行列式的性质

教学单元教案设计

教学单元讲稿

一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则

2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称

第三节 行列式的性质 三、课程导入

复习导入

四、分析思路

首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性

质。

五、讲授内容

第三节 行列式的性质

对换

对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．

将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：b b b a a a l ΛΛ11 ——b b a b a a l ΛΛ11. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立

定理2 ：n 阶行列式为：

.)1(211

21

2322211312

112

1

n p p p t n n n n

a a a a a a a a a a a a ΛΛ

ΛΛΛΛΛΛ

-∑=

其中t 为n p p p Λ21的逆序数.

（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n 阶行列式也可定义为

.)1(1

2

121

11

21

2322211312

11n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ

ΛΛΛΛΛΛ

-∑=

其中n p p p Λ21和 n q q q Λ21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.

练习：试判断655642312314a a a a a a 和662551144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项.

行列式的性质

转置行列式的定义

记 nn

n n n

n

a a a a a a a a a D Λ

ΛΛΛΛΛ

Λ21

2222112111

= T D =nn

n

n

n n a a a a a a a a a Λ

ΛΛΛΛΛΛ

212

221212111

(D ')

行列式T D 称为行列式D 的转置行列式（依次将行换成列）

一、n 阶行列式的性质

性质 1： 行列式与它的转置行列式相等.

由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然. 如:

d

c b a D =

d

b c

a D T =

以r i 表示第i 行，j c 表示第j 列.交换j i ,两行记为i j r r ↔,交换i,j 两列记 作i j c c ↔.

性质 2： 行列式互换两行（列），行列式变号. 推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.

性质 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k ,等于用数

k 乘以该行列式.

推论： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.

性质 4： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.

性质 5： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.

即若 ()()nn

ni

ni n n n

i i n i i a a a a a a a a a a a a a a a D ΛΛ

M M

M M ΛΛΛΛ

'+'+'+=

21

222222111

112

11

)( 则 nn ni n n n i n

i a a a a a a a a a a a a D Λ

ΛM

ΛM M M ΛΛΛΛ21222221111211=

+

nn

ni

n n n

i n i a a a a a a a a a a a a ΛΛ

M M M M Λ

ΛΛΛ

'''2122

22211112

11. 性质 6： 把行列式某一行（列）的元素乘以数k 再加到另一行（列）上，则该行列式不变.

二、n 阶行列式的计算：

例1. 计算2

1

6

4

72954

1732152

-----=

D .

解： 2

1

6

4

72954

1732

152

-----=

D 3

1c c ↔==2

4

6

1

75924

3712

251

------

1

21

4132r r r r r r +--=0

2

1

31106

120225

1----

4

24

32r r r r ++=0

2

10330063002

2

5

1---42r r ↔==93

00

030002102251-=--.