【精品】五年级奥数培优教程讲义第20讲最小公倍数(教师版)

第20讲最小公倍数

團教学目标掌握倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法;

圈会利用最小公倍数解决实际问题

知识梳理

、约数和倍数的定义

整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数(在自然数的范围内)。

女口：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；

18 的约数有1、18、2、9、3、6。

注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。

②任何数都有最小的约数1,最大的约数本身，最小的倍数也是本身。

③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小

的倍数是3，没有最大的倍数。

④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b

相乘的积是数c，a与b都是c的因数。

二、2、3和5倍数的特征

2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8,是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数

5的倍数的数特征是个位是0或5

3的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数

三、质数与合数

(1)只有1和本身两个因数的数叫做质数(或素数)

(2)除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数

(3)1既不是质数，也不是合数

(4)100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、

67、71、73、79、83、89、97。

(5)几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，女口

2 的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18 ……

3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。记作[2,3]=6。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

注意：最大公约数X最小公倍数=两数的乘积，

典例分析

即(a, b) x[a, b]=a xb。

考点一：最小公倍数的求法

例1、列举法：求6和10的最小公倍数。

【解析】先分别写出6和8各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。

6 的倍数：6 , 12 , 18 , 24 , 30, 36, 42, 48 …

10 的倍数：10 , 20, 30, 40, 50 …

所以6和10的最小公倍数是30。

例2、短除法：求56和24的最小公倍数。

【解析】 2 56 24

2 |_28 12

2 14 6

7 3

56和24的最小公倍数是 2X 2 X 2X 7X 3=168

例3、分解质因数法： 求120和100的最小公倍数 【解析】120=2X2X2X 3X5

100=2 X X 5 X 5

[120 , 100]=2 X X 2 X 3 X 5 X 5=600

例4、多个数求最小公倍数：

求45、60和75的最小公倍数

[45 , 60, 90]=180 （当除到任意两数还有公因数时，则还要继续除下去）

考点二：应用最小公倍数巧算 例1、一次数学竞赛均是填空题， 小明答错的恰是题目总数的 1，小亮答错5道题，两人都答错的题目占题

4

1

目总数的'，已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有多少道.

6

1

1

【解析】因小明答错的恰是题目总数的

丄，两人都答错的题目占题目总数的

-，所以题目的总数应是 4和

4

6

6的倍数，然后根据小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，分情况进行解答。

解：已知题目个数- -定是 :整数.设为

X

X 是4和6的倍数.

且-V 5, X V 30;

6 x

有一V X-5 , X > 10;

2 -> 5时，即X > 20时, 4

所以X=24 ;

答：都答对的题有 24-5-6+4=17。

【解析】3

3 15 5 5

2 1

45 60 90

例2、某加油站有二位员工，从今年I月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后

休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有多少天要聘1个时工人？

【解析】甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息•因为

4和7的最小公倍数是28,因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时；

365十28 ~1轶），而在比7的倍数少一天休息时，甲乙第一次重逢的日子是

第二十天，以后每隔28天就共同休息一天，365-20=345 （天），345- 28~ 12天）

所以甲乙两人共同休息的天数是15+12+1=28 （天）

例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（希望杯考题）

【解析】这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：

96 -4+1=25 （个）

后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6

的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。

96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。

9642+仁9 （个）答：。重新挖树坑时可以少挖9个。

考点三：最小公倍数综合

例1、有一些画片，如果平均分给3个同学，还余1张；如果平均分给5个同学，还余3张；如果平均分给

4个同学，则少2张•这些画片至少有多少张？

【解析】由于平均分给3个同学，还余1张则这个数减1是3的倍数；如果平均分给5个同学，还余3张则这个数减3是5的倍数；如果平均分给4个同学，则少2张则这个数加2是4的倍数•因此，我们可从3，4，5的最小公倍数入手来分析一下，3，4，5的最小公倍数为3X4X6X=60.由于是求最小，我们

可从减开始，如果平均分给4个同学，则少2张，60-2=58，5843=19…1，58+ 5=11…3,所以这个数最小为58.

解：根据题意可知，这个数减1是3的倍数，减3是5的倍数，加2是4的倍数.

3，4，5的最小公倍数为3总X6>=60.