数学建模第四章概率统计方法建模--4.3随机性人口模型

2020/5/24
概率模型
按定义
Et
npn
t
n1
对（3）求导并将（1）代入得
（3）
dE
dt
n1
nn 1pn1t
nn 1pn1t n2 pn t
n 1
n1
（4）
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概率模型
注意到
nn 1pn1t kk 1pk t
n 1
k 1
nn 1 pn1 t kk 1pk t
净增长率，人口期望值呈指数增长，Et 是在人口数
量很多的情况下确定性模型的特例。
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概率模型
对于方差Dt ，按照定义
Dt
n
2
pn t
E 2 t
n1
用类似求Et 的方法可以推出
Dt
n0
e( )t
e t
1
（7）
பைடு நூலகம்
Dt的大小表示人口Zt在平均值 Et附近的波动
范围。（7）式说明这个范围不仅随着时间的延续和净
npn t
（1）
若初始时刻(t 0)人口为确定数量 n0 ，则 pn t 的初始
条件为
pn
0
1, n 0, n
n0 n0
（2）
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概率模型
（1）在（2） 条件下的求解非常复杂，且没有简
单的结果，不过人们感兴趣的是EZ t和DZt 。（以 下简记成 E(t)和 D(t) ）
概率模型
模型建立
由假设1~ 3，可知Z t t n可分解为三个互不相
容的事件之和：
Z t n 1且t 内出生一人； Z t n 1且t 内死亡一人； Zt n且t 内无人出生或死亡。
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概率模型
按全概率公式有
pn t t pn1(t)bn1t pn1 t dn1t pn t1 bnt dnt
即
pn
t
t
t
pn
t
bn1
pn1t
d n1
pn1t
bn
dn
pn
(t)
令t 0，得关于 pn t的微分方程
dpn dt
bn1 pn1 t d n1 pn1 t bn
dn pn t
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概率模型
又由假设 4，方程为
dpn dt
n 1 pn1t n 1 pn1 t
增长率r 的增加而变大，而且即使当r 不变时， 它也随着 和 的上升而增长，这就是说，当出生和死 亡频2020繁/5/24出现时，人口的波概率动模型范围变大。
n 1
k 1
代入（4）并利用（3），则有
dE dt
(
) npn t n 1
Et
（5）
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概率模型
由（2）得 Et 的初始条件 E0 n0，求解微分方程（5）
在初始条件下的解为
Et n0ert , r
（6）
可以看出这个结果与指数模型 xt x0ert 形式上完全
一致。随机性模型（6）中出生率 与死亡率 之差 r 即
§3 随机性人口模型
如果研究对象是一个自然村落或一个家族人口， 数量不大，需作为离散变量看待时，就利用随机性人 口模型来描述其变化过程：
记 Z t ―时刻t 的人口数（只取整数值）
pn t pZ t n―人口为n的概率。
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概率模型
模型假设
1、在t,t t 出生一人的概率与 t 成正比，记作 bnt ，
出生二人及二人以上的概率为 ot ；
2、在t,t t 死亡一人的概率与 t 成正比，记作dnt ，
死亡二人及二人以上的概率为 ot ；
3、出生与死亡是相互独立的随机事件；
4、进一步设bn 和dn 均为与n成正比记bn n, dn n, 和 分别是单位时间内n 1时一个人出生和死亡的概
率。
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