具有时滞的Lotka-Volterra模型的正周期解的存在性
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证 因 为
型的研究 结果是 对前人 工作 的一 个很 好补充 ．
收稿 日期 ： ０ ９ ｌ 一２ ２０－ Ｏ ６
基金 项 目 ： 南 工程 学 院科 研 启 动基 金 资 助 项 目（７ ４ ． 湖 ０４） 作 者 简 介 ： 昌进 （９ ０ ， ， 读 博 士 ， 徐 １７ 一） 男 在 讲师 ， 究 方 向 ： 函微 分方 程 及 其 应 用． 研 泛
一
连续 投影 Ｐ： ｘ— ｘ 及 Ｑ： ｚ—Ｚ使 得 Ｉ ｍＰ：ＫｅＬ， ｒ
Ｉ ＫｅＱ— Ｉ （ — Ｑ ， Ｄｏ ＬｎＫｅＰ：１ Ｐ） ｍＬ ｒ ａ ｒ Ｉ ） ＬＩ ｔ ａ ｒ （一
ｒ］ ）
（） ２
的平衡点 的全局 吸引性 ， 中 ｒ ∈（ Ｏ ＋。 ） （ ， 其 （） ［ ， 。 ，Ｏ
第 ２ 卷 第 １期 Ｏ
２１ ０ ０年 ３月
湖 南 工 程 学 院 学 报 Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨ ｕ ａ ｎ ｔ ｕ ｅｏ ｇｎ ｅｉｇ ｏ ｒ ａ ｎ ｎ Ｉ ｓｉ ｔ ｆＥｎ ｉｅ ｒｎ ｏ ｔ
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ １ １ ２ ． ．
Ｍ ａ ．２ ０ ｒ ０１
具 有 时 滞 的 Ｌｏｔ － ｏｌｅ ｒ ｋａ Ｖ ｔ ｒ ａ模 型 的
理容 易证 明 Ｎ 在 上是 为 Ｌ一 紧 的． 对任 意 的 ∈
（ ， ） 子方程 Ｏ１ 算
Ｌ ｘ一 ） ｘ 对应 于 ｄ Ｖ
￣ ｒ ｔ［ ｃ （） １一 ｂ ｔｅ ｐ ｘ ｔ）一 ｃｔｅ ｐ ２ （ Ｒ （） ｘ （ （） （） ｘ （ ｘ ｔ—
了大量 的研究 ． １ 研究 了模型 文［ ］
（） 一Ｎ（）ｎ Ｎ（一ｒ一ｃ （一ｒ］ （） ￡［ 一６ ） Ｎ ） ， １
得到 了平 衡点渐 近稳 定 的条 件 ， 中 ａ ０ ６ ， 其 ＞ ，＞０ Ｃ
＞ Ｏ为正常数 ，≥ Ｏ ｒ ．文［ ］ 究 了模 型 ２研
（） （） ￡［ —６ ￡ Ｎ（一ｒ 一ｃ （ 一ｒ ￡Ｎ（） １ Ｎ（一６ ￡ ） Ｎ
（ ）对 任 意 的 ∈ （ ， ） ｎ ０ １ ｚ∈ａ 都 有 Ｌ ≠ ｎ， ｚ
ＡＮ ｘ ；
Ｎ（） ￡一 （） 一 ￡ ， ￡ ∈（ 一ｒ０ ， ） ￡， ≤Ｏ （） ［ ，］Ｒ ，
（ ） Ｏ Ｏ＞ ．
（ ）对任意 的 ｚ∈ＫｅＬｎａ ＱＮｘ ６ ｒ ｎ， ≠Ｏ并 且 ，
ｄ ｇ Ｊ Ｎ， ｅ ｛ Ｑ ０ｎ３ ｒ ０ ≠ Ｏ 则 方 程 ≠ Ｎｘ ＫｅＬ，） ；
同 构 ， 以存 在 同 构 映 射 Ｊ： 所 Ｉ — ＫＰＬ ｍＱ ｒ．
考虑 到种 群 生 存环 境 的周期 性 变 化 ， 我们考 虑 比模型 （ ） ２ 的更一 般 的模 型
（） （） ￡ ［ —６ ￡Ｎ（ 一ｒ 一Ｃ ￡Ｎ。 ￡ ￡一ｒ￡ Ｎ（） １ （） ￡ ） （） （
一
ｒ］ ）
十 。 ） ｂ Ｒ ， ∈ （ ＋ ∞ ） ｒ （ ＋ ∞ ）． 。 ，∈ Ｃ Ｏ， ， Ｅ ０，
Ｘ— ｍＬ可逆 ， 设其逆 映射 为 Ｋ ， ｎ为 Ｘ 中的有 设
界开 集 ， 如果 Ｑ ｎ）有界且 ＫＰ 卜一 Ｎ： Ｎ（ （ Ｑ） ｎ—Ｘ是 紧 的 ， 称 Ｎ 在 ｎ 为 Ｌ～紧． 因 为 Ｉ 与 ＫｅＬ 则 又 ｍＱ ｒ
Ｏ 引 言
在 种群 动力 学 中 ， 种 群 Ｌ ｔａ Ｖｏｔｒａ模 单 ｏｋ — ｌ ｒ ｅ 型有着 十分重要 的 现 实 的应 用价 值． 时 间来 引起 长 学术界 的诸多关 注 ， 多 学者 对 此类 相 关模 型 进行 许
１ 基 本 引理
为 了证 明周期 解 的存 在性 ， 们先介 绍重合度 我 理 论 中的 延拓 定 理 ． Ｘ， 设 Ｚ是 赋 范 向量 空 间 ，Ｌ： Ｄｏ ＬｃＸ—Ｚ为 线性映射 ， Ｘ—Ｚ为连续映射． ａ ｒ Ｎ： 如果 ｄｍＫｅＬ—Ｃ ｉ Ｉ Ｌ＜ ｏ 且 Ｉ Ｌ 为 Ｚ ｉ ｒ Ｏｄｍ ｍ ｏ ｍ 中的闭子集 ， 称映 射 Ｌ 为指标 为 ０ ｒｄ ｏ 映 则 ．Ｆ ｅ ｈ ｌ ｍ 射． 如果 Ｉ Ｌ 是指 标 为 ０的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 映 射且 存在 ｍ ｒｄ ｏｍ
（） ３
引理 １（ 拓定理 ） 设 Ｌ是指标 为 ０的 Ｆ ｅ－ 延 ｒｄ ｈ ｌ 映射 ， 在 ０ 为 Ｌ一紧的． ｏｍ Ｎ 假设
并 假设．（） ６ ￡ ，（） ［ ， ｏ ， ０ ＋ 。 ） 连 ｒ ，（） ｃ￡ ∈（ Ｏ ＋ｏ ） （ ， 。 是
续 的 叫 硼＞Ｏ 周 期 函数 且满足 初始条 件 ： （ ）
本文 利用重 合度理论 研究模 型 （ ） ３ 的周期解 ， 得 到 了模型 （ ） ３ 存在 正周期 解 的一个 充分 条件 ， 此模 对
在 Ｄｏ Ｌｎｎ 内至少存 在一个解． ａ ｔ
引理 ２ Ｒ 一｛ ￡ ） ≥Ｏ 关 于系统 Ｎ（） ∈Ｒ ｌ ） ） Ｎ（
（ ） 正 向不变 的． ３是
．
正 周 期 解 的存 在 性
徐 昌进
（ 湖南 工 程 学 院 理 学 院 ， 潭 ４ １０ ） 湘 １１ ４
摘
要 ：运 用重合 度理论 中的 连 续性 定理研 究 了一 类 具有 时 滞 的 Ｌ ｔａ Ｖｏｔｒａ 型． 们得 到 了 ｏｋ － ｌ ｒ 模 ｅ 我
该模 型存在 正周期 解的一 个充分 条件． 结果是对前 人研 究的有益补 充． 该 关 键 词 ：Ｌ ｔａ ｏｋ —Ｖｏｔｒａ 型 ；周 期 解 ；时滞 ； 扑 度 ｌ ｒ模 ｅ 拓 中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ ７．２ 文 章 编 号 ：１ ７ — １ ９ ２ １ ） １ ０ ４ －０ ６ １ １Ｘ（ ０ Ｏ ０ － ０ ８ ３
第１ 期
徐 昌进 ： 有时滞 的 Ｌ ｔａＶｏｔｒａ 型 的正周期 解 的存 在性 具 ｏｋ — ｌ ｒ 模 ｅ
４ ９
Ｎ（ （） ｐ ｒ ）１ ｂｓ （ — ｒ 一 ￡ ）一 ｏｅ Ｉ （ ［ 一 （ Ｎ ｓ ） ｘ ｓ ）
ｃｓＮ。ｓ ｒ － ￣ 显然 ， 题成 立． （） （ — ）ｄ ， ｌ 命
型的研究 结果是 对前人 工作 的一 个很 好补充 ．
收稿 日期 ： ０ ９ ｌ 一２ ２０－ Ｏ ６
基金 项 目 ： 南 工程 学 院科 研 启 动基 金 资 助 项 目（７ ４ ． 湖 ０４） 作 者 简 介 ： 昌进 （９ ０ ， ， 读 博 士 ， 徐 １７ 一） 男 在 讲师 ， 究 方 向 ： 函微 分方 程 及 其 应 用． 研 泛
一
连续 投影 Ｐ： ｘ— ｘ 及 Ｑ： ｚ—Ｚ使 得 Ｉ ｍＰ：ＫｅＬ， ｒ
Ｉ ＫｅＱ— Ｉ （ — Ｑ ， Ｄｏ ＬｎＫｅＰ：１ Ｐ） ｍＬ ｒ ａ ｒ Ｉ ） ＬＩ ｔ ａ ｒ （一
ｒ］ ）
（） ２
的平衡点 的全局 吸引性 ， 中 ｒ ∈（ Ｏ ＋。 ） （ ， 其 （） ［ ， 。 ，Ｏ
第 ２ 卷 第 １期 Ｏ
２１ ０ ０年 ３月
湖 南 工 程 学 院 学 报 Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨ ｕ ａ ｎ ｔ ｕ ｅｏ ｇｎ ｅｉｇ ｏ ｒ ａ ｎ ｎ Ｉ ｓｉ ｔ ｆＥｎ ｉｅ ｒｎ ｏ ｔ
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ １ １ ２ ． ．
Ｍ ａ ．２ ０ ｒ ０１
具 有 时 滞 的 Ｌｏｔ － ｏｌｅ ｒ ｋａ Ｖ ｔ ｒ ａ模 型 的
理容 易证 明 Ｎ 在 上是 为 Ｌ一 紧 的． 对任 意 的 ∈
（ ， ） 子方程 Ｏ１ 算
Ｌ ｘ一 ） ｘ 对应 于 ｄ Ｖ
￣ ｒ ｔ［ ｃ （） １一 ｂ ｔｅ ｐ ｘ ｔ）一 ｃｔｅ ｐ ２ （ Ｒ （） ｘ （ （） （） ｘ （ ｘ ｔ—
了大量 的研究 ． １ 研究 了模型 文［ ］
（） 一Ｎ（）ｎ Ｎ（一ｒ一ｃ （一ｒ］ （） ￡［ 一６ ） Ｎ ） ， １
得到 了平 衡点渐 近稳 定 的条 件 ， 中 ａ ０ ６ ， 其 ＞ ，＞０ Ｃ
＞ Ｏ为正常数 ，≥ Ｏ ｒ ．文［ ］ 究 了模 型 ２研
（） （） ￡［ —６ ￡ Ｎ（一ｒ 一ｃ （ 一ｒ ￡Ｎ（） １ Ｎ（一６ ￡ ） Ｎ
（ ）对 任 意 的 ∈ （ ， ） ｎ ０ １ ｚ∈ａ 都 有 Ｌ ≠ ｎ， ｚ
ＡＮ ｘ ；
Ｎ（） ￡一 （） 一 ￡ ， ￡ ∈（ 一ｒ０ ， ） ￡， ≤Ｏ （） ［ ，］Ｒ ，
（ ） Ｏ Ｏ＞ ．
（ ）对任意 的 ｚ∈ＫｅＬｎａ ＱＮｘ ６ ｒ ｎ， ≠Ｏ并 且 ，
ｄ ｇ Ｊ Ｎ， ｅ ｛ Ｑ ０ｎ３ ｒ ０ ≠ Ｏ 则 方 程 ≠ Ｎｘ ＫｅＬ，） ；
同 构 ， 以存 在 同 构 映 射 Ｊ： 所 Ｉ — ＫＰＬ ｍＱ ｒ．
考虑 到种 群 生 存环 境 的周期 性 变 化 ， 我们考 虑 比模型 （ ） ２ 的更一 般 的模 型
（） （） ￡ ［ —６ ￡Ｎ（ 一ｒ 一Ｃ ￡Ｎ。 ￡ ￡一ｒ￡ Ｎ（） １ （） ￡ ） （） （
一
ｒ］ ）
十 。 ） ｂ Ｒ ， ∈ （ ＋ ∞ ） ｒ （ ＋ ∞ ）． 。 ，∈ Ｃ Ｏ， ， Ｅ ０，
Ｘ— ｍＬ可逆 ， 设其逆 映射 为 Ｋ ， ｎ为 Ｘ 中的有 设
界开 集 ， 如果 Ｑ ｎ）有界且 ＫＰ 卜一 Ｎ： Ｎ（ （ Ｑ） ｎ—Ｘ是 紧 的 ， 称 Ｎ 在 ｎ 为 Ｌ～紧． 因 为 Ｉ 与 ＫｅＬ 则 又 ｍＱ ｒ
Ｏ 引 言
在 种群 动力 学 中 ， 种 群 Ｌ ｔａ Ｖｏｔｒａ模 单 ｏｋ — ｌ ｒ ｅ 型有着 十分重要 的 现 实 的应 用价 值． 时 间来 引起 长 学术界 的诸多关 注 ， 多 学者 对 此类 相 关模 型 进行 许
１ 基 本 引理
为 了证 明周期 解 的存 在性 ， 们先介 绍重合度 我 理 论 中的 延拓 定 理 ． Ｘ， 设 Ｚ是 赋 范 向量 空 间 ，Ｌ： Ｄｏ ＬｃＸ—Ｚ为 线性映射 ， Ｘ—Ｚ为连续映射． ａ ｒ Ｎ： 如果 ｄｍＫｅＬ—Ｃ ｉ Ｉ Ｌ＜ ｏ 且 Ｉ Ｌ 为 Ｚ ｉ ｒ Ｏｄｍ ｍ ｏ ｍ 中的闭子集 ， 称映 射 Ｌ 为指标 为 ０ ｒｄ ｏ 映 则 ．Ｆ ｅ ｈ ｌ ｍ 射． 如果 Ｉ Ｌ 是指 标 为 ０的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 映 射且 存在 ｍ ｒｄ ｏｍ
（） ３
引理 １（ 拓定理 ） 设 Ｌ是指标 为 ０的 Ｆ ｅ－ 延 ｒｄ ｈ ｌ 映射 ， 在 ０ 为 Ｌ一紧的． ｏｍ Ｎ 假设
并 假设．（） ６ ￡ ，（） ［ ， ｏ ， ０ ＋ 。 ） 连 ｒ ，（） ｃ￡ ∈（ Ｏ ＋ｏ ） （ ， 。 是
续 的 叫 硼＞Ｏ 周 期 函数 且满足 初始条 件 ： （ ）
本文 利用重 合度理论 研究模 型 （ ） ３ 的周期解 ， 得 到 了模型 （ ） ３ 存在 正周期 解 的一个 充分 条件 ， 此模 对
在 Ｄｏ Ｌｎｎ 内至少存 在一个解． ａ ｔ
引理 ２ Ｒ 一｛ ￡ ） ≥Ｏ 关 于系统 Ｎ（） ∈Ｒ ｌ ） ） Ｎ（
（ ） 正 向不变 的． ３是
．
正 周 期 解 的存 在 性
徐 昌进
（ 湖南 工 程 学 院 理 学 院 ， 潭 ４ １０ ） 湘 １１ ４
摘
要 ：运 用重合 度理论 中的 连 续性 定理研 究 了一 类 具有 时 滞 的 Ｌ ｔａ Ｖｏｔｒａ 型． 们得 到 了 ｏｋ － ｌ ｒ 模 ｅ 我
该模 型存在 正周期 解的一 个充分 条件． 结果是对前 人研 究的有益补 充． 该 关 键 词 ：Ｌ ｔａ ｏｋ —Ｖｏｔｒａ 型 ；周 期 解 ；时滞 ； 扑 度 ｌ ｒ模 ｅ 拓 中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ ７．２ 文 章 编 号 ：１ ７ — １ ９ ２ １ ） １ ０ ４ －０ ６ １ １Ｘ（ ０ Ｏ ０ － ０ ８ ３
第１ 期
徐 昌进 ： 有时滞 的 Ｌ ｔａＶｏｔｒａ 型 的正周期 解 的存 在性 具 ｏｋ — ｌ ｒ 模 ｅ
４ ９
Ｎ（ （） ｐ ｒ ）１ ｂｓ （ — ｒ 一 ￡ ）一 ｏｅ Ｉ （ ［ 一 （ Ｎ ｓ ） ｘ ｓ ）
ｃｓＮ。ｓ ｒ － ￣ 显然 ， 题成 立． （） （ — ）ｄ ， ｌ 命