容和研究目的1.3 研究方法和预期结果1.4 论文创新点1.5 论文结构第二章：相关理论介绍2.1 捕食-食饵模型基本概念2.2 Ricker模型及其分析2.3 Lotka-Volterra模型及其分析第三章：周期解的存在性分析3.1 Ricker模型的周期解3.2 Lotka-Volterra模型的周期解第四章：周期解的稳定性分析4.1 Ricker模型周期解的局部稳定性4.2 Lotka-Volterra模型周期解的局部稳定性4.3 Ricker模型周期解的全局稳定性4.4 Lotka-Volterra模型周期解的全局稳定性第五章：环境变化对周期解稳定性的影响5.1 环境变化的影响机制分析5.2 人类活动对周期解的影响5.3 指导对策第六章：结论6.1 研究成果回顾6.2 不足之处与改进方向6.3 后续研究建议参考文献。

具有偏害关系的Lotka-Volterra模型周期正解的存在性

韩荣玉，薛亚龙，杨丽娅，陈凤德
（福州大学福建福州３５０１１６）
摘要：借助重合度理论，得到一组保证非自治具有偏害关系的Ｌｏｔｋａ — Ｖｏｈｅｒｒａ模型存在周期
正解的充分性条件。关键词：偏害模型；周期正解；重合度中图分类号：０１７５．１４文献标识码：Ａ文章编号：１６７３ — ４６２９（２０１５）０２ — ００２２ — ０５
种间偏害关系是自然界中一种较为普遍存在的关系。所谓偏害，是指种间相互作用仅使一方受到
抑制，而对另一方没有影响。具有这种作用关系的生物种群是很多的，如最近文献［１］就指出在青藏高
原东部的高寒草甸上，蝗虫的“ 无意识 ” 干扰（自然跳跃）严重降低了草原毛虫的生存质量。孙广才提
０，（ｔ）是第一个种群在ｔ时刻的生长密度，（ｔ）是第二个种群在ｔ时刻的生长密度，其中第二个种群
对第一个种群的生长起到不利作用，而第一个种群却对第二个种群生长不起作用。这里我们并不假设
收稿日期：２０１５一Ｏ１ — ０３
出了如下两种群偏害关系模型
ｄｘ，１一 —ａ
ｄｙｄｔ
，２．Ｙ、．．．ｚｙ，
其中ｒｌ，ｋ，ｉ＝１，２均为正常数，作者借助特征根分析的方法研究了系统（１）的各个平衡点的局部稳定性

变时滞Lotka-Volterra互惠系统周期正解的存在性

Ｅ和Ｋｕｎ２分别考虑了单种群时滞微分模型，得了其正平衡点全局吸引性的充分条件．ＭＥａｇＹ［获
ＢＳＧｏＥ非自治时滞二维互惠系统研究了它的全局稳定性充分条件．ｐｌａ对于时滞自治．．ｈ对ＧｏａｓｍｙＫ［
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根据生态学的意义，Ｙ（），而（），有０＞０从￡＞０即系统（）足正初值的解的每个分量都不可能在有限时１满
维普资讯
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陕西科技大学学报
Ｊ０ＵＲＮＡＬＯＦＳＨＡＡＮＸＩＵＮＩＶＥＲＳＴＹＣＩＩＯＦＳＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
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引理１Ｒ：｛，ｌ，一１２是系统（）（Ｙ）Ｙ＞０ｉ，｝１的正不变集．证明：因为系统（）价于如下积分方程１等
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Ｙ（）Ｙ（）ｘ｛（）ｓｓ（）十口（），ｓｆｓ）ｄ）ｉ￡一０ｅｐＩ［一口（）一ｓ）ｓ（ —ｒ（）］ｓ，，１２ｉＪ（ＪＪ一，，≠ ，
０引言
在种群动力学、生物学等的研究中，态系统周期正解的存在性具有非常重要的实际意义，来受到生历
了学术界的重视，多学者都进行过深入的研究，是大部分工作局限于生态竞争系统和生态捕于非线性常微分方程泛函分析研究了一类变时滞二维非自治ＬｔａＶｏｔｒａ互惠基ｏｋ — ｌｒｅ系统，用重合度理论建立了这类系统周期正解的存在性判据，到了相应的充分性条件．利得

无穷时滞Lotka-Volterra型系统的正周期解

２ … ，，ｉ（，）ｂ，ＥｃＩ，ａＥｃ，ｉ（Ｉ￣×Ｂ，），ｉ＋（三ａ（）ｂ（＋（，三ｂ（，，＋ ∞，）ａ（Ｕ）ｉ￡，ｉ￡，）ｉ￡），（
三（）＞０￡，．
ｎ（ ≤ ｎ（一厂（，）２，Ｉｄ＞０，１￡）￡ ≤ ａ（））口（）
其中ＳＥ（。，］一。Ｏ；（）ｂ（，Ｈ）把有界集映为有界集，且存在连续非负的ｃｃ期函数ｂ￡对ＶｔＥ，ＥＢ，厂周（）Ｖ
大学数学
第２７卷
ｎ一｛ ∈ Ｂｕｔ一（１，（） … ，（），：（）（）２￡，￡）０≤ （）Ｃ对ｔ∈ ≤ ，一１２… ，，ｉ，，｝
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考虑下述无穷时滞周期泛函微分方程组Ｇ ÷ 一ｚ（）ａ（）ｉ￡ｚ）ｉ）￡（ｉ一ｂ（，Ｘ（一厂（，）；ｚ），
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其中ｔ，￡一（ｌ￡，，，）Ｅ ” （）Ｅ（）ｚ（）ｚ（） … ｚ（），５一（＋ｓ对一切ＳＥ（ｘ，］．于ｉ，２￡）一ｃ０对３一１
方程组（）１的正厨期解存在性，到Ｔｉ周期解存在的充分条件．本文结果中，必假设关于为得Ｅ在不
局部Ｌｐｈｔ的及为非负的，ｉｓｉｚ因此本文结果在一定程度上推广并改进了文［］１的结果．

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性【摘要】本文探讨了Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性问题。

首先介绍了竞争扩散系统的基本原理，然后分别定义和描述了边界平衡点和正平衡点的性质。

接着阐述了行波解的概念，并重点讨论了连接边界平衡点和正平衡点的行波解存在性。

探讨了存在性分析的意义，并展望了进一步的研究方向。

本文通过理论分析和数值模拟，深入探究了竞争扩散系统中行波解的存在性，对于生态学和数学建模领域具有重要的理论意义和应用价值。

【关键词】Lotka—Volterra竞争扩散系统、边界平衡点、正平衡点、行波解、存在性分析、研究展望1. 引言1.1 研究背景在生态学领域，竞争扩散系统是一种重要的研究对象，其中Lotka—Volterra模型是经典的描述种群竞争关系的数学模型。

竞争扩散系统可以模拟不同种群之间的竞争和扩散过程，揭示种群数量和空间分布之间的动态关系。

在实际生态系统中，种群之间的竞争和扩散是普遍存在的现象，对于生态系统的稳定性和可持续发展具有重要意义。

研究Lotka—Volterra竞争扩散系统的连接边界平衡点和正平衡点的行波解存在性，不仅可以加深我们对生态系统动态特性的理解，还可以为生态系统的管理和保护提供理论指导。

在实际应用中，行波解的存在性分析可以为预测种群扩散和竞争的趋势提供参考，为生态环境的健康和生物多样性的维护提供科学依据。

探究Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，具有重要的理论和应用意义。

1.2 研究目的研究目的是探讨在Lotka—Volterra竞争扩散系统中连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性问题。

具体来说，我们的目的包括以下几点：1. 确定竞争扩散系统的基本原理，深入理解系统内各种影响因素之间的相互作用关系，从而为后续研究奠定基础。

2. 研究和探讨边界平衡点和正平衡点在竞争扩散系统中的定义和性质，分析它们在系统中的作用和重要性。

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka-Volterra竞争扩散系统是描述种群竞争和迁移的数学模型，它由Alfred J. Lotka和Vito Volterra在20世纪初提出。

这个系统描述了两个不同种群在空间中的竞争和扩散的动态过程，对于了解生态系统中物种之间的相互作用具有重要意义。

在Lotka-Volterra竞争扩散系统中，连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性是一个重要问题，对于我们理解这个系统的稳定性和动态行为具有重要的意义。

让我们来了解一下Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本形式。

该系统的基本描述是由一对常微分方程组成，考虑两个种群的竞争和扩散过程。

假设有两个物种，分别用u(x, t)和v(x, t)表示它们在空间位置x和时间t上的密度。

那么Lotka-Volterra竞争扩散系统可以用如下的方程描述：∂u/∂t = d₁∇²u + r₁u(1 - u - α₁v)∂v/∂t = d₂∇²v + r₂v(1 - v - α₂u)d₁和d₂分别表示两个种群的扩散系数，r₁和r₂分别表示两个种群的增长率，α₁和α₂表示两个种群之间的竞争系数。

这个系统描述了种群的扩散和竞争，其中扩散项描述了种群在空间中的迁移，而竞争项描述了种群之间的相互作用。

连接边界平衡点和正平衡点的行波解是指在这个系统中，当种群的密度在空间和时间上变化时，存在一种特殊的解，它以一定的速度向着某个方向传播，并且在这个速度下保持稳定。

连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性意味着在这个系统中，存在着一种特殊的动态行为，种群可以在空间中形成稳定的结构，即使在竞争和扩散的作用下也能够维持一定的稳定形态。

关于连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性，已经在过去的研究中得到了一些结论。

一些研究表明，在一些特定的参数范围内，Lotka-Volterra竞争扩散系统确实存在连接边界平衡点和正平衡点的行波解，而这些行波解对于了解种群的空间动态行为具有重要的意义。

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka-Volterra竞争扩散系统是描述两个物种之间竞争和扩散关系的模型，它在生物学和生态学领域有着重要的应用。

在该系统中，两个物种之间通过资源的竞争相互影响，并且通过空间的扩散进行传播。

本文将探讨Lotka-Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性。

我们来了解一下Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本形式。

该系统描述了两个物种在时间和空间上的分布和相互作用。

假设我们有两个物种u和v，它们的分布随时间t和空间x的变化可以由以下方程描述：\[\frac{\partial u}{\partial t} = d_u \nabla^2 u + r_u u \left(1 - \frac{u + \alpha v}{K}\right)\]du和dv分别代表两个物种的扩散系数，ru和rv分别代表两个物种的增长率，K代表环境的承载能力，α和β分别表示两个物种对对方竞争的敏感度。

在上述方程中，存在两种平衡点：边界平衡点和正平衡点。

边界平衡点指的是物种在空间的边界处达到平衡状态，而正平衡点指的是物种在空间内部达到平衡状态。

连接边界平衡点和正平衡点的行波解，描述了两个物种在空间中的扩散和竞争关系。

接下来，我们将讨论连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性。

在实际生态系统中，很多情况下物种之间存在着空间上的扩散和竞争关系，因此连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性具有重要的理论和实际意义。

通过数学分析和数值模拟可以发现，连接边界平衡点和正平衡点的行波解在Lotka-Volterra竞争扩散系统中是存在的。

具体来说，在一些特定的参数取值条件下，我们可以得到连接边界平衡点和正平衡点的行波解。

这些行波解描述了两个物种在空间中的分布和相互作用，展现了它们在空间上的动力学特性。

连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性为我们理解生物群落的空间格局提供了重要的线索。

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka-Volterra竞争扩散系统是描述生态系统中种群竞争和扩散相互作用的数学模型，它由Alfred Lotka和Vito Volterra在20世纪初提出，并被广泛应用于生态学、生物学和数学领域。

在生态系统中，不同种群之间存在着资源的竞争和空间的扩散。

这种竞争扩散系统的动力学特性对生态系统的稳定性和多样性具有重要影响。

在过去的研究中，人们主要关注于Lotka-Volterra竞争扩散系统内部正平衡点的存在性和稳定性，但对于连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性研究相对较少。

本文将重点讨论Lotka-Volterra竞争扩散系统的连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，探讨这一问题在生态系统稳定性和多样性中的重要意义。

我们将介绍Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本模型和数学表达式，然后分析连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，最后讨论这一研究对生态学和数学的意义和应用。

1. Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本模型Lotka-Volterra竞争扩散系统是一种描述生态系统中种群竞争和扩散相互作用的数学模型，其基本形式可以表示为：\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t} = d_u\Delta u+ru(1-\frac{u}{K})-auv\\\frac{\partial v}{\partial t} = d_v\Delta v+sv(1-\frac{v}{L})-buv\end{cases}u和v分别表示两个种群的密度，t表示时间，d_u和d_v表示扩散系数，r和s分别表示种群的增长率，K和L分别表示种群的最大容纳量，a和b分别表示种群之间的竞争强度。

上式中的第一项表示扩散项，第二项表示种群的自我增长，第三项表示种群之间的竞争作用。

这个模型描述了种群在空间中的扩散和竞争，可以用来研究生态系统中种群的动态演变和空间分布。

随机时滞Lotka—Volterra模型：全局解和随机最终有界性

企】学院学扳（自然科学版）
１５年１Ｏ月第２５卷第４
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｆｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）
ｔ．２０１５Ｖｏ１．２５Ｎｏ．４
摘பைடு நூலகம்
要：通过讨论一类随机时滞Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ生态模型解的动力行为，利用Ｉｔｏ公式Ｃｈｅｂｙｓｈｅ不等式，给出该模型全局正解的存在唯一性、随机最终有界性的充分条件，并给出一个数值例子说明了结果的有效性
对于这些模型的研究已经取得了丰富结果卜引．
１２１＿ＬＮ个方程中，（）表示的是物种种群规模，因此，这些方程的正解才是学者们的兴趣所在．此外，
收稿日期：２０１５ — ０９一Ｏ６
．
ｆｏｒｍｕｌａａｎｄＣｈｅｂｙｓｈｅｖｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｓｏｍｅｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｇｌｏｂａ１ｐｏｓｉｔｉｖｅ
、
ＷＡＮＧＤｏｎｇ－ｈｕｉ。ＷＵＺｈｅｎｇ
（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｒｘｉｓｍ，ＳｏｕｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４１；２Ｓｃｈｏｏ１ｏｆＭａｔｈｍａｔｉｃａ１

脉冲时滞Lotka-Volterra食物链系统的正周期解

脉冲时滞Lotka-Volterra食物链系统的正周期解陈应生;汪东树【摘要】利用一些分析技巧和重合度理论,得到一类具有脉冲和时滞Lotka-Volterra食物链系统存在正周期解的新结果.所得的结论表明：脉冲是对该食物链系统正周期解存在性是有影响的.特别地,在每个种群的内禀增长率（出生率a1和死亡率a2,a3）、种群间相互作用率（捕食率b1,2,b2,3和消化率b2,1,b3,2）,以及非线性种内干扰反应系数αi,j都确定的情况下,可以通过适当控制每个种群的（投放率或收回率）hi,k,使每个种群达到平衡（即存在正周期解）.【期刊名称】《华侨大学学报：自然科学版》【年(卷),期】2012(033)002【总页数】7页(P218-224)【关键词】时滞;脉冲;Lotka-Volterra食物链系统;周期解;重合度理论【作者】陈应生;汪东树【作者单位】华侨大学数学科学学院,福建泉州362021【正文语种】中文【中图分类】O175.6对于生物种群系统的持续生存和正周期解的存在性，许多学者已经进行了深入研究，并取得了许多结果［1-5］.文献［1，3］分别研究了具时滞的3种群食物链系统，得到系统存在ω正周期解的一些结果.对于种群生态学而言，脉冲效应是经常存在的，因此研究脉冲种群系统更具有实际意义.本文利用重合度理论，研究脉冲和时滞的非自治周期Lotka－Volterra食物链系统的正周期解的存在性问题.系统（1）满足以下3个假设：1）0＜t1＜t2＜…＜tp＜ω，tk＋p＝tk＋ω且∞，k＝1，2，…；2）｛hi，k｝是一个实序列hi，k，可看成是种群xi 在tk 时刻的出生率或收获比率，且hi，k＞－1，hi，k＝hi，（k＋p），i＝1，2，3，k＝1，2，…；3）ai（t），bi，j（t），τi，j（t）是非负连续的ω 周期函数，且满足是正常数，i，j＝1，2，3.设X，Z是赋范向量空间，L∶DomL⊂X→Z为线性映射，N∶X→Z连续映射.若dim ker L＝co dim ImL＜＋∞，且ImL为Z中闭子集，则称L为指标为零的Fredholm映射.如果L是指标为零的Fredholm映射，且存在连续投影P∶X→X 及Q∶Z→Z，使得Im P＝Ker L，ImL＝Ker Q＝Im（IQ），X＝Ker L⊕Ker P和Z＝ImL⊕ImQ，则∶DomL∩Ker P→ImL可逆.设逆映射为KP，Ω为X中的有界开集，若QN∶¯Ω→Z与KP（I－Q）N∶→X都是紧的，则称N在上是L－紧的.由于ImQ与Ker L同构，因而存在同构映射J∶ImQ→Ker L.引理1［6］设X，Z，L，N如上定义，而且L是指标为零的Fredholm映射.又设Ω为X 中的有界开集，N在上是L－紧的.假设1）对任意的λ∈（0，1），方程Lx＝λNx的解满足2）对任意的x∈∂Ω∩Ker L，QNx≠0；3）Brouwer度deg｛JQN，Ω∩Ker L，0｝≠0，J，Q如上定义，则方程Lx＝Nx 在DomL∩内至少存在一个解.为运用重合度理论证明主要的结论，需要引入一些函数空间.记定理1 在系统（1）中，若系数函数满足，以及R3＞0，则系统（1）至少存在一个ω正周期解.证明变换yi（t）＝exp｛xi（t）｝，i＝1，2，3，则系统（1）可化为记显然，如果系统（1）有一个ω－周期解，那么就有＝就是系统（1）的正的ω－周期解 .因此，只须证明系统（1）存在一个ω－周期解.现定义线性算子L∶DomL⊂X→Z为又定义算子N∶X→Z为又定义投影算子P∶X→X及Q∶Z→Z为设x＝（x1（t），x2（t），x3（t））T∈X 是系统（7）对应于某一λ∈（0，1）的解，将式（7）的两端从0到ω进行积分，可得为了方便讨论，不妨设（14），（15）中的第1式成立，至于其他情况，则同理可得以下相同的估计.首先估计xi（t）（i＝1，2，3）的上界.由式（9），（15）可得于是有因此，由引理2可知，当t∈［0，ω］时，有由式（10）和式（15）可得于是有从而由式（13）与式（20）可知由式（12），（18），（21）及引理2可知，当t∈［0，ω］时，有由式（9）和式（15）可得即有这里ω¯b2，1（exp（α2，1H1）－R2）＞0是由条件保证的，故有由式（13），（24）及引理2可知，当t∈［0，ω］时，有下面估计xi（t）（i＝1，2，3）的下界.由式（9），（14）和（22）可知从而有由式（11），（26）及引理2可知，当，有又由式（10）和（14）可知从而有于是，由式（12），（28）及引理2可知，当t∈［0，ω］时，有由式（9），（14）和式（28）可知故有由式（13），（30）及引理2可知，当t∈［0，ω］时，有令，由式（18），（22），（25），（27），（29），（31）的讨论可知‖x‖≤H.显然，正常数H与λ（λ∈（0，1））是无关的.由已知条件易知，代数方程组有唯一正解，记M＝H＋C.其中，C充分大使得.令Ω＝｛x＝（x1，x2，x3）T∈X∶‖x‖＜M｝，则Ω满足引理1中的条件1）.当x∈Ker L∩∂Ω时，x是R3中的常值向量且‖x‖＝M，于是有即引理1中的条件2）也被满足.下面证明引理1中的条件3）也成立.从而引理1中的条件3）也满足.因此，系统（1）至少有一个ω－周期解，从而系统（1）至少存在一个正的ω－周期解.下面分别考虑文献［1，3］中研究的具时滞的3种群食物链系统由定理1可得如下定理.定理2 如果系统（32）中的系数函数满足其中：，则系统（1）至少存在一个ω正周期解.注1 定理2的结果与文献［1］中的主要结果是不相同的，不被文献［1］中的主要结果所包括.定理3 如果系统（33）中的系数函数满足.其中：Δ1＝，则系统（33）至少存在一个ω正周期解.注2 定理3的条件要比文献［3］中的结果成立的条件弱得多，即结论推广并改进了文献［3］中的主要结果.显然，系统（1）包含了系统（32），（33）.利用重合度理论研究系统（1）的正周期解存在性问题，得出了脉冲对系统（1）的正周期解存在是有影响的新结果.当应用得到的结果研究系统（32），（33）的正周期解存在性问题时，推广并改进了文献［1，3］中的相关结果.这一研究无论是在理论上，还是在物种保护的应用上，都具有广泛的前景和重大意义.【相关文献】［1］张树文，陈兰荪.具有偏差变元的三种群食物链系统的全局正周期解的存在性［J］.数学杂志，2003，23（1）：125－28.［2］汪东树，王全义.一类具时滞和比率的扩散系统正周期解［J］.华侨大学学报：自然科学版，2006，27（4）：358－361.［3］SHEN Chun－xia.Positive periodic solution of a kind of nonlinear food－chain system ［J］.Appl Math Comp，2007，194（1）：234－242.［4］SAITO Y.Permanence and global stability for general Lotka－Volterra predator prey systems with distributed delays［J］.Nonlinear Anal，2001，47（9）：6157－6168.［5］KORMAN P.Some new results on the periodic competition model［J］.J Math Anal Appl，1992，171（1）：131－138.［6］GAINES R E，MAWHIN J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations ［M］.Berlin：Springer－Verlag，1977：40－60.［7］WANG Qi，DAI Bin－xiang，CHEN Yu－ming.Multiple periodic solutions of an impulsive predator－prey model with Holling－typeⅣfunctional response［J］.Math Comput Modelling，2009，49（9／10）：1829－1836.。

具有时滞的周期Lotka-Volterra系统的持久性与渐进稳定性

具有时滞的周期Lotka-Volterra系统的持久性与渐进稳定性曾永福;徐道义【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2004(041)001【摘要】Sufficient conditions are obtained for the persistence of positive solutions in some periodic integrodifferential systems with feedback controls. The authors use Horn fixed theory to obtain the existence of a positive periodic solution for the systems.%研究了具有反馈的Lotka-Volterra 方程,给出了其正解具有持久性的充分条件.并利用Horn不动点定理,得到其正周期解的存在性.【总页数】4页(P29-32)【作者】曾永福;徐道义【作者单位】四川大学数学学院,成都,610064;四川大学数学学院,成都,610064【正文语种】中文【中图分类】O175.13【相关文献】1.具有无穷时滞非线性的n-种群Lotka-Volterra竞争系统的持久性 [J], 王丹红2.具有离散变时滞的N种群非自治Lotka-Volterra竞争系统的有界性和持久性[J], 秦丽华;俞芳3.一类具有时滞的Lotka-Volterra捕食系统的持久性与全局稳定性 [J], 王晖;李冬梅;郭秀微4.具有阶段结构及无穷时滞的非自治Lotka-Volterra型捕食系统的持久性 [J], 魏凤英;傅秋月5.具有连续时滞的渐近周期Lotka-Volterra斑块系统的持久性和全局稳定性 [J], 崔凤午;魏凤英因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

n维时滞Lotka-Volterra型竞争系统正周期解的存在性

２ｏｄｌＳｈｏｏｉｙｎ，ｉｇａｇ４００Ｇｎｕｈｎ）．Ｎ．１ｄｅｃｏｌｆｎａｇＱｎｙｎ５０，ａｓ，ＣｉａＭｉＱｇ７
．
ＡｂｔａｔＵｉｇｔｅｃｎｉｕｔｎｔｅｒｍｆｃｉｃｄｎｅｄｇｅｅｒｗｂａｎｄａｓｆｃｅｔｏｄｔｎｏｘｓｅｃｆｏｉｖｓｒｃｓｎｈｏｔａｉｏｅｏｏｎｉｅｃｅｒｅｔｏｙ，ｅｏｔｉｅｕｆｉｎｎｉｏｆｉｎｅｏｓｔｅｎｏｈｈｉｃｉｅｔｐｉｐｒｄｃｓｌｔｎｏｎｄｍｅｓｏａＬｔａＶｏｅｒｄｌｗｔｉｅａ．ｅｉｉｏｕｉｓｔ・ｉｎｉｎｏｋ－ｈｒａｍｏｅｉｔｏｏｈｍｅｄｌｙＫｅｒｓＬｔａＶｏｅｒｄｅ；ｐｓｉｅｐｒｏｉｏｕｉｎｉｅａｙｗｏｄｏｋ－ｈｒａｍｏｌｏｉｖｅｉｄｃｓｌｔ；ｔｔｏｍｅｄｌｙ
关键词Ｌｔａｏｔｒ模型；周期解；ｏ —Ｖｌｒｋｅａ正时滞
中图分类号
收稿日期
０７１５
文献标识码
Ａ
文章编号
１０ —０８２１）６００－３０３８７（０１０－４００
２１７１０ｌ－５
ｄｉ１．９９ｊｉｎ１０ｏ０３６／．ｓ．０３—８７．０１０．２ｓ０８２１．６０
Ｎｔ（）＝Ｎ（）ｒｔｔ［（）一ｂ（）（一下ｒｔＮｔ）一ｃ（）２ｔ）ｒｔＮ（ —ｒ］

具时滞和反馈控制的多物种Lotka-Volterra竞争差分系统的正周期解的存在性

ｌ１＝ｈｉ
（１１）．
Ａｕ（）：一０（）ＩＩｉ｝ＩＭ（）＋ｂ（）（）＋ｉ｝ｉ｝ｉＩＩｉ｝ｉ｝
Ｃ（｝（（），ｉＩｋ一ｌｉ）Ｉ）ｉ｝
其中ｒ（）Ⅳ一Ｒ，ｋ，（）ｄ（）ｃ（）０（）ｂ（）ｅ（）Ｎ— Ｒｋ：０（）ｂｋ，ｋ，口ｋ，ｋ，ｋ，ｋ：均为叫一周期实数列，０＜且
崔瑞刚，刘智钢
（．东揭阳职业技术学院数学与计算机系，广东揭阳５２０；１广２００
２湘南学院数学系，南郴州．湖
摘
４３０）２００
要：利用Ｍａｈｎ的重舍度理论中的延拓定理研究了具时滞和反馈控制的多物种Ｌｔａ— Ｖｌｒｗｉｏｋｏｅｒｔａ竞争差分系１：Ｉ唧（）ｋｉ｝ｉＩ一∑ 。（）Ｉ一∑ ６（）ｊ一（，１ｉ，（））｝Ｉｉｉ｝｝）（ｋＮｋＩⅣ（）（ｉＩ …，Ｉ）｝｝ｉ｝
Ｊ：１
ｋｉ
＝１，１＝
一
（）（）ＭＩ一∑ ｅＩＭＩ（），ｉ｝ｄｉｉ（）（一Ｉ）｝｝｝ｉ］
：
Ｍ
—
器簪，
，
．
∈
Ｚ
１（口）｛一‘ 一‘ … 一‘ ’ ，Ｉ１）口。＋口＞一（：ｎｎｎｍ，＜ｎｎ
证明：略）（．
＝
为了证明系统（．）１１的正周期解的存在性，我们再引入重合度理论中的延拓定理．Ｇ令Ｘ，Ｙ是赋范向量空间，Ｄｍ — Ｙ为线性映射， — Ｙ是连续映射．Ｌ：ｏＬｃ Ⅳ：如果ｄｍＫｒｃｄｍｉｅＬ＝ｏｉＬｍｌ＜＋ ∞ 且ＩＬ为Ｙ集的闭子集，称映射Ｌ为零指标的Ｆｅｈｌ映射．果Ｌ为零指标的Ｆｅｈｌ映射且存ｍ则ｒｄｏｍ如ｒｏｍｄ

带捕食者密度制约的Lotka—Volterra模型概周期解的存在性

引理１２的证明可参看文献［］［］，２，３．
引理３设ｆ（）（一ｉ２ …）区间Ｉｆ ” ，，为上可微的函数族．｛（）在Ｊ若ｆ￡）上一致有界，｛（）在则￡｝Ｊ上等度连续．
证由｛（）在Ｊ上一致有界，￡｝即存在Ｍ＞０使得｛（） ≤Ｍ，∈Ｊ故对任意ｅ０取－，，￡ｆ．＞，
ｒｌｒ。＋。
９￡一ＩＸ（Ｐ（）（）ｓＩｘ（（－ＰＸｓ（）ｓ（）ｔＸｓ，ｓｄ－）Ｉ）（）ｓｄ．），
［收稿日期］２０ —１２０６１—５
６Ｏ
大学数学
第２４卷
引理２Ｓｈｕｅ不动点定理）设Ｍ是Ｂｎｃ（ｃａｄｒａａｈ空间中的有界闭凸集．Ｔ：若Ｍ—Ｍ连续，Ｔ且Ｍ列紧，Ｔ在Ｍ上必有不动点．则
２定义和引理
定义１称连续函数．ｆ：一 ” 厂）（是概周期的，果对任给￡，如＞０集合Ｔ（，）ｒｆ（＋ｒ一，ｉｆ￡一｛；．￡）（）厂＜￡ｔ｝相对稠密的．，Ｅ是即对任给ｚ，在ｚ（）０使得在每一个长度为ｚ＞Ｏ存 —ｚ￡＞，的区间内至少有一个ｒ＝（）＝ｒｅ ∈Ｔ（￡，ｌ￡）厂ｆｌ：ｆ，）使，（＋ｒ一．）＜￡对一切ｔ成立．（ ∈
第２４卷第６期
２００８年１２月
大学数学
Ｃ０ＬＬＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ

具有时滞的Lotka-Volterra竞争系统的行波解

Ｋｅｒｓｔｅｄｌｙｙｗｏｄ：ｉｅａ；Ｌｏｋ — ｌｅｒｏｐｔｔｅｓｓｅ；ｔａｅｌｇｗａｅｓｌｔｏｍｔａＶｏｔｒａｃｍｅｉｖｙｔｍ — ｉｒｖｌｎｖｏｕｉｎ；ｕｐｒｌｗｅｏｕ— ｉｐｅ－ｏｒｓｌ —
［，］ｒ一ｒ０，＞０表示最大时滞．文献Ｅ￣４等借助ｚ］于上下解技术，调迭代和不动点定理等研究式单（）在厂满足所谓的拟单调条件（１ＱＭ）指数拟单和调条件（Ｑ下行波解的存在性，ＥＭ）并被用于许多模型，如时滞Ｆｓｅ例ｉｒ方程［５，时滞Ｂｌｕｏ — ｈ４Ｊ．ｅｏｓｖＺａｏｉｋ模型ｌ，ｈｂｔｓｉｎｉ２时滞Ｌｔａｏｔｒ合作系叫］ｏｋ— ｌｒＶｅａ
性．并指出时滞对于行波解存在性的影响．关键词：时滞；ＬｔａＶｏｔｒｏｋ－ｌｒｅａ竞争系统；行波解；上下解中图分类号：７．Ｏ１５２文献标识码：Ａ
Ｔｒｖｌｉｖｏｕｉｎｓｏｏｐｔｔｖｔ－ｌｅｒｙｔｍｔｔｍｅｄｌｙａｅｌｎｇｗａｅｓｌｔｏｆｃｍｅｉｉｅＬｏｋａＶｏｔｒａｓｓｅｗｉｈｉｅａ
Ｓ［，］ ∈ 一ｒ０和更一般的指数拟单调性条件（ＷＱ，中ＭＥＭ）其，Ｍ２常数．是借助于不动点定理和上下解方法，文献Ｅ］ｓ中证明式（）ＷＱ和（ＷＱ条件下连接１在（Ｍ）ＥＭ）
件（ＱＭ）Ｗ：

具有脉冲的非自治多种群Lotka—Volterra竞争系统的周期性

于Ｉｑ与ＫｒｍｅＬ同构，因而存在同构映射ＪＩＱ— Ｋｒ．：ｍｅＬ
引理１Ｍａｉ理）设是指标为零的Ｆｅｈｌ映射，（ｗｈｎ定ｒｄｏｍ Ⅳ在上是Ｌ紧的，假设：ａ）对任意的Ａ ∈ （，）方程Ｌ＝Ａ的解满足诺Ｏ２０１，ｘｇ；ｂ对任意的 ∈ ａｎＫｒ， ≠ ０）ｅＬＱ；
中图分类号：７．４０１５１文献标志码：Ａ
ＰｅｉｄｃｔｆａＮｏａｔｎｍｏｓＭｕｔ－ｐｃｅｔａＶｏｔｒａｒｏｉｉｙｏｎｕｏｏｕｌｉＳｅｉｓＬｏｋ－ｌｅｒＣｏｐｔｔｖｙｔｍｔｍｐｌｅｍｅｉｉｅＳｓｅｗｉｈＩｕｓ
ｉ）ｔ系统（）的解；（）是３ｉ）ｔ足（一０（ｉ（）满ｔ＋）＝ｔ一０，．）ｔ∈
显然，如果（）系统（）ｔ是３定义在［］０，上满足ｘｏ（）（）＝的解，由系统（）确定的向量场的则３所
ｓｃｅｒｎｕｈｌｒｅｏｈｅｃｍｐｅｉｉｎｒｔｗｉｈｎｐｅｉｓｉｎｕｈｓｌｔｅｓｓｅｗｉｒｎｅｉｄｃｐｅｉｓａｅｅｏｇａｇｒｔｏｔｔａｅｏｔｉｓｃｅｓｅｏｇｍａ１ｈｙｔｍｌｂｉｇｐｒｏｉｌ
，
ＬｔａＶｏｅｒｏｅｉｖｙｔｍｔｍｐｌｅａｄｔｅａ．ｓｔｏｕｃｅｔｃｎｉｏｓｆｒｔｉｙｔｍ０ｏｋ — ｈｒａｃｍｐｔｉｅｓｓｅｗｉｉｕｓｎｉｄｌｙＡｅｆｓｆｉｎｏｄｔｎｏｈｓｓｓｅｔｔｈｍｅｉｉ

几类具有时滞的泛函微分方程解的存在性

几类具有时滞的泛函微分方程解的存在性几类具有时滞的泛函微分方程解的存在性摘要：时滞型泛函微分方程在许多实际问题中起着重要作用。

本文将介绍几类具有时滞的泛函微分方程以及它们解的存在性。

首先，我们将简要介绍时滞型泛函微分方程的基本概念和数学模型。

然后，我们将讨论三个具体的例子，包括时滞Hopfield神经网络模型、时滞Lotka-Volterra竞争模型和时滞SEIR传染病模型。

对于每个例子，我们将阐述方程模型的建立和解的存在性。

最后，我们将通过对比这几个例子的求解方法，总结几类具有时滞的泛函微分方程解的存在性的一般性质和方法。

关键词：时滞型泛函微分方程；存在性；Hopfield神经网络模型；Lotka-Volterra竞争模型；SEIR传染病模型1.引言时滞型泛函微分方程是一类常见的数学模型，广泛应用于控制理论、生物学、经济学等领域。

它们的解的存在性是研究这些方程的重要问题，具有重要理论价值和实际应用价值。

本文将重点介绍几类具有时滞的泛函微分方程解的存在性。

2.时滞型泛函微分方程的基本概念时滞型泛函微分方程是一类描述当前状态和过去状态之间关系的微分方程。

它的一般形式可以写为：\[x'(t)=f(t,x_t)\]其中，\(x(t)\)是未知函数，\(f(t,x_t)\)是已知函数，表示在时刻\(t\)的状态和过去一段时间的状态之间的关系。

时滞函数\(x_t\)表示过去时间段内的状态变量。

3.时滞Hopfield神经网络模型Hopfield神经网络是一种常见的神经网络模型，广泛应用于模式识别和优化问题。

时滞Hopfield神经网络在传统Hopfield神经网络的基础上加入了时滞项。

我们将介绍时滞Hopfield神经网络模型的建立和解的存在性。

4.时滞Lotka-Volterra竞争模型Lotka-Volterra竞争模型是一种经典的生物学模型，用于描述两个或多个物种之间的竞争关系。

时滞Lotka-Volterra竞争模型通过加入时滞项，考虑了物种竞争的延迟效应。

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka—Volterra竞争扩散系统是一种描述生态系统中不同种群之间相互作用的数学模型，它可以用来研究物种之间的竞争、捕食和共生关系。

在生态学中，该模型在探讨种群之间的竞争、扩散和边界效应方面具有重要的应用价值。

本文将讨论关于Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性。

我们来介绍一下Lotka—Volterra竞争扩散系统的基本形式。

通常情况下，该系统可以用如下的方程组来描述：\[\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t} = d_1\Delta u + r_1u(1-\frac{u}{K_1})-a_{12}uv \\\frac{\partial v}{\partial t} = d_2\Delta v + r_2v(1-\frac{v}{K_2})-a_{21}vu\end{cases}\]在这个方程组中，\(u\)和\(v\)分别代表两个种群的密度，\(t\)代表时间，\(d_1\)和\(d_2\)分别代表两个种群的扩散率，\(r_1\)和\(r_2\)分别代表两个种群的增长率，\(K_1\)和\(K_2\)分别代表两个种群的环境容量，\(a_{12}\)和\(a_{21}\)代表两个种群之间的竞争系数。

在这个模型中，我们可以发现扩散项对空间中种群密度的变化起着重要作用，而种群之间的相互作用则由竞争项和共生项来描述。

这种具有扩散和竞争的复杂关系使得该模型在描述生态系统中不同种群之间的相互作用时具有较强的适用性。

接下来，我们将讨论与Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性。

在实际生态系统中，通常会存在一些边界以及一些适宜生存繁衍的区域，我们将通过研究连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性来揭示生态系统中种群的空间分布规律。

多时滞Lotka—Volterra互惠系统周期正解的存在性

（季节影响，物供应等）与实际更贴近，虑多时滞非自治周期ＬｔａＶｏｔｒａ互惠系如食为考ｏｋ．ｌｒｅ
统，究它的正周期解的存在性问题。考虑系统研
ｆ（）＝Ｙ（）ｒ（）１（）１ｔ１ｔ）１（）２ｔ２ｔ）１ｔ１ｔ［１ｔ一口１ｔＹ（ —ｒ（）＋口２ｔＹ（ —ｒ（）］ｌ２ｔ（）＝Ｙ（）ｒ（）２ｔＹ（ —ｒ（）一口２ｔＹ（ —ｒ（）］２ｔ［２ｔ＋口１）１ｔ１ｔ）２）２ｔ２ｔ）（（
ｇ“
ｍｘａ
ｇ（）ｇ￡，
］
ｍｉｎ
ｃ【 ∈
ｒ【 ∈
］
ｇ￡，吉。（）（季Ｊｇｔｔ）ｄ
ｇ（）Ｒ上严格为正的ｃ期函数。ｔ是ｕ周由于系统（）是描述两种群互惠模型，１由它的可应用
收稿日期：００１－９作者简介：１６２０．１０．（９６年９月生）女，帅，士，究方向：事泛函微分方程，讲博研从
统
】。对于非自治互惠系统很少有人研究，ｏａｓｍｙＫ在文［］等Ｇｐｌａ１中对于时滞自治二维
互惠系统研究了它的持久性，终有界性和全局吸引性。考虑到环境的周期性因素的影响，最
３东北师范大学数学系，长春１０２；４内蒙古呼伦贝尔学院数学系，内蒙古０１０）一３０４一２０８

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证因为
型的研究结果是对前人工作的一个很好补充．
收稿日期：０９ｌ一２２０－Ｏ６
基金项目：南工程学院科研启动基金资助项目（７４．湖０４）作者简介：昌进（９０，，读博士，徐１７一）男在讲师，究方向：函微分方程及其应用．研泛
一
连续投影Ｐ：ｘ— ｘ及Ｑ：ｚ—Ｚ使得ＩｍＰ：ＫｅＬ，ｒ
ＩＫｅＱ— Ｉ（ — Ｑ，ＤｏＬｎＫｅＰ：１Ｐ）ｍＬｒａｒＩ）ＬＩｔａｒ（一
ｒ］）
（）２
的平衡点的全局吸引性，中ｒ ∈（Ｏ＋。）（，其（）［，。，Ｏ
第２卷第１期Ｏ
２１００年３月
湖南工程学院学报ＪｕｎｌｆＨｕａｎｔｕｅｏｇｎｅｉｇｏｒａｎｎＩｓｉｔｆＥｎｉｅｒｎｏｔ
Ｖｏ．０Ｎｏ１１２．．
Ｍａ．２０ｒ０１
具有时滞的Ｌｏｔ－ｏｌｅｒｋａＶｔｒａ模型的
理容易证明Ｎ在上是为Ｌ一紧的．对任意的 ∈
（，）子方程Ｏ１算
Ｌｘ一）ｘ对应于ｄＶ
￣ｒｔ［ｃ（）１一ｂｔｅｐｘｔ）一ｃｔｅｐ２（Ｒ（）ｘ（（）（）ｘ（ｘｔ—
了大量的研究．１研究了模型文［］
（）一Ｎ（）ｎＮ（一ｒ一ｃ（一ｒ］（）￡［一６）Ｎ），１
得到了平衡点渐近稳定的条件，中ａ０６，其＞，＞０Ｃ
＞Ｏ为正常数，≥ Ｏｒ．文［］究了模型２研
（）（）￡［ —６￡Ｎ（一ｒ一ｃ（一ｒ￡Ｎ（）１Ｎ（一６￡）Ｎ
（）对任意的 ∈ （，）ｎ０１ｚ∈ａ都有Ｌ ≠ ｎ，ｚ
ＡＮｘ；
Ｎ（）￡一（）一￡，￡ ∈（一ｒ０，）￡， ≤Ｏ（）［，］Ｒ，
（）ＯＯ＞．
（）对任意的ｚ∈ＫｅＬｎａＱＮｘ６ｒｎ， ≠Ｏ并且，
ｄｇＪＮ，ｅ｛Ｑ０ｎ３ｒ０ ≠ Ｏ则方程 ≠ ＮｘＫｅＬ，）；
同构，以存在同构映射Ｊ：所Ｉ — ＫＰＬｍＱｒ．
考虑到种群生存环境的周期性变化，我们考虑比模型（）２的更一般的模型
（）（）￡［ —６￡Ｎ（一ｒ一Ｃ￡Ｎ。￡￡一ｒ￡Ｎ（）１（）￡）（）（
一
ｒ］）
十。）ｂＲ， ∈ （＋ ∞ ）ｒ（＋ ∞ ）．。，∈ ＣＯ，，Ｅ０，
Ｘ— ｍＬ可逆，设其逆映射为Ｋ，ｎ为Ｘ中的有设
界开集，如果Ｑｎ）有界且ＫＰ卜一Ｎ：Ｎ（（Ｑ）ｎ—Ｘ是紧的，称Ｎ在ｎ为Ｌ～紧．因为Ｉ与ＫｅＬ则又ｍＱｒ
Ｏ引言
在种群动力学中，种群ＬｔａＶｏｔｒａ模单ｏｋ — ｌｒｅ型有着十分重要的现实的应用价值．时间来引起长学术界的诸多关注，多学者对此类相关模型进行许
１基本引理
为了证明周期解的存在性，们先介绍重合度我理论中的延拓定理．Ｘ，设Ｚ是赋范向量空间，Ｌ：ＤｏＬｃＸ—Ｚ为线性映射，Ｘ—Ｚ为连续映射．ａｒＮ：如果ｄｍＫｅＬ—ＣｉＩＬ＜ｏ且ＩＬ为ＺｉｒＯｄｍｍｏｍ中的闭子集，称映射Ｌ为指标为０ｒｄｏ映则．Ｆｅｈｌｍ射．如果ＩＬ是指标为０的Ｆｅｈｌ映射且存在ｍｒｄｏｍ

（）３
引理１（拓定理）设Ｌ是指标为０的Ｆｅ－延ｒｄｈｌ映射，在０为Ｌ一紧的．ｏｍＮ假设
并假设．（）６￡，（）［，ｏ，０＋。）连ｒ，（）ｃ￡ ∈（Ｏ＋ｏ）（，。是
续的叫硼＞Ｏ周期函数且满足初始条件：（）
本文利用重合度理论研究模型（）３的周期解，得到了模型（）３存在正周期解的一个充分条件，此模对
在ＤｏＬｎｎ内至少存在一个解．ａｔ
引理２Ｒ一｛￡） ≥Ｏ关于系统Ｎ（） ∈Ｒｌ））Ｎ（
（）正向不变的．３是
．
正周期解的存在性
徐昌进
（湖南工程学院理学院，潭４１０）湘１１４
摘
要：运用重合度理论中的连续性定理研究了一类具有时滞的ＬｔａＶｏｔｒａ型．们得到了ｏｋ－ｌｒ模ｅ我
该模型存在正周期解的一个充分条件．结果是对前人研究的有益补充．该关键词：Ｌｔａｏｋ —Ｖｏｔｒａ型；周期解；时滞；扑度ｌｒ模ｅ拓中图分类号：Ｏ１５１文献标识码：Ａ７．２文章编号：１７ — １９２１）１０４－０６１１Ｘ（０Ｏ０－０８３
第１期
徐昌进：有时滞的ＬｔａＶｏｔｒａ型的正周期解的存在性具ｏｋ — ｌｒ模ｅ
４９
Ｎ（（）ｐｒ）１ｂｓ（ — ｒ一￡）一ｏｅＩ（［一（Ｎｓ）ｘｓ）
ｃｓＮ。ｓｒ－￣显然，题成立．（）（ — ）ｄ，ｌ命