行列式的性质
线性代数行列式的性质与计算
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2 1 3 1
例1. 计算行列式 D = 3 1 0 7 1 2 4 2 1 0 1 5
解：
1 0 1 5 r2 3r1 1 0 1 5
r3 +r1
r1r4 3 1 0 7 0 1 r4 2r1 3 8
D =
=
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
令Aij=(1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
例如，求4阶行列式中a32的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
M32=
A32= (1)3+2M32 = M32
a11 a13 a14 a21 a23 a24 a41 a43 a44
下页
范得蒙（Vandermonde）行列式
1
a1 a12 Dn = a1n3 a1n2 a1n1
下页
1
1
0
Dn
=
0
0
0
a2 a1 a22 a1a2
a2n2 a1a2n3
a2n1 a1a2n2
1
a3 a1 a32 a1a3
a3n2 a1a3n3 a3n1 a1a3n2
1
an a1
an2 a1an
ann2 a1ann3
ann1 a1ann2
a2 a1 a22 a1a2
按第二列展开
D=a12A12 +a22A22 +a32A32
=0 (1)1+2 1 3 +1 (1)2+2 1 2 +3 (1)3+2 1 2
简述行列式的性质
简述行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det（A）或|A|。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
1.2行列式性质
a13 a23 12 a33
a23 a33 3 a21 a33 a31
1
0 2
0 1 2
100 298
100 0 200 1 300 2
例2
计算行列式 2 1 199
3
1 2 3 0 1 2 100 1 199 2 298 3
解
1 2 3
0 1 2
100 1 200 2 300 3
D T 称为D的转置行列式。从而有 D D T
这条性质说明行列式的行和列的地位是相同的。也就 是说，对“行”成立的性质，对于“列”成立的
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。即
r r i j
D
c c i j
D,
则D D
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等 于零。 性质3 行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以数k 得到行列式D1，等于数k乘以此行列式。即
0 an
例6 设
a11 11 ak 1 k1 c11 c n1
这是用两条线将行列式分成四 块了，其中一块为0，与0不在 同一对角线上的两块必须方块
D
a1 k akk kk c1 k c nk
0
c11 c n1 b11 11 bn1 bn1
0
解
b a Dn a a
a b a a
a a a a a b a a
a b a a
a a a b
a a a a
c1 c2 cn
b (n 1)a a a a a b (n 1)a b a a a b (n 1)a a a b a b (n 1)a a a a b
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
§5 行列式的性质
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
对角行列式
λ1 λ2
⋱
= λ1λ2 ⋯λn ;
λn
反对角行列式
λ1 λ2
⋰
= ( − 1)
n ( n −1 ) 2
λ1λ2 ⋯λn .
λn
一、行列式的性质
a11 a12 ⋯ a1n a11 a21 记 a21 a22 ⋯ a2n a12 a22 T D= D = ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann a1n a2n
＝
1 5 3 6
＋
2 5 4 6
D 注： =
பைடு நூலகம்
1+ 2
2+3
3＋4 4 + 5
≠
1 2 3 4
＋
2 3 4 5
性质６ 把行列式的某一列（ 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列( 加到另一列 对应的元素上去， 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． 列式不变． 例如
3 1 1 1 3 1 如D = 1 1 3 1 1 1
1 1 1 3
1 1 又D = 1
-1 1 x -1 -1 x +1 -1 x -1 1 -1 -1 x +1 -1 1
(P12例8)
例3 D =
a a
b a+b
c a+b+c
d a+b+c+d
a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d
1.4 行列式的性质
a 1n
则
D b1 a n1
bn c1 ann a n1
一、行列式的性质
注： 性质5可以推广到某一行（列）的元素为几组 数的和的情形. 性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一
个倍数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行
列式的值不变．
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
例5 设 D
ak1 c 11 c n1
a b 11 a 1 k 11 b 1 n D a ,D b , 1 det( ij) 2 det( ij) a b k 1 a kk n 1 b nn
D D . 证明 D 1 2
二、行列式性质的应用
1 1 3 1
1 1 1 3
二、行列式性质的应用
r2 ( 1 ) r1 r3 ( 1 ) r1 r4 ( 1 ) r1
1 0 6 0 0
1 2 0 0
1 0 2 0
1 0 6 8 48. 0 2
二、行列式性质的应用
例4 计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
D 4 1
r1 r2
6 1
0 2
0 1
4 1 1
二、行列式性质的应用
6 0 0 4 1 1 1 2 1
c3 c2
6
0
0
4 1 0 18. 1 2 3
1
（方法二）
2 D 1 4 1 1 200+1 100+2 100+1
行列式的性质
a 11 c i + kc a 21
j
a 12 a 22 an2
a 1 i + ka 1 j a 2 i + ka 2 j a ni + ka nj
3
4
r3 r2
2 1 3 5
2 1 0 0
3 1 11 9
3 1 4 8
4 4 14 10
4 4 10 2
r3 × ( 1) 0 r2 × ( 1) 0
0
r3 3r2
1 0 0 0
0 0 0
2 1 0 0
2 1 0 0
3 1 8 4
3 1 4 0
4 4 2 10
4 4 10 22
r4 r3 1
(-1) a1 p1 a2 p2 aipi a jp j anpn = (-1) a1 p1 a2 p2 a jp j aipi anpn
t' t ''
经过一次对换结果如此, 经过一次对换结果如此,经过多次对换结果当然 还是如此.于是,经过若干次对换,使得: 还是如此.于是,经过若干次对换,使得:列标排列 p1 p2 pi p j pn 逆序数为 )变为标准排列(逆序数为 (逆序数为t)变为标准排列( 0);行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列 );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, q1q2,其逆序数为 ,则有 其逆序数为s, qn (-1) a 设此排列为 a a
D = 3 4 1 5 0 1 2 2 2 1 3 2 5 3 4 4
第五节--行列式的性质
第 2n 列依次与第 2n – 1 列、···、第 2 列对调，得
ab0
0
cd0
0
00a
b
D2n
,
ab
cd
00c
d
本若请本若请本若请本若请本本若若请请本若节想请单节想本单若节想请单节想本单若节节想想请单单节想内结本单若击内请结节击想内结本单若击内请结节击想内 内结 结本单若击击内请结容束节击想返本容单若束内请返结容束节击想返本容单若束内请返结容 容束 束节击想返返本容单若束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已 已本 本内请返结回回节已击想本结本堂容单若回束按内结请返结本堂若节已击想按本结请本 本堂容单若 若回束按内结请 请返结本堂若节已击想按本结 结请本堂 堂容单若回束按按内结请返结堂束节课已击想按本钮容束单回束节课想内结返结钮堂束单节 节课已击想 想按本钮容束单单回束节课想内结返结钮堂束 束单节课 课已击想按本钮钮容束单回束课内,结返结钮堂.已击按本内,!结容束回束课.击内 内,结!返结 结钮堂.已击击按本内,!结容束回束课.击内,,结!返结钮堂..已击按本,!!容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容 容束回束 束课.结!返返钮堂容束已按本,返容束回束课.结!返钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已按本 本,束回回课.已本结!钮堂回已按本,束回课.结!钮堂按,结堂束课.按结 结!钮堂堂按按,结堂束课.按结!钮堂按,束课.!钮束课,钮束束课课.!钮钮束课,钮束课.!钮,.,!.,,!..,!!.,!.!
性质２ 互换行列式旳两行，行列式变号．
性质２ 互换行列式的两行，行列式变号． 证明 设行列式
b11 b12 b1n
D1
b21
b22
方阵行列式的性质
方阵行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。
性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）。
行列式的性质
5a33
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
例2 设 a21 a22 a23 1，求 3a21 a22
5a23
a31 a32 a33
3a31
a32
5a33
解
6a11 2a12 10a13
3a11 a12 5a13
3a21
a22
5a23 2 3a21 a22 5a23
后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
as1
as2
asn ×K
as1
kat1
as2 kat2
asn katn
at1 at 2 atn
at1
at 2
atn
an1 an2 ann
an1
an2
ann
21
性质5在行列式的计算中最常用,它是行列式计算
2 1 10
解
1 1 0 2
1 1 0 2
D r1 r2 0
1 1 2
r3 r1
0
1
1
2
1 2 1 0 r4 2r1 0 1 1 2
2 1 10
0 3 1 4
1 1 0 2
r3 r2
0
1
1
2
r4 3r2 0 0 2 4
0 0 2 2
1
r4 r3
0
0
0
1 0 1 1 0 2 00
的重要工具。 利用行列式的性质结合三角行列式的结果，可以
获得行列式的第一种基本计算方法--三角行列式法. 为了清楚地反映行列式的变化过程，特规定以下记号：
ri rj k ri
矩阵的行列式行列式的定义性质与计算方法
矩阵的行列式行列式的定义性质与计算方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
矩阵的行列式是矩阵理论中的一个重要概念，它具有定义性质与计算方法，对于矩阵的性质和运算具有重要的指导作用。
一、行列式的定义对于一个n阶方阵A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素，那么行列式的定义如下：det(A) = Σ(±a1j A1j)，其中±表示正负号，A1j表示aij划去第i行第j列后的(n-1)阶行列式。
二、行列式的性质1. 如果矩阵A的某一行（列）全为零，则行列式det(A) = 0。
2. 交换矩阵A的两行（列）的位置，行列式det(A)的值不变。
3. 如果矩阵A的某一行（列）所有元素都乘以k倍（k为常数），则行列式det(A)乘以k。
4. 如果矩阵A的某一行（列）元素表示为两个数之和，例如aij =bij + cij，则行列式可以分解为两个行列式之和，即det(A) = det(A') +det(A")。
5. 如果矩阵A的两行（列）元素一一对应相等，行列式det(A) = 0。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算特别简单，可以直接应用定义进行计算。
2. 对于n阶行列式，可以通过展开行列式的方法来进行计算。
例如，对于行列式det(A) = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj，其中aij是A的第i行第j列的元素，A1j是(aij划去第i行第j列后的n-1)阶行列式。
可以选择任意一行或一列展开，然后在展开的基础上继续展开剩余的(n-1)阶行列式，直到得到二阶行列式进行计算。
3. 利用行列式的性质，可以通过递推的方法来计算较大阶数的行列式。
例如，使用行列式的性质进行行列变换，将矩阵转化为上（下）三角阵，此时行列式即为对角线上元素的乘积。
4. 利用行列式的性质，可以通过化简的方法来计算较大阶数的行列式。
行列式的性质与计算
1b bb
a (n 1)b
ab
ab 0
0 ab
a (n 1)b(a b)n1.
a0 1 1
1
1 a1 0
0
例 求行列式的值 D 1 0 a2
0
100
an
解
D
c1
(
1 a1
)c2
(
1 an
)cn1
a0
1 a1
0
0
0
1 an
1 a1 0
0
1 0 a2
0
1 0 0
an
(a0
3
2 2
0 0 0 1 0 0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3 r5 2r3 0 0 1 1 2
0 0 0 1 0 4
0 0 0 4 6
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3
r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12.
0 0 0 1 0
0 0 0 0 6
ni j1
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
11
1
x1 x2
xn
Dn x12
x22
xn2
x x n1
n1
1
2
x n1 n
rn ( x1 )rn1 1 rn1 ( x1 )rn2 0
1 16 81 256 625
解 D5 是 5 阶范德蒙行列式
D5
(xi xj )
§1.3 行列式的性质
第三节 行列式的性质考虑nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=将它的行依次变为相应的列，得nnn nn n T a a a a a a a a a D 212221212111=称D T 为D 的转置行列式 .性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即D=D T 。
例1 计算行列式nnn n a a a a a a D2122211100=解 nn nnn n Ta a a a a a a a a D D2211222121110=== 证 事实上，若记)det(ij T b D = 则),,2,1,(n j i a b ji ij ==∑-=∴n n np p p p p p T b b b D 212121)()1(τ Da a a n p p p p p p n n =-=∑ 21)(2121)1(τ性质2 互换行列式的两行(r i ↔r j )或列(c i ↔c j )，行列式的值变号 . 推论 若行列式D 的两行（列）完全相同，则D=0 .性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k ，等于数k 乘以此行列式，即nnn n in i i n nnn n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211= 推论1 行列式D 中一行(列)所有元素的公因子可提到D 的外面；推论2 行列式D 中有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值等于零。
结 论： D 中一行(列)所有元素为零，则D=0；性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即=+++nn n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a21221111211 +nnn n in i i na a a a a a a a a 212111211nnn n in i i n a a a b b b a a a212111211证 由行列式定义∑+-=n i i n np ip ip p p p p p a b a a a D )()1(212121)(τ∑∑-+-=ni n ni n np ip p p p p p np ip p p p p p a b a a a a a a 2121212121)(21)()1()1(ττ性质5 行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以数 k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变)(D D ji kr r +=，即ji kr r nnn n in i i n a a a a a a a a a +=212111211nnn n jn in j i j i na a a ka a ka a ka a a a a21221111211+++推论 D 的两行（列）对应元素成比例，则D=0.例2 计算行列式2413635104---。
行列式的性质与计算
行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个非常重要的工具，在数学和许多其他领域中都有广泛的应用。
行列式的性质和计算是学习线性代数的基础之一。
一、行列式的定义行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。
这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。
行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。
二、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描述。
2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。
即，如果i≠j，那么Dij=Dji。
3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。
即，如果k为常数，那么Dk=kD。
4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。
即，如果i=j，那么Dij=0。
5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
三、行列式的计算行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。
下面介绍几种常见的计算方法：1.利用定义计算根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。
对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数余子式。
利用这个公式，我们可以直接计算任意一个n阶方阵的行列式。
2.利用性质计算利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。
例如，根据行列式的交换律，我们可以将两行或两列交换位置；根据行列式的倍数律，我们可以将一行或一列乘以一个常数；根据行列式的零律，我们可以将一行或一列中所有元素设置为零；根据行列式的展开律，我们可以将行列式按照某一行或某一列展开等等。
5.行列式的性质
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj或ci kc j 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式 的值． 例1 计算行列式
3 1 1 2 5 1 3 4 2 0 1 1 1 5 3 3
行列式计算的好习惯养成计: 一看、二想、三实践 保证计算都过关
一看：看它的外在表现形式有何特点 二想：想它的行（或列）之间有什么可以让我们 利用的条件，如何变化有利于我们计算 三实践：动手动笔不偷懒，自己的事情自己干 例2 计算行列式
例如 1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8, 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
5
7 1 5 2 6 6 2. 8 5 3 8
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D, D 0.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
第一章 行列式
§ 5 行列式的性质
Column 美[ˈkɑləm]列用c表示 Row 行用r表示
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n a11 a21 a21 a22 a2 n a12 a22 T D D an1 an 2 ann a1n a2 n
a n1 an 2
＝ 0
a 21 a 2 i a 2 j a 2 j a n1 a ni
D
为了方便计算,今后我们约定 : 1.用ri krj 表示把第j行乘以k加到第i行; 用ci kc j 表示把第j列乘以k加到第i列;
2.用ri rj 表示把第i行和第j行互换; 用ci c j 表示把第i列和第j列互换.
第3节行列式的性质
121 D= 2 3 4
121
121
= − 2 3 4 = −D 121
因此 2D = 0 所以 D = 0
性质3： 用数 k 乘行列式的某一行，等于用数 k乘此
行列式，即
a11 a12 ⋯ a1n
⋮⋮
⋮
a11 a12 ⋯ a1n
⋮⋮
⋮
kai1 kai2 ⋯ kain = k ai1 ai2 ⋯ ain
3. 一些特殊行列式的值
a11 0 0 ⋯ 0 a21 a22 0 ⋯ 0
例1计算行列式 D = a31 a32 a33 ⋯ 0
⋯ ⋯ ⋯⋯ 0 an1 an2 an3 ⋯ ann
解：由定义法可知先找不为0的项，再来决定它 们的符号；根据分析，行列式展开式中不为0的 项只有 a11a22a33 ⋯ann 这一项，其它项都为0；
行列式的值
=其副对角线上冠上正负号的元素的乘积 2) 正负号是由 N (ni(n − 1)⋯2i1) 决定；
N (ni(n − 1)⋯ 2i1) = n(n − 1) 2
即
a11
a12 ⋯ a1n−1 a1n
0
a21
a22 ⋯ a2n−1 0
0
⋮⋮
⋮ ⋮ =⋮
0⋯ 0
a1n
0 ⋯ a2n−1
a2n
⋮
ka31 ka32 ka33
a31 a32 a33
正确的作法
ka11 ka12 ka13
a11 a12 a13
ka21 ka22 ka23 = k 3 a21 a22 a23
ka31 ka32 ka33
a31 a32 a33
推论2： 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例，则 行列式的值为零. 例如：
行列式的性质
5
解
1 7 D 0 2
5 3 1 2 5 2 0 2 3 1 1 0 2 (1) 25 0 4 1 4 0 4 1 4 0 0 2 3 5 0 2 3 5 0 2 3
3
1 2 0
2 10 4 2
3
1
1 4 3 5
r2 ( 2 ) r1 r3 r1
a11 a12 D1 kai1 kai 2 an1 an 2 a1n a11 a12 kain k ai1 ai 2 ann an1 an 2 a1n ain kD. ann
第 i 行(列)乘以 k ,记为 i k (或 Ci k ). 推论 2 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外 面. 推论 3 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.
行列式的性质
一 行列式的性质
一、行列式的性质 将行列式 D 的行与列互换后得到的行列式 ,称为 D 的转置行列式,记为 D T 或 D ' ,即若
a11 a21 D an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n , ann a11 a12 T 则 D a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 . ann
1
2
3
1 1 0 1
0 1 D. 2
例 1 若 D 1 0 0 1
1 2 1
1 , 则 DT 2 2 3 0 1 1
例 2（1） 0 1 1 1 2 2 1 0 2 1
1 1 1 0
1 （第一、二行互换）. 0
（2） 1 5
2
0 0 （第一、二两行相等）
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教学单元教案设计
教学单元讲稿
一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则
2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称
第三节 行列式的性质 三、课程导入
复习导入
四、分析思路
首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性
质。
五、讲授内容
第三节 行列式的性质
对换
对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：b b b a a a l ΛΛ11 ——b b a b a a l ΛΛ11. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立
定理2 ：n 阶行列式为：
.)1(211
21
2322211312
112
1
n p p p t n n n n
a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
-∑=
其中t 为n p p p Λ21的逆序数.
（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n 阶行列式也可定义为
.)1(1
2
121
11
21
2322211312
11n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
-∑=
其中n p p p Λ21和 n q q q Λ21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
练习：试判断655642312314a a a a a a 和662551144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项.
行列式的性质
转置行列式的定义
记 nn
n n n
n
a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛΛ
Λ21
2222112111
= T D =nn
n
n
n n a a a a a a a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛ
212
221212111
(D ')
行列式T D 称为行列式D 的转置行列式（依次将行换成列）
一、n 阶行列式的性质
性质 1： 行列式与它的转置行列式相等.
由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然. 如:
d
c b a D =
d
b c
a D T =
以r i 表示第i 行，j c 表示第j 列.交换j i ,两行记为i j r r ↔,交换i,j 两列记 作i j c c ↔.
性质 2： 行列式互换两行（列），行列式变号. 推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.
性质 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k ,等于用数
k 乘以该行列式.
推论： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.
性质 4： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.
性质 5： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.
即若 ()()nn
ni
ni n n n
i i n i i a a a a a a a a a a a a a a a D ΛΛ
M M
M M ΛΛΛΛ
'+'+'+=
21
222222111
112
11
)( 则 nn ni n n n i n
i a a a a a a a a a a a a D Λ
ΛM
ΛM M M ΛΛΛΛ21222221111211=
+
nn
ni
n n n
i n i a a a a a a a a a a a a ΛΛ
M M M M Λ
ΛΛΛ
'''2122
22211112
11. 性质 6： 把行列式某一行（列）的元素乘以数k 再加到另一行（列）上，则该行列式不变.
二、n 阶行列式的计算：
例1. 计算2
1
6
4
72954
1732152
-----=
D .
解： 2
1
6
4
72954
1732
152
-----=
D 3
1c c ↔==2
4
6
1
75924
3712
251
------
1
21
4132r r r r r r +--=0
2
1
31106
120225
1----
4
24
32r r r r ++=0
2
10330063002
2
5
1---42r r ↔==93
00
030002102251-=--.
例2. a
b b b b a b b b b a b b b b a D =
4
321r r r r +++=
a b b
b
b a b b b b a b b
a b a b a b a 3333++++
b
a r 311+⨯=()a
b b b b
a b b
b b a b
b a 11113+1
4
,3,2br r i i -==()b
a b a b a b a ---+0
00000
11113
3(3)()a b a b =+-.
(推广至n 阶，总结一般方法)
例3. 证明：222
22
211111
1p r r q q p p r r q q p p r r q q
p +++++++++222111
2r q p r q p r q p =. 证明： 左端2
2222111115
p r r q p p r r q p p r r q p ++++++=第一列
性质2222211111
p r r q q p r r q q p r r q q +++++++ 2
2
22
1111
r r q p r r q p r r q p +++=2
22
2
1111
p r r q p r r q p r r q ++++2
2
2
111
r q p r q p r q p =2
2
2
111
p r q p r q p r q + 2
2
2
111
2r q p r q p r q p =. 例4. nn
n n nk n k kk
k k b b b b c c c c a a a a D Λ
M M ΛΛ
M M ΛΛM M
Λ11111
1111
1110=，
,)det(11111kk
k k
ij a a a a a D Λ
M M
Λ
== .)det(11112nn
n n
ij b b b b b D Λ
M M
Λ
== 证明： 21D D D =.。