材料力学》讲稿(二)

上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。 显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上 的弯矩M 不随截面位置变化，故知对 于等截面的直梁包含在中性层内的那

M y Iz
根轴线将弯成圆弧。
二、横力弯曲时的正应力

弯曲变形 ρ
横力弯曲的变形特征
A x dx M 剪切变形 B
dθ
M dx
Q
γ
dv
dv dx
d 1 dx
M y a max a Iz
375 10
3
0.56 m Nm 0.021 m 2 148 MPa 8 4 65586 10 m

三、梁的弯曲强度计算

2kN/m
210mm
y
拉压性质相同的材料 抗弯强度条件
M
z
4m M图 4kNm
max
max
《材料力学》讲稿（六）
第七章
弯曲应力
一、纯弯曲下的应力 二、横力弯曲时的正应力 三、梁的弯曲强度计算 四、梁的切应力 五、提高弯曲强度的措施
一、纯弯曲下的应力

实验研究
a P P a z
Z为中性轴： 该层纤维既 不伸长也不 缩短
y
Pa 1. 纵向线由直线变为弧线，上部纵 向线压缩，上部纵向线拉伸； 2. 梁变形后横向线仍为直线，且仍 与纵向线垂直。
圆形截面
Iz bh2 Wz h 6 2

o
的值不相等。
d

z y dA
πd 32
3
z
y
πd Iz 64
4
Wz
t, max
Myt ,max Iz
c, max
Myc, max Iz
例题 图a所示简支梁由56a号工
字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。
已知F=150 kN。试求危险截面上的最 大正应力和同一横截面上翼缘与腹板
A
横截面对于中性轴 z 的静矩等于零， 是要求中性轴 z 通过横截面的形心；

A
y d A 0；显然这
一、纯弯曲下的应力
对z轴力矩的平衡
M z ydA M
z
A
x
ydA E
A A
y

ydA
E

y 2 dA
A
E

Iz

1


M EI z
y 可以证明，其他平衡关系均自动 满足 正应力分布公式
Q dx
剪切变形与剪力成正比，弯曲变形与弯 矩成正比。
二、横力弯曲时的正应力


最大正应力计算
横力弯曲的正应力分布公式
百度文库
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横截面
上最大拉应力和最大压应力的值相等；
在总荷载不变的情况下，弯矩随跨 度成线性增加，而剪力不随跨度增 加。 对细长杆（l/h)>5，剪切变形远比 弯曲变形小,剪切变形可以忽略 对短粗杆（l/h)〈5，剪切变形不能 忽略。 对细长杆
四、平行移轴公式
示例： 图示组合截面由一个25c号 槽钢截面和两个90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面组成。试求此截面 分别对于形心轴x和y的惯性矩Ix 和
Iy 。
25c号槽钢截面
I xC 3 690.45 cm 4 , I yC 218.415 cm 4
90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面
平截面假设：截面变形后仍为平面， 且仍与梁轴线垂直
一、纯弯曲下的应力

几何关系
( y ) d dx dx ( y ) d d d y


ρ
dθ
z y
即梁在纯弯曲时，其横截面 上任一点处的纵向线应变e与该点
y
y
至中性轴的距离 y 成正比。
dx
I xy xydA
A
例如，图示截面 h d x
若截面有一对称轴，则该截面对 于该对称轴和另一与之垂直轴的 惯性积为零 b
1 2 4 I x bh d 12 64
y
四、平行移轴公式
坐标转换 x a O C b
yC
x xC a, y yC b
惯性矩
xC y x
Iy
i
i iC
2 20.30 0 44.91 19.21 26.7 2 20.30 44.91
24.1mm
三、惯性矩、极惯性矩、惯性积

惯性矩
y dA
I x y 2 dA, I y x 2 dA
A A
x
y
例如，矩形截面
Ix


i i
i
面积划分为分割法和负面积法。 示例，图示L型图形
分割法 xc 10 60 5 30 10 25 11.67 10 60 30 10 10 60 30 30 10 5 yc 21.67 10 60 30 10
负面积法 xc 40 60 20 30 50 25 11.67 40 60 30 50 40 60 30 30 50 35 yc 21.67 40 60 30 50
, 类似：xc
xdV
V
W
，zc
zdV
V
W
一、 重心
3、 确定重心的悬挂法与称重法
（1） 悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
一、重心
（2）称重法

测定小车中心位置
P为小车重, F1为磅秤所测力。 xc的测定 Pxc F1l，xc
h的测定
C A F1 P l xc
2
431 10 4 mm 4
四、平行移轴公式
角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为
I x2 I xC a 2 A 149 .22 10 4 mm 4 98.3 mm 20.30 mm 2
2
2110 10 4 mm 4
I y 2 I yC b 2 A 149 .22 10 4 mm 4 24.1 mm 2030 mm 2


2 R sin 3 时, yc 4R 3
2 3 R sin 3
R
2
二、静矩和形心

A1 y 10 y 10 A2
组合图形的形心 设Ai , xi yi为简单图形的面积
A1
60 A2 60 10 x 40 40 10 x
和形心坐标，则 xc
Ax A
i
i i
, yc
Ay A
《材料力学》讲稿（四）
第五章
截面的几何特性
一、 重心 二、静矩和形心 三、惯性矩、极惯性矩、惯性积 四、平行移轴公式
一、 重心

z R
1、平行力系的中心 空间平行力系可以合成为一合力。
R’
F , M O M O ( Fi ) R 由于Fi与z平行，故M O 在xOy平面内,R与M O垂直.
Wz
[ ]
140mm
I Wz z , 称为抗弯截面模量。 y max
示例3-1：简支梁受均布荷载。 [σ]=10MPa。校核强度。
45
45 150 A2
yC zC zC2
1 1 1503 30 150 303 12 12 8.78 106
(1) ( 2) I zC I zC I zC (1) ( 2) 2 I zC1 b12 A1 I zC 2 b2 A2
30 y
1 150 303 452 150 30 12 1 1503 30 452 150 30 12 27 10 6
二、静矩和形心
示例： 图示组合截面由一个25c号 槽钢截面和两个90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面组成。试求此截面 形心位置。 解：由型钢规格表查得： 25c号槽钢截面 A 44.91 cm2 90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面
A 20.30 cm2
xC
Ax A
d F1 F2 O x zR’’ F3 Fn Mo dV y
取d
MO ，对力系作进一步简化。 R 合理矩定理成立
2、重心
总重：W dV， 为重力密度。
对x轴取矩：：Wyc ydV ,故重心坐标:
V
V
C O zc y x yc z x xc y
yc
ydV
V
W
b o h z
y
Mymax M M Iz I z Wz y max 式中，Wz为截面的几何性质，称为抗弯截
max

M y Iz
面模量，其单位为m3。
二、横力弯曲时的正应力
矩形截面
中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 ，其
横截面上的最大拉应力和最大压应力
bh3 Iz 12
h 2
y 2bdy
h 2
1 1 bh 3 , I y hb 3 12 12
O
ρ
y
x
I x1


0
h
1 y 2bdy bh 3 3
dy
h y x
极惯性矩
I p 2 dA ( x 2 y 2 )dA
A A
I p I y Ix
x1 b
三、惯性矩、极惯性矩、惯性积

y dA x xc C yc y x
静矩
S x ydA, S y xdA

形心
A
A
A
xc
A
xdA
A

R
，yc
ydA
A
O
例如，扇形的形心计算如下
0
A
2
θ
θ
d d R
0 R
R
Ayc yc

2 cos d d
交界处a点处(图b)的正应力。
由型钢规格表查得56a号工字钢截面
Wz 2342 cm3 I z 65586 cm4
max
M max 375 10 3 N m 160 MPa Wz 2342 10 6 m 3
危险截面上点a 处的正应力为
M max Fl 375 kN m 4
x 2 dA
A
( xC a ) 2 dA
A
2 ( xC a 2 2axC )dA A 2
h x
I xc a A 2aS xC
由于 S xC 0
I y I yc a 2 A I x I xc b A
2
x1 b
例如矩形截面
I x I xc b 2 A
例如，矩形截面的极惯性矩
1 I p I y I x bh(b2 h 2 ) 12
又如，圆形截面的惯性矩
(-x,y)
(x,y)
2I x 2I y I p Ix I y


32
d4

组合截面
Ix

64
d4
y
I
i 1
n
xi
, Iy
I
i 1
n
yi
惯性积
I xC I yC 149.22 cm 4
槽钢截面对x轴和y轴的惯性矩为
I x1 I xC a12 A 3 690 .45 10 4 mm 4 0 3 690 10 4 mm 4
I y1 I yC b12 A 218 .415 10 4 mm 4 19.21 mm 26.7 mm 24.1 mm 4 491 mm 4
2
267 10 4 mm 4
于是有组合截面对x轴和y轴的惯性矩：
I x I x1 2 I x2 3690 10 4 mm 4 2 2110 10 4 mm 4 7910 10 4 mm 4 I y I y1 2 I y 2 431 10 4 mm 4 2 267 10 4 mm 4 965 10 4 mm 4
F1 l P
l2 H 2 , l l cos l
H sin , cos l F xc 1 l P
h C r θ F’1 P x’c l’ H
xc xc cos h sin x xc cos h x sin
二、静矩和形心
1 h 1 bh3 ( ) 2 bh bh3 12 2 3
1、求形心位置
四、平行移轴公式
示例：T型截面。求形心轴惯性矩
150 z 30 A1
150 30 15 150 30 105 60 150 30 150 30 zC 0 yC
zC1
2、求惯性矩
(1) (2) Iy Iy Iy
定义
d 1 dx
为曲率
一、纯弯曲下的应力

z
物理关系
E E
y
x

处在y位置纤维层的正应力与坐标y 成正比

静力关系
X方向力的平衡
y
N dA 0,
A
dA E dA ydA S z , A A A
y
E
E
Sz 0
S z y d A 为截面对于z轴的静矩或一次矩。