根号2是无理数的8种证明

证明根号2是无理数的8种方法

证明根号2是无理数的8种方法
嘿，你知道吗，要证明根号 2 是无理数居然有 8 种方法呢！
第一种方法，反证法呀！假如根号 2 是有理数，那岂不是就和我们熟知的那些整数、分数一样了？哎呀，这怎么可能呢，感觉就不对劲嘛！就好比说狗怎么能和猫是同一种动物呢。

第二种，用奇偶性来分析。

想想看，如果根号 2 能表示成两个整数的比，那这两个数的奇偶性得有多奇怪呀，这不是很荒谬吗？就像说白天突然变成黑夜一样不可思议。

第三种，可以从无限不循环小数的角度切入呀。

有理数都是能循环的，可根号 2 它就是那么特别，就是不循环，咋就这么倔强呢，哈哈！好比一个特立独行的人不愿意随大流。

第四种，利用一些数学定理。

哎呀，那些定理就像是我们的秘密武器，来揭示根号 2 的无理本质，这多厉害呀！就好像侦探用各种线索破案一样。

第五种，代数的方法也能上呀。

通过一些代数运算，能发现根号 2 就是无法被有理数的规则所束缚，这不是很牛吗？就像一只鸟怎么也关不进笼子里。

第六种，几何的角度也能试试看呢。

把根号 2 放到几何图形里，一下子就看出它的特别之处了，这可真有趣！跟在一幅画里突然发现一个隐藏的宝贝一样。

第七种，分析它的近似值。

怎么找都找不到一个精确的有理数来表示根号 2 呀，这不就说明了问题吗？就好像怎么都找不到完全一样的两片树叶。

第八种，用极限的思想呀。

哎呀呀，发现根号 2 就是不会被有理数的极限所框住，厉害吧！就像一个超爱自由的人怎么也不愿意被束缚。

我觉得呀，这么多种方法都表明了根号 2 就是无理数，这是毫无疑问的呀！。

有关有理数与无理数的证明

有关有理数与无理数的证明狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明√2代表根号2证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0)2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数证明：假设命题不成立设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数X为任意无理数则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾故假设不成立，命题1成立命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数证明：假设命题不成立设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数X为任意无理数则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0)X=(p*m)/(q*n)则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾故假设不成立，命题2成立命题3：√2为无理数证明：假设命题不成立则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)2=(p*p)/(q*q)则p必须是偶数∵p/q是既约分数∴q是奇数∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)∵2*q*q=p*p∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n ∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立故假设不成立，命题3成立命题4：任何有限小数都是有理数证明：显而易见~~下面进入本证明的关键部分首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function）f(x)= 1(x为有理数)0(x为无理数)命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数证明：设p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设p/q ＜m/n则m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq)则0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq)p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数∴命题5成立命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数证明：设X,Y为任意两个无理数，且X＜Y将X,Y写成小数形式，从最高位开始比较两个数直到找到一位X,Y不一样的位数，那一位上的数必然是X＜Y 去掉Y在那一位以后的所有位，得到一个有限小数，记为Z 显而易见X＜Z＜YZ为有理数，命题6成立根据命题5、6，任意有理数都不连续，任意无理数也都不连续，根据前提3，则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续。

为什么说根号2(√2)不是有理数

5,
3 0.3737737773
有理数集合
无理数集合
整数实有理数
数
分数
有限小数或无限循环小数
无理数无限不循环小数
正实数
实
数
0
负实数
正有理数正无理数
负有理数负无理数
一、判断：
1.实数不是有理数就是无理数。（）
2.无理数都是无限不循环小数。（）
3.无理数都是无限小数。（）
4.带根号的数都是无理数。（ × ） 5.无理数一定都带根号。（× ）
6.两个无理数之积不一定是无理数。（）
7.两个无理数之和一定是无理数。（ × ）
8.有理数与无理数之和一定是无理数 ( )
把下列各数填入相应的集合内：
9 35
64

0.6
3 4
3 9
3
0.13
有理数集合： 9
64

0.6330.13 Nhomakorabea4
无理数集合： 3 5
3 9
整数集合： 9 64 3

分数集合： 0.6
3 4
0.13
实数集合：
9 35
64

0.6
3 4
3 9
3

0.13
每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
你能在数轴上找到表示和 2及 2
这样的无理数的点吗？
直径为1的圆
7
3
有理数能不能将数轴排满？
2、（结果保留3个有效数字）
(1)、5
(2)、( 3 2 2) 2
(3)、2 9 2

为什么说√2不是有理数

• 无理数，即非有理数之实数，无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，后的数字有无限多个，并且不会循环。不会循环。
假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p, q, 使得: √2=p/q 于是： p= （√2）q 两边平方得： p^2=2q^2 由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。因此可设p=2s,代入上式，得： 4s^2=2q^2, 即，q^2=2s^2. 所以q也是偶数。这样，p, q都是偶数，不互质，这与假设p, q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不因为(n/m)^2=2,所以n/m不 (n/m)^2=2,所以n/m 可能是整数，可能是整数，于是把它写成小数形式，成小数形式，而有限小数的平方不可能是整数。的平方不可能是整数。如 n/m不是有限小数的话不是有限小数的话，果n/m不是有限小数的话，可以把它转换成另外的进制使得n/m是有限小数， n/m是有限小数制使得n/m是有限小数，因而上面的结论仍然成立。而上面的结论仍然成立。
同样是证明不存在整数p, q，同样是证明不存在整数p, q，使得p^2=2q^2 p^2=2q^2，使得p^2=2q^2，这个证明只需一句话。假如p 一句话。假如p、q是最小的正整数使得p^2=2q^2 看图， p^2=2q^2，数使得p^2=2q^2，看图，两个边长为q 长为q的小正方形放在一个边长的大正方形里，为p的大正方形里，那么图中深灰色正方形的面积就等于两个白色正方形面积之和，色正方形面积之和，于是我们就找到了具有同样性质的更小的整仔细体会一下这个“ 数p和q。仔细体会一下这个“面积守恒” 如果A+B=C 那么A A+B=C，积守恒”，如果A+B=C，那么A和重复计算了的必然是C B重复计算了的必然是C里还没有算过的。算过的。

什么是无理数及其定义是什么

什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。

无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。

无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。

他以几何方法证明无法用整数及分数表示。

而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。

但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。

无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。

有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。

如22/7等。

实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。

有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。

除了无限不循环小数以外的数统称有理数。

1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

2、无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。

既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。

把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。

证明无理数的方法

证明无理数的方法
无理数是啥玩意儿？就是不能表示为两个整数之比的数呗！那咋证明一个数是无理数呢？嘿，这可有招儿！
先说说一种常见方法，反证法。

咱就假设要证明的那个数是有理数，那它就能写成两个整数之比的形式。

然后一顿操作猛如虎，推出矛盾来。

这矛盾一出来，那不就说明咱假设错了嘛，那这个数自然就是无理数啦！这就好比你以为一条路能走通，走啊走，结果撞墙上了，那肯定这条路不对呀！注意啥呢？可得仔细推导，别哪一步弄错了，不然全盘皆输。

这过程安全不？那必须安全啊！只要你逻辑清晰，一步一步来，不会出啥岔子。

稳定不？老稳定了！只要基础的数学知识掌握扎实，这方法就妥妥的。

那这方法啥应用场景呢？当你遇到一些奇奇怪怪的数，想知道它是不是无理数的时候，就可以用这招。

优势在哪呢？简单直接啊！就跟直拳出击一样，直奔目标。

举个例子，咱来证明根号2 是无理数。

假设根号2 是有理数，能写成p/q 的形式，p 和q 互质。

然后一顿推导，最后得出矛盾。

看，这不就证明了根号2 是无理数嘛！这效果杠杠的！
所以啊，证明无理数的方法还是很有用的。

用反证法，只要细心推导，
就能准确判断一个数是不是无理数。

证明根号2是无理数

证明根号2是无理数
1）正常版：
如果√2是有理数，必有√2=p/q（p、q为互质的正整数）
两边平方：2=p^/q^
p^=2q^
显然p为偶数，设p=2k（k为正整数）
有：4k^=2q^,q^=2k^
显然q业为偶数，与p、q互质矛盾
∴假设不成立，√2是无理数
2）经典版：
反证法。

假设√2是有理数，那么它可以写成两个整数之比的形式：√2=m/n，则2n^2=m^2
根据算术基本定理，m和n可以唯一分解成素数之积，所以，设m=p1*p2*p3*……*pr-1*pr,且n=q1*q2*q3*……*qs-1*qs。

则（p1*p2*p3*……*pr-1*pr）^2=2(q1*q2*q3*……*qs-1*qs)^2
或p1*p1*p2*p2*p3*p3*……*pr*pr=2q1*q1*q2*q2*q3*q3*……*qs*qs[1]。

现在，在这些素数pi、qi中可能出现2（如果m或n是偶数，2一定会出现）。

如果它出现，那么在方程[1]的左边2一定出现偶数次（因为每个素数都出现两次），而在右边出现奇数次（因为2已经在这里出现了1次）。

即使2在pi、qi中不出现，这种情况也是成立的，此时2在左边不出现，但是它在右边出现一次。

无论哪种情况，我们都
得到一个矛盾的结果：因为素数因式分解是唯一的，素数2不能在一个方程的一边出现偶数次，而在另一边出现奇数次。

因此方程[1]，也就是√2=m/n不成立：√2不能写成两个整数的比的形式，因此，√2一定是无理数。

证毕。

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。

无理数发展简史

无理数发展简史一、引言无理数是数学中一种特殊的数，它不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或者循环小数。

无理数的发展历程十分丰富多彩，本文将为您详细介绍无理数的发展简史。

二、古希腊时期的发现在古希腊时期，人们已经开始研究数学，并且发现了一些无理数的存在。

最早的无理数发现可以追溯到公元前5世纪的毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派的成员发现了无法表示为有理数的边长与对角线之间的关系，这就是著名的毕达哥拉斯定理。

这个定理揭示了无理数的存在，但当时并没有给出具体的无理数表示方法。

三、欧几里得的质数无穷性证明欧几里得是古希腊数学家中最著名的一位，他在《几何原本》中提出了质数无穷性的证明。

他通过反证法证明了质数是无穷多的，这个证明过程中涉及到了无理数的概念。

欧几里得的质数无穷性证明为后来无理数的发展奠定了基础。

四、无理数的代表——根号2在公元前5世纪，希腊数学家辛诺普发现了根号2这个无理数。

他通过证明根号2不能表示为有理数的比值来证明了根号2是无理数。

这个发现打破了古希腊人认为所有数都可以表示为有理数的观念，引起了当时数学界的哄动。

五、无理数的运算随着无理数的发现，人们开始研究无理数的运算规律。

在17世纪，数学家笛卡尔提出了无理数的加法和乘法运算规则，并且证明了无理数的和与积仍然是无理数。

六、无理数的实用价值尽管无理数在古希腊时期就被发现，但直到近代才开始被广泛应用。

无理数在科学、工程和技术领域中发挥着重要作用。

例如，无理数在物理学中被用于描述自然界中的现象，如圆周率π就是一个无理数。

在计算机科学中，无理数也被广泛应用于算法设计和数据压缩等领域。

七、无理数的扩展除了根号2之外，人们还发现了许多其他的无理数。

例如，黄金分割比例φ、自然对数的底数e等都是无理数。

随着数学研究的深入，人们不断发现新的无理数，并且提出了更多关于无理数的性质和定理。

八、无理数的现代研究在现代数学中，无理数已经成为一个重要的研究领域。

无理数的概念

无理数的概念在数学中，无理数指的是不能表示为有理数比值的实数。

有理数指的是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不满足这个条件，因此它们不能以分数的形式表示。

无理数的概念最早由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，他们认为所有的数都可以表示为有理数比值。

然而，当他们探索正方形的对角线时，发现了一个无法用有理数来表示的数，即√2。

他们发现了这种神秘的数后，便开始了对无理数的研究。

下面我们来详细探讨无理数的概念。

一、基本概念如果说有理数可以表示为两个整数之比，即p/q（其中p,q∈Z，q≠0），那么无理数就是不能表示为这种比值的实数。

例如，一个无理数可能是数字π或者根号3。

这些数可以无限延伸的小数，而且它们不会重复出现。

它们也不能用有理数的形式来表示。

二、无理数和有理数的比较无理数和有理数之间有一个很明显的不同之处：无理数不能用分数的形式来表示，而有理数可以。

我们可以通过以下的方式来证明，根号2是一个无理数：假设根号2可以表示为分数p/q，其中p和q是整数，且它们没有公因数。

那么我们可以得到：p/q = √2p2/ q2 = 2p2 = 2q2上述等式表明p2是2的倍数，因此p本身也是2的倍数。

我们把p表示为2×m，得到p2 = (2m)2 = 4m2代回上面的方程式中，得到4m2 = 2q22m2 = q2这意味着q2也是2的倍数，那么q也是2的倍数。

这样我们就可以用2来约去p和q中的2，得到新的关系式：(p/2)/(q/2) = √2但这样又产生了一个新的问题，即p/2和q/2还是有公因数的。

我们可以继续进行类似的约分过程，但我们会发现这个过程会一直进行下去，直到我们找出了一个矛盾，即p和q中必须存在一个是2的倍数，同时另一个又不是2的倍数。

根据这个矛盾，我们可以得出一个结论：根号2不能表示为有理数的比值。

三、无理数的分类无理数可以分为两类：代数无理数和超越无理数。

代数无理数是指可以形如一个代数方程的根号的无理数，例如√2、根号3和根号5等。

无理数存在的证明

无理数存在的证明说到无理数，相信大多数人都听说过，但说实话，很多人还是摸不着头脑。

你看，大家都知道什么是整数、分数，甚至小数。

但一提到无理数，脑袋里立马就冒出了一堆问号。

好像这些数字就像从天上掉下来的一颗颗外星石头，谁也摸不着它们的边儿。

无理数一点也不神秘，也不是数学家的专利，它们就像你我生活中的那些细碎却难以捉摸的小细节，藏在我们身边，悄无声息。

到底什么是无理数呢？简单来说，就是那些不能用两个整数相除得到的数。

大家耳熟能详的例子，就是圆周率π和根号2。

你想，π不就一个让你头大得想掀桌子的数字吗？它既不终结，也不重复，总是无限延续下去，像是永远也看不完的电影。

它不是“好”数字，也不是“坏”数字，反正就是“乱糟糟”的。

就像你吃泡面，面饼被撕开后，锅里没完没了地沸腾着。

试图给它找一个简单的、清晰的分数表达，结果发现“哎，这不行，没法做分数。

”那这事儿怎么证明的呢？咱们换个角度想，想象你在厨房做饭，突然发现锅里蒸汽腾腾，结果掉进了一个做饭的“迷思”——有一些东西，我们永远也找不到一个完美的分数来描述它。

比如说，根号2，打个比方，它就像是从一个看不见的箱子里蹦出来的。

我们从来不能把它写成一个完美的“a/b”形式，其中a和b是整数，尽管我们拼尽全力去尝试。

于是，有了证明。

根号2是个“调皮捣蛋”的家伙，一直隐藏在我们最不经意的地方，躲得远远的，搞得你一看就晕。

这个证明其实挺有意思的。

来，想象一下，如果根号2真能表示成一个分数，像“a/b”那样，那么这俩数a和b肯定是最简的，也就是说，它们的最大公约数是1。

否则，不然怎么能说是最简呢？那么你就得用反证法了。

假设根号2能写成“a/b”的样子，接着你就开始掰扯。

先假设a²/b² = 2，于是a² = 2b²。

哎，这时候，你就会发现a²是偶数，因为2b²肯定是偶数。

那么根据偶数的性质，a也必须是偶数。

你看到没，开始有点儿线索了。

五种方法证明根号2是无理数

五种⽅法证明根号2是⽆理数古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。

当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。

直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。

最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。

今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。

于是单位正⽅形的对⾓线是⾯积为2的正⽅形的边长。

换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之⽐，它的平⽅等于2。

中学课程中安排了⼀段反证法。

当时有个题⽬叫我们证根号2是⽆理数，当时很多⼈打死了也想不明⽩这个怎么可能证得到，这种感觉正如前⽂所说。

直到看了答案后才恍然⼤悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是⽆理数”。

那个时候还没有根号、⽆理数之类的说法。

我们只能说，我们要证明不存在⼀个数p/q使得它的平⽅等于2。

证明过程地球⼈都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。

p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的⼀个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。

这样，p也是偶数，q 也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设⽭盾。

根号2是⽆理数，我们证明到了。

根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是⽆理数。

但Theodorus企图证明17的平⽅根是⽆理数时却没有继续证下去了。

(完整word版)证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设2=ba .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ⋅=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与b ，这与(a,b )=1矛盾.证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n sn s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于ba 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即ba ab b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此21112+=-，21112++=，将分母中的2用2111++代替，有2112112+++=，不断重复这个过程，得2= ++++2121211，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。

(完整word版)证明根号2是无理数八种方法

如何证明 2 是一个无理数2 是一个特别有名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯所以付出了生命的代价 —— 后代的数学史家所说的 “第一次数学危机 ”盖源于此 .风暴过去后，唤醒的倒是数学家们对数的从头认识，实数的观点开始确定，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真谛的追求、探究致使明亮的一个极好例证 .换一个角度来看这个数，我们能够把它看作一根 “晾衣绳 ”，上边挂着很多风趣的方法，值得你认真玩味 .我们准备从不一样的角度来证明 2 是一个无理数，进而领会这一点 .证法 1：尾数证明法 .假定 2 是一个有理数，即 2 能够表示为一个分数的形式2 = a.b此中 (a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数 .则 a 22因为完整平方数 2 的尾数只好是、、、、2b . b 0 1 4 56、 9 中的一个，所以 2b 2 的尾数只好是0、2、8 中的一个 .因为 a 2 2b 2 ，所以 a 2 与 2b 2的尾数都是 0，所以 b 2的尾数只好是 0，所以 a 与 b 有公因数 5，与 (a,b)=1 矛盾！所以2 是或 5 无理数 .这个证法能够证明被开方数的尾数是2、 3、7、8 的平方根都是无理数 .证法 2：奇偶剖析法 .假定a 此中，且与都是正整数则 a 22b2 可知 2=b . (a,b)=1a b ..a是偶数，设 a=2c,则 4c 2 2b 2 ，b 2 2c 2 ，可知 b 也是偶数，所以、都是偶数，这与(a,b)=1a b 矛盾！所以2 是无理数 .希帕索斯就是用这类方法证了然2 不是有理数，摇动了毕达哥拉斯学派的 “万物皆数 (任何数都可表示成整数之比 ) ”的数学崇奉，使毕达哥拉斯学派为之大为惊慌，希帕索斯所以葬身海底 .证法 3：仿上，获得 a 2 2b 2 ，易见，不然，则2 =a 是一个整数这是不可以的 . b>1 b=1 , a 2 2b 2 改写成 b 2a a 因为，所以b 有素因子，所以 p 整除 a或 a ，总之，p 整除 a ，2 . b>1 p 2所以 p 同时整除 a 与 b ，这与 (a,b)=1 矛盾 .证法 4：仿上，获得 a 2 2b 2，等式变形为 b 2 a 2 b 2(a b)( a b) ，因为，所以b>1 ，或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，所以 p 整除 a ，所以 p 是 a 、存在素因子 p p 整除 a+bb 的公因数，与 (a,b)=1 矛盾 .证法 5：利用代数基本定理，假如不考虑素因子的次序，任何一个正整数都能够独一地写成素数幂的积的形式，所以 ap 1 r 1 p 2 r 2p m r m，bq 1 s1 q2 s 2 q n s n ，此中 p 1 , , p m 与 q 1 , , q n都是素数， r1 , , r m与 s1 , s n都是正整数，所以p1 2r1 p2 2 r2 p m 2r m =2 q1 2s1 q2 2 s2 q n 2 s n ，素数2 在等式左侧是偶数次幂，但在右侧是奇数次幂，矛盾，所以 2 是无理数 .证法 6：假定 2 =a，此中右侧是最简分数，即在全部等于a的分数中，a是最小的正整b b数分子，在 a 2 2b 2的两边减去 ab 有 a 2 ab 2b 2 ab ， a( a b) b(2b a) ，即2 a 2b a，右侧的分子 2b-a<a，这与 a 是最小的分子矛盾，所以 2 是无理数.b a b证法 7：连分数法 .因为( 2 1)( 2 1) =1，所以 2 111，22 11，将分母中的 2 用112 11，不停重复这个1取代，有11 2 2 21 2过程，得 2 =11 ，这是一个无穷连分数而任何有理数都能够表示为分子都是11 .2122分母为正整数的有限连分数，所以 2 是无理数.证法 8：构图法。

高中数学中的证明方法与技巧

高中数学中的证明方法与技巧数学作为一门严谨的学科，证明是其核心内容之一。

在高中阶段，学生需要掌握一些基本的证明方法与技巧，以提高数学推理与解决问题的能力。

本文将介绍几种常见的证明方法与技巧，帮助高中生在数学学习中更好地理解和应用。

一、直接证明法直接证明法是最常见也是最常用的证明方法之一。

它的基本思路是通过已知条件与推理推导出结论。

具体步骤如下：1. 根据已知条件，列出一系列命题。

2. 基于已知条件和数学知识，通过推理得出需要证明的结论。

3. 将推导步骤逐一展示，并注明每一步所依赖的原命题。

4. 最后总结所得结论，完成证明。

例如，我们可以用直接证明法证明横线两侧角相等的定理：定理：垂直角相等证明：已知直线AB与CD互相垂直，证明∠ABC与∠CDE相等。

解：根据已知条件，我们可得如下命题：1. 直线AB与CD互相垂直。

2. ∠ABC为直角。

根据命题1，我们知道∠ABC与∠ABD是一对补角，而∠ABD是直角，所以∠ABC也是直角。

即∠ABC=90°。

根据命题2，我们知道∠CDE为直角。

因此，根据定义1. 直角不相等，我们可以得出结论：∠ABC与∠CDE相等。

二、反证法反证法是一种通过假设反命题来证明的方法。

当我们无法直接证明一个命题时，可以采用反证法。

具体步骤如下：1. 假设所要证明的命题不成立。

2. 推导出与给定条件矛盾的结论。

3. 推理过程中注明每一步所依赖的原命题。

4. 根据矛盾结论，否定假设，证明原命题成立。

例如，我们可以用反证法证明无理数的存在性：定理：根号2为无理数。

证明：假设根号2为有理数。

由有理数的定义，我们可知根号2可以表示为两个互质整数的比值，即根号2=a/b（a、b∈N，且a、b互质）。

通过变换等式，我们得到2=a²/b²，即2b²=a²。

根据定义，我们知道a、b都是整数，所以a²为偶数。

而偶数的平方一定是4的倍数，所以a²必为4的倍数。

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设2=ba .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ⋅=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与b ，这与(a,b )=1矛盾.证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n sn s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于ba 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即ba ab b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此21112+=-，21112++=，将分母中的2用2111++代替，有2112112+++=，不断重复这个过程，得2= ++++2121211，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。