2021高考数学一轮复习《空间向量及其应用》

向量表示 a·b
a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0)
坐标表示 _a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_ _a_1_＝__λ_b_1，__a_2_＝__λ_b_2_，__a_3＝__λ_b_3_ _a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_＝__0_
共面向量
平行于同一个 平面 的向量
表示 0
a＝b a的相反向量为－a
a∥b
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa. (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有 序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实 数组(x，y，z)，使得p＝ xe1＋ye2＋ze3 .
解析 当v＝(3，－2,2)时，μ·v＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，μ⊥v， 所以α⊥β； 当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2μ，μ∥v，所以α∥β.
→
→
→
与 B1D1 的交点.若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中
→ 与BM相等的向量是
√A.－21a＋12b＋c
B.12a＋12b＋c
C.－21a－12b＋c
D.12a－12b＋c
解析 B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋21(A→D－A→B) ＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.
题组三 易错自纠
4.在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，
则直线AB与CD的位置关系是
A.垂直 C.异面
√B.平行 D.相交但不垂直
解析 由题意得，A→B＝(－3，－3,3)，C→D＝(1,1，－1)， ∴A→B＝－3C→D，∴A→B与C→D共线，
大一轮复习讲义
§7.5 空间向量及其应用
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.空间向量的有关概念
名称
概念
零向量
模为 0 的向量
单位向量
长度(模)为 1 的向量
相等向量
方向 相同 且模 相等 的向量
相反向量
方向 相反 且模 相等 的向量
表示空间向量的有向线段所在的直线 共线向量 互相 平行或重合 的向量
(3)
位置关系 直线l1，l2的方向向量分 别为n1，n2 直线l的方向向量为n， 平面α的法向量为m 平面α，β的法向量分别 为n，m
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β
向量表示 n1∥n2⇔n1＝λn2 n1⊥n2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn1·n2＝0 n⊥m⇔n·m＝0 n∥m⇔n＝λm n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔n·m＝0
概念方法微思考
1.共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？ 提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量 共面，故零向量不能作为基向量.
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)c＝a(b·c).( × ) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × ) (4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有 A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.( √ )
题组二 教材改编
2.如图所示，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 A1C1
模
|a|
cos〈a，b〉＝ a·b
夹角余弦
|a||b|
(a≠0，b≠0)
__a_21_＋__a_22_＋__a_23 _ a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a，b〉＝___a_21＋__a_22_＋__a_23·___b_21_＋__b_22＋__b_23__
5.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量 直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的 方向向量 . (2)平面的法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n_垂__直__于__ 平面α，记作 n⊥α ，此时，我们把向量n叫做平面α的 法向量 .
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，则∠AOB
叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π ，若〈a，
b〉＝π2，则称a与b 互相垂直 ，记作a⊥b. ②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则 |a||b|cos〈a，b〉 叫做向量a，b的数量积，
记作 a·b ，即a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉 .
(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝ λ(a·b) ； ②交换律：a·b＝ b·a ； ③分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量积 共线 垂直
又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.
5.O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且O→P＝43O→A＋18O→B＋tO→C，若 P， 1
A，B，C 四点共面，则实数 t＝__8__.
解析 ∵P，A，B，C四点共面， ∴34＋18＋t＝1，∴t＝18.
6.设μ，v分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时， α与β的位置关系为___α_⊥__β__；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为 __α_∥__β__.
3.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为___2__.
解析 |E→F|2＝E→F2＝(E→C＋C→D＋D→F)2 → → → →→ →→ →→
＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2， ∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长为 2.